Một số ứng dụng của định lí pascal và định lí brianchon trong hình học sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học HÀ NỘI - 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN THỊ TRÀ HÀ NỘI - 2015 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thạc sĩ NGUYỄN THỊ TRÀ, người tận tình giúp đỡ, bảo cung cấp cho tơi kiến thức tảng để tơi hồn thành khóa luận Cơ người giúp tơi ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc cô Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, cơng tác Khoa Tốn Trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô khác trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho kiến thức quý báu chuyên môn kinh nghiệm nghiên cứu khoa học thời gian qua Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu lực thân cịn hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cơ, bạn sinh viên để khóa luận tơi hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung mà trình bày khóa luận kết q trình nghiên cứu nghiêm túc thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy, giáo, đặc biệt cô NGUYỄN THỊ TRÀ Mục lục Mở đầu Nội dung Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị 1.1 1.2 Định lý Pascal 1.1.1 Định lý Pascal 1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Pascal Định lý Brianchon 1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu định lý Pascal) 1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Brianchon 4 8 Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon 11 2.1 Ứng dụng định lý Pascal 2.2 Ứng dụng định lý Brianchon Kết luận Tài liệu tham khảo 11 26 35 36 Mở đầu Lý chọn đề tài Tốn học nói chung hình học nói riêng có tầm quan trọng đặc biệt mơn khoa học khác Đồng thời, hình học cịn giúp có phương pháp suy luận, phương pháp giải sáng tạo số toán thuộc chương trình phổ thơng Những tốn đường trịn sử dụng phương pháp chứng minh Pascal Brianchon hình học sơ cấp tốn hay Vì đề tài tơi cố gắng đưa vào chứng minh sơ cấp hai định lý Đồng thời nêu lên cách giải lớp toán đẹp ứng dụng chúng Mục đích - u cầu • Đây dịp để tập dượt nghiên cứu (với định hướng giáo viên hướng dẫn) nội dung khoa học • Nắm bắt nội dung lý thuyết (Các khái niệm, tính chất, toán đặt ra, số ứng dụng, ) • Biết cách thể hiểu biết Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống lý thuyết, phân loại đưa tập chi tiết liên quan đến Định lý Pascal - Định lý Brianchon Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân MỤC LỤC Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu - Định lý Pascal - Định lý Brianchon ứng dụng có liên quan - Các tài liệu tham khảo cá nhân tự tìm hiểu thu thập thêm Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân Nội dung Tên đề tài Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị - Định lý Pascal - Định lý Brianchon • Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon - Ứng dụng định lý Pascal - Ứng dụng định lý Brianchon Phương pháp nghiên cứu • Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu • Nghiên cứu hệ thống kiến thức hình học sơ cấp hình học xạ ảnh • Tham khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm cách giải số vấn đề Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân Chương Lý thuyết chuẩn bị 1.1 Định lý Pascal Xét mặt phẳng, ta có định lý sau: 1.1.1 Định lý Pascal Định lý 1.1.1 Trong lục giác nội tiếp, giao điểm cặp cạnh đối diện (nếu có) nằm đường thẳng Chứng minh Giả sử A, B, C, D, E, F lục giác nội tiếp đường tròn Các cặp cạnh đối diện AB DE; BC EF ; CD F A cắt Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ theo thứ thự α, β, γ Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác P QR tạo ba cạnh không kề lục giác với cát tuyến CβB, DEα, γF A (ba cạnh cịn lại) ta có: CQ βR BP = 1, CR βP BQ DQ ER αP = 1, DR EP αQ và: γQ F R AP = γR F P AQ Nhân AP BP = ngoại tiếp), AQ.BQ = ngoại tiếp), CR.DR = ngoại tiếp), ta được: vế ba đẳng thức sau với để ý rằng: F P EP (phương tích điểm P vịng trịn CQ.DQ (phương tích điểm Q vịng trịn ER.F R (phương tích điểm R vòng tròn βR αR γR =1 βP αQ γR Hệ thức chứng tỏ α, β, γ ba điểm thẳng hàng nằm ba cạnh tam giác RQP (đpcm) Chú ý Định lý áp dụng cho lục giác nội tiếp không cần giả thiết lục giác lồi 1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Pascal • Ngũ giác nội tiếp đường tròn: Giả sử ABCDEF lục giác nội tiếp Ta hình dung Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ đỉnh đó, F chẳng hạn, chạy vòng tròn đến trùng với đỉnh khác, thí dụ điểm A Lúc lục giác trở thành ngũ giác (nội tiếp) cạnh F A trở thành tiếp tuyến A với vòng trịn ngoại tiếp ta có định lý sau: Định lý 1.1.2 Trong ngũ giác nội tiếp hai cặp cạnh khơng kề cắt (nếu có) hai điểm thẳng hàng với giao điểm cạnh thứ năm với tiếp tuyến đỉnh đối diện Tương tự trên, ta áp dụng định lý Pascal vào tứ giác, tam giác nội tiếp cách xem những lục giác có hai hay ba cặp đỉnh trùng thay cạnh nối hai đỉnh trùng tiếp tuyến điểm trùng với hai đỉnh Bằng cách đó, ta phát biểu định lý sau: • Tứ giác nội tiếp đường tròn: Định lý 1.1.3 Trong tứ giác nội tiếp, hai cặp cạnh đối diện hai cặp tiếp tuyến cặp đỉnh đối diện giao (nếu có) theo bốn điểm thẳng hàng • Tam giác nội tiếp đường tròn: Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ Định lý 1.1.4 Ba cạnh tam giác cắt ba tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp đỉnh đối diện (nếu có) theo ba điểm thẳng hàng Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ Định lý Brianchon 1.2 1.2.1 Định lý Brianchon Định lý Brianchon (Đối ngẫu định lý Pascal) Định lý 1.2.1 Các đường thẳng nối đỉnh đối diện lục giác ngoại tiếp với vòng tròn đồng quy điểm 1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Brianchon Cũng đổi với định lý Pascal ta áp dụng định lý Brianchon vào ngũ giác, tứ giác, tam giác ngoại tiếp cách coi hình lục giác ngoại tiếp đặc biệt có một, hai ba cặp cạnh trùng Thí dụ ta hình dung tiếp điểm A1 chạy vòng tròn đến trùng với điểm B1 để cạnh F A đến trùng với cạnh AB Lúc ta có ngũ giác ABCDE ngoại tiếp có tính chất sau: • Ngũ giác ngoại tiếp đường trịn: Hai đường nối hai cặp đỉnh khơng kề cắt điểm thẳng hàng với đỉnh thứ năm tiếp điểm cạnh đối Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ diện với đỉnh Theo ta phát thêm tính chất tứ giác, tam giác ngoại tiếp sau: • Tứ giác ngoại tiếp đường trịn: Nếu hình tứ giác ngoại tiếp đường trịn đường nối đỉnh đối diện đường nối tiếp điểm cạnh đối diện đồng quy Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân CHƯƠNG LÝ THUYẾT CHUẨN BỊ • Tam giác ngoại tiếp đường trịn: Nếu hình tam giác ngoại tiếp đường trịn ba đường nối đỉnh với tiếp điểm cạnh đối diện ba đường đồng quy Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 10 Chương Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon 2.1 Ứng dụng định lý Pascal Bài tập 2.1.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi A’, B’, C’ điểm cung BC, CA, AB không chứa A, B, C (O) Các cạnh BC, CA, AB cắt cặp đoạn thẳng C’A’ A’B’, A’B’ B’C’, B’C’ C’A’ cặp điểm M N; P Q; R S Chứng minh rằng: MQ, NR, PS đồng quy Bài giải • Vì A , B , C điểm cung BC, AC, AB nên AA , BB , CC theo thứ tự đường phân giác góc BAC, ABC, ACB Suy I = AA ∩ BB ∩ CC (do ba đường phân giác đồng quy) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 11 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, C , A , B , B, A ta có: CC ∩ B B = I; C A ∩ BA = S; A B ∩ AC = P Vậy S, I, P thẳng hàng (1) • Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A , B , C , C, B ta có: AA ∩ C C = I; A B ∩ CB = N ; B C ∩ AB = R Vậy N, I, R thẳng hàng (2) • Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm B, B , C , A , A, C ta có: BB ∩ A A = I; B C ∩ AC = Q; C A ∩ CB = M Vậy M, I, Q thẳng hàng (3) Từ (1) (2) (3) suy M Q, N R, P S đồng quy I (đpcm) Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 12 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài tập 2.1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm (O) Gọi M điểm cạnh AC (M = A, C) Đường thẳng BM cắt đường tròn lần N Đường thẳng qua A vng góc với AB đường thẳng quan N vng góc với NC cắt điểm Q Chứng minh QM qua điểm cố định M di chuyển cạnh AC Bài giải Kẻ đường kính BD CE  AB⊥AD (giả thiết) • Ta có: AQ⊥AB (giả thiết) Suy ba điểm A, D, Q thẳng hàng (*)  CN ⊥N E (do ∆ nội tiếp đường trịn có cạnh bán kính) • Vì N Q⊥CN (giả thiết) Suy ba điểm E, N, Q thẳng hàng (**) Từ (*) (**) ⇒ AD ∩ EN = Q Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, E, N, B, D, A ta có: Trần Đặng Quỳnh Anh - Tốn K37 - Cử nhân 13 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON CE ∩ BD = O; EN ∩ DA = Q; N B ∩ AC = M Suy ba điểm O, M, Q thẳng hàng Vậy QM qua điểm cố định O (đpcm) Bài tập 2.1.3 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) điểm M, N, P thuộc đường thẳng (d) AM, BM, CM cắt lại (O) tương ứng A1 , B1 , C1 ; A1 N, B1 N, C1 N cắt lại (O) tương ứng A2 , B2 , C2 ; A1 N , B1 N , C1 N cắt lại (O) tương ứng A3 , B3 , C3 Chứng minh rằng: AA3 , BB3 , CC3 , (d) đồng quy Bài giải Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 14 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON  S = AA ∩ BB 3 Gọi: V = B1 A3 ∩ B3 A1 Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 ta có: A2 A3 ∩ B2 B3 = P ; B1 A3 ∩ B3 A1 = V ; A2 A1 ∩ B2 B1 = N Suy ba điểm N, P, V thẳng hàng Hay V nằm (d) (1) Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A1 , A3 , B, B1 , B3 ta có: AA3 ∩ BB3 = S; B3 A1 ∩ B1 A3 = V ; AA1 ∩ BB1 = M Suy ba điểm M, S, V thẳng hàng Hay S  nằm (d) (2) S = BB ∩ CC 3 + Gọi Q = C1 A3 ∩ C3 A1 Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A1 , A2 , A3 , C1 , C2 , C3 ta có: C1 A3 ∩ C3 A1 = Q; C1 C2 ∩ A1 A2 = N ; A2 A3 ∩ C2 C3 = P Suy ba điểm Q, N, P thẳng hàng Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A1 , A3 , C, C1 , C3 ta có: CC1 ∩ AA1 = M ; C1 A3 ∩ C3 A1 = Q; CC3 ∩ AA3 = S Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 15 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Suy ba điểm M, Q, S thẳng hàng S ∈ (d) (3) Từ (2) (3) suy S ≡ S (đpcm) Bài tập 2.1.4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp (I) Một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) tiếp xúc với hai cạnh AB, AC S, M, N Chứng minh I ∈ M N Bài giải Để chứng minh toán trên, trước hết ta chứng minh bổ đề sau: "Cho đường tròn (O) với dây cung AB Một đường tròn (I)tiếp xúc với (O) tiếp xúc với AB M, N Khi M N qua điểm cung AB khơng chứa M (O)" Gọi P = M N ∩ (O) • Xét ∆M N I: IM N = IN M (∆M N I cân) • Xét ∆M P O: OM P = OP M (∆M P O cân) Suy M N I = M P O Do hai góc vị trí đồng vị Suy OP//IN mà IN ⊥AB nên OP ⊥AB (đpcm) Trở lại toán ban đầu: Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 16 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Ta có: Vì I tâm đường trịn nội tiếp ∆ABC nên CI tia phân giác ACB, CI ∩ (O) = F Suy F trung điểm dây cung AB nên Tải FULL (file word 41 trang): bit.ly/2Ywib4t C, I, F thẳng hàng Dự phịng: fb.com/KhoTaiLieuAZ Áp dụng bổ đề ta có S, M, F thẳng hàng suy SM, CI (O) đồng quy điểm F + Tương tự ta có: BI tia phân giác ABC, E = BI ∩ (O) nên E trung điểm dây cung AC Suy điểm B, I, E thẳng hàng Áp dụng bổ đề ta có S, N, E thẳng hàng nên SN, BI, (O) đồng quy điểm E Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm F, C, A, B, E, S ta có: F C ∩ BE = I; CA ∩ ES = N ; AB ∩ SF = M Vậy ba điểm M, I, N thẳng hàng hay M N qua điểm cố định I Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 17 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Bài tập 2.1.5 Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) Tiếp tuyến (O) A cắt CD S BS cắt lại đường tròn T Chứng minh CT, SO AD đồng quy Bài giải Gọi I = CT ∩ AD, (d) tiếp tuyến với đường tròn A Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, D, T, A ta có: AC ∩ BD = O; AD ∩ CT = I; (d) ∩ CD = S Suy điểm S, I, O thẳng hàng Hay CT, SO, AD đồng quy (đpcm) Tải FULL (file word 41 trang): bit.ly/2Ywib4t Dự phòng: fb.com/KhoTaiLieuAZ Bài tập 2.1.6 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD đường trịn, S điểm di động đường tròn SB cắt AC M, SD cắt BC N Chứng minh MN qua điểm cố định Bài giải Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 18 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON Giả sử BM, AN cắt (O) tương ứng S, I, tiếp tuyến (O) C cắt SI T + Vì ∆ABC ∆ cân A nên BAD = CAD hay cung BD = CD ⇒ SN tia phân giác BSC + Vì BSCI tứ giác điều hịa nên SI, tiếp tuyến B, C (O) đồng quy (Hay T giao điểm tiếp tuyến B, C (O) nên T cố định) Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, C, S, I ta có: AC ∩ BS = M ; BC ∩ AI = N ; SI ∩ CT = T Suy điểm M, N, T thẳng hàng (đpcm) 3148511 Trần Đặng Quỳnh Anh - Toán K37 - Cử nhân 19 ... ngẫu định lý Pascal) 1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt định lý Brianchon 4 8 Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon 11 2.1 Ứng dụng định lý Pascal 2.2 Ứng dụng định lý Brianchon. ..TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Hình học Người... tài Một số ứng dụng định lý Pascal định lý Brianchon Kết cấu nội dung Gồm chương: • Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị - Định lý Pascal - Định lý Brianchon • Chương 2: Một số ứng dụng định lý Pascal định