đề tài nghiên cứu ứng dụng của tích phân để giải các bài toán tổ hợp

21 3.3K 4
đề tài nghiên cứu ứng dụng của tích phân để giải các bài toán tổ hợp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Sở gdđt quảng bình TRƯờNG THPT Số 1 Bố TRạCH SáNG KIếN KINH NGHIệM Đề TàI ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp Giáo viên thực hiện: Nguyễn Hữu Quyết Tổ: Toán Năm học: 2012-2013 B Trch, thỏng 4 nm 2013 Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 1 MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU 2 1. Lí do chọn đề tài 2 2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ….2 3. Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 3 1. Nhị thức Newton 3 2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 3 3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 4 3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản 4 3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước 9 3.3. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng 12 4. Bài tập đề nghị 14 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 16 1. Kết quả từ thực tiễn 16 2. Kết quả thực nghiệm 16 KẾT LUẬN 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 2 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Trong nội dung này có một số bài toán ứng dụng tích phân để giải quyết. Tuy nhiên, tích phân được học ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11. Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng này trên lớp. Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh phần lớn không làm được. Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình. 2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình. - Các bài toán của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết. 3. Phương pháp nghiên cứ u Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học sinh mà mình đang giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả năng tự đọc, tự tìm kiếm tài liệu học tập,…). Từ đó lựa chọn các bài tập cụ thể giúp học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của mình để đưa ra lời giải đúng cho bài toán. Do khuôn khổ của sáng kiến, ở mỗi phần tôi xin không nhắc lại các kiến thức cơ bản về đại số tổ hợp và tích phân vì những kiến thức này được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ nhắc lại công thức khai triển nhị thức Newtơn và đi chú trọng các bài tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 3 NỘI DUNG 1. Nhị thức Newton Cho n là số nguyên dương, a và b là hai số thực.   n n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n k n k k n n n n n k 0 a b C a C a b C a b C b C a b             Nhận xét: - Trong khai triển   n a b  có n + 1 số hạng. - Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển   n a b  bằng n. - Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng: k n k n n C C k , k n         n n n n 1 n 1 2 n 2 2 0 n n n n n a b C a C a b C a b C b          - Nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của a thì số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển   n a b  là k n k k n C a b  Chú ý: 1)   n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b ( 1) C b            2) n 0 1 2 3 n n n n n n 2 C C C C C       3) 0 1 2 3 n n n n n n n 0 C C C C ( 1) C        2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1 1 1 1 1; ; ; ; ; ; 2 3 4 n và mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp. Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã khai triển. Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận. Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng k k b a  , ta chọn cận từ a đến b, tức là   b a f x dx  Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 4 Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:       b b n 0 1 2 2 n n n n n n a a b b n 1 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n a a 1) 1 x dx C C x C x C x dx 1 x x x x C x C C C n 1 2 3 n 1                                            b b n n 0 1 2 2 n n n n n n a a b b n 1 2 3 n 1 n 0 1 2 n n n n n a a 2) 1 x dx C C x C x 1 C x dx 1 x x x x C x C C 1 C n 1 2 3 n 1                                                 b b n 0 n 1 n 1 2 n 2 n n n n n a a b b n 1 n 1 n n 1 0 1 2 n n n n n a a 3) x 1 dx C x C x C x C dx x 1 x x x C C C C n 1 n 1 n n 1                                            b b n n 0 n 1 n 1 2 n 2 n n n n n a a 4) x 1 dx C x C x C x 1 C dx                    b b n 1 n 1 n n 1 n 0 1 2 n n n n n a a x 1 x x x C C C 1 C n 1 n 1 n n 1                               Ta sẽ gọi hàm số   n y x 1   và   n y x 1   là các hàm đa thức cơ bản. 3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản Bài 1. Cho * n   . Tính tổng: 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 2 1 2 1 2 1 S C C C C 2 3 n 1           (ĐH Khối B-2003) Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 5 phân, các cận và số được thay vào cho biến. Vì số hạng cuối cùng có hệ số n 1 2 1 n 1    nên ta biết cận từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng   2 n 1 1 x dx   Giải Ta có   n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x        Suy ra     2 2 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 1 1 x dx C C x C x C x C x dx            2 2 n 1 0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 1 1 n 1 n 1 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 1 x 1 1 1 C x C x C x C x n 1 2 3 n 1 3 2 2 1 2 1 2 1 C C C C n 1 2 3 n 1                                 Vậy 2 3 n 1 n 1 n 1 0 1 2 n n n n n 2 1 2 1 2 1 3 2 S C C C C 2 3 n 1 n 1                Bài 2. Cho * n   . Chứng minh rằng: n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 2 1 C C C C 2 3 n 1 n 1          (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Tổng không đan dấu, ta sử dụng   1 n 0 1 x dx   Giải Xét   n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 x C C x C x C x C x            1 n 1 1 n 1 n 0 0 1 x 2 1 1 x dx n 1 n 1           (1)   1 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 C C x C x C x C x dx       Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 6 1 0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 0 1 1 1 C x C x C x C x 2 3 n 1              0 1 2 n n n n n 1 1 1 C C C C 2 3 n 1       (2) Từ (1) và (2) suy ra n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 2 1 C C C C 2 3 n 1 n 1          Bài 3. Cho * n   . Chứng minh rằng:     n n 0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 1 1 1 1 2C C 2 C 2 1 C 2 1 1 2 3 n 1 n 1                (ĐH Giao thông Vận tải - 1996) Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Vì số hạng cuối cùng có hệ số n 1 2 n 1   nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử dụng   2 n 0 1 x dx   Giải Xét     n n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 x C C x C x C x 1 C x               2 n 1 2 n n 0 0 1 x 1 1 x dx 1 1 n 1 n 1                        (3)     2 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 C C x C x C x 1 C x dx          2 n 0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 0 1 1 1 C x C x C x 1 C x 2 3 n 1                 n 0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 1 1 1 C 2 C 2 C 2 1 C 2 2 3 n 1         (4) Từ (3) và (4) suy ra     n n 0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 1 1 1 1 2C C 2 C 2 1 C 2 1 1 2 3 n 1 n 1                Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 7 Bài 4. Cho * n   . Chứng minh rằng:   n 1 2 3 n n n n n n-1 2 + 1 1 2 3 n C + C + C + + C = 2 3 4 n + 1 n+ 1 Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số hạng cuối cùng có hệ số n n 1  nên ta không thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để tính tích phân. Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k n n k 1 C = 1- C k+1 k+1       , cho ta tổng   1 2 3 n 1 2 3 n n n n n n n n n 1 1 1 1 C +C +C + +C - C + C + C + + C 2 3 4 n+1       . Từ đó, ta sử dụng   2 n n 1 2 1 x dx    Giải Cách 1: Xét số hạng tổng quát trong vế trái k k n n k 1 C = 1- C k+1 k+1       với k = 0, 1, 2,…,n. Do đó,   1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n n n n n n n n n n n n n 1 2 3 n 1 1 1 1 C + C + C + + C = C +C +C + +C - C + C + C + + C 2 3 4 n+1 2 3 4 n+1       =     n n+1 1 n n n 0 n-1 2 +1 2 -1 2 - 1+x dx=2 - = n+1 n+1  Cách 2: Xét   n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1+x =C +C x+C x +C x + +C x Lấy đạo hàm hai vế ta được:   n-1 1 2 3 2 n n-1 n n n n n 1+x =C +2C x+3C x + +nC x Ta có          1 1 1 n-1 n-1 n n-1 0 0 0 nx 1+x dx= n 1+x-1 1+x dx =n 1+x - 1+x dx                          1 n+1 n n n+1 n 0 1+x 1+x n-1 2 +1 n = n - = 2 -1 - 2 -1 = (5) n+1 n n+1 n+1           1 1 2 3 2 n n-1 1 2 3 n n n n n n n n n 0 1 2 3 n C +2C x+3C x + +nC x dx= C + C + C + + C 2 3 4 n+1  (6) Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 8 Từ (5) và (6) suy ra   n 1 2 3 n n n n n n-1 2 + 1 1 2 3 n C + C + C + + C = 2 3 4 n + 1 n+ 1 Bài 5. Cho * n   . Chứng minh rằng: 2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 2 1 C C C C 2 4 6 2n 2n 1         (ĐH khối A - 2007) Giải Xét các khai triển   2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 x C C x C x C x C x        (7)   2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n n 2n 2n 2n 2n 1 x C C x C x C x C x        (8) Trừ vế theo vế (7) và (8) ta được:       2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 1 x 1 x 2 C x C x C x              2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 1 x 1 x C x C x C x 2           Suy ra       2n 2n 1 1 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 0 0 1 x 1 x dx C x C x C x dx 2                1 1 2n 1 2n 1 1 2 3 4 2n 1 2n 2n 2n 2n 0 0 1 x 1 x 1 1 1 C x C x C x 2(2n 1) 2 4 2n                           2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 2 1 C C C C 2 4 6 2n 2n 1          Nhận xét: Nếu phải tính tổng 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 1 C + C + C + + C 3 5 2n+1 thì ta xét       2n 2n 0 2 2 2n 2n 2n 2n 2n 1+x + 1-x P x = =C +C x + +C x 2 Sau đó tính tích phân   1 0 P x dx  . Còn nếu phải tính tổng 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 C + C + C + + C 2 4 6 2n+2 thì ta lại xét     0 2 3 2n 2n+1 2n 2n 2n Q x =x.P x =C x+C x + +C x Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết 9 Sau đó tính tích phân   1 0 Q x dx  . Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo. Bài 6. Cho * n   . Chứng minh rằng: 2n 1 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2 2 2 2 2C C C C 3 5 2n 1 2n 1         Giải Xét   2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 x C C x C x C x C x            1 2n 1 1 2n 1 2n 1 1 1 x 2 1 x dx 2n 1 n 1                    (9) 1 0 1 2 2 3 3 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 C C x C x C x C x dx            1 0 1 2 2 3 3 4 2n 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 C x C x C x C x C x 2 3 4 2n 1                0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2 2 2 2C C C C 3 5 2n 1       (10) Từ (9) và (10) suy ra 2n 1 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2 2 2 2 2C C C C 3 5 2n 1 2n 1         3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước Đối với dạng này, thông thường trong một câu có hai ý: ý thứ nhất yêu cầu tính tích phân và ý thứ hai là chứng minh đẳng thức tổ hợp hoặc tính tổng. Khi đó, ta linh hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau. Bài 1. Cho 2 n    . a) Tính   1 n 2 3 0 I x 1 x dx    b) Chứng minh rằng: n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 2 1 C C C C 3 6 9 3(n 1) 3(n 1)          (ĐH Mở Hà Nội - 1999) Giải [...]... tập lại các kiến thức của Đại số tổ hợp Trong khi giảng dạy, tôi hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách nhận biết bài toán tổ hợp vận dụng được tích phân, phân tích các yếu tố có trong bài toán để từ đó đưa ra hàm lấy tích phân, các cận của tích phân và thay số tương ứng để đi đến lời giải đúng Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài toán có sử dụng tích phân để giải thì các em... thấy rằng phần lớn học sinh không làm được các bài toán nêu ra Học sinh không làm được là tất nhiên vì các lý do sau: + Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày + Các kiến thức của Đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11, học sinh đã quên + Học sinh chưa định hình được cách giải Tuy nhiên, trước khi bắt đầu dạy thực... Phạm Trọng Thư, Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2012 4 Nguyễn Đức Hoàng, Giới thiệu nhanh đề thi toán học, Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2010 5 Võ Thanh Văn (chủ biên), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong giải toán THPT, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2009 6 Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất bản tri thức 2006... các đề thi Đại học và Cao đẳng có nhiều dạng toán mà trong chương trình sách giáo khoa không được giới thiệu, trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học lớp 12, tôi đã mạnh dạng đưa ra một số bài tập của Đại số tổ hợp có ứng dụng tích phân để giới thiệu cho các em trên lớp và hy vọng vấn đề này trong những năm học tiếp theo học sinh được biết đến trên lớp và trong nội dung của. .. 3 4 n2  n  1 n  2  Bài 2 Cho n  * Chứng minh rằng: 1 0 1 1 1 2 1 n 1 Cn  Cn  Cn    1 Cn  n 2 3 4 n2  n  1 n  2  Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối cùng có hệ số 1 k Cn thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước k+2 1 n khi tính tích phân Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng  x 1  x  dx 0 Giải n  n 2 n Xét x 1 ... giảng dạy và nghiên cứu, trong sáng kiến này không thể tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô và các bạn để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn 19 Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2009 2 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số và Giải tích 11 nâng... 4 Bài tập đề nghị Bài 1 Cho n  * Chứng minh rằng: 1 1 2 1 n 1 n C0  C1  Cn    1 Cn  n n 2 3 n 1 n 1 1 HD: Vì tổng đan dấu và hệ số gắn với Cn nên sử dụng n n 1 1  1  x  n dx 0 Bài 2 Cho n  * Chứng minh rằng: n  1 1 1 1 n C0  C1  C2    1 Cn  n n n n n 1 n n 1 n 1 1 HD: Vì tổng đan dấu và hệ số gắn với C0 nên sử dụng n n 1 1   x  1 n dx 0 Bài 3 Cho n  * Chứng... n 3 5 7 2n+1  2n+1!! 3.3 Tính tích phân của hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng Khi bài toán cho mà số hạng tổng quát không phải là 1 k 1 k Cn mà là Cn thì ta k+1 k+2 phải nhân thêm x vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, còn nếu là 1 k Cn thì ta phải nhân thêm x2 vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, … k+3 Bài 1 Cho n  * Chứng minh rằng: 1 0 1 1 1 2 1 n2n... minh rằng: 1 0 1 1 1 2 1 n2n 1  1 n Cn  Cn  Cn   Cn  2 3 4 n2  n  1 n  2  Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối cùng có hệ số 1 k Cn thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước k+2 1 n khi tính tích phân Khi đó, ta sử dụng  x 1  x  dx 0 Giải  n Xét x 1  x   x C0  C1 x  C2 x 2  C3 x 3   Cn x n n n n n n 1  x 1 ... được, chỉ tính được tích phân ở Bài 3 Còn lớp 12A1, 12A2, do các em đã được trang bị các kiến thức và phương pháp giải quyết vấn đề nên phần lớn các em biết cách làm Do đó, kết quả kiểm tra cho ta sự khác biệt giữa lớp dạy thực nghiệm và lớp không dạy thực nghiệm Đề kiểm tra khảo sát 45 phút SỞ GDĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM TRƯỜNG THPT SỐ 1 BỐ TRẠCH Thời gian làm bài: 45 phút Họ và . vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề tài Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp . 3 3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 4 3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản 4 3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước 9 3.3. Tính tích phân dựa vào hàm. được các bài toán nêu ra. Học sinh không làm được là tất nhiên vì các l ý do sau: + Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp thì

Ngày đăng: 09/02/2015, 15:57

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan