Sử dụng phép vị tự để giải một số bài toàn trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————- ĐẶNG THANH CẦU SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————- Đặng Thanh Cầu SỬ DỤNG PHÉP VỊ TỰ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Minh THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Các trường hợp đặc biệt 1.1.2 Tâm vị tự hai đường tròn 1.2 Các tính chất Chương 2.1 Bài 2.2 Bài 2.3 Bài 2.4 Bài MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHÉP toán chứng minh tính chất hình học toán dựng hình toán quỹ tích toán tính đại lượng hình học Chương TÍCH CỦA PHÉP BIẾN HÌNH CƠ BẢN 3.1 Phép vị tự-quay 3.1.1 Kiến thức 3.1.2 Bài tập minh họa 3.2 Phép vị tự-đối xứng trục 3.2.1 Kiến thức 3.2.2 Bài tập minh họa 3.3 Tích hai phép vị tự 3.3.1 Kiến thức 3.3.2 Bài tập minh họa Kết luận Tài liệu tham khảo 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên VỊ 4 4 TỰ 13 13 28 39 48 VỊ TỰ VỚI MỘT PHÉP http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 51 51 53 61 61 62 64 64 65 69 70 Mở đầu Phép vị tự chiếm vị trí quan trọng hình học sơ cấp nói chung phép biến hình nói riêng Việc sử dụng để giải toán hình học nhiều cần thiết; đặc biệt nhiều toán, không sử dụng phép vị tự việc tìm lời giải trở nên khó khăn cho người học toán, sử dụng phép vị tự giúp cho giải trở nên súc tích đẹp đẽ Phép vị tự công cụ quan trọng hình học, xuất điều tất yếu phát triển tư toán học - tư biến hình Trong toán có sử dụng phép vị tự để giải mắt xích quan trọng, định hướng thông suốt trình tư Ngoài ra, phép vị tự công cụ tư hữu ích để phát triển toán cho ta cách nhìn toán Điều khiến cho người học toán phát triển kiến thức hình học mà cung cấp cho họ nhìn sâu toán Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương Kiến thức Chương trình bày định nghĩa phép vị tự tính chất Ngoài ra, chương đề cập đến vấn đề tìm tâm vị tự hai đường tròn để hỗ trợ cho việc vẽ hình giải toán Chương Một số toán sử dụng phép vị tự Chương trình bày số toán hình học sơ cấp có sử dụng phép vị tự để giải Về bản, toán chia làm bốn thể loại thường gặp, đồng thời tác giả đưa số định hướng tìm lời giải cho dạng toán Chương Tích phép vị tự với phép biến hình Chương trình bày lý thuyết số toán sử dụng phép biến hình tích phép vị tự phép biến hình để giải 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Nguyễn Văn Minh, Trường ĐHKT QTKD - ĐHTN Là người học trò tiếp thu nhiều điều từ thầy, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên nghiêm khắc bảo, hướng dẫn thầy Tác giả xin cảm ơn tới thầy cô Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K3A, trường Đại học Khoa học động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Sơn Dương tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian học tập hoàn thành luận văn Tuy nhiên, lực thân thời gian nghiên cứu có hạn nên không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2011 Tác giả Đặng Thanh Cầu 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Trong mặt phẳng cho điểm O cố định số k = Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành điểm −−→ −−→ M cho OM = k OM gọi phép vị tự tâm O tỷ số k Phép biến hình ký hiệu VOk Điểm O gọi tâm vị tự, số k gọi tỷ số vị tự Nếu k > phép vị tự gọi phép vị tự dương hay thuận, k < phép vị tự gọi phép vị tự âm hay nghịch (Hình 1.1) 1.1.1 Các trường hợp đặc biệt Nếu tỷ số vị tự k = −−→ −−→ OM = OM tức M ≡ M , lúc phép vị tự phép đồng Nếu tỷ số vị tự k = −1 −−→ −−→ Hình 1.1 OM = −OM , tức O trung điểm M M hay phép vị tự phép đối xứng tâm O 1.1.2 Tâm vị tự hai đường tròn Với phép vị tự VOk biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ) −→ −→ R R ta có R = |k|R hay k = k = − Khi OI = k.OI R R ta xét trường hợp sau: Nếu I ≡ I R = R có điểm O nhất, R k = − = −1, O trung điểm đoạn II Như phép vị tự R với k = −1 phép đối xứng tâm qua điểm O nói (Hình1.2) R Nếu I ≡ I R = R , phép vị tự tâm I tỷ số R R phép vị tự tâm I tỷ số − biến đường tròn (I, R) thành (I , R ) R 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn −−→ R −−→ Hai đường tròn có chung tâm I (Hình1.3) Ta có IM = IM R −−→ R −−→ IM = − IM R Hình 1.2 Hình 1.3 Nếu I ≡ I , R = R hai đường tròn nằm nhau, gọi −−→ R −−→ O1 điểm cho O1 I = O1 I ta phép vị tự tâm O1 biến đường R R tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ) với tỷ số k = (Hình 1.4) Người R Hình 1.4 R ta gọi phép vị tự thuận k = > R −−→ R −−→ Gọi O2 điểm cho O2 I = − O2 I ta phép vị tự tâm O2 R R biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ) với tỷ số k = − Vì R R k = − < nên người ta gọi phép vị tự ứng với k < phép vị tự R nghịch Như ta có hai phép vị tự biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ) −−→ Nếu hai đường tròn có tiếp tuyến chung T T I T = 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn → R− IT nên T T hai điểm tương ứng phép vị tự thuận R R tâm O1 , tỷ số k = điểm O, T, T thẳng hàng (hay T T qua R O1 ) (Hình1.5) Nếu hai đường tròn có tiếp tuyến T T chung lập luận tương tự ta có điểm T, T , O2 thẳng hàng (Hình1.6) Hình 1.5 Hình 1.6 Đặc biệt: - Nếu hai đường tròn (I, R) (I , R ) tiếp xúc T T tâm vị tự nghịch hai đường tròn Tâm vị tự thuận O1 giao điểm đường nối tâm II vơi tiếp tuyến chung hai đường tròn (Hình1.7) Hình 1.7 Hình 1.8 - Nếu hai đường tròn (I, R) đường tròn (I , R ) tiếp xúc T tâm vị tự thuận hai đường tròn T , tâm vị tự nghịch giao điểm hai điểm mút hai bán kính song song ngược chiều với đường nối tâm II (Hình1.8) Trong trường hợp tổng quát muốn tìm tâm vị tự hai đường tròn (I, R) đường tròn (I , R ) (I ≡ I , R = R ) ta làm theo bước sau: 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - Vẽ qua I đường thẳng cắt đường tròn (I) M M1 - Qua I vẽ đường thẳng song song với M M1 cắt đường tròn (I , R ) −−→ −−→ M M1 , ý lấy I M chiều với IM - Đường thẳng M M cắt đường nối tâm II tâm vị tự thuận O1 - Đường thẳng M1 M cắt đường nối tâm II tâm vị tự nghịch O2 Hình 1.9 Việc xác định tâm vị hai đường tròn quan trọng cần thiết Đặc biệt với số toán dựng hình chứng minh trình bày chương sau 1.2 Các tính chất Bốn tính chất đầu không khó khăn với người đọc nên ta không trình bày chứng minh Tính chất 1.2.1 Phép vị tự VOk với k = có điểm bất động điểm O Tính chất 1.2.2 Nếu VOk biến điểm M thành M ba điểm M, O M thẳng hàng Tính chất 1.2.3 Nếu phép vị tự VOk biến hai điểm A, B thành −−→ −→ hai điểm A , B A B = k.AB Tính chất 1.2.4 Phép vị tự VOk phép biến hình − có phép biến hình ngược, phép vị tự VOk Tính chất 1.2.5 Phép vị tự VOk biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng bảo toàn tỷ số khoảng cách điểm 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Ký hiệu A , B , C ảnh ba điểm thẳng −−→ −→ −−→ −→ hàngA, B, C ta có: A B = k.AB, A C = k.AC Vì A, B, C thẳng −−→ −−→ −→ −→ hàng nên tồn số m cho AB = m.AC Vậy A B = m.A C Hệ thức chứng tỏ A , B , C thẳng hàng tỷ số khoảng cách điểm bảo toàn Hệ 1.2.1 Phép vị tự VOk biến đường thẳng d thành đường thẳng d d d’ d≡ d Hệ 1.2.2 Phép vị tự VOk biến tia Sx thành tia S x hai tia song song nằm đường thẳng Hệ 1.2.3 Phép vị tự VOk biến đoạn thẳng P Q thành đoạn thẳng P Q P Q = |k|P Q P Q P Q Hệ 1.2.4 Phép vị tự VOk biến ∆ABC thành ∆ A B C hai tam giác đồng dạng, chiều, tỷ số |k| tỷ số diện tích k Hệ 1.2.5 Phép vị tự VOk biến góc xSy thành góc x S y xSy=x S y cạnh tương ứng song song Hệ 1.2.6 Phép vị tự VOk biến đường tròn (I, R) thành đường tròn (I , R ) R = |k|R Tính chất 1.2.6 Cho hai phép vị tự VOk VOk với tâm vị tự phân biệt, tỷ số vị tự k = 0; 1, k = 0; k.k = 0; Khi phép biến hình H = VOk VOk H = VOk VOk phép vị tự Chứng minh Ta chứng minh H = VOk VOk phép vị tự Trước hết ta cần chứng tỏ H có điểm bất động Gọi S điểm bất động H, đó: −−→ −−→ −−→ −→ VOk : S −→ S OS = k.OS, VOk : S −→ S O S = k.O S −−→ −→ 1−k Từ kết ta suy OS = λ.OO λ = Nếu M − k.k điểm khác S, theo định nghĩa ta có: −−−→ −−→ VOk : S −→ S M −→ M ⇒ S M = k.SM VOk : S −→ S −−−→ −−−→ M −→ M ⇒ SM = k.S M 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... vấn đề tìm tâm vị tự hai đường tròn để hỗ trợ cho việc vẽ hình giải toán Chương Một số toán sử dụng phép vị tự Chương trình bày số toán hình học sơ cấp có sử dụng phép vị tự để giải Về bản, toán... giả đưa số định hướng tìm lời giải cho dạng toán Chương Tích phép vị tự với phép biến hình Chương trình bày lý thuyết số toán sử dụng phép biến hình tích phép vị tự phép biến hình để giải 4Số hóa... Mở đầu Phép vị tự chiếm vị trí quan trọng hình học sơ cấp nói chung phép biến hình nói riêng Việc sử dụng để giải toán hình học nhiều cần thiết; đặc biệt nhiều toán, không sử dụng phép vị tự việc