Một số ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế trong chương trình toán THPT

ĐẠI HỌC  ĐÀ NẴNG  HỌC SƯ PHẠM TRƯỜNG ĐẠI  KHOA TOÁN   -         KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT Giảng viên hướng dẫn : ThS NGƠ THỊ BÍCH THỦY Sinh viên thực : ĐẶNG THỊ LY Lớp : 15ST ĐÀ NẴNG – NĂM 2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT Giảng viên hướng dẫn: ThS NGƠ THỊ BÍCH THỦY Sinh viên thực hiện: ĐẶNG THỊ LY Chuyên ngành: Sư phạm Toán Lớp: 15ST ĐÀ NẴNG – NĂM 2019 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa tốn trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành khóa luận Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn chân thành sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi suốt thời gian làm khóa luận Cuối cùng, tơi xin cảm ơn ý kiến đóng góp q báu, động viên giúp đỡ nhiệt tình thầy cô, bạn bè thời gian thực khóa luận Đà Nẵng, tháng 01 năm 2019 Sinh viên thực Đặng Thị Ly SVTH: Đặng Thị Ly Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài 2.Mục đích nghiên cứu 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lý luận 4.2 Nghiên cứu thực tế Bố cục đề tài CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Nội dung tích phân chương trình toán THPT 1.1.1.Định nghĩa tích phân 1.1.2.Một số tính chất tích phân 1.2 Một số phương pháp tính tích phân thường gặp 1.2.1 Phương pháp đổi biến số 1.2.2 Phương pháp tích phân phần CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Bài tốn tính diện tích hình phẳng 2.1.1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành 2.1.2 Hình phẳng giới hạn hai đường cong 12 2.2.Bài tốn tính thể tích 16 2.2.1 Tính thể tích vật thể 16 2.2.2 Tính thể tích khối chóp khối chóp cụt 17 2.3 Bài tốn tính thể tích khối trịn xoay 19 2.3.1 Hình phẳng quay quanh trục Ox 19 2.3.2 Hình phẳng quay quanh trục Oy 20 2.4 Bài toán chuyển động 22 2.5 Bài toán tăng trưởng phát triển 26 2.6 Bài toán kinh tế 30 2.6.1 Dạng 1: Tổng thu nhập dòng tiền liên tục 30 SVTH: Đặng Thị Ly Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy 2.6.2 Dạng 2: Giá trị tương lai dòng tiền liên tục 30 2.6.3 Dạng 3: Chi phí cận biên doanh thu cận biên sản xuất kinh tế 33 2.6.4 Dạng 4: Một số dạng khác tăng trưởng kinh tế 36 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 SVTH: Đặng Thị Ly Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học mơn khoa học bản, có vai trị quan trọng đời sống ứng dụng rộng rãi thực tế Đây môn học tương đối khó, mang tính tư cao, địi hỏi người học phải chịu khó tìm tịi, khám phá say mê nghiên cứu Tích phân mảng kiến thức quan trọng giải tích lớp 12 Các tốn tích phân nói chung tốn ứng dụng tích phân nói riêng đa dạng phong phú, thường có kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông Những năm gần đây, Bộ Giáo dục Đào tạo triển khai hình thức thi trắc nghiệm mơn Tốn Vì tập ứng dụng tích phân vào giải tốn thực tế gây khơng khó khăn cho học sinh Trong q trình giảng dạy, ngồi việc khuyến khích học sinh tích cực chủ động sáng tạo nắm kiến thức bản, rèn luyện kĩ giải toán, giáo viên người khơi gợi cho học sinh vận dụng tốn để giải vấn đề thực tiễn Do đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu “Một số ứng dụng tích phân vào giải tốn thực tế chương trình tốn THPT” nhằm nâng cao hiệu dạy học tích phân sau Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu chương trình tích phân phổ thơng Qua đó, đưa dạng tập gắn liền thực tiễn mà người học phải dùng kiến thức tích phân để giải Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ vấn đề sau: Trên sở nghiên cứu tài liệu, nêu số dạng tốn ứng dụng tích phân vào giải tốn thực tế chương trình tốn THPT Hệ thống hóa kiến thức kĩ cần thiết để học sinh nắm vững kiến thức tích phân xác định Đề xuất số ví dụ, tập ứng dụng tích phân thực tế Phương pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu từ số tài liệu, sách báo, hay truy tập Website để thu thập thơng tin, nghiên cứu đề tài có liên quan trực tiếp nhằm làm rõ khái niệm kiến thức ban đầu SVTH: Đặng Thị Ly Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy 4.2 Nghiên cứu thực tế Trong q trình thực tập vệ tinh, trao đổi với số thầy dạy tốn có kinh nghiệm dạy tích phân tìm hiểu ứng dụng tích phân thực tiễn mà thầy thường dạy cho học sinh Bố cục đề tài Đề tài gồm chương sau: Chương 1: Cơ sở lý luận 1.1 Nội dung tích phân chương trình tốn trung học phổ thơng 1.2 Một số phương pháp tính tích phân thường gặp Chương 2: Một số ứng dụng tích phân vào giải tốn thực tế chương trình tốn THPT 2.1 Bài tốn tính diện tích 2.2 Bài tốn tính thể tích 2.3 Bài tốn tính thể tích khối trịn xoay 2.4 Bài tốn chuyển động 2.5 Bài toán tăng trưởng, phát triển 2.6 Bài toán kinh tế Kết luận SVTH: Đặng Thị Ly Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Nội dung tích phân chương trình tốn THPT 1.1.1 Định nghĩa tích phân Cho f ( x ) hàm số liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] Giả sử F  x  nguyên hàm f  x  đoạn [𝑎; 𝑏] Hiệu số 𝐹 (𝑏) − 𝐹(𝑎) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [𝑎; 𝑏]) hàm số f  x  , kí hiệu b  f ( x ) dx a Ta cịn dùng kí hiệu F ( x) a để hiệu số F  b   F  a  b b b  f  x  dx  F  x  a  F  b   F  a  Vậy a b Ta gọi  dấu tích phân, a cận dưới, b cận trên, f  x  dx biểu thức a dấu tích phân f  x  hàm số dấu tích phân Ví dụ 1: 1)  3x dx  x3 e 2)  t dt  ln | t |  23  13    e  ln e  ln1    1 Nhận xét: b a) Tích phân hàm số 𝑓 từ a đến b kí hiệu  f ( x)dx a b hay  f (t )dt a Tích phân phụ thuộc vào 𝑓 cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t SVTH: Đặng Thị Ly Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy b) Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f  x  liên tục không âm b đoạn [𝑎; 𝑏] tích phân  f ( x)dx diện tích S hình thang cong giới hạn a đồ thị hàm số f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a, x  b Vậy b S   f ( x)dx a 1.1.2 Một số tính chất tích phân Cho hàm số f  x  liên tục [𝑎; 𝑏], k  𝑐 ∈ [𝑎; 𝑏] a  f ( x)dx  a b a a b  f ( x)dx    f ( x)dx b b a a b c b a a c  kf ( x)dx  k  f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b b b a a a b b b a a a   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx Ví dụ 2: Tính tích phân sau: a)  5xdx b)   x  3dx Giải: 5 a) Ta có  xdx  5 xdx  SVTH: Đặng Thị Ly x  40 Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy b) Ta có 1   x  3dx   xdx   3dx   x 0  3x  4 1.2 Một số phương pháp tính tích phân thường gặp 1.2.1 Phương pháp đổi biến số Cho hàm số f  x  liên tục đoạn [𝑎; 𝑏] Giả sử hàm số 𝑥 = 𝜑(𝑡) có đạo hàm liên tục đoạn [𝛼; 𝛽] cho 𝜑(𝛼) = 𝑎, 𝜑(𝛽) = 𝑏 a ≤ 𝜑(𝑡) ≤ 𝑏 với 𝑡 ∈ [𝛼; 𝛽] Khi đó:  b  f ( x)dx   f ( (t )) (t )dt ' a 1 dx  x2 Ví dụ 3: Tính I   Giải:  Đặt x  tan t ,  t   Ta có dx  dt cos t Đổi cận: Với x   t  Với x   t    Do đó, I     dt    dt  t  2  tan t cos t   Chú ý : Trong nhiều trường hợp ta sử dụng phép đổi biến số dạng sau : Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  Để tính b  f ( x)dx , đơi ta chọn hàm a số u  u ( x) làm biến số mới, đoạn  a; b  , u ( x) có đạo hàm liên tục u ( x )   ;   Giả sử ta viết f ( x)  g (u ( x))u ' ( x), x   a; b  , SVTH: Đặng Thị Ly Trang Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy 2.5 Bài toán tăng trưởng phát triển Cho hàm số f(x) biểu diễn cho tăng hay giảm số lượng đối tượng người, vi khuẩn, vi trùng, lượng nước chảy,… Giá trị f(x) số lượng đối tượng thời điểm x Đạo hàm 𝑓 ′ (𝑥) tốc độ tăng hay giảm đối tượng thời điểm x Số lượng tăng thêm hay giảm đối tượng khoảng x ∈ [𝑎, 𝑏] 𝑏 ∫ 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 Ví dụ 17: Một nghiên cứu sau x tháng kể từ bây giờ, dân số thành phố A tăng với tốc độ S  x   10  2 x  (người/tháng) Dân số thành phố tăng thêm tháng tới? Phân tích : Giả thiết cho S  x   10  2 x  hàm biểu thị cho tốc độ tăng dân số tháng thứ x Vậy nguyên hàm S(x) f(x) biểu thị cho dân số thành phố sau x tháng kể từ Đề yêu cầu tính số dân tăng thêm tháng tới Vậy theo lý thuyết nêu số dân tăng thêm tính theo cơng thức: ∫ 𝑆(𝑥)𝑑𝑥 Giải: Gọi f(x) dân số thành phố sau x tháng kể từ Tốc độ thay đổi dân số S(x) = 10+2√2𝑥 + Vậy dân số thành phố tăng thêm tháng tới là:   f ( x)   10  2 x  dx  10 x   x  1dx 0  10 x    x  1 dx   x  1  40  SVTH: Đặng Thị Ly 52 172  3 Trang 26 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Vậy dân số thành phố A tăng thêm tháng tới khoảng 57 người Ví dụ 18: Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N(t) Biết N ' (t )  4000 lúc đầu đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi  0.5t trùng bao nhiêu? Giải: Số lượng vi trùng 10 ngày 10 4000 N (t )   dt  8000 ln  t  0.5t 10  8000 ln Vậy số lượng vi trùng sau 10 ngày là: 250000+ 8000ln6 = 264334.0758 ( vi trùng ) Vậy số lượng vi trùng sau 10 ngày khoảng 264334 vi trùng Ví dụ 19: Người ta thay nước cho bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu h = 280cm Giả sử h(t) chiều cao (tính cm) mực nước bơm thời điểm t giây, biết tốc độ tăng chiều cao mực nước giây thứ t h '(t )  t  lúc đầu hồ bơi khơng có nước Hỏi sau nước bơm 500 độ sâu bể (Làm tròn hai chữ số thập phân) Phân tích : t  Suy 500 Tốc độ tăng chiều cao mực nước giây thứ t h '(t )  nguyên hàm h’(t) chiều cao mực nước bơm thời điểm t Kết hợp với điều kiện lúc ban đầu hồ khơng có nước, tức độ cao nước bể thời điểm t = h(0) = Ta suy mô hình hàm số h(t) biểu thị cho chiều cao mực nước bơm thời điểm t Từ đó, ta suy thời gian để bơm lượng nước độ sâu bể Giải Tốc độ tăng chiều cao mực nước giây thứ t h '(t )  t  Suy 500 nguyên hàm h’(t) chiều cao mực nước bơm thời điểm t, ta có h(t )   h' (t )dt   SVTH: Đặng Thị Ly 3 t  3dt   t  3  C 500 2000 Trang 27 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Lúc ban đầu (tại t = 0) hồ bơi không chứa nước nghĩa h(0)   3   3  C   C   2000 2000 Suy mực nước bơm thời điểm t giây 33 h(t )   t  3  2000 2000 Theo giả thiết, lượng nước bơm độ sâu bể bơi nên ta có: 3 33 h(t )  h   280  t  3  2000 2000 4   t  3  140004.3267  t  7234.79( s ) Vậy sau khoảng thời gian 35 giây bơm độ sâu bể bơi Ví dụ 20: Tốc độ tăng cặp đơi kết (đơn vị tính: triệu người) nước ta từ năm 1983 đến năm 2018 xác định hàm số f (t )  1.218t  45t  710 với t số năm (t = ứng với năm 1983) Số lượng cặp đơi kết vào năm 2018 59513 người Tính số lượng cặp đôi kết hôn nước ta vào năm 2020? Phân tích : Ta hiểu năm 1983 ứng với t = năm 2018 ứng với t = 35 Hàm số f (t )  1.218t  45t  710 biểu thị cho tốc độ tăng cặp đôi kết hôn vào năm thứ t Suy nguyên hàm f(t) hàm số F(t) biểu thị cho số lượng cặp đôi kết hôn vào năm thứ t Dựa vào điều ta suy F(t) với điều kiện F(35) = 59513 Từ đó, suy số lượng cặp đơi kết nước ta từ năm 1983 đến năm 2020 F(37) Giải Gọi F(t) số lượng cặp đôi kết hôn vào năm thứ t Tốc độ tăng cặp đôi kết hôn nước ta f (t )  1.218t  45t  710 Suy F(t) =  f (t )dt   (1.218t  45t  710)dt SVTH: Đặng Thị Ly Trang 28 Khóa luận tốt nghiệp  GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy 1.218 45 t  t  710t  C  0.406t  22.5t  710t  C Số lượng cặp đôi kết hôn vào năm 2018 59513 triệu người nên ta có: F(35) = 59513  0.406.(35)3  22.5.(35)  710.35  C  59513  C  44818.25 Vậy F(t) = 0.406t  22.5t  710t  44818.25 Khi số lượng cặp đơi kết nước ta vào năm 2020 F (37)  0.406.(37)3  22.5.(37)  710.37  44818.25  60850.868 Vậy số lượng cặp đôi kết hôn nước ta vào năm 2020 khoảng xấp xỉ 60851 triệu người Ví dụ 21: Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dày ngày thứ t với số lượng F(t), biết phát sớm số lượng vi khuẩn không vượt 4000 bệnh nhân cứu chữa Biết tốc độ phát triển vi khuẩn ngày thứ t F '(t )  1000 ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn Sau 15 ngày bệnh nhân phát 2t  bị bệnh Hỏi có vi khuẩn dày bệnh nhân có cứu chữa không? Giải Tốc độ phát triển vi khuẩn ngày thứ t F '(t )  1000 2t  Suy số lượng vi khuẩn vào ngày thứ t tính theo cơng thức F (t )   F '(t )dt   1000 1000 dt  ln | 2t  1| C  500 ln | 2t  1| C 2t  Lúc ban đầu bệnh nhân có 2000 vi khuẩn nên ta có F (0)  2000  500 ln | 2.0  1| C  2000  C  2000 Suy số lượng vi khuẩn vào ngày thứ t F (t )  500 ln | 2t  1| 2000 Số vi khuẩn sau 15 ngày F (15)  500 ln | 2.15  1| 2000  3716.99 (con vi khuẩn) Vì số lượng vi khuẩn sau 15 ngày khoảng 3717 nhỏ 4000 nên bệnh nhân cứu chữa SVTH: Đặng Thị Ly Trang 29 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy 2.6 Bài tốn kinh tế 2.6.1 Dạng 1: Tổng thu nhập dòng tiền liên tục Nếu f(t) tốc độ lưu chuyển dòng tiền liên tục tổng thu nhập T nhận khoảng thời gian từ t = a đến t = b b T=  f (t )dt a Ví dụ 22: Tốc độ thay đổi thu nhập sản xuất máy bán hàng tự động cho công thức f (t )  5000e0.04t (triệu đồng) t số năm sau lắp đặt máy bán hàng tự động Tìm tổng thu nhập từ việc vận hành máy năm vào hoạt động Phân tích : Theo đề ta có f (t )  5000e0.04t tốc độ lưu chuyển dòng tiền liên tục sản xuất máy bán hàng tự động Đề yêu cầu tính tổng thu nhập từ việc vận hành máy năm vào hoạt động nghĩa tính tổng thu nhập khoảng thời gian từ t = đến t = 5 Suy tổng thu nhập T =  f (t )dt Giải Tổng thu nhập từ việc vận hành máy năm vào hoạt động là: T =  5000e0.04t dt  125000e0.04t  27.675 (triệu đồng) Vậy trình vận hành máy đem lại 27.675 triệu đồng năm hoạt động 2.6.2 Dạng 2: Giá trị tương lai dòng tiền liên tục Nếu f(t) tốc độ lưu chuyển dòng tiền liên tục, ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 , dòng tiền đầu tư liên tục với lãi suất r, lãi tính liên tục Khi giá trị tương lai FV sau T năm xác định công thức T FV   f (t )e r (T  t ) T dt  e rT  f (t )e  rt dt Giá trị tương lai dòng tiền liên tục tổng giá trị lượng tiền sinh từ dòng tiền liên tục (lượng tiền ban đầu tiền lãi) sau T năm SVTH: Đặng Thị Ly Trang 30 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Ví dụ 23: Tìm giá trị tương lai dịng tiền liên tục với lãi suất 2.95%/năm sau năm, biết tốc độ lưu chuyển dòng tiền f (t )  2000e0.06t (triệu đồng) Giải: Theo đề ta có giá trị tương lai dòng tiền liên tục sau năm là: 6 0 FV   f (t )e r (T t ) dt   2000e0.06t e 2.95%(6t ) dt   2000e0.177 e0.0305t dt = 2000e0.177  e 0.0305t dt  2000 0.0305t e  15717.92 (triệu đồng) 0.0305 Ví dụ 24: Tính tiền lãi kiếm (làm trịn chữ số thập phân) dòng tiền liên tục với lãi suất 4%/năm năm tốc độ lưu chuyển dòng tiền f (t )  1000  200t Phân tích : Ta biết FV giá trị tương lai dòng tiền liên tục bao gồm tổng lượng tiền đầu tư tiền lãi nên số tiền lãi nhận hiệu số giá trị tương lai lượng tiền đầu tư ban đầu Theo dạng tìm hiểu lượng tiền đầu tư ban đầu tổng thu nhập có sau t năm Trước tiên ta tính tổng thu nhập dòng tiền liên tục năm T   (1000  200t ) dt Giá trị tương lai dòng tiền với lãi suất liên tục 4%/năm sau năm FV   (1000  200t )e 4%(5t ) dt Suy tiền lãi kiếm dòng tiền liên tục là: FV  T Giải Tổng thu nhập dòng tiền liên tục năm T   (1000  200t ) dt = 1000t  100t  2500 (triệu đồng) Giá trị tương lai dòng tiền với lãi suất liên tục 4%/năm sau năm FV   (1000  200t )e 4%(5t ) dt SVTH: Đặng Thị Ly Trang 31 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy  1000e 0.2 e 0.04 t dt  200e 0.2  t.e 0.04 t dt 1000 0.04t 0.04t   t 0.04t  e  200e0.2  e  e  0.04 0.042  0.04 0  2859.724 (triệu đồng) Vậy tiền lãi nhận dòng tiền liên tục 2859.724  2500  359.724 (triệu đồng) Ví dụ 25: Khi bắt đầu 22 tuổi bạn Hồng gửi khoản tiết kiệm 2000000 đồng năm vào tài khoản ngân hàng Đông Á với lãi suất liên tục 5%/năm Xem tiền Hồng gửi năm dòng tiền liên tục Hỏi sau 40 năm số tiền Hồng nhận bao nhiêu? Tính tiền lãi Hồng nhận sau thời gian trên? Khi Hồng nghỉ hưu tuổi 65 số tiền Hồng nhận bao nhiêu? Phân tích : Giả sử số tiền 2000000 đồng Hồng gửi vào ngân hàng năm với lãi suất liên tục 5%/năm dòng tiền liên tục với tốc độ chuyển 2000000 đồng năm hay f(t) = 2000000 (đồng) Khi giá trị tương lai dịng tiền liên tục sau 40 năm với lãi suất 5%/năm 40  f (t )e FV  r (T  t ) dt FV bao gồm tổng lượng tiền đầu tư tiền lãi nên số tiền lãi nhận hiệu số giá trị tương lai lượng tiền đầu tư Mà dạng ta tìm hiểu tổng thu nhập dịng tiền liên tục khoảng thời gian t Do ta có tổng lượng tiền Hồng đầu tư thu sau 40 năm 40  f (t )dt Vì Hồng bắt đầu gửi tiền tiết kiệm từ năm 22 tuổi nên Hồng nghỉ hưu tuổi 65 nghĩa ta tính giá trị tương lai dịng tiền liên tục sau 43 năm 43 FV   f (t )e r (T  t ) dt Giải: Gọi f(t) tốc độ lưu chuyển dòng tiền liên tục ta có f (t )  2000000 SVTH: Đặng Thị Ly Trang 32 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Giá trị tương lai dòng tiền liên tục sau 40 năm với lãi suất 5% 40 FV   f (t )e r (T  t ) 40 dt =  2000000e 0.05(40 t ) dt 0 40 = 2000000e 0.05.40 e 0.05t dt 2000000e2 0.05t  e = 0.05 40  255562244 (đồng) Tổng lượng tiền Hồng gửi vào ngân hàng sau 40 năm 40 T   2000000dt  80000000 (đồng) Vậy tiền lãi Hồng nhận sau 40 năm 255562244  80000000  175562244 (đồng) Số tiền Hồng nhận vốn lãi nghỉ hưu tuổi 65 ứng với T = 43 năm 43 FV   2000000e0.05(43t ) dt  303394335.9 (đồng) 2.6.3 Dạng 3: Chi phí cận biên doanh thu cận biên sản xuất kinh tế Một ứng dụng quan trọng tích phân tốn kinh tế phân tích cận biên Trong kinh tế, cận biên đề cập đến tốc độ thay đổi, nghĩa đạo hàm Như vậy, c(x) gọi chi phí cận biên sản xuất x sản phẩm nguyên hàm c(x) tổng chi phí để sản xuất x sản phẩm Tương tự ta có f(x) hàm doanh thu cận biên bán x sản phẩm ngun hàm f(x) tổng doanh thu bán x sản phẩm Vậy x số đơn vị sản phẩm sản xuất khoảng thời gian ta có: Chi phí cận biên  c ( x ) Tổng chi phí C ( x)   c( x)dx Doanh thu cận biên  f ( x) Tổng doanh thu R( x)   f ( x)dx SVTH: Đặng Thị Ly Trang 33 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Chi phí cận biên hay doanh thu cận biên tốc độ thay đổi tức thời chi phí hay doanh thu liên quan đến sản xuất mức sản xuất đưa Ví dụ 26: Một công ty sản xuất sản phẩm A, giả sử chi phí cận biên x sản phẩm sản xuất c( x)  x3  x  40 (triệu đồng/sản phẩm) Hỏi tổng chi phí sản xuất tăng lên sản phẩm sản xuất tăng từ sản phẩm đến sản phẩm? Phân tích : Chi phí cận biên sản xuất x sản phẩm c( x)  x3  x  40 (triệu đồng/sản phẩm) Khi nguyên hàm c( x)  x3  x  40 C(x) mô tả tổng chi phí sản xuất x sản phẩm, ta có C ( x)   c( x)dx Vậy tăng sản lượng sản xuất từ sản phẩm đến sản phẩm chi phí tăng thêm C ( x)   c( x)dx Giải: Gọi C(x) hàm tổng chi phí sản xuất x sản phẩm ta có C '( x)  c( x) Chi phí tăng thêm sản xuất tăng từ sản phẩm đến sản phẩm C ( x)   ( x  x  40) dx  x4     x  40 x   108 (triệu đồng )  3 Ví dụ 27: Một cơng ty có doanh thu cận biên mức sản lượng x xác định dạng hàm số f ( x)  24 ( x  0) (triệu đồng), với x số lượng sản phẩm bán x 1 Hỏi tổng doanh thu công ty bán 100 sản phẩm bao nhiêu? (Làm tròn chữ số thập phân) Phân tích : Hàm f ( x)  24 ( x  0) doanh thu cận biên bán x sản phẩm Ta có x 1 nguyên hàm f(x) hàm tổng doanh thu R(x) bán x sản phẩm SVTH: Đặng Thị Ly Trang 34 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Suy R( x)   f ( x)dx Khi chưa bán sản phẩm doanh thu nên ta có R(0)=0 từ suy C Tổng doanh thu công ty bán 100 sản phẩm R(100) Giải: Gọi R(x) hàm tổng doanh thu bán x sản phẩm, ta có R '( x)  f ( x) Suy R( x)   f ( x)dx   24 dx x 1  24 ln | x  1| C Khi chưa bán sản phẩm doanh thu nên ta có R(0)   24ln |  1| C   C  Suy hàm tổng doanh thu bán x sản phẩm R( x)  24 ln | x  1| Vậy tổng doanh thu công ty bán 100 sản phẩm R(100)  24 ln |100  1| 110.76 ( triệu đồng ) Ví dụ 28: Một doanh nghiệp sản xuất mặt hàng A với chi phí cận biên mơ tả hàm số c( x)  x  16 x  93 (triệu đồng), với x số sản phẩm sản xuất Giả sử doanh nghiệp bán hết số lượng sản phẩm sản xuất doanh thu cận biên mô tả hàm số f ( x)  1000  20 x , với x số sản phẩm bán Hỏi sản xuất 10 sản phẩm bán hết doanh nghiệp thu lợi nhuận bao nhiêu? Biết tổng chi phí chưa sản xuất sản phẩm đồng tổng doanh thu chưa bán sản phẩm đồng Phân tích : Số tiền lợi nhuận sản xuất bán hết x sản phẩm tổng doanh thu bán hết x sản phẩm trừ tổng chi phí sản xuất x sản phẩm Như vậy, ta cần xác định hàm tổng chi phí C(x) hàm tổng doanh thu R(x) Ta có C(x) nguyên hàm c( x)  x  16 x  93 kết hợp C(0) = suy hàm số C(x) Ta có R(x) nguyên hàm f ( x)  1000  20 x kết hợp với R(0) = suy hàm số R(x) Vậy lợi nhuận sản xuất bán hết x sản phẩm TR ( x)  R( x)  C ( x) SVTH: Đặng Thị Ly Trang 35 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Giải: Gọi C(x) hàm tổng chi phí sản xuất x sản phẩm, ta có C ( x)   c( x)dx    x  16 x  93 dx  x  x  93x  C Tổng chi phí chưa sản xuất sản phẩm đồng, ta có C (0)   C  Suy hàm tổng chi phí sản xuất x sản phẩm C ( x)  x  x  93x Gọi R(x) hàm tổng doanh thu bán x sản phẩm, ta có R( x)   f ( x)dx   1000  20 x dx  1000 x  10 x  C Tổng doanh thu chưa bán sản phẩm đồng, ta có R(0)   C  Vậy hàm tổng doanh thu bán x sản phẩm R( x)  1000 x  10 x Gọi TR(x) hàm tổng lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất bán x sản phẩm TR( x)  R( x)  C ( x)   x  x  907 x Vậy sản xuất 10 sản phẩm bán hết doanh nghiệp thu lợi nhuận TR(10)   103  2.102  907.10  8536.67 ( triệu đồng) 2.6.4 Dạng 4: Một số dạng khác tăng trưởng kinh tế Ví dụ 29: Sau t làm việc cơng nhân sản xuất với tốc độ v(t )  100  e0.5t đơn vị sản phẩm Giả sử người bắt đầu làm việc lúc 8h sáng Hỏi người sản xuất sản phẩm từ 9h sáng đến 11h trưa? SVTH: Đặng Thị Ly Trang 36 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Phân tích : Đề cho tốc độ sản xuất sản phẩm công nhân v(t )  100  e0.5t Suy nguyên hàm v(t) hàm số S(t) mô tả số lượng sản phẩm làm cơng nhân t Lúc 8h sáng cơng nhân bắt đầu làm việc ứng với t = Như thời gian từ 9h sáng đến 11h trưa ứng với t = đến t = Giải: Gọi S(t) số đơn vị sản phẩm mà công nhân sản xuất sau t kể từ lúc 8h sáng, ta có S (t )   v(t )dt Vậy số sản phẩm người công nhân sản xuất từ 9h sáng đến 11h trưa 4 1   S (t )   v(t )dt   100  e0.5t dt  e 0.5t   100t    200.76 (đơn vị sản phẩm) 0.5   Ví dụ 30: Qua điều tra nhà phân tích kinh tế nhận định tốc độ tăng trưởng kinh tế (GDP) quốc gia sau t năm tính từ đầu năm 2004 30 + √5 + 𝑡 (tỷ VNĐ/năm) Biết GDP quốc gia vào năm 2004 100 tỷ VNĐ Hãy dự đốn GDP quốc gia vào đầu năm 2020 Phân tích : Tốc độ tăng trưởng GDP quốc gia sau t năm tính từ năm 2004 mô tả hàm số f (t )  30   t Suy nguyên hàm f(t) hàm số F(t) biểu thị GDP quốc gia sau t năm Ta có F (t )   f (t )dt Năm 2004 xem t = năm 2020 ứng với t = 16 Khi giá trị tăng thêm GDP quốc gia từ năm 2004 đến năm 2020 16 F (t )   f (t )dt Vậy tổng GDP quốc gia vào năm 2020 100 + F(t) Giải: SVTH: Đặng Thị Ly Trang 37 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy Gọi F(t) GDP quốc gia sau t năm tính từ năm 2004 Suy F (t )   f (t )dt GDP tăng thêm quốc gia tính từ năm 2004 đến năm 2020   F (t )    30   t  dt  0 16  (5  t )   30t     16    508.35 (tỷ VNĐ)   0 Vậy tổng GDP quốc gia vào năm 2020 100  508.35  608.35 (tỷ VNĐ) SVTH: Đặng Thị Ly Trang 38 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu đề tài, từ kết thu được, nhận thấy:  Đề tài góp phần làm sáng tỏ nội dung: “Một số ứng dụng tích phân vào giải tốn thực tế chương trình tốn THPT”  Đề tài đưa dạng toán ứng dụng tích phân vào việc tìm lời giải toán thực tế Là sinh viên năm cuối trường, tơi nhận thấy đề tài có ích cho thân để làm hành trang vào nghề phục vụ cho việc dạy học với hình thức đổi thi trắc nghiệm mơn Tốn Vì thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu độc giả để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! SVTH: Đặng Thị Ly Trang 39 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.s Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hậu & Vũ Tuấn, (2004), Sách đại số giải tích lớp 12, Nhà xuất giáo dục [2] Đặng Việt Đơng, (2012), Ngun hàm-Tích phân toán thực tế dạy kèm Quy Nhơn [3] Nguyễn Thanh Tùng, (2015), 10 trọng điểm hay gặp kì thi quốc [4] Đặng Văn Cường, (2017), Giải tích cho kinh tế, quản trị, khoa học sống xã hội [5] Mẫn Ngọc Quang & Phạm Minh Tuấn, (2018), Luyện tốc độ giải nhanh tốn thực tế [6] Huỳnh Cơng Thái, (2014), Bài tốn thực tế 12 ơn thi THPT quốc gia SVTH: Đặng Thị Ly Trang 40 ... làm sáng tỏ nội dung: ? ?Một số ứng dụng tích phân vào giải tốn thực tế chương trình tốn THPT? ??  Đề tài đưa dạng toán ứng dụng tích phân vào việc tìm lời giải toán thực tế Là sinh viên năm cuối... Thủy CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Bài tốn tính diện tích hình phẳng 2.1.1 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Diện tích. .. : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT Giảng viên hướng dẫn: ThS NGƠ THỊ BÍCH THỦY Sinh viên thực hiện: ĐẶNG THỊ LY Chuyên ngành: Sư phạm Toán