Phép đẳng cự với bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - PHÙNG THỊ NGA PHÉP ĐẲNG CỰ VỚI BÀI TỐN CHỨNG MINH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GV ĐINH V N TH Hà Nội – 2014 ỜI C N côtrong ệ ệ ệ ện i h h h ăm 2014 Sinh viên Ph g Th Ng ỜI C Đ N ăm 2014 Sinh viên Ph g Th Ng C M C U § Ị ỚNG 1.1 Đị ướng mặt phẳng 1.2 Góc đị ướng hai tia 1.3 Góc đị ướng a đường thẳng § 2.1 Đị a 2.2 Đị 2.3 a 2.4 đị ac § 3.1 Đị a 3.2 c 3.3 c đị đẳ c 3.4 3.5 Đị đị 3.6 c đẳ a c đặc mặ VỚ § Ị 1.1 Đị 1.2 À ẳ Á Ứ 11 a 11 c 11 1.3 Phép tịnh ti n h tọa đ Đề-các 12 1.4 c a c m 12 § Ứ 2.1 Đị 17 a 17 2.2 c 2.3 đ 2.4 17 m c a § tọa đ Đề-các 18 đ m Ứ 3.1.Đị c m 18 24 a 24 3.2 c 3.3 đ i x ng tr c h tọa đ Đề-các 25 3.4 24 c a § đ c c m 25 29 4.1 Đị 4.2 4.3 4.4 a 29 c 29 c ọa đ c a c a a a tọa đ Đề-các 30 c m 30 §5: LUYỆN TẬP 36 Ậ 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ Đ U CHỌN Đ T I ện ệ C Đ CH NGHI N CỨU ệ c NHIỆ V NGHI N CỨU ệ ệ ệ ệ ĐỐI TƯ NG V PHẠ VI NGHI N CỨU PHƯ NG PH P NGHI N CỨU ệ NỘI UNG CHƯ NG § 1.1 ị C SỞ THU T ĐỊNH HƯỚNG ng mặt ph ng Trong m t ph m O xung quanh O có hai chi u quay, n u ta ch n m t chi u chi ị nói r u l i chi u âm ta c m t ph ng ng ta ch n chi u quay xung quanh O ng h chi 1.2 Gó c chi u kim c l i chi u âm ịnh ng hai tia 1.2.1 Đ h ghĩ ị ng cho hai tia chung g c O :Ox,Oy Góc ị Trong m t ph u Ox, tia cu i Oy Kí hiệu: (Ox,Oy) u Ox t i trùng v i tia cu i Oy ị Nhận xét: Giá trị c c giá trị ng không ph i nh t, ta quy tùy theo chi u quay âm hay chi c a m t ph ng Ta g i  m t giá trị ị uc ị quay quanh Ox t i trùng Oy theo góc hình h c nhỏ nh t N u  m t giá trị ị ng gi a hai tia Ox Oy thì: (Ox,Oy)    k2 ,(k  ) c Trong hình a ta có: (Ox,Oy)   Trong hình b ta có: (Ox,Oy)   1.2.2 Hệ thứ S l ị Trong m t ph Hệ th ng cho ba tia chung g c Ox, Oy, Oz Ox,Oy  Oy,Oz  Ox,Oz  M r ng cho n tia ị Trong m t ph ng, ch n n tia chung g c OA1,OA2, ,OAn Hệ th OA ,OA   OA ,OA   OA 1.3 Gó ị n1    ,OAn  OA1,OAn  k2 , K   ng a ường th ng Đ h ghĩ 1.3 ị Trong m t ph ng (P) ng th ng a b + N u a b cắt t i O mỗ ị ĩ ị ng gi ng th ng bị O chia làm hai tia ng th ng a b ịnh ng gi a hai tia bi (i = 1,2) th ị c kí hiệu a, b   ag u, b g ng th ng cu i c a góc S a góc ng âm tùy theo chi u quay c a a xung quanh O n trùng v i b theo chi u a m t ph ng Ta g i  góc gi ị ng th ng th ng a t i trùng v c ng th ng b theo góc hình h c nhỏ nh t   + n u a // b ho c a ≡ a, b  k ,(k  ) Ví d :   Trong hình b  a, b   Trong hình c d  a, b  k ,(k  ) hay 0o, 180o … Nhận xét: N u  m t giá trị ị Trong hình a a, b      a, b    k , k  ng gi ng th ng a b  1.3.2 Hệ thứ S l ị Trong m t ph a1,a2 … an cắt t ng th ng ệ th a , a   a , a    a , a   k ,(k  2 n ) §2 PHÉP I N H NH TR NG 2.1 ị T PHẲNG a f : P P ỗ P V ị … 2.2 ị Ch ng minh: Th t v y: Tích ánh x có tính ch t k t h p, ánh x m t phép bi cc a t phép bi n hình c a m t ph ng cu i ánh x ị c a nhóm nhân ng nh 2.3 a Đ h ghĩ ắ S h h i h h i ị A' B'C' ABC ) A Ph C qua B ) l i ị A' C ' qua B ' Gi i G i  tr i x ng c a hình thang ABCD Suy  qua I J i x ng tr c: Đ : A B C D nên ta có Đ : AC BD (1) i x ng tr c Đ : B A D C nên ta có Đ : BD T (1) (2) suy AC  BD (2) BD  AC Đ : O Suy O AC O m kép hay O V y I, O, J th ng hàng t t i M N Do d // AB suy d  .G i b) Gi s d cắt AD, BC l M ' nh c a M qua Đ Do M  d suy Đ : M M  AD mà Đ : AD M ' d BC  M '  BC  d hay M  N Do tính ch i x ng nên OM  OM ' hay OM = ON 28 §4 PHÉP U 4.1 ị a Cho O ị P ị φ : QO : P  P M   M' cho: OM  OM ', OM,OM '   t φ O ệ QO ho c QO,  ng ch n  cho:       ị QO n u  = tr thành phép ĩ ng nh t, n u    ho c    tr i x ng tâm 4.2 ng c c a m t phép bi tính ch t ng c u phép quay tâm O, góc quay  bi mM m M ' phép quay tâm Ogóc quay  bi n M ' thành M n ĩ u f  QO f 1  QO QO O φ ị O QO 29 φ + ắ + QO  A ắ + + + Phép quay b ắ + + + to ị quay 4.3 ọa a a h tọa ệ φ Oxy O     Gi s M(x,y) qua phép quay c g i bi u th c t a ’ ’ ’) bi x'  xsin   sin  y'  xsin   ycos  4.4 ề-các , v i     c a phép quay tâm O v i góc quay b ng  a Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, c nh AB BC; v phía ngồi c a tam giác d ng hai hình vng ABMN BCPQ Ch ng minh tâm c a hình vng v mc thành m t hình vng 30 n th ng MQ, AC t o Gi i G i O1, O3 ng tâm c a hai hình vng ABMN, BCPQ O2, O4 m c a AC MQ Xét phép quay: QB90 : M A C Q MC AQ  MC = AQ MC  AQ Ta có O1O2, O2O3, O3O4, O4O1 l ng trung bình c a MAC,ACQ, MCQ, MAQ  O1O2// MC O1O2  MC  O2O3 // AQ O2O3  AQ 2  O3O4 // MC O3O4  MC  O4O1// AQ O4O1  AQ nên O1O2 = O2O3 = O3O4 = O3O4 O1O2 // O3O4,O3O4 = O4O1 O1O2O3O4là hình vng Ví dụ 2: Cho tam giác ABC u m n th ng MA, MB, MC t ng c m M b t k Ch ng minh r ng ng th ng l n nh t không l n 31 Gi i Xét phép quay: QB60 : M M' B A  MB  M ' A, MC  M 'C n MA, MB, M ' M theo V th t b n MA, MB, MC Tam giác MAM ' có th suy bi n n th ng V n MA, MB, MC n th ng l n nh t khơng l ng n Ví dụ 3: Cho hình vng ABCD T nh A c a hình vng v hai tia Ax, Ay qua mi n c a hình vng G i M, K B, D lên Ax; N, L ng hình chi u c a ng hình chi u c a B, D lên Ay Ch ng minh r ng: KL = MN KL  MN Gi i Xét ABM DAK có: ABM  DKA  900 AB = AD (c nh hình vng) ABM  DAK (cùng ph v i BAM )  ABM = DAK  MA = KD, MB = KA, MAB  ADK (1) V i O tâm c a hình vng ABCD, ta xét phép quay QO90 : B ÂA 32 A D   Gi s QO90 M  M '  MA  M ' D , MB  M ' A , MAK  M ' DA (2)   T (1) (2)  : M '  K  QO90 M  K ’) ta có: ABN = DAL ( c – g – c)  NA= DL, BL = AL, BAN  ADL    QO90 N  L T ’) ’) ’)  QO90 : M K N L MN = KL   V y MN ,KL  900 hay MN  KL Ví dụ 4:   ng tròn tâm O n i ti p tam giác ABC Các ti thu c AB, BC, CA l t I, J, K Ch ng minh r ng : OAsin A  OBsin B  OC sinC  Gi i Ta có: OI  AB  T giác AIOK  OK  AC  n i ti ng kính OA Trong AIK, ịnh lý hàm s sin ta có: IK  2R  OA  IK  OAsin A sin A 33 m Xét phép quay : QO90 : I I' J J' K K'  IK  I ' K IK  I ' K M t khác, AIK cân t i A nên OAIK  I ' K ' // OA I ' K '  OAsinA  I ' K '  OAsin A ta có: I ' K '  OC sinC I ' J '  OBsin B  OAsin A  OBsin B  OC sinC  K ' I '  I ' J '  J ' K  Ví dụ 5: Qua tr ng tâm G c a tam giác ABC kẻ M cắt AB t i N, kẻ ng th ng a cắt BC t i ng th ng b cắt AC t i P cắt AB t i Q t o v i a m t góc 600 Ch ng minh r ng: MPNQ hình thang cân Gi i Gi s MGP  NGQ  600 ta có QGM  PGN  1200 Xét phép quay tâm G v i góc quay 1200 QG120 : GM GQ GM GP 34 1200 Và phép quay tâm G nh c a tâm giác nh c a (A ↦ C; C ↦ B; B↦A) Do M bi n thành P N bi n thành Q, suy tam giác MGQ NGP hai tam giác cân t i G v i góc c u b ng 300 D v ng th i MN = PQ nh 1200 góc l i ng th ng NP MQ song song V y MPNQ hình thang cân 35 §5: LUYỆN TẬP Bài tập Ký hiệu S diện tích c a, m t t giác l i ABCD có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d Ch ng minh r ng: 2S  ac + bd Bài tập 2.Cho tam giác ABC g i A1, B1, C1 l m c a c nh BC, CA, AB; I1, I2, I3 O1, O2, O3 l ng tròn ngo i ti p, n i ti p tam giác AC1B1, BC1A1, CA1B1 Ch ng minh r ngO1O2O3 = I1I2I3 Bài tập Cho ABC, d ng hình vng BCDE n m n a m t ph ng t d ng DI  AB, EK  AC khơng ch a A có b BC T D E l Ch ng minh r ng ABC) ng th ng EK, DI, AH ( ng cao c a ng quy Bài tập Cho hình vng ABCD M, N ng th ng d cắt AB, CD l ng th ng d ' vng góc v i d cắt AD, BC l tt i t t i P, Q Ch ng minh r ng MN = PQ Bài toán Cho tam giác ABC M By, Cz l m b t k tam giác Ax, i x ng v i AM , BM, CM qua phân giác góc A, góc B, góc C Ch ng minh r ng Ax, By, Cz ng quy Bài tập Ch ng minh r ng m i x ng n m m t i x ng s có vơ s tâm ng th ng Bài tập 7.Ch ng minh r ng t t c tam giác có diện tích, có chung m t c nh, tam giác cân có chu vi nhỏ nh t Bài tập i x ng tâm ĐA, ĐB, ĐC v i M m mb t k , g i M1 nh c a M qua ĐA, M2 nh c a M1qua ĐB, M3 nh c a M2 qua ĐC Ch ng minh r tích M3 M ch y m MM3 c   ng tròn O ho 36 ịnh, t ng th ng d ỹ Bài tập Cho l u ABCDEF.M, K Ch ng minh r ng AMK m c a EF, BD u Hướng dẫn gi i Bài tập G id ng trung tr c c a BD Xét Đd: B A D A' AB =AD, t giác AA' BD hình thang cân  AD  A' B  SABD  SA' BD  SABCD  SA'CBD  S M t khác ta có : 2SA' BCD  ac sin A' DC  bd sin A' BC  ac  bd  2S  ac  bd Bài tập AC1 , ta có: Xét phép tịnh ti TAC1 : AB1C1 TAC1 : I1 O1 C1BA1 I2 O2  I1O1  I2O2 (1) BA1 , ta có: Xét phép tịnh ti TBA1 : I2 O2 I3 O3  I2O2  I3O3 (2) 37 T (1) (2) suy I1O1  I2O2  I3O3  TI O : I1I2I3 1 OO O  O1O2O3 = I1I2I3 Bài tập 3: ch ng EK, DI, AH n vị trí m i nh ng quy, ta s d i ABC ng cao Xét phép tịnh ti n: TBE : A A' ABC A' ED H ' ED H BC Do tính ch t c a phép tịnh ti n, ta có: AB // A' E  DI  A' E AC // A ' D  EK  A ' D ED  A' H ' V y DI, EK, A ' H ' ng cao c a A' ED m ng quy t i m Bài tập G i O tâm hình vng ABCD Xét phép quay tâm O, góc quay =900 QO90 : AB DA DC CB M M' N N' 38 M  AB  M' DA N DC  N ' CB MN  M ' N ', MN  M ' N ' Mà MN  PQ nên M ' N ' song song ho c trùng v i PQ M ' N '  PQ V yMN = PQ Bài tập G i M1, M2, M3l t nh c a M AB Ta s ch i x ng tr c BC, CA, c Ax, By, Cz trung tr c c a c nh M2M3, M3M1, M1M3 c a tam giác M1M2M3 T Ax, By, Cz ng quy Bài tập Gi s E, F i x ng c a m ym mA ng xét A, D i x ng b t k không n m EF E :A C Suy b B F :B C D m A, B, C, D thu qua G thu c EF; G, F L p lu i x ng qua E y ta có vơ s th ng EF t hai phía Bài tập 7: G i BC a tam giác, S diện tích c a nh A c a BC, diện tích s n ng th ng d d ' song song BC, cách BC m t kho ng h = 2S/BC i x ng tr c 39 i x ng n ng d: C C' A A' AC' AC  AC  AC' Ta có: AB  AC  AB  AC'  BC ' V y chu vi ABC có chu vi nhỏ nh t  AB  AC'  BC' T c A  M (M giao c a BC ' v i d) hay tam giác BMC cân t i M Bài tập B : M1 M2 nên BM1= BM2 CM2 = CM3 BC //= M1M2 (v i D Do A, B, C c ịnh nên ta có ĐD : M M3   ng tròn O N u M ch   ng th ng d quỹ tích c a   ng th ng d ' nh c a O hay d qua ĐD ng tròn O ' M3 m c a MM3) Bài tập Gi s A, B, C, D, E, F ị ng theo chi u âm G i O tâm c a l c giác Xét phép quay QA60 : F E AFE AMK O C AOC  M u 40 K T UẬN ệ ệ n ệ ệ ắ ệ ỏ ắ ng, th c biệ Y ắ ắ ỏ ệ T i i h h h 41 TÀI LIỆU THAM KH O V , (1993), Giáo trình tập hình học c p ng i2 Nguyễ V V n– V , (1993),Giáo trình hình học c p, i2 Nguyễn M ng Hy, (2003), Các phép bi n hình mặt phẳng , NXB Giáo d c 4.Hình học nâng cao lớp 11 (2006), NXB Giáo d c, Hà N i u Th C p, Nguyễ V ễn Hoàng Khanh, (2008), Tuy n chọn 400 tập toán lớp 11 i h c Qu c gia Thành ph HCM ỗ , Phép bi n hình mặt phẳng, NXB Giáo d c, Hà N i 42 ... ị 3.4 phép  Ch : phép ) 3.5 ị ị a Đ h l ) ) .Đ h ghĩ 3.6 ặ c ặ Phép tịnh ti n i x ng tâm i x ng tr c Phép quay CHƯ NG PHÉP ĐẲNG CỰ VỚI  i g IT N CHỨNG INH i h Bài toán ch ng minh toán ch... H NH ĐẲNG CỰ TR NG 3.1 ị T PHẲNG a (hay h ) ĩ P; f : P  P M, N M'  f  M , N '  f N  : MN  M ' N ' Nhận xét: + Tích c a hai phép bi + ng nh t m t phép bi + c ng c phép bi o c c a phép. .. M g i phép bi n hình c c a phép bi n hình f   c c a f f 1 có: f 1 M '  M Ta kí hiệu phép bi Mỗi phép bi n hình f có nh t m t phép bi ta có f f 1  f 1 f  e ( ng nh t) c f 1 §3 PHÉP I