Khoá luận tốt nghiệp ứng dụng của số phức để giải các bài toán trong hình học phẳng

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN Lê T hị T hủy Ứ NG D Ụ N G C Ủ A s ố PH Ứ C ĐE g i ả i CÁC B À I TO Á N TR O N G H ÌN H HỌC PH A N G KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC H N ội —N ăm 2016 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌ C s P H Ạ M H À N Ộ I KHOA TOÁN Lê T hị T hủy Ứ NG D Ụ N G C Ủ A s ố PH Ứ C ĐE g i ả i CÁC B À I TO Á N TR O N G H ÌN H HỌC PH A N G C huyên ngành: H ình H ọc K H Ó A L U Ậ N T Ố T N G H IỆ P Đ Ạ I HỌC NG Ư ỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS N G U Y Ễ N TH Ị TR À H N ội —N ăm 2016 LỜI C Ả M ƠN Để hoàn th n h khóa luận tố t nghiệp này, xin bày tỏ lòng biết ơn chân th n h tới thầy, cô giáo khoa Toán Học - Trường Đại Học Sư P hạm Hà Nội 2, tậ n tìn h giúp đỡ bảo suốt thời gian theo học tạ i khoa suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T h S N g u y ễ n T h ị T r - giảng viên khoa Toán - Trường Đại Học Sư P hạm H Nội 2, người trự c tiếp hướng dẫn tôi, tậ n tâm bảo định hướng suốt trìn h làm khóa luận để có kết ngày hôm Mặc dù có rấ t nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm th â n nhiều hạn chế nên khóa luận trá n h khỏi thiếu sót rấ t m ong đóng góp ý kiến th ầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân th àn h cảm ơn! Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê T hị T hủy LỜI C A M Đ O A N K hóa luận kết nghiên cứu th â n hướng dẫn tậ n tình cô giáo T h S N g u y ễ n T h ị Trà Trong nghiên cứu hoàn th n h đề tà i nghiên cứu th am khảo m ột số tài liệu ghi ph ần tà i liệu th am khảo Tôi xin khẳng định kết đề tà i " ứ n g d ụ n g c ủ a số p h ứ c đ ể g iả i cá c b i to n tr o n g h ìn h h ọ c p h ẳn g" kết việc nghiên cứu, học tậ p nỗ lực th ân , trù n g lặp với kết vấn đề khác Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Lê Thị Thủy M ục lục Lời mở đầu 1 SỐ PH Ứ C 1.1 Định nghĩa tính chất số p h ứ c 1.1.1 Định nghĩa số p h ứ c 1.1.2 Các tính chất số p h ứ c 1.2 Biểu diễn hình học số p h ứ c 1.3 Số phức liên hợp môđun số phức 1.4 1.5 1.3.1 Số phức liên hợp 1.3.2 Môđun số p h ứ c Dạng lượng giác số p h ứ c 1.4.1 Số phức dạng lượng g i c 1.4.2 Nhân chia số phức dạng lượng giác 11 1.4.3 Tọa vị điểm E 11 1.4.4 Tọa vị vectơ E 11 1.4.5 Biếu diễn số phức theo đ i ể m 11 1.4.6 Khoảng cách hai đ iể m 12 Công thức M oivre 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.6 Lê Thị Thủy 1.5.1 Công thức M oivre 12 1.5.2 Căn bậc n số p h ứ c 13 Phương trình bậc hai với hệ số phức 13 M Ộ T SỐ D Ạ N G T O Á N H ÌN H HỌC P H A N G ứ n g D Ụ N G SỐ PH Ứ C Đ Ể G IẢ I 14 2.1 Dạng : Góc định hướng hai v e c tơ 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Mệnh đ ề 15 2.1.3 Tỉ số đơn 18 2.1.4 Ví dụ 18 Dạng : Đường thẳng mặt phẳng p h ứ c 25 2.2.1 Phương trình đường t h ẳ n g 25 2.2.2 Ví dụ 29 Dạng 3: Đường t r ò n 41 2.3.1 Đường t r ò n 41 2.3.2 Ví dụ 47 Dạng 4: Đường thẳng đường tròn E u l e r 57 2.2 2.3 2.4 57 60 Dạng 5: Đường thẳng S im s o n 67 2.5.1 Đường thẳng S im s o n 67 2.5.2 Ví dụ 70 Tài liệu tham k h ả o 81 2.5 2.4.1 Tọa vị điểm đặc biệt tam giác 2.4.2 Ví dụ ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Lời m đầu LÝ DO C H Ọ N Đ Ề TÀI Do nhu cầu phát triển toán học, số phức đời từ kỷ trước Sau đó, số phức lại thúc đẩy phát triển toán học mà ngành khoa học khác Ngày nay, số phức giảng dạy chương trình toán cấp bậc học TH PT đại học hầu giới, số phức biết đến số ảo trường số phức đóng vai trò công cụ đắc lực toán Như đại số, phương trình đa thức giải đủ nghiệm trường số phức Trong giải tích phức đối tượng ánh xạ chỉnh hình phần thực phần ảo hàm giải tích hai biến thỏa mãn phương trình Laplace, nên giải tích phức ứng dụng rộng rãi toán vật lý hai chiều Hơn hình học sử dụng số phức giúp giải nhanh số số dạng toán có nhiều thuận lợi hình học phẳng Vì lựa chọn đề tài “ứ n g dụng số phức để giải toán hình học phẳng” nhằm giới thiệu phương pháp để giải phần toán hình học phẳng, đồng thời thể phần vẻ đẹp ứng dụng to lớn số phức Luận văn gồm hai chương Chương "Số phức " chương này, khóa luận trình bày sơ lược lý thuyết liên quan số phức số tính chất nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ số phức với hình học phẳng Đây lý thuyết sở áp dụng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy cho chương sau Chương "Một số dạng toán hình học phẳng ứng dụng số phức để giải" Chương trình bày dạng toán ứng dụng số phức để giải toán hình học phẳng 1- Góc định hướng hai vectơ 2- Đường thẳng mặt phẳng phức 3- Đường tròn 4- Đường thẳng đường tròn Euler 5- Đường thẳng Simson Trong dạng có trình bày kiến thức sở liên quan, đồng thời xây dựng hệ thống ví dụ điển hình M Ụ C Đ ÍC H VÀ N H IỆ M v ụ N G H IÊ N c ứ u 2.1 M ục đích nghiên cứu Trình bày ứng dụng số phức để giải số toán chứng minh hình học phẳng phần giúp em học sinh có kiến thức cách chi tiết số phức tiếp cận số phương pháp giải điển hình cho số toán cụ thể, đồng thời tài liệu bố ích cho học sinh phổ thông, sinh viên kỹ thuật giáo viên trình giảng dạy 2.2 N hiệm vụ nghiên cứu Xây dựng đưa sở lý thuyết phương pháp ứng dụng số phức vào giải số toán hình học phẳng P H Ư Ơ N G P H Á P NGHIÊN c ứ u Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo có liên quan đến nội dung đề tài Qua xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, cô tổ Hình học, đặc biệt cô giáo T hS N guyễn T hị Trà người hướng dẫn tận tình chu đáo suốt trình nghiên cứu trình bày khóa luận Tác giả chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Hình Học, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 03/05/2016 Tác giả khóa luận LÊ THỊ THỦY Chương SỐ PH Ứ C Trong chương này, khóa luận trình bày sơ lược lý thuyết liên quan số phức số tính chất nó, đồng thời thiết lập mối quan hệ số phức với hình học phẳng Đây lý thuyết sở áp dụng cho chương sau 1.1 1.1.1 Đ ịn h n gh ĩa tín h ch ất củ a số phức Đ ịnh nghĩa số phức Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a b số thực số i thỏa mãn i2 — —1 Kí hiệu số phức z viết z — a + bi i gọi đơn vị ảo, a gọi phần thực, kí hiệu Rez b gọi phần ảo, kí hiệu Imz Tập hợp số phức kí hiệu KcC c, c = {z = a + bi, Va, b Ễ R} Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy (a + b) c Ta la có co [m,p, (m , p , e) e = 7^ -ị— —— — la sô thực, th ật vậy: [cz + ab) ( ặ + b ) 'c (ã+b)c „ , , £ - - „ ^ (a + b)c (iab + c2) A Ba điểm M,P,E nằm đường thẳng V í d ụ 2.4.6 Cho A A B C , trực tâm H chia đường cao BD với tỉ số 3:1 (tính từ đỉnh B) Còn K trung điểm đường cao Chứng minh A K C = 90° Lời giải A +) Chọn hệ độ Đề-các vuông góc đường tròn ngoại tiếp A A B C Giả sử điểm A, B, c có tọa vị a, b, c Theo giả thiết => Các điểm H,D,K có tọa vị h,d,k là: h = a + b + c d = — (ữ + b + b+ d * = b-ị— (a + + c —abc) — —(ữ + 36 + c — z v BE h-b Theo giả thiết * = =r- — —= Ah = + 3d HD d-h 66 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Lê Thị Thủy o (a + + c) = 6n— (a + + c —abc) o a + 362 + 56 c + ac = Ẩi +) Xét (c, a, k) — k - c- k-c (a + + »36 + + < c -= -a6c) (ạ + + 3») 36) (» (b c) c) > « * 0- - c' („ i (0 + 3ò + c - 0& c ) - a ~ (*-«)•(