Phép đẳng cự với bài toán chứng minh

KHOA TOÁN --- PHÙNG THỊ NGA PHÉP ĐẲNG CỰ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GV ĐINH V N TH Hà Nội – 2014... Đị ướng

KHOA TOÁN

-

PHÙNG THỊ NGA

PHÉP ĐẲNG CỰ VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học

GV ĐINH V N TH

Hà Nội – 2014

ỜI C N

côtrong

ệ ệ ệ

ện

i h h h

5 ăm 2014

Sinh viên

Ph g Th Ng

ỜI C Đ N

5 ăm 2014

Sinh viên

Ph g Th Ng

C C

M U 1

2

2

§ Ị ỚNG 2

1.1 Đị ướng trong mặt phẳng 2

1.2 Góc đị ướng giữa hai tia 2

1.3 Góc đị ướng giữa a đường thẳng 3

§ 5

2.1 Đị a 5

2.2 Đị 5

2.3 a 5

2.4 đị a c 6

§ 7

3.1 Đị a 7

3.2 c 7

3.3 c đị đẳ c 8

3.4 8

3.5 Đị đị a 8

3.6 c đẳ c đặc mặ ẳ 8

VỚ À Á Ứ 9

§ Ị 11

1.1 Đị a 11

1.2 c 11

1.3 Phép tịnh ti n trong h tọa đ Đề-các 12

1.4 c a c m 12

§ Ứ 17

2.1 Đị a 17

2.2 c 17

2.3 đ m tọa đ Đề-các 18

2.4 c a đ m c m 18

§ Ứ 24

3.1.Đị a 24

3.2 c 24

3.3 đ i x ng tr c trong h tọa đ Đề-các 25

3.4 c a đ c c m 25

§ 29

4.1 Đị a 29

4.2 c 29

4.3 c ọa đ c a a tọa đ Đề-các 30

4.4 c a a c m 30

§5: LUYỆN TẬP 36

Ậ 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 42

MỞ Đ U

1 CHỌN Đ T I

ện

ệ

2 C Đ CH NGHI N CỨU

c ệ

3 NHIỆ V NGHI N CỨU

ệ

ệ ệ

ệ

4 ĐỐI TƯ NG V PHẠ VI NGHI N CỨU

5 PHƯ NG PH P NGHI N CỨU ệ

NỘI UNG CHƯ NG C SỞ THU T

§ ĐỊNH HƯỚNG

1.1 ị ư ng trong mặt ph ng

Trong m t ph m O thì xung quanh O có hai chi u quay,

n u ta ch n m t chi u là chi u còn l i là chi u âm thì ta nói r ị c m t ph ng

ng ta ch n chi u quay xung quanh O c chi u kim

ng h là chi c l i là chi u âm

1.2 Gó ịnh ư ng giữa hai tia

1.2.1 Đ h ghĩ

Trong m t ph ị ng cho hai tia chung g c O:Ox,Oy Góc

ị u là Ox, tia cu i là Oy

Kí hiệu: ( , )Ox Oy u Ox t i trùng v i tia cu i Oy

Nhận xét: Giá trị c ị ng không ph i là duy nh t, ta quy

c giá trị là tùy theo chi u quay là âm hay chi

c a m t ph ng

Ta g i  là m t giá trị u c ị ị c khi quay quanh Ox t i trùng Oy theo góc hình h c nhỏ nh t

N u  là m t giá trị ị ng gi a hai tia Ox và Oy thì:

(Ox,Oy)  k2 ,( k )

âm tùy theo chi u quay c a a xung quanh O n trùng v i b theo chi u

§2 PHÉP I N H NH TR NG T PHẲNG

2.1 ị a

ỗ f P: P P

V ị …

2.2 ị

Ch ng minh: Th t v y: Tích các ánh x có tính ch t k t h p, ánh x c c a m t phép bi t phép bi n hình c a m t ph ng và cu i cùng ánh x ng nh ị c a nhóm nhân này 2.3 a

Đ h ghĩ

ắ

S h h i h h i ị

ABC A B C' ' '

)

A C qua B ) A' C' qua B' Ph l i

ị

và ta có f f 1 f f e1  ( ng nh t)

§3 PHÉP I N H NH ĐẲNG CỰ TR NG T PHẲNG

3.1 ị a

(hay

3.3 ị

ị

3.4

1

phép

 Ch : phép

)

3.5 ị ị a Đ h l

)

)

.Đ h ghĩ

nhau

3.6 c ặ ặ

Phép tịnh ti n

i x ng tâm

i x ng tr c

Phép quay

CHƯ NG 2 PHÉP ĐẲNG CỰ VỚI I T N CHỨNG INH

 i hứ g i h Bài toán ch ng minh là bài toán ch ng

trong h u h t các bài toán hình h ỹ tích, bài toán d …

n ch ra mệ ''A B '' A là gi thi t, B là k t lu n

D ng các hình ph làm sao cho nh u kiệ a bài toán

và nh n việc ch ng minh v n r i r c nhau làm cho chúng có m i liên hệ v i nhau nh phép bi n hình việc ch ng minh tr lên dễ

Gi i m t bài toán hình h c ph ng nh s d ng phép bi n hình nói chung bao g m ba thao tác chính:

L a ch n phép bi n hình

Th c hiện phép bi n hình

Rút ra k t lu n bài toán

 h i h i hứ g i h hờ ử ụ g h i n hình

T việc s d ng phép bi n hình vào gi i bài toán ch ng minh ta có

th nêu ra m t s xu t m t bài toán m i t m t bài toán

) ễ ệ

 A B f ệ A'B'  ' A' B' 1-1

minh ệ B A

ệ

ệ

ệ ( )

i

c th khi s d ng c vào bài toán

ch ng minh trong hình h c ph ng

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC ng cao AA', t ng cao d ng

ng vuông góc v i AB và AC ng th ng này l t cắt hai

V ng th ng MN c tâm H c a tam giác ABC

Ví dụ 3: Cho t giác ABCD G i M, N, P, Q l m c a

các c nh AB, BC, CD, DA Gi s MP NQ p   (p là n a chu vi tam giác) Ch ng minh r ng t giác ABCD là hình bình hành

N u H là tr c tâm c a tam giác

ABC thì AH B C ' (Do AHCB' là hình bình hành)

Xét phép tịnh ti n T BC :A H

 Khi A i trên  O R, thì tr c tâm H luôn n ng tròn c

ịnh là nh c ng tròn  O R, qua phép tịnh ti n trên

Ví dụ 5: Cho hình thang ABCD ( AD// BC) v i A D

So sánh hai tam giác ICD và ICA'cóI2I1

So sánh hai tam giác CID'và ICA cóCD CA'

K t h p v i (1) ta suy ra: AC > BD

Ví dụ 2: m M thu c mi n trong tam giác ABC G i D, E, F l t là

m c a AB, AC, BC Th c hiệ i x ng tâm Đ F bi n M

thành A', Đ E bi n M thành B', Đ D bi n M thành C'

G i    ng tròn ngo i ti p ACFE và tâm O là tâm c a   

§3 PHÉP ĐỐI ỨNG TR C

3.1 ị a

P :

Đ đ : P P ' M M sao cho M d d MM' M  d

' M M t

d  H

d d  H 3.2

các tính ch t c a phép bi ng c M' M d M

' M

d a d

a d a

)

ị

ắ

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nh m M ng th ng BC

V trung tr c c n th ng AB, AC l t t i P và Q Ch ng minh

r ng ng th ng M và vuông góc v ng th ng PQ

m m c ịnh

Ví dụ 3: ng tròn ngo i ti p tam giác ABC ng phân giác

u phép quay tâm O, góc quay  bi m M m M' thì

phép quay tâm Ogóc quay  bi n M' thành M

n ĩ u f Q O thìf1Q O 

Q O

O khi φ 0 ị O φ

Q O

+

+ ắ

ắ Q A O 

+

+

+ Phép quay b

+ ắ nhau +

+ to

ị

quay 4.3 ọa a a trong h tọa ề-các ệ Oxy O

φ 0  

Gi s M(x,y) qua phép quay bi ’ ’ ’)

x' xsin sin y' xsin ycos          , v i 0   c g i là bi u th c t c a phép quay tâm O v i góc quay b ng  4.4 a a

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trên các c nh AB và BC; v phía ngoài c a

tam giác d ng hai hình vuông ABMN và BCPQ Ch ng minh các tâm c a các hình vuông này cùng v m c n th ng MQ, AC t o

thành m t hình vuông

Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD T nh A c a hình vuông v hai tia Ax,

Ay qua mi n trong c a hình vuông G i M, K ng là hình chi u c a

B, D lên Ax; N, L ng là hình chi u c a B, D lên Ay Ch ng minh

OAsinA OB B OC C K I I J J K sin  sin  ' ' ' ' ' 0

Ví dụ 5: Qua tr ng tâm G c a tam giác ABC kẻ ng th ng a cắt BC t i

Và phép quay tâm G 1200 nh c a tâm giác là

§5: LUYỆN TẬP

Bài tập 1 Ký hiệu S là diện tích c a, m t t giác l i ABCD có AB = a,

BC = b, CD = c, DA = d

Ch ng minh r ng: 2S  ac + bd

Bài tập 2.Cho tam giác ABC g i A 1 , B 1 , C 1 l m c a các

c nh BC, CA, AB; I 1 , I 2 , I 3 và O 1 , O 2 , O 3 l ng tròn ngo i

Bài toán 5 Cho tam giác ABC và M m b t k trong tam giác Ax,

By, Cz l i x ng v i AM , BM, CM qua phân giác góc A, góc B, góc C Ch ng minh r ng Ax, By, Cz ng quy

Bài tập 6 Ch ng minh r ng m i x ng thì s có vô s tâm

i x ng cùng n m trên m t ng th ng

Bài tập 7.Ch ng minh r ng trong t t c các tam giác có cùng diện tích, có

chung m t c nh, tam giác cân có chu vi nhỏ nh t

Bài tập 8 i x ng tâm Đ A , Đ B , Đ C v i M là m m b t

k , g i M 1 là nh c a M qua Đ A , M 2 là nh c a M 1 qua Đ B , M 3 là nh c a

M 2 qua Đ C Ch ng minh r m MM 3 c ịnh, t ỹ

tích M 3 khi M ch y ng tròn  O ho ng th ng d

Bài tập 9 Cho l u ABCDEF.M, K m c a EF, BD

AB Ta s ch c Ax, By, Cz là trung tr c c a các c nh M 2 M 3,

M 3 M 1 , M 1 M 3 c a tam giác M 1 M 2 M 3 T Ax, By, Cz ng quy

V y chu vi ABC có chu vi nhỏ nh t AB AC BC ' ' T c là A M

(M là giao c a BC'v i d) hay tam giác BMC cân t i M

AMK u

T UẬN

ệ

n ệ

ệ

ệ ắ

ệ

ỏ

ắ ng, các th

c biệ Y

ắ ắ ỏ

ệ

T i i h h h

TÀI LIỆU THAM KH O

4.Hình học nâng cao lớp 11 (2006), NXB Giáo d c, Hà N i

5 u Th C p, Nguyễ V ễn Hoàng Khanh, (2008), Tuy n chọn 400 bài tập toán lớp 11 i h c Qu c gia Thành

ph HCM

6 ỗ , Phép bi n hình trong mặt phẳng, NXB Giáo d c, Hà

N i