Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học không gian

Trườngưđạiưhọcưsưưưphạmưhàưnộiư2ưKhoa:ưtoán ********** Nguyễnưthịưhảo Sửdụngưphépưđồngưdạngưđểưchứngưminhưcácưbàiưtoánưt Khóaưluậnưtốtưnghiệpưđạiưhọc Chuyênưngành:ưHìnhưhọc Ngườiưhướngưdẫnưkhoaưhọc Nguyễnưvănưvạn Hàưnộiư-ư201 LờI CảM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô bạn sinh viên giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy: Nguyễn Văn Vạn - ngời tận tình giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thân hạn chế nên không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em đợc hoàn thiện có nhiều ứng dụng thực tế Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5, năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hảo LờI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp: Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học không gian đợc hoàn thành dới tận tình hớng dẫn giảng viên: Nguyễn Văn Vạn Tôi khẳng định rằng: Đây công trình nghiên cứu khoa học tôi, nghiên cứu hoàn thành sở kiến thức học tài liệu tham khảo Sinh viên Nguyễn Thị Hảo Mục lục A Mở đầu.1 B Nội dung Ch¬ng 1: C¬ së lÝ ln…………………………………………………….3 1.1Tỉng quan vỊ phép biến hình3 1.1.1 Khái niệm phép biến hình …………………………………………3 1.1.2 PhÐp biÕn h×nh tÝch……………………………………………… … 1.1.3 PhÐp biến hình đảo ngợc 1.1.4 Phép biến hình afin.4 1.1.5 Phép biến hình đẳng cự 1.1.6 Điểm bất động Hình kép Hình bất động 1.2Phép đồng dạng8 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất.8 1.2.3 Điều kiện xác định phép đồng dạng.8 1.2.4 Sự đồng dạng hình 1.2.5 Phép vị tự9 1.2.6 Phân loại phép đồng dạng 1.2.7 Dạng tắc phép đồng dạng 10 Chơng 2: Sử dụng phép đồng dạng để giải toán chứng minh 16 2.1 Giải toán chứng minh phép đồng dạng16 2.1.1 Khái niệm toán chứng minh 16 2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để giả toán chứng minh……………… 16 2.2 Mét sè vÝ dơ…………………………………………………………… 17 2.3 Bµi tập luyện tập,,,,,.24 Chơng 3: Hớng dẫn giải tập27 A Kết luận34 B Tài liệu tham khảo 35 a mở đầu lí chọn đề tài Trong sống nói chung trờng Trung học phổ thông nói riêng, toán học môn học thiếu Trong không nhắc đến hình học môn học có tính chặt chẽ, tính logic tính trừu tợng hóa cao môn học khác toán học Mặt khác môn học hấp dẫn học sinh tính trực quan nó, đặc biệt có trợ giúp đắc lực máy tính phần mềm hỗ trợ Đứng trớc toán hình học đa nhiều cách giải khác nhau, nhng cách giải tối u, dễ hiểu thể đợc tính sáng tạo ngời giải Trong chơng trình toán học bậc Trung học phổ thông có đa cho học sinh công cụ để giải toán hình học sử dụng phép biến hình Với công cụ này, học sinh vận dụng để giải toán quỹ tích, chứng minh, dựng hình hay tính toán Tuy nhiên toán đa giải biến hình, hạn chế sử dụng phép biến hình để giải toán Bởi vậy, đòi hỏi học sinh sử dụng phép biến hình để giải toán cần có t linh hoạt, sáng tạo, khả t hóa, trừu tợng hóa cao Để tìm hiểu rõ vấn đề mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học kh«ng gian□ -6- Trong khu«n khỉ mét khãa ln tèt nghiệp thời gian nghiên cứu không nhiều nên tập trung xét ứng dụng phép đồng dạng - phép biến hình để giải lớp toán, toán chứng minh không gian -7- Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đề tài nhằm: Củng cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ áp dụng tốt phép biến hình vào giải toán Tìm hiểu ứng dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học không gian Đối tợng, phạm vi nghiên cứu Đối tợng nghiên cứu: Phép đồng dạng Phạm vi nghiên cứu: Phép đồng dạng toán chứng minh hình học không gian Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận nội dung phép đồng dạng không gian Nghiên cứu ứng dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học không gian Phơng pháp nghiên cứu Phân tích tài liệu liên quan Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán B.nội dung Ch¬ng 1: C¬ së lÝ ln 1.1 Tỉng quan vỊ phép biến hình 1.1.1 Khái niệm phép biến hình - Giả sử cho tập hợp K khác rỗng, K đợc gọi không gian, phần tử K điểm, tập khác rỗng K hình - Định nghĩa: Giả sử K không gian, song ánh f : K K đợc gọi phép biến hình không gian K - Nếu M, N hai điểm K f(M), f(N) hai điểm phân biệt K Với điểm M K bao giê còng cã mét ®iĨm M thc K cho f(M) = M Điểm f(M) đợc gọi ảnh M qua phép biến hình f Ngợc lại điểm M đợc gọi tạo ảnh điểm f(M) qua phép biến hình f nói Nếu H hình K ta xác định tập hợp f(H) = {f(M) / M H} Khi f(H) đợc gọi ảnh hình H qua phép biến hình f hình H đợc gọi tạo ảnh hình f(H) qua phép biến hình f Chú ý: Nếu phép biến hình f biến hình H thành hình G mà thỏa mãn điều kiện sau ta gọi phép biến hình đối một: Tạo ảnh f -1(M) điểm M thuộc hình G gồm có điểm M hình H Nh ứng với điểm M hình H ta có điểm M hình G mà Ngợc lại, ứng với điểm M hình G ta có điểm M hình H mà 1.1.2 Phép biến hình tích - Định nghĩa: Giả sử f g hai phép biến hình tập K cho, dễ thấy ánh xạ tích f g song ánh K vào K nên tích Tiếp theo thực bớc nh trờng hợp 1, cuối ta có phép đồng dạng Z = V Q1 T T1 : ABCD  A'B'C'D' Do ®ã ABCD A'B'C'D' đồng dạng với tỉ số k = A' B' AB Trờng hợp 3: Nếu ABCD A'B'C'D' nằm hai mặt phẳng cắt Thực phép quay Q2 biến mặt phẳng chứa ABCD thành mặt phẳng chứa A'B'C'D' ABCD có ảnh A''B''C''D'' Sau thực bớc tơng tự nh trờng hợp 1, ta nhận đợc phép đồng dạng Z = V Q1 T Q2 : ABCD A'B'C'D' A' B ' k= Do ABCD A'B'C'D' đồng dạng với tỉ số AB Nh từ ba trờng hợp ta có điều phải chøng minh Bµi 2: Chøng minh: B2 B C C1 C2 A1 D2 D1 D A B2’ B’ A’ B1 C’ A2’ D’ A1’ C 2’ B1’ C1’ D2’ D1’ Giả sử cho hai hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1' Ta chứng minh tồn phép đồng dạng biến hình thành hình Thật vậy, tồn phép dời hình D biến hình vuông ABCD thành hình vu«ng A1B2C2D2 víi B2 ∈ tia A1B1, D2 ∈ tia A1D1, C2 ∈ tia A1C1 vµ AA' ⊥ (ABCD ) nên A' có ảnh A'' tia A1A1' Suy D: A'  A2 '' , A'' ∈ tia A1A1' B'  B2 ' ' , B'' ∈ tia A1B1' C' C2 '' , C'' ∈ tia A1C1' D'  D2 ' ' , D''∈ tia A1D1' PhÐp vị tự V Ak : B2 B1 thì: k V A : A B C D A ''B ''C ''D ''  A B C D A 'B 'C 'D ' 2 2 2 1 1 1 1 Vậy phép đồng dạng Z= D V k : ABCD.A'B'C'D'  A B C D A 'B 'C 'D ' 1 A1 Bµi 3: Chøng minh: 1 A P S B D Q C R 1 1 I Trong mặt phẳng (ABC) ta có PR ∩ AC =I Gäi S = IQ ∩ AD, ta cã S = AD ∩ (PQR) Cã: −1 VP V − R = : A  B (do P trung điểm AB) 1 : B  C (do RC ) RB  1 Suy C ảnh A qua phép vị tù tØ sè (-1)  −  n»m trªn CA PR Do tâm phép vị tự I = với tâm vị tù VËy :A  C (1) VI L¹i cã Bµi 4: −1 VQ : C  D (do Q trung điểm CD) (2) Tơng tự nh trên, từ (1) (2) V S2 : A  D suy ⇒ AS = 2SD SD = − SA Chøng minh: Gi¶ sư cã hai hình lăng trụ ' ' A B C A B C vµ 1 1 1 ' ' ' 2 hai lăng A B C A B C trơ ' 2 2 cã c¸c đáy đồng dạng tỉ số đồng dạng tỉ số hai cạnh bên chúng Vì đáy đồng dạng nên tồn phép dời hình: D: A1 B1C1 ABC ABC thuộc mặt phẳng chứa A2 B2C2 - 56 - A'1 B'1 C'1 → A' B'C' Và phép vị tự: k V : ABC A B C O ' ' ' A' B'C' → A2 B2C2 ' Trong ®ã k = A1 A1 O giao điểm ' CC1 AA1 , BB1 B B2 ' ' ' A B C' A B' C → A B ' Vậy tồn phép đồng dạng Z = C A B C k D V : O 1 1 1 2 2 2 (®pc m) - 57 - Bài 5: Chứng minh: Giả sử (N1), (N2) hai hình nón đồng dạng Khi tồn phép đồng dạng Z1 : (N1) (N2), Và phép dời hình F : (N1) (N), (N) có đỉnh trùng với đỉnh (N2) O Mỗi đờng sinh (N) (N2) nằm tia Hơn diện tích xung quanh (N) (N1) b»ng k PhÐp vÞ tù VO : (N’)  (N2), k > Từ dựa vào công thøc tÝnh diƯn tÝch xung quanh ta suy ®iỊu phải chứng minh Bài 6: Chứng minh tơng tự Bµi Chøng minh: S G1 G4 M G2 A G3 P B N C Gäi G1, G2, G3, G4 lần lợt trọng tâm bốn mặt tứ diƯn SAB, SBC, ABC, SAC Gäi M, N, P lÇn lợt trung điểm cạnh AB, BC, AC G1G2 XÐt tam gi¸c SMN = MN ta cã: Ta l¹i cã: MN = AC Suy ra: G1G2 MN ⋅ MN = AC ⋅ (1) G1G2 ⇔ = AC T¬ng tù ta cã: DÔ thÊy: (2) G2 G4 G G AB = =BC (3) G 2G G 3G = SA = G1G3 SC = SB Tõ (1), (2), (3) ta thÊy tø diÖn SABC tứ diện G3G2G4G1 có cạnh tơng ứng tØ lƯ VËy hai tø diƯn SABC vµ tø diƯn G3G2G4G1 đồng dạng với Bài8: Chứng minh: Trớc hết ta chøng minh: tØ sè thĨ tÝch cđa hai h×nh tứ diện đồng dạng lập phơng tỉ số cạnh tơng ứng chúng Dễ thấy đờng cao hai tứ diện đồng dạng tỉ lệ với cạnh tơng ứng Nếu tỉ số đồng dạng k th× tØ sè thĨ tÝch cđa hai h×nh tø diƯn đồng dạng là: V1 S1 h : h = h1 1 =  3S S   = S2 h2 V 2 k k = Hơn hai hình đa diện đồng dạng chia thành hình tứ diện đồng dạng tơng ứng nên ta suy tỉ số thể tích hai hình đa diện đơn lập phơng tỉ số đồng dạng Bài 9: Chứng minh: Giả sử cho hai hình hộp đồng dạng ABCD.A'B'C'D' A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1' theo định nghĩa tồn phép đồng dạng Z : ABCD.A'B'C'D' A1B1C1D1.A1'B1'C1'D1' Giả sử phép dời hình D : ABCD.A'B'C'D'  A1B2C2D2.A2'B2'C2'D2' Víi B2 ∈ A1B1, D2 ∈ A1D1, A2∈A1 A1' Vµ thĨ tÝch A′ B′ C′ D′ 1 1 Gäi (1 ) V ABCD.A'B'C'D'= VA B C D k 2′ k phép vị tự : B2 B1, suy VA cho VA k V A : A B C D A 'B 'C 'D '  A B C D 2 2 2 1 1 Gäi S, h lần lợt diện tích A1B2C2D2 đờng cao hạ từ A2 S1, h1 lần lợt diện tích A1B2C2D2 đờng cao hạ từ A1 Ta1=cók S : S1 = k , h: VA B C D h (2 ) A′B′C′D′ 1 1 1 1 Tõ (1) vµ (2) ta cã điều phải chứng minh Bài 10: Chứng minh: Giả sử có hai hình chóp đồng dạng S.ABC S'.A'B'C' Theo định nghĩa tồn phép đồng dạng Z : S.ABC S'.A'B'C' Gọi D phép dời hình cho D : S.ABC  S'.A'B'C' Víi A1 ∈ S'A', B1 ∈ S'B', C1 ∈ S'C' vµ thĨ tÝch VS.ABC = VS'.A'B'C' (3) k PhÐp vÞ tù V k → thÕ V : S'.A B  S'.A'B'C' :A ' th× C A,k > S' 1 S' 1 Gọi S, h lần lợt diện tích A1B1C1 đờng cao hạ từ S' xuống (A1B1C1), S1, h1 lần lợt diện tích A'B'C' đờng cao hạ tõ S' xuèng (A'B'C') Ta cã S1: S.ABCD , h1 : h = k =k VS ' Ara Suy B C VS'.A'B'C'= S1.h1 = k S.h= k 3 1 Tõ (3) vµ (4) ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh (4 ) C.KÕT LN Nh vËy, luận văn củng cố lại kiến thức phép biến hình đồng dạng mặt phẳng, đặc biệt đợc ứng dụng phép đồng dạng để giải lớp toán chứng minh hình học không gian ứng với lớp toán có nêu ví dụ minh họa tập luyện tập Cuối lần em xin chân thành cảm ơn bảo hớng dẫn tận tình thầy: Nguyễn Văn Vạn giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng 5, năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hảo D Tài liệu tham khảo Bùi Văn Bình (1993), Giáo trình Hình học sơ cấp Tập (Trờng Đại học S phạm Hà Nội 2) Đỗ Thanh Sơn (2008), Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông: Phép biến hình không gian (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Đỗ Thanh Sơn (2009), Phơng pháp giải toán hình học theo chủ đề 12 (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Đoàn Quỳnh, Văn Nh Cơng, Phạm Khăc Ban, Tạ Mân (2010), Hình học 11 nâng cao (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Trần Văn Tấn (2010), Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 11 (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Võ Anh Dũng, Trần Đức Huyên (2011), Giải toán hình học 11 (Nhà xuất Giáo dục Việt Nam) Một số tài liệu khác: Mạng Internet Báo Toán học tuổi trỴ ... tắc phép đồng dạng 10 Chơng 2: Sử dụng phép đồng dạng để giải toán chứng minh 16 2.1 Giải toán chứng minh phép đồng dạng1 6 2.1.1 Khái niệm toán chứng minh 16 2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để. .. ứng dụng phép đồng dạng để chứng minh toán hình học không gian Đối tợng, phạm vi nghiên cứu Đối tợng nghiên cứu: Phép đồng dạng Phạm vi nghiên cứu: Phép đồng dạng toán chứng minh hình học không. .. tự V O phép đồng dạng thuận tỉ số k k + Tất phép dời hình phép đồng dạng tỉ số k =1 Z1 ( k ) + Phép đảo ngợc phép đồng dạng Z k phép đồng dạng k + Tích hai phép đồng dạng Zk Zk phép đồng dạng