SKKN Ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán

áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== A. PHN M U. 1. Lí DO CHN TI. Trong chng trỡnh sỏch giỏo khoa mi Toỏn lp 9 THCS, hc sinh c lm quen vi phng trỡnh bc hai: Cụng thc tớnh nghim ca phng trỡnh bc hai, c bit l nh lý Viột v ng dng ca nú trong vic gii toỏn. Song qua vic ging dy Toỏn 9 ti trng T.H.C.S tụi nhn thy cỏc em vn dng h thc Viột vo gii toỏn cha tht linh hot, cha bit khai thỏc v s dng h thc Viột vo gii nhiu loi bi toỏn, trong khi ú h thc Viột cú tớnh ng dng rt rng rói trong vic gii toỏn. ng trc vn ú, tụi i sõu vo nghiờn cu ti: p dng nh lý Vi-ột trong vic gii mt s bi toỏn vi mong mun giỳp cho hc sinh nm vng v s dng thnh tho nh lý Viột, ng thi lm tng kh nng, nng lc hc toỏn v kớch thớch hng thỳ hc tp ca hc sinh. 2. I TNG V PHM VI NGHIấN CU. Trong ti ny, tụi ch a ra nghiờn cu mt s ng dng ca nh lý Viột trong vic gii mt s bi toỏn thng gp cp T.H.C.S. Do ú ch cp n mt s loi bi toỏn ú l: a) ng dng ca nh lý Viột trong gii toỏn tỡm iu kin ca tham s bi toỏn tho món cỏc yờu cu t ra b) ng dng ca nh lý trong gii bi toỏn lp phng trỡnh bc hai mt n, tỡm h s ca phng trỡnh bc hai mt n. c) ng dng ca nh lý Viột trong gii toỏn chng minh. d) p dng nh lý Viột gii phng trỡnh v h phng trỡnh. e) nh lý Viột vi bi toỏn cc tr. 3.TèNH HèNH THC T CA HC SINH LP 9 TRNG THCS NINH XUN: a s hc sinh khi 9 l con em cỏc gia ỡnh thun nụng nờn ngoi thi gian hc trờn lp nhiu hc sinh l lao ng chớnh ca gia ỡnh do ú cỏc em ginh nhiu thi gian cho vic giỳp gia ỡnh lm kinh t nờn ginh rt ớt thi gian cho vic hc. =========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi -1- áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== Mt khỏc mt s hc sinh coi nh, xem thng vic hc, li hc dn n vic hng kin thc cỏc lp di v khụng nm vng kin thc trờn lp. Nhiu hc sinh rt hn ch v kh nng s dng ngụn ng toỏn hc, kh nng trỡnh by mt bi toỏn . 4. NHNG VIC LM CA BN THN giỳp hc sinh nm vng kin thc v phng trỡnh bc hai nht l vic dựng nh lý viột, trong quỏ trỡnh ging dy tụi ó a mt s bi toỏn vic s dng nh lý viột d gii s dn n kt qu nhanh hn. B. NI DUNG. nh lý Viột: Nu x 1 , x 2 l hai nghim ca phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ: * H qu: (trng hp c bit) a) Nu phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) cú a + b + c = 0 thỡ phng trỡnh cú mt nghim l: x 1 = 1 cũn nghim kia l: x 2 = b) Nu phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) cú a - b + c = 0 thỡ phng trỡnh cú mt nghim l: x 1 = - 1 cũn nghim kia l: x 2 = * Nu cú hai s u v v tho món iu kin thỡ u, v l hai nghim ca phng trỡnh: x 2 Sx + P = 0. iu kin cú hai s u, v l: S 2 4P 0. Sau õy l mt s vớ d minh ho cho vic ng dng ca nh lý Viột trong gii mt s dng toỏn. =========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi -2- = =+ a c xx a b xx 21 21 . a c a c = =+ Pvu Svu . áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== I. NG DNG CA NH Lí VIẫT TRONG GII TON TèM IU KIN CA THAM S BI TON THO MN CC YấU CU T RA. 1. Cỏc vớ d: Vớ d 1: Tỡm giỏ tr ca m cỏc nghim x 1 , x 2 ca phng trỡnh mx 2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 tho món iu kin 1 2 2 2 1 =+ xx Bi gii: iu kin phng trỡnh cú hai nghim (phõn bit hoc nghim kộp): m 0 ; ' 0 ' = (m - 2) 2 - m(m - 3) = - m + 4 ' 0 m 4. Vi 0 m 4, theo nh lý Viột, cỏc nghim x 1 ; x 2 ca phng trỡnh cú liờn h: x 1 + x 2 = m m )2(2 ; x 1 .x 2 = m m 3 Do ú: 1 = 2 2 2 1 xx + = (x 1 + x 2 ) 2 - 2x 1 x 2 = 2 2 )2(4 m m - m m )3(2 m 2 = 4m 2 - 16m + 16 - 2m 2 + 6m m 2 - 10m + 16 = 0 m = 2 hoc m = 8 Giỏ tr m = 8 khụng tho món iu kin 0 m 4 Vy vi m = 2 thỡ 2 2 2 1 xx + = 1 Vớ d 2: Cho phng trỡnh x 2 - 2(m - 2)x + (m 2 + 2m - 3) = 0. Tỡm m phng trỡnh cú 2 nghim x 1 , x 2 phõn bit tho món 5 11 21 21 xx xx + =+ Bi gii: Ta phi cú: + =+ >+= (3) (2) (1) 5 xx x 1 x 1 0.xx 03)2m(m2))(m( 21 21 21 22' =========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi -3- áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== (1) ' = m 2 - 4m + 4 - m 2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m < 6 7 (2) m 2 + 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3 (3) 0).5)(( 5. 2121 21 21 21 =+ + = + xxxx xx xx xx Trng hp: x 1 + x 2 = 0 x 1 = - x 2 m = 2 khụng tho món iu kin (1) Trng hp: 5 - x 1 .x 2 = 0 x 1 .x 2 = 5 Cho ta: m 2 + 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0 = = K)Đ mãn(thoả 4m (loại) 2m Vy vi m = - 4 phng trỡnh ó cho cú 2 nghim x 1 , x 2 phõn bit tho món 5 x x 1 x 1 21 21 x+ =+ Vớ d 3: Cho phng trỡnh: mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m l tham s). a) Xỏc nh m cỏc nghim x 1 ; x 2 ca phng trỡnh tho món x 1 + 4x 2 = 3 b) Tỡm mt h thc gia x 1 ; x 2 m khụng ph thuc vo m Bi gii: a) Ta phi cú: += =+ = + =+ 0)4()1((' 0 34 4 . )1(2 2 21 21 21 mmm m xx m m xx m m xx T (1) v (3) tớnh c: m m x m m x 3 85 ; 3 2 12 + = = Thay vo (2) c m m m mm 4 9 )85)(2( 2 = + 2m 2 - 17m + 8=0 Gii phng trỡnh 2m 2 - 17m + 8 = 0 c m = 8; m = 2 1 tho món iu kin (4). Vy vi m = 8 hoc m = thỡ cỏc nghim ca phng trỡnh tho món x 1 + 4x 2 = 3. b) Theo h thc Viột: =========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi -4- (1) (2) (3) (4) 2 1 ¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n ================================================================================================================== x 1 + x 2 = 2 + m 2 x 1 + x 2 = 1 - m 4 (*) Thay m 2 = x 1 + x 2 - 2 vào (*) được x 1 x 2 = 1 - 2(x 1 + x 2 - 2) Vậy x 1 .x 2 = 5 - 2(x 1 + x 2 ) Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x 2 + 2x + m = 0 (1) x 2 + mx + 2 = 0 (2) Bài giải: Gọi x 0 là nghiệm chung nào đó của 2 phương trình khi đó ta có 02 0 2 0 =++ mxx 02 0 2 0 =++ mxx Trừ theo từng vế hai phương trình ta được (m - 2)x 0 = m - 2 Nếu m = 2 cả hai phương trình là x 2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm Nếu m ≠ 2 thì x 0 = 1 từ đó m = - 3 Với m = - 3: (1) là x 2 + 2x – 3 = 0; có nghiệm x 1 = 1 và x 2 = - 3 Và (2) là x 2 - 3x + 2 = 0; có nghiệp x 3 = 1 và x 4 = 2 Rõ ràng với m = - 3 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1. 2. Bài tập: Bài 1: Cho phương trình x 2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x 1 = 2x 2 . Bài 2: Cho phương trình mx 2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm. =========================================================== Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi -5- áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== b) Tỡm m phng trỡnh cú 2 nghim trỏi du. Khi ú trong hai nghim, nghim no cú giỏ tr tuyt i ln hn? c) Xỏc nh m cỏc nghim x 1 ; x 2 ca phng trỡnh tho món: x 1 + 4x 2 = 3. d) Tỡm mt h thc gia x 1 , x 2 m khụng ph thuc vo m. Bi 3: a) Vi giỏ tr no m thỡ hai phng trỡnh sau cú ớt nht mt nghim chung. Tỡm nghim chung ú? x 2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1) x 2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tỡm giỏ tr ca m nghim ca phng trỡnh (1) l nghim ca phng trỡnh (2) v ngc li. II. NG DNG CA NH Lí VIẫT TRONG BI TON LP PHNG TRèNH BC HAI MT N, TèM H S CA PHNG TRèNH BC HAI MT N S 1. Cỏc vớ d: Vớ d 1: Cho x 1 = 2 13 + ; x 2 = 31 1 + Lp phng trỡnh bc hai cú nghim l: x 1 ; x 2 Ta cú: x 1 = 2 13 + ; x 2 = 31 1 + = ( )( ) 2 1331 = + 3131 Nờn x 1 .x 2 = 2 13 + . 31 1 + = 2 1 x 1 + x 2 = 2 13 + + 31 1 + = 3 Vy phng trỡnh bc hai cú 2 nghim: x 1 ; x 2 l x 2 - 3 x+ 2 1 = 0 Hay 2x 2 - 2 3 x + 1 = 0 Vớ d 2: Cho phng trỡnh: x 2 + 5x - 1 = 0 (1) =========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi -6- ¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n ================================================================================================================== Không giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phương trình (1) Cách giải: Gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức viét, ta có: x 1 + x 2 = -5; x 1 .x 2 = - 1 Gọi y 1 ; y 2 là các nghiệm của phương trình phải lập, ta có: y 1 + y 2 = 44 21 xx + y 1 y 2 = 44 21 xx . Ta có: 44 21 xx + = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 - 2x 1 2 .x 2 2 = 729 – 2 = 727 44 21 xx . = (x 1 .x 2 ) 4 = (- 1) 4 = 1 Vậy phương trình cần lập là: y 2 - 727y + 1 = 0 Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: x 2 + px + q = 0 sao cho hai nghiệm x 1 ; x 2 của phương trình thoả mãn hệ:    =− =− 35xx 5xx 3 2 3 1 21 Các giải: Điều kiện ∆ = p 2 - 4q ≥ 0 (*) ta có: x 1 + x 2 = -p; x 1 .x 2 = q. Từ điều kiện:    =− =− 35xx 5xx 3 2 3 1 1 2 ⇔ ( ) ( ) ( )    =++− =− 35xx xx 21 21 2 221 2 1 2 25 xxxx ⇔ ( ) ( ) ( )    =+−+ =−+ 35xx 5x4xxx 21 2121 2121 2 2 25 2 xxxx ⇔      =− =− 7qp 25p 2 1 q 4 Giải hệ này tìm được: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6 Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*) 2) Bài tập: =========================================================== Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi -7- áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== Bi 1: Lp phng trỡnh bc hai cú 2 nghim l 3 + 2 v 23 1 + Bi 2: Lp phng trỡnh bc hai tho món iu kin: Cú tớch hai nghim: x 1 .x 2 = 4 v 1 1 1 x x + 1 2 2 x x = 4 7 2 2 k k Bi 3: Xỏc nh cú s m, n ca phng trỡnh: x 2 + mx + n = 0 Sao cho cỏc nghim ca phng trỡnh lm m v n. III. NG DNG CA NH Lí VIẫT TRONG GII TON CHNG MINH. 1. Cỏc vớ d: Vớ d 1: Cho a, b l nghim ca phng trỡnh: x 2 + px + 1 = 0 v b, c l nghim ca phng trỡnh x 2 + qx + 2 = 0 Chng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6. Hng dn hc sinh gii. õy khụng phi l mt bi toỏn chng minh ng thc thụng thng, m õy l mt ng thc th hin s liờn quan gia cỏc nghim ca 2 phng trỡnh v h s ca cỏc phng trỡnh ú. Vỡ vy ũi hi chỳng ta phi nm vng nh lý Viột v vn dng nh lý Viột vo trong quỏ trỡnh bin i v ca ng thc, suy ra hai v bng nhau. Cỏch gii: a,b l nghim ca phng trỡnh: x 2 + px + 1 = 0 b,c l nghim ca phng trỡnh: x 2 + qx + 2 = 0. Theo nh lý viột ta cú: = =+ 1a.b p -ba v = =+ 2b.c q -cb Do ú: (b a)(b c) = b 2 + ac - 3 (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b 2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b 2 + ac +3 6 = b 2 + ac - 3 (2) T (1) v (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (pcm) =========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi -8- ¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n ================================================================================================================== Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện: a + b + c = - 2 (1); a 2 + b 2 + c 2 = 2 (2) Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn       − 0; 3 4 khi biểu diễn trên trục số: Cách giải: Bình phương hai vế của (1) được: a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = 4 Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1 ⇒ bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a 2 + 2a + 1 Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình: X 2 + (a + 2)X + (a 2 + 2a + 1) = 0 (*) Để (*) có nghiệm thì ta phải có: ∆ = (a+2) 2 - 4(a 2 +2a+1) ≥ 0 ⇔ a(3a + 4) ≤ 0 ⇔ - 3 4 ≤ a ≤ 0 Chứng minh tương tự ta được: - 3 4 ≤ b ≤ 0; - 3 4 ≤ c ≤ 0 2. Bài tập: Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x 2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phương trình: y 2 + qy + 1 = 0 Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q) 2 Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = () 200 dưới dạng thập phân, ta được chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9. III. ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ VIÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH. 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình:       + − 1 5 x x x       + − + 1 5 x x x =6 Hướng dẫn: =========================================================== Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi -9- ¸p dông ®Þnh lý Vi - Ðt trong viÖc gi¶i mét sè bµi to¸n ================================================================================================================== ĐKXĐ: {x∈R  x ≠ - 1} Đặt:      + − += + − = 1 5 1 5 . x x x x x xu ν ⇒    = =+ ?. ? ν ν u u Tính: u, v, rồi từ đó tính x. Bài giải: ĐKXĐ: {x ∈ R  x ≠ - 1} Đặt:      + − += + − = 1 5 1 5 . x x x x x xu ν (*) ⇒              + − +       + − =       + − ++       + − =+ 1 5 . 1 5 1 5 1 5 . x x x x x xu x x x x x xu ν ν ⇒    = =+ 6. 5 ν ν u u u, v là nghiệm của phương trình: x 2 - 5x + 6 = 0 ∆ = 25 – 24 = 1 x 1 = 2 15 + = 3 x 2 = 2 15 − = 2 u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3 Nếu:    = = 2 3 ν u thì (*) trở thành: x 2 - 2x + 3 = 0 ∆' = 1 – 3 = - 2 < 0 Phương trình vô nghiệm: Nếu:    = = 3 2 ν u thì (*) trở thành: x 2 - 3x + 2 = 0 Suy ra: x 1 = 1; x 2 = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x 1 = 1; x 2 = 2. Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình: a)      = =+ 31xy 11yx b)      =+ =++ 12y 2 x 2 xy 7yxyx =========================================================== Trêng THCS Ninh Xu©n Gi¸o viªn: TrÇn Danh Lîi -10- [...]... Giáo viên: Trần Danh Lợi áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== x2 - (2m - 1)x + m 2 = 0 2 Tỡm m x12 + x2 cú giỏ tr nh nht Bi gii: Xột: = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0 Nờn phng trỡnh ó cho cú hai nghim vi mi m Theo nh lý Viột ta cú: x1 + x2 =...áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== Bi gii: a) x,y l nghim ca phng trỡnh: x2 - 11x +31 = 0 =(-11)2... 9 (m + 4) 2 = 2 2 2 Du bng xy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4 -12=========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== Vy A t giỏ tr ln nht l: 9 khi m = - 4, giỏ tr ny tho món... Max(A) = 101 khi v ch khi t = 0 tc l x = 0; y = hoc x = ; y = 0 -13=========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== 2 Bi tp: Bi 1: Gi x1, x2 l cỏc nghim ca phng trỡnh x2 + 2(m... hn Xin chõn thnh cm n! Ninh Xuõn, ngy 16 thỏng 4 nm 2009 Ngi vit -14=========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== Trn Danh Li -15===========================================================... tr 2 nh nht Tỡm giỏ tr ú C KT LUN ng dng ca nh lý Viột trong vic gii toỏn l mt vn ln, ũi hi ngi hc phi cú tớnh sỏng to, cú t duy tt v k nng vn dng lý thuyt mt cỏch linh hot Chớnh vỡ l ú, trong quỏ trỡnh ging dy, ngi giỏo viờn cn chun b chu ỏo, t m, rừ rng tng th loi bi tp c th hc sinh hiu sõu bn cht v cỏch vn dng Xõy dng cho cỏc em nim am mờ, hng thỳ trong hc tp, tụn trng nhng suy ngh, ý kin v sỏng... tra, ỏnh giỏ kt qu hc tp, b sung thiu sút kp thi, dy sõu, dy chc v kt hp nhun nhuyn, lụgic gia cỏc bi khỏc nhau Nghiờn cu ti ng dng ca nh lý Viột trong vic gii toỏn khụng ch giỳp cho hc sinh yờu thớch hc b mụn toỏn, m cũn l c s giỳp cho bn thõn cú thờm kinh nghim trong ging dy Mc dự ó rt c gng khi thc hin ti, song khụng th trỏnh khi thiu sút v cu trỳc, ngụn ng v kin thc khoa hc Vỡ vy, tụi mong s quan . áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== A hc. =========================================================== Trờng THCS Ninh Xuân Giáo viên: Trần Danh Lợi -1- áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== Mt. Lợi -2- = =+ a c xx a b xx 21 21 . a c a c = =+ Pvu Svu . áp dụng định lý Vi - ét trong việc giải một số bài toán ================================================================================================================== I.