Ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng

Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Lê Thị Thủy ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Lê Thị Thủy ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS NGUYỄN THỊ TRÀ Hà Nội – Năm 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy, cô giáo khoa Toán Học - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian theo học khoa suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Nguyễn Thị Trà - giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người trực tiếp hướng dẫn tôi, tận tâm bảo định hướng suốt trình làm khóa luận để có kết ngày hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thị Thủy Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình cô giáo ThS Nguyễn Thị Trà Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài "Ứng dụng số phức để giải toán hình học phẳng" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết vấn đề khác Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thị Thủy Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục Lời mở đầu 1 SỐ PHỨC 1.1 Định nghĩa tính chất số phức 1.1.1 Định nghĩa số phức 1.1.2 Các tính chất số phức 1.2 Biểu diễn hình học số phức 1.3 Số phức liên hợp môđun số phức 1.3.1 Số phức liên hợp 1.3.2 Môđun số phức Dạng lượng giác số phức 1.4.1 Số phức dạng lượng giác 1.4.2 Nhân chia số phức dạng lượng giác 11 1.4.3 Tọa vị điểm E 11 1.4.4 Tọa vị vectơ E 11 1.4.5 Biếu diễn số phức theo điểm 11 1.4.6 Khoảng cách hai điểm 12 Công thức Moivre 12 1.4 1.5 i Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.6 Lê Thị Thủy 1.5.1 Công thức Moivre 12 1.5.2 Căn bậc n số phức 13 Phương trình bậc hai với hệ số phức 13 MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI 14 2.1 Dạng : Góc định hướng hai vectơ 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Mệnh đề 15 2.1.3 Tỉ số đơn 18 2.1.4 Ví dụ 18 Dạng : Đường thẳng mặt phẳng phức 25 2.2.1 Phương trình đường thẳng 25 2.2.2 Ví dụ 29 Dạng 3: Đường tròn 41 2.3.1 Đường tròn 41 2.3.2 Ví dụ 47 Dạng 4: Đường thẳng đường tròn Euler 57 2.4.1 Tọa vị điểm đặc biệt tam giác 57 2.4.2 Ví dụ 60 Dạng 5: Đường thẳng Simson 67 2.5.1 Đường thẳng Simson 67 2.5.2 Ví dụ 70 Tài liệu tham khảo 81 2.2 2.3 2.4 2.5 ii Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Lời mở đầu LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Do nhu cầu phát triển toán học, số phức đời từ kỷ trước Sau đó, số phức lại thúc đẩy phát triển toán học mà ngành khoa học khác Ngày nay, số phức giảng dạy chương trình toán cấp bậc học THPT đại học hầu giới Số phức biết đến số ảo trường số phức đóng vai trò công cụ đắc lực toán Như đại số, phương trình đa thức giải đủ nghiệm trường số phức Trong giải tích phức đối tượng ánh xạ chỉnh hình phần thực phần ảo hàm giải tích hai biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức ứng dụng rộng rãi toán vật lý hai chiều Hơn hình học sử dụng số phức giúp giải nhanh số số dạng toán có nhiều thuận lợi hình học phẳng Vì lựa chọn đề tài “Ứng dụng số phức để giải toán hình học phẳng” nhằm giới thiệu phương pháp để giải phần toán hình học phẳng, đồng thời thể phần vẻ đẹp ứng dụng to lớn số phức Luận văn gồm hai chương Chương "Số phức" Ở chương này, khóa luận trình bày sơ lược lý thuyết liên quan số phức số tính chất nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ số phức với hình học phẳng Đây lý thuyết sở áp dụng Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy cho chương sau Chương "Một số dạng toán hình học phẳng ứng dụng số phức để giải" Chương trình bày dạng toán ứng dụng số phức để giải toán hình học phẳng 1- Góc định hướng hai vectơ 2-Đường thẳng mặt phẳng phức 3-Đường tròn 4-Đường thẳng đường tròn Euler 5-Đường thẳng Simson Trong dạng có trình bày kiến thức sở liên quan, đồng thời xây dựng hệ thống ví dụ điển hình MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2.1 Mục đích nghiên cứu Trình bày ứng dụng số phức để giải số toán chứng minh hình học phẳng phần giúp em học sinh có kiến thức cách chi tiết số phức tiếp cận số phương pháp giải điển hình cho số toán cụ thể, đồng thời tài liệu bổ ích cho học sinh phổ thông, sinh viên kỹ thuật giáo viên trình giảng dạy 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Xây dựng đưa sở lý thuyết phương pháp ứng dụng số phức vào giải số toán hình học phẳng PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Footer Page of 161 Header Page of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo có liên quan đến nội dung đề tài Qua xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô tổ Hình học, đặc biệt cô giáo ThS Nguyễn Thị Trà người hướng dẫn tận tình chu đáo suốt trình nghiên cứu trình bày khóa luận Tác giả chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Hình Học, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 03/05/2016 Tác giả khóa luận LÊ THỊ THỦY Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương SỐ PHỨC Trong chương này, khóa luận trình bày sơ lược lý thuyết liên quan số phức số tính chất nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ số phức với hình học phẳng Đây lý thuyết sở áp dụng cho chương sau 1.1 1.1.1 Định nghĩa tính chất số phức Định nghĩa số phức Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a b số thực số i thỏa mãn i2 = −1 Kí hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, kí hiệu Rez b gọi phần ảo, kí hiệu Imz Tập hợp số phức kí hiệu C, C = {z = a + bi, ∀a, b ∈ R} R ⊂ C Footer Page 10 of 161 Header Page 73 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy a + b + c − abc ⇔ 5ab + 3b2 + 5bc + 3ac = a + 3b + c − abc − c k−c (a + 3b) (b − c) +) Xét (c, a, k) = = = k−a (b − a) (c + 3b) a + 3b + c − abc − a a + 3b + c − acb − c k−c (b + 3a) (b − c) c, a, k = = = (b + 3c) (b − a) k−a a + 3b + c − acb − a Do ⇔ (a + b + c) = b + b + 3a a + 3b (b + 3a) (c + 3b) + (a + 3b) (b + 3c) + = b + 3c c + 3b (b + 3c) (c + 3b) 10ab + 6b + 6ac + 10bc = = (b + 3c) (c + 3b) ⇒ (c, a, k) = − (c, a, k) ⇒ (c, a, k) số ảo ⇒ AKC = 90◦ 2.5 2.5.1 Dạng 5: Đường thẳng Simson Đường thẳng Simson a) Định nghĩa: Cho ∆ABC Chúng ta chọn đường tròn ngoại tiếp tam giác làm đường tròn đơn vị; tọa vị a,b,c đỉnh tam giác thỏa mãn đẳng thức |a| = |b| = |c| = Một điểm P đường tròn, từ P ta hạ đường vuông góc P P1 , P P2 , P P3 xuống cạnh BC,AC,AB Chúng ta chứng minh chân đường vuông góc nằm đường thẳng Thật vậy, giả sử đỉnh A,B,C ∆ABC có tọa vị Footer Page 73 of 161 67 Header Page 74 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy tương ứng a,b,c Theo giả thiết P1 , P2 , P3 hình chiếu vuông góc P xuống cạnh BC,AC,AB ⇒ Theo công thức tọa vị hình chiếu vuông góc điểm dây cung, điểm P1 , P2 , P3 có tọa vị là: p1 = (b + c + p − bcp) p2 = (a + c + p − acp) p3 = (a + b + p − abp) Xét 1 (a + b + p − abp) (b + c + p − bcp) − p − p1 2 p p p ( 1, 2, 3) = = 1 p3 − p (a + b + p − abp) − (a + c + p − acp) 2 (a, b, c) (p − b) (a − c) (c − a) (b − p) = = = = [a, b, c, p] (b − c) (p − a) (c − b) (a − p) (a, b, p) Vì điểm A,B,C,P nằm đường tròn ⇒ [a, b, c, p] số thực ⇒ (p1 , p2 , p3 ) số thực Nghĩa điểm P1 , P2 , P3 nằm đường thẳng ta gọi đường thẳng Simson điểm P ∆ABC b) Phương trình đường thẳng Simson Đường thẳng Simson điểm P có tọa vị p ∆ABC : Footer Page 74 of 161 68 Header Page 75 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy 1 z − abcp.z + abcp a + b + c + p − (a + b + c + p) = 2 a,b,c tọa vị đỉnh A,B,C ∆ABC Chứng minh: Đường thẳng qua hai điểm P1 P2 có phương trình: (p1 − p2 ) z − (p1 − p2 ) z + (p1 p2 − p1 p2 ) = Chia đẳng thức cho p1 − p2 , ta được: (p1 − p2 ) (p1 p2 − p1 p2 ) z− = z+ (p1 − p2 ) (p1 − p2 ) (p1 p2 − p1 p2 ) Đặt γ = đó, ta : (p1 − p2 ) (p1 − p2 ) z + γ = (∆) z− (p1 − p2 ) Xét 1 (p + b + c − p ¯ b.c) − (p + a + c − p¯.a.c) p1 − p2 (b − a) (1 − p¯.c) 2 = = ¯ 1 p1 − p2 b−a ¯ (1 − p.¯ c) p¯ + ¯b + c¯ − p.¯b.¯ c − (¯ p+a ¯ + c¯ − p.¯ a.¯ c) 2 c (b − a) − (b − a) (p − c) abc abc p = = = abcp = 1 p p (a − b) (c − p) p − 1− b a c Thay vào ∆ ta được: z − abc.p.z + γ = (∆) Để tìm γ ta thay p3 = (a + b + p − abp) ta được: 1 (a + b + p − ab¯ p) − abcp a + b + p − abp + γ = 2 1 1 1 1 ⇔ a + b + p − abp − aabcp − abbcp − abcpp + aabbcpp + γ = 2 2 2 2 1 ⇒ γ = abcp a + b + c + p − (a + b + c + p) 2 Vậy đường thẳng Simson P ∆ABC là: Footer Page 75 of 161 69 Header Page 76 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy 1 z − abcp.z + abcp a + b + c + p − (a + b + c + p) = 2 2.5.2 Ví dụ Ví dụ 2.5.1 Cho A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 đường cao ∆A1 A2 A3 Đường thẳng A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 cắt đường tròn ngoại tiếp ∆A1 A2 A3 Q1 , Q2 , Q3 Những đường thẳng Simson điểm Q1 , Q2 , Q3 ∆A1 A2 A3 cắt tạo thành ∆C1 C2 C3 Chứng minh trọng tâm ∆B1 B2 B3 ∆C1 C2 C3 trùng Lời giải +) Chọn hệ tọa độ vuông Đề-các cho đường tròn (O) ngoại tiếp ∆A1 A2 A3 đường tròn đơn vị Giả sử điểm A1 , A2 , A3 có tọa vị tương ứng a1 , a2 , a3 Gọi H trực tâm ∆A1 A2 A3 ⇒ H có tọa vị h = a1 + a2 + a3 +) Do B1 hình chiếu A1 xuống A2 A3 ⇒ B1 có tọa vị b1 = (a1 + a2 + a3 − a1 a2 a3 ) Do đường thẳng A1 B1 cắt (O) Q1 ⇒ tọa vị q1 Q1 thỏa mãn: q1 = 2b1 − h = 2b1 − (a1 + a2 + a3 ) = −a1 a2 a3 Footer Page 76 of 161 70 Header Page 77 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Tương tự q2 , q3 có tọa vị q2 = −a2 a1 a3 ; q3 = −a3 a1 a2 +) Phương trình đường thẳng Simson điểm q2 = −a2 a1 a3 là: z − a1 a2 a3 (−a2 a1 a3 ) z + a1 a2 a3 (−a1 a3 a2 ) (a1 + a2 + a3 − a1 a3 a2 ) − (a1 + a2 + a3 − a1 a3 a2 ) = 1 ⇔ z + a22 z − a22 (a1 + a2 + a3 − a1 a3 a2 ) − (a1 + a2 + a3 − a1 a3 a2 ) = 2 (∆1 ) Tương tự đường thẳng Simson điểm q3 = −a3 a1 a2 là: 1 ⇔ z + a23 z − a23 (a1 + a2 + a3 − a1 a2 a3 ) − (a1 + a2 + a3 − a1 a2 a3 ) = 2 (∆2 ) Gọi  C1 = ∆1 ∩ ∆2 ⇒ Tọa vị c1 C1 thỏa mãn hệ phương trình:  z + a22 z − a22 (a1 + a2 + a3 − a1 a3 a2 ) − (a1 + a2 + a3 − a1 a3 a2 ) = 2  z + a2 z − a2 (a + a + a − a a a ) − (a + a + a − a a a ) = 3 3 3 1 ⇒ c1 = (a1 + a2 + a3 − a1 a2 a3 − a1 a3 a2 + a2 a3 a1 ) = b2 + (−a1 a2 a3 + a2 a3 a1 ) 2 Tương tự ta có: 1 c2 = b3 + (−a2 a3 a1 + a1 a3 a2 ) ; c3 = b1 + (−a1 a3 a2 + a1 a2 a3 ) 2 1 +) Xét (c1 + c2 + c3 ) = b2 + (−a1 a2 a3 + a2 a3 a1 ) + b3 3 1 + (−a2 a3 a1 + a1 a3 a2 ) +b1 + (−a1 a3 a2 + a1 a2 a3 ) = (b1 + b2 + b3 ) 2 1 ⇒ (c1 + c2 + c3 ) = (b1 + b2 + b3 ) 3 ⇒ Trọng tâm hai ∆B1 B2 B3 ∆C1 C2 C3 trùng Ví dụ 2.5.2 Cho P điểm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Q1 , Q2 , Q3 điểm đối xứng P với cạnh BC,CA,AB Chứng minh điểm Q1 , Q2 , Q3 nằm đường thẳng chứa trực tâm tam giác ∆ABC Footer Page 77 of 161 71 Header Page 78 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Lời giải +) Chọn hệ tọa độ vuông góc Đề-các cho đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC đường tròn đơn vị Giả sử điểm P1 , P2 , P3 hình chiếu P BC,CA,AB Khi P1 , P2 , P3 tương ứng trung điểm P Q1 , P Q2 , P Q3 Gọi điểm A, B, C, H, P1 , P2 , P3 có tọa vị tương ứng a, b, c, h, p1 , p2 , p3 +) Ta có VP2 :P1 → Q1 P2 → Q2 P3 → Q3 Do ba điểm P1 , P2 , P3 nằm đường thẳng ⇒ Q1 , Q2 , Q3 nằm đường thẳng +) Ta chứng minh H nằm đường thẳng chứa Q1 , Q2 , Q3 Vì P1 trung điểm BC nên tọa vị q1 Q1 thỏa mãn: p + q1 = p1 ⇔ p + q1 = 2p1 Footer Page 78 of 161 72 Header Page 79 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy (p + b + c − bcp) − p = b + c − bcp Tương tự tọa vị q2 , q3 Q2 , Q3 là: ⇒ q1 = q2 = a + c − ac¯ p ; q3 = a + b − ab¯ p a + b + c − a − b + abp c + abp cp + ab h − q3 = = = Xét (q1 , q3 , h) = h − q1 a + b + c − b − c + bcp a + bcp ap + bc 1 + p cp + ab h − q3 c + abp c a b = = (q1 , q3 , h) = = 1 ap + bc h − q1 a + bcp + p a b c ⇒ (q1 , q2 , q3 ) = (q1 , q3 , h) ⇒ (q1 , q2 , q3 ) số thực ⇒ Q1 , Q3 , H thẳng hàng ⇒ Điều phải chứng minh Ví dụ 2.5.3 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M thuộc đường tròn Gọi M’ điểm đối xứng M qua tâm (O) Chứng minh hai đường thẳng Simson điểm M M’ vuông góc với Lời giải +) Chọn hệ tọa độ Đề-các cho (O) ngoại tiếp ∆ABC đường tròn đơn vị Giả sử điểm A,B,C,M,M’ có tọa vị tương ứng a,b,c,m,m’ Do M’ đối xứng M qua (O) ⇒ m = −m Footer Page 79 of 161 73 Header Page 80 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy +) Gọi P1 , P2 , P3 hình chiếu M cạnh BC,CA,AB ∆ABC P , P , P hình chiếu M’ cạnh BC,CA,AB ∆ABC Khi điểm P1 , P2 , P3 , P , P , P có tọa vị là: p1 = (m + b + c − bcm) p2 = (m + a + c − acm) p3 = (m + a + b − abm) ¯ ) p1 = (m + b + c − bcm p2 = m + a + c − acm p3 = m + a + b − abm Xét 1 (a + c + m − acm) − (b + c + m − bcm) p − p1 = 1 p − p1 a + c + m − acm − b + c + m − bcm 2 (a − b) − cm (a − b) a − acm − b + bcm = = a − acm − b + bcm (a − b) − cm (a − b) (a − b) (1 − cm) m−c c−m = = = m −c c+m (a − b) − cm 1 − m−c c−m p2 − p1 c−m p2 − p = c m = =− =− = 1 c+m m+c c+m p2 − p p2 − p1 + c m p2 − p1 ⇒ số ảo ⇒ Đường thẳng P1 P2 ⊥P P p2 − p1 Ví dụ 2.5.4 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác có điểm mà đường thẳng Simson điểm này tam giác vuông góc với đường thẳng Euler tam giác Footer Page 80 of 161 74 Header Page 81 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Lời giải +) Chọn hệ tọa độ vuông góc Đề-các cho đường tròn (O) ngoại tiếp ∆ABC đường tròn đơn vị Gọi điểm O, A, B, C, H, G có tọa vị tương ứng o = 0, a, b, c, h, g +) Giả sử tồn điểm P P có tọa vị p Khi gọi P1 , P2 , P3 hình chiếu P BC,CA,AB P1 P2 ⊥OH p2 − p1 ⇒ số ảo h p − p1 −p2 + p1 ⇒ = (∗) h h Do P1 , P2 , P3 hình chiếu P BC,CA,AB ⇒ p1 = (p + b + c − bcp) ⇒ p2 = (p + a + c − acp) ⇒ p3 = (p + a + b − abp) 1 ⇒ p2 − p1 = (p + a + c − acp) − (p + b + c − bcp) 2 1 = [(a − b) − cp (a − b)] = [(a − b) (1 − cp)] 2 Khi (*) tương đương: Footer Page 81 of 161 75 Header Page 82 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy p − p1 p2 − p1 =− h h (a − b) (p − cp) − a − b (1 − cp) = a+b+c a+b+c p c 1 − (a − b) − − 1− p a b c = ⇔ 1 a+b+c + + a b c −1 bc + ac + ab ⇔ = ⇒p=− p (a + b + c) bc + ac + ab a+b+c bc + ac + ab mà đường thẳng Simson điểm Vậy điểm có tọa vị − a+b+c vuông góc với đường thẳng Euler tam giác ⇔ Ví dụ 2.5.5 Cho điểm P đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Từ P hạ đường vuông góc xuống cạnh BC,CA,AB cắt đường tròn điểm Q1 , Q2 , Q3 Chứng minh đường thẳng AQ1 , BQ2 , CQ3 song song với đường thẳng Simson điểm P Lời giải +) Chọn hệ tọa độ vuông góc Đề-các cho (O) ngoại tiếp ∆ABC đường tròn đơn vị Giả sử điểm A, B, C, Q1 , Q2 , Q3 có tọa vị tương ứng a, b, c, q1 , q2 , q3 P1 , P2 , P3 hình chiếu P xuống cạnh BC,CA,AB Khi P1 , P2 , P3 có tọa vị là: 1 p1 = (p + b + c − bcp) ; p2 = (p + a + c − acp) ; p3 = (p + a + b − abp) 2 Cát tuyến P Q1 có phương trình là: p + q1 = p1 + pq1 p1 Do P Q1 ⊥BC ⇒ pq1 = −bc Khi P Q1 có phương trình: p + q1 = p1 − bcp1 ⇒ q1 = −bcp Vậy Q1 có tọa vị q1 = −bc¯ p Tương tự Q2 , Q3 có tọa vị là: Footer Page 82 of 161 76 Header Page 83 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy q2 = −ac¯ p; q3 = −ab¯ p a − q1 a + bcp (ap + bc) +) Xét = = 1 p2 − p (a − b) (p − c) (p + a + c − acp) − (p + b + c − bcp) 2 1 + p a + bcp a − q1 a bc = = 1 p2 − p1 a − b (1 − cp) 1− p − a b c a − p1 (ap + bc) = = (a − b) (p − c) p2 − p1 a − p1 số thực ⇒ AQ1 //P1 P2 p2 − p1 ⇒ Đường thẳng AQ1 song song với đường thẳng Simson ⇒ Tương tự ⇒ BQ2 , CQ3 song song với đường thẳng Simson Ví dụ 2.5.6 Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆A1 A2 A3 , lấy B1 , B2 , B3 điểm đối xứng qua tâm O đỉnh tam giác A1 , A2 , A3 Chứng minh đường thẳng Simson điểm B1 , B2 , B3 ∆A1 A2 A3 cắt điểm đường tròn Lời giải +) Chọn hệ tọa độ vuông góc Đề-các cho (O) ngoại tiếp ∆ABC Footer Page 83 of 161 77 Header Page 84 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy đường tròn đơn vị Giả sử điểm A1 , A2 , A3 có tọa vị a1 , a2 , a3 Theo giả thiết B1 , B2 , B3 điểm đối xứng qua tâm (O) đỉnh A1 , A2 , A3 Khi điểm B1 , B2 , B3 có tọa vị tương ứng là: b1 = −a1 , b2 = −a2 , b3 = −a3 +) Đường thẳng Simson điểm B1 có tọa vị b1 = −a1 là: z − a1 a2 a3 (−a1 ) z + a1 a2 a3 (−a1 ) (a1 + a2 + a3 − a1 ) − (a1 + a2 + a3 − a1 ) = ⇔ z + a2 a3 z − (a2 + a3 ) = (∆1 ) Tương tự đường thẳng Simson điểm B2 , B3 có tọa vị b2 = −a2 ; b3 = −a3 là: z + a1 a3 z − (a1 + a3 ) = (∆2 ) z + a1 a2 z − (a1 + a2 ) = (∆3 ) Gọi  C1 = (∆2 ) ∩ (∆3 ) ⇒ C1 có tọa vị c1 thỏa mãn hệ phương trình:  z + a1 a3 z − (a1 + a3 ) =  z + a a z − (a + a ) = 2 a3 − a2 ⇒ a1 c1 = ⇒ a1 c1 = ⇒ c1 = a1 a3 − a2 Chứng minh tương tự hai điểm C2 = (∆3 ) ∩ (∆1 ) ; C3 = (∆1 ) ∩ (∆2 ) có Footer Page 84 of 161 78 Header Page 85 of 161 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy tọa vị là: c2 = a2 ; c3 = a3 ⇒ Điều phải chứng minh Footer Page 85 of 161 79 Header Page 86 of 161 Kết luận chung Với mục đích cung cấp thêm phương pháp giải toán mới, phương pháp nghiên cứu hình học Khóa luận trình bày biểu diễn số khái niệm hình học số phức, xây dựng số ví dụ minh họa, tập tương tự có hướng dẫn đặc biệt số toán có nhận xét riêng thân rút trình giải toán Đồng thời khóa luận "Ứng dụng số phức để giải toán hình học phẳng" bước đầu hoàn thành việc nghiên cứu ứng dụng số phức vào số lớp toán hình học phẳng Để hoàn thành tốt khóa luận xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo tổ Hình học, đặc biệt cô giáo ThS Nguyễn Thị Trà tận tình giúp đỡ suốt trình thực đề tài Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong thầy cô, bạn sinh viên đóng góp ý kiến trao đổi để khóa luận hoàn thiện tốt thực tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên, học sinh trung học Footer Page 86 of 161 80 Header Page 87 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh (1997), Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp số phức hình học phẳng, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Phụ Hy, Nguyễn Quốc Bảo (1996), Ứng dụng số phức để giải toán sơ cấp, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [5] Sách giáo khoa Giải tích 12, NXB Giáo dục Footer Page 87 of 161 81 ... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Lê Thị Thủy ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS... nhanh số số dạng toán có nhiều thuận lợi hình học phẳng Vì lựa chọn đề tài Ứng dụng số phức để giải toán hình học phẳng nhằm giới thiệu phương pháp để giải phần toán hình học phẳng, đồng thời... Page 20 of 161 Chương MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI Trong chương phần thấy nét ưu việt số phức hình học nói chung hình học phẳng nói riêng Trong dạng có trình bày kiến