Phép đồng dạng với bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN _ _ _ _***_ _ _ _ NGUYỄN THỊ MAI PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Hà Nội - 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN _ _ _ _***_ _ _ _ NGUYỄN THỊ MAI PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ĐINH VĂN THỦY Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy, cô giáo tổ hình học, thầy khoa Tốn tạo điều kiện giúp đỡ em bốn năm học em làm khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ĐINH VĂN THỦY, người trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp em hồn thành khóa luận Do lần làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế nên có nhiều cố gắng song khơng tránh khỏi nhiều thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Nguyễn Thị Mai K34A- Tốn Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Mai K34A- Toán LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan kết nghiên cứu đề tài nỗ lực, cố gắng thân em hướng dẫn bảo nhiệt tình thầy ĐINH VĂN THỦY giúp đỡ nhiệt tình bạn khoa Tốn Đề tài nghiên cứu em không trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Nếu có khơng trung thực em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Mai MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT §1: Một số kiến thức chuẩn bị vấn đề định hướng Mặt phẳng định hướng Góc định hướng hai tia 2.1 Định nghĩa 2.2 Nhận xét 2.3 Tập giá trị 2.4 Hệ thức Chales Góc định hướng hai đường thẳng 3.1 Định nghĩa 3.2 Nhận xét 3.3 Tập giá trị 3.4 Hệ thức Chales §2: Sơ lược phép biến hình mặt phẳng Phép biến hình khái niệm liên quan 1.1 Định nghĩa 1.2 Phép biến hình đảo ngược 1.3 Phép biến hình tích 1.4 Phép biến hình đối hợp 1.5 Điểm bất động Hình kép Hình bất động .6 Phép biến hình aphin .6 2.1 Định nghĩa 2.2 Sự xác định phép biến hình aphin 2.3 Phân loại Phép biến hình đẳng cự 3.1 Định nghĩa .7 3.2 Tính chất 3.3 Sự xác định phép đẳng cự .7 3.4 Phân loại 3.5 Các phép dời hình đặc biệt .8 3.5.1 Các định nghĩa 3.5.2 Một số tính chất §3 Các phép đồng dạng mặt phẳng .9 Phép đồng dạng 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất phép đồng dạng .10 1.3 Sự xác định phép đồng dạng mặt phẳng 10 1.4 Phân loại .10 1.5 Sự đồng dạng hình 11 1.6 Dạng tắc phép đồng dạng 12 Phép vị tự 13 2.1 Định nghĩa 13 2.2 Một số tính chất 13 Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 15 §1 GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG .15 R PO PM OM k Do VP : O  O’; (O)  (O’) M N Do OM1 // O’N nên R'  = k (1) R IO IO ' R Mặt khác, nối PA cắt (O’) điểm thứ hai C Do A (O), C (O’) nên P, C, A thẳng hàng Hơn đoạn thẳng PA nằm k P (O), đoạn PC nằm (O’) nên V : A  C Suy OA // O’C Kẻ đường kính CC1, ta có O’C1 // OA Gọi I’ giao điểm đoạn OO’ với AC1, ta có R' I 'O ' (2) O 'C1 I   k 'O OA R Từ (1), (2) suy I’ ≡ I hay góc IAP nội tiếp chắn đường kính CC1, ta có đpcm Ví dụ 14: Mọi điểm mặt phẳng tô hai màu đỏ xanh Chứng tỏ tồn tam giác có đỉnh trọng tâm tơ màu Lời giải A’ A G B B’ C C’ Trước hết ln tìm tam giác ABC với ba đỉnh màu trái lại điểm đỏ phải nằm đường thẳng, điểm xanh phải nằm đường thẳng, trái với giả thiết điểm mặt phẳng tô màu Khơng tính tổng qt, giả sử màu ba điểm A, B, C xanh Nếu trọng tâm G tam giác ABC xanh tam giác ABC tam giác cần tìm Nếu G đỏ ta tiến hành phép vị tự VG : A  A’; B  B’; C  C’ Nếu ba điểm A’, B’, C’ đỏ ∆A’B’C’ tam giác cần tìm Ngược lại, ba đỉnh A’, B’, C’ có đỉnh xanh, A’ chẳng hạn, ta có ∆A’BC tam giác cần tìm Vậy tốn chứng minh xong  Nhận xét chung + Đối với tốn u cầu chứng minh tính chất hình, ta quy việc chứng minh hình đồng dạng với Tùy điều kiện mà ta chọn phép đồng dạng thích hợp + Đôi ta không phép đồng dạng Z: H  H’, ta chứng minh gián tiếp cách dựng thêm hình phụ phép đồng dạng: Z1: H  H1, Z2:H’  H2, Z3: H1  H2 Và theo tính chất bắc cầu ta có H đồng dạng với H’ + Có tốn mà việc dùng trực tiếp định nghĩa tính chất phép đồng dạng suy kết Bài tập luyện tập Bài 1: Cho tam giác vuông ABC A đuường cao AD, điểm I, J theo thứ tự chia BA, AC theo tỉ số k Chứng minh góc IDJ vng Bài 2: Lấy hai cạnh AB AD hình vng ABCD hai điểm M, N cho AM = AN Qua A dựng AP vng góc với BN P Chứng minh góc CDM vng Nguyễn Thị Mai 40- K34A- Toán Nguyễn Thị Mai 41- K34A- Toán Bài 3: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt A, B Các điểm M, M’ thứ tự di động (O), (O’) cho (OA, OM ) (O ' A ', O ' M ') Chứng minh a Hai tam giác AMM’ tam giác AOO’ đồng dạng b Ba điểm M, M’, B thẳng hàng c Trung trực đoạn MM’ qua điểm cố định Bài 4: Từ đỉnh tứ giác lồi hạ đường vuông góc xuống đường chéo Chứng minh tứ giác tạo chân đường vng góc đồng dạng với tứ giác ban đầu Bài 5: Giả sử I, J, K trung điểm cạnh BC, CA, AB tương ứng tam giác ABC Gọi M, N, P đỉnh tam giác vuông cân BCM, CAN, ABP dựng phía ngồi tam giác ABC Tìm ảnh vecto IN qua Z(C, 2, 450 ) Z (B, , 45 ) , từ so sánh hai tam giác BMC, MCP Chứng minh AM, BN, CP đồng quy Bài 6: Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB, CD ta dựng phía ngồi ta dựng phía ngồi tam giác vng cân MAB (MA = MB), NCD (NC = ND) Trên cạnh BC, DA dựng phía tam giác vuông cân PBC ( PB = PC), QAD (QA = QD) Chứng minh MN = PQ CHƯƠNG III: HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP Bài 1: Đặt k DA , để ý phép đồng dạng Z (D, -900, k): B A; A   DB C; BA  AC; I thuộc vào BA biến thành I’ thuộc vào AC cho I’ chia AC theo tỉ số IB/IA, hay I’ trùng J Vậy Z: I  J có góc IDJ 90 Bài 2: Gọi Q giao điểm AP BC Ta thấy tam giác PAN, PAB, PBQ đồng dạng hướng Suy phép đồng dạng thuận Z( P, -90 , PA/PN), ta có: Z: N  A; A  B; B  Q; M  M’ M ' BQ  BM AB BC   '   AM AN AM M ' C  PM ' PC Bài 3: a Đặt ( AO, AO '), k  AO xét phép đồng dạng ' AO Z1 = Z(A,, k) b Gọi E, F trung điểm MM’, OO’ Đặt ( AO, AM ) Hai tam giác AOO’ tam giác AMM’ đồng dạng chiều Xét phép đồng dạng Z2 = Z (A, , AM/AO) Z2(F) =E Xét phép đồng dạng Z3= Z (A, , AF/AO), ( AO, AF) ( AM , AE) Trên sở có kết tốn Bài 4: Tìm ảnh I, N qua Z (C, 2, 45 ) Z Tìm ảnh M, A qua Z (B, / 2, 45 ) Z   Khi có: Z2 Z1 (IN ) IP Ta tìm ảnh M, N, B qua Q(I, 90 ) C, P, M Suy PC = MN, PC MN Hoàn toàn tương tự ta nhận AM = PN, AM  PN, BN = PM, BN PM Ta có điều phải chứng minh Bài 5: Ta cần phép đồng dạng nghịch Z: ABCD  A1B1C1D1 Gọi O giao điểm AC BD, giả sử □AOB 900 Ta gọi d đường phân giác góc AOB Ta có phép đồng dạng nghịch Z( O, d, cos) Z: A  A1 B  B1 C  C1 D  D1 Từ suy điều phải chứng minh Bài 6: Phép đồng dạng Z1 VB QB 450 : M  A, P  A,  2MP Phép đồng dạng AC  Z VD  AC  D Q 450 2N : N  C, Q  A, P Dựa vào ta suy điều phải chứng minh KẾT LUẬN Trong khóa luận ″ Phép đồng dạng với toán chứng minh ”, đưa khái niệm phép biến hình mặt phẳng sâu vào xét phép đồng dạng mặt phẳng, kết nghiên cứu số vấn đề: số định nghĩa, định lý phép biến hình có liên quan phép đồng dạng, toán vận dụng phép đồng dạng để chứng minh tốn Do thời gian hồn thành nghiên cứu lực hạn chế nên khóa luận đạt số kết định Trong khóa luận em chủ yếu sâu vào xét tốn phẳng chưa vào tìm hiểu tốn khơng gian nên đề tài tiếp tục nghiên cứu sau Em mong đóng góp ý kiến q thầy toàn thể bạn khoa để vấn đề nêu khóa luận đầy đủ hồn thiện Đồng thời em có thêm kinh nghiệm nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Mai TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn, Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Hà Nội 1993 [2] Bùi Văn Bình, Hình học sơ cấp, NXB Hà Nội 1993 [3] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB GD 2004 [4] Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn Hình học, NXB GD 2005 [5] Vũ Dương Thụy (chủ biên), 40 năm Olympic toán học quốc tế (Tập 1), NXB GD 2001 [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn, Hình học số vấn đề liên quan, NXB GD 2008 ... GIẢI BÀI TỐN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG .15 Khái niệm toán chứng minh 15 Giải toán chứng minh phép đồng dạng 15 §2 CÁC VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH. .. Ứng dụng phép đồng dạng thuận vào toán chứng minh 16 Ứng dụng phép đồng dạng nghịch vào toán chứng minh 31 Ứng dụng phép vị tự vào toán chứng minh 36 CHƯƠNG III: HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP... phép đồng dạng hoàn toàn xác định cặp tam giác đồng dạng tương ứng b Hệ quả: Phép đồng dạng phép aphin ( phép aphin đặc biệt ) 1.4 Phân loại Có hai loại phép đồng dạng: a Phép đồng dạng gọi phép