Ứng dụng của định lý Vi-ét để giải một số bài toán trung học phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Định lý mệnh đề kiến thức có giá trị phương diện suy luận ứng dụng chương trình tốn nói chung chương trình tốn trung học phổ thơng nói riêng Có nhiều định lý tiếng có vai trò quan trọng nghành toán học định lý Fermat, định lý Chebyshev, định lý Bunhia, định lý Cauchy….trong có định lý Vi-ét Do có đặc thù đặc biệt gồm định lý thuận định lý đảo nên có nhiều ứng dụng quan trọng, có vai trò “móc chìa khóa” mở hướng giải cho toán liên quan đến phương trình bậc hai, hệ phương trình… Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét góp phần làm đa dạng tập phương trình bậc hai, quy phương trình bậc hai, tốn liên quan đến nghiệm số phương trình bậc hai, thuật giải phương trình, hệ phương trình độc đáo Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán tạo hứng thú giải tập cho học sinh, hình thành cho học sinh lý tưởng phong phú, trau dồi tư óc sáng tạo cho em Tuy nhiên, nhiều ứng dụng định lý Vi-ét mà học sinh chưa nắm Với việc hệ thống cách tương đối đầy đủ cụ thể theo dạng phương pháp giải tập áp dụng nhằm cung cấp thêm tài liệu cho học sinh giáo viên thuận lợi trình học tập, với say mê thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi mong muốn có kiến thức vững vàng tốn ứng dụng định lý Vi-ét mà tơi chọn đề tài “Ứng dụng định lý Vi-ét để giải số tốn trung học phổ thơng” Lê Thị Thanh Thảo K35A - SP Tốn Mục đích nghiên cứu Cung cấp thêm tài liệu cho giáo viên học sinh thuận lợi trình học tập giảng dạy, từ nâng cao chất lượng dạy học nhà trường phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lý luận, ứng dụng định lý Vi-ét - Tìm hiểu thực trạng dạy học định lý Vi-ét số trường trung học phổ thông - Xây dựng hệ thống tập số ứng dụng định lý Vi-ét - Tiến hành thực nghiệm để kiểm tra tính khả thi khóa luận Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm Cấu trúc đề tài Mở đầu Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung Chương Cơ sở lý luận Chương Ứng dụng định lý Vi-ét để giải toán trung học phổ thông Chương Thực nghiệm sư phạm Kết luận NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định lý Vi-ét 1.1.1 Định lý Vi-ét Toán học 1.1.1.1 Định lý thuận Nếu phương trình bậc n n n1 a nx  a n1 x   a 1x  a   a  0 có n nghiệm x , x , , (các nghiệm khơng thiết phân biệt) ta có hệ xn thức Vi-ét sau: x1  x2   xn a   n1 a  x x n x1 x2  x1 x3  x1  x2 x3   x2 x x n  x 1i1 i2  n x x i1 i2  1k n ank a ik n xx x a0  1k n an 1.1.1.2 Định lý đảo Cho n số thực tùy ý 1 ,2 , , Đặt S1  1      n S2  12  23   n1 n n  n an2 an …… …… ……………… Sk   1i1 i2  n i  i  i k ……………………………… Sn  1.  n Khi  , , , nghiệm phương trình: x  S x    1 k S xnk    1 n S 0 n n1 k n 1.1.1.3 Ví dụ Định lý Vi-ét phương trình bậc ba  Định lý thuận Cho phương trình bậc ba: ax3  bx2  cx  d   a  0 Giả sử phương trình có ba nghiệm phải phân biệt) b  xx x  1 a  Khi  x x  x x  x  c x 12 3 a d  xxx   a   Định lý đảo x1 , x2 , x3 (các nghiệm không thiết Giả sử cho số thực x1 , x2 , x3 Đặt S  x  x  x 1 S2  x1 x2  x2 x3  x1 x3 S3  x1 x2 x3 Khi x1 , x2 , nghiệm phương trình: x3 x Sx S xS 0 1.1.2 Nội dung định lý Vi-ét nhà trường phổ thông 1.1.2.1 Định lý thuận Nếu phương trình bậc hai ax2  bx  c   a  0 có hai nghiệm x , x  b xx  1 a   x x  c  a 1.1.2.2 Định lý đảo Nếu hai số u v có tổng u + v = S tích u.v = P u v nghiệm phương trình: X  SX  P  Điều kiện cần đủ để tồn hai số u v S ≥ 4P 1.2 Một số ứng dụng định lý Vi-ét để giải toán Trung học phổ thơng 1.2.1 Bài tốn nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ: Khơng giải phương trình, tìm nghiệm phương trình sau: 2 a, x  3x   b, x  7x   c, 2x  5x   Giải d, 5x  12x 17  a, x  3x   Ta có: a + b + c = – + = Phương trình có hai nghiệm  x1  x2  2 b, x  7x   Ta có: a – b + c = + – = Phương trình có hai nghiệm   x  1  x2  c, 2x  5x   Ta có: a – b + c = – + =   x1  1  Phương trình có hai nghiệm x  2 2 d, 5x  12x  17  Ta có: a + b + c = + 12 – 17 =  x1  17  Phương trình có hai nghiệm  x2    1.2.2 Bài tốn tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ 1: Giả sử phương trình ax2  bx  c   a  0 có hai nghiệm x1 , x2 Hãy lập phương trình có nghiệm sau: a, x x d, x  x x x e, b, 2x1 2x2 c, x1 x1 1 x2 x2 Giải Giả sử phương trình ax  bx  c   a  0  Sxx   Khi ta đặt: có hai nghiệm x1 , x2 b a   P  x x  c a, x1 có:   x2 a  x1    x2     x1  x2   S Ta  x1  x2   x1 x2  P Vậy x1 x2 nghiệm phương trình t  St  P  b, 2x1 2x2 2x  2x  2(x  x )  2S 2 Ta có:  2x1.2x2  4x1 x2  4P Vậy 2x1 2x2 nghiệm phương trình t  2St  P  c, x1 x2 Ta có:  x2  x   x  x 2  2x x  S  2P  2 2  x x  P 1 Vậy x x22 nghiệm phương trình t   S  2P  t  P  2 d, x1  x2 x x (x  x )  x x  S  P 2 Ta có:  (x1  x2 ).x1 x2  SP Vậy x1  x x x nghiệm phương trình t  S  P  SP    e, x x2 1   x x  x1  x2 xx Ta có:  1.1   x1 x2 Vậy x1 c, x4  x   S x x P 1   1.11  x1 x2 P nghiệm phương trình t  S t   P P x2 Ví dụ 2: Giả sử Hãy tính: a, x1  x2 x1 x2 1 x1 , x2 nghiệm phương trình 3x2  5x   b, x1  x2 x1 d, x2 1  x   1  x  x2 x1 Giải Ta có ∆ = 25 + 4.3.6  ∆ = 97 >  phương trình có hai nghiệm x , x1  xx  Theo định lý Vi-ét ta có:  3 a, x  x Ta1 có  x x  2 3 (x  x )  (x  x )  3x x (x  x ) 2  x x 2    2   =  3 Nhận xét: Nhìn chung kết kiểm tra hai lớp tương đối đồng Số học sinh đạt điểm lớp chiếm tỉ lệ cao (cụ thể trên, 40%) Số học sinh đạt điểm giỏi chiếm tỉ lệ thấp (chỉ khoảng 20%) Điều chứng tỏ khả vận dụng định lý Vi-ét vào giải tập học sinh hạn chế Giáo Án Thực Nghiệm Một số ứng dụng định lý Vi-ét để giải tốn trung học phổ thơng I, Mục tiêu Về kiến thức Hệ thống số ứng dụng cụ thể định lý Vi-ét để giải số tốn trung học phổ thơng Về kỹ Vận dụng thành thạo ứng dụng định lý Vi-ét vào giải tập liên quan Về tư Tư logic, sáng tạo II, Chuẩn bị giáo viên học sinh Chuẩn bị giáo viên Phiếu học tập, giáo án, dụng cụ phục vụ giảng dạy Chuẩn bị học sinh Ôn lại phần nội dung định lý Vi-ét học, dụng cụ học tập III, Tiến trình học Phiếu học tập số Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a, x  6x   b, x + x +2 = Ví dụ 2: Cho phương trình: 3x2  8x   Tính giá trị biểu thức sau a, A = x 12x 11 b, B = x 212x Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh - Phương pháp giải toán ví dụ 1? - Phương pháp giải tốn nhẩm nghiệm + Nếu a + b + c = phương trình c có hai nghiệm x  1, x  a + Nếu a – b + c = phương trình c - Cho học sinh hoạt động cá nhân có hai nghiệm x  1, x   phút a -Cho học sinh báo cáo kết a, x  6x   Nhận thấy – +5 =  phương trình có hai nghiệm x1  1, x2  b, x  3x   Giáo viên nhấn mạnh: giải phương trình bậc hai, trước tiên Nhận thấy – + =  phương trình có hai nghiệm x1  1, x2  2 kiểm tra việc áp dụng định lý Vi-ét, không sử dụng dùng cơng thức nghiệm Ví dụ - Có nhận xét biểu thức ví dụ này? - Nêu hướng làm toán này? - Chia lớp thành nhóm thực ví dụ 2: Nhóm 1,3: a Nhóm 2,4: b - Cho học sinh hoạt động nhóm - Là biểu thức đối xứng phút báo cáo kết Ví dụ x1  x 2 Theo định lý Vi-ét ta có:  x1.x2  a Ta có x  x   x  x   2x x 2 2 2  x 1 x 2= – 2.6  x 1 x 2 = 13 Giáo viên tổng kết lại bước để b Ta có: 2 1 x x tính giá trị biểu thức đối xứng 2 22 x1  x2 = x1 x2 nghiệm phương trình bậc hai 1 13 gồm bước:   = 36 x12 x22 + Bước 1: Đưa biểu thức dạng biểu thức chứa tổng tích nghiệm + Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét tìm tổng, tích nghiệm + Thay tổng, tích nghiệm vào biểu thức vừa biến đổi ta giá trị cần tìm Phiếu học tập số Ví dụ 3: Cho phương trình: mx  2(m 1)x  3m   a, Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b, Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Hoạt động giáo viên - Phương trình Hoạt động học sinh - Phương trình có hai nghiệm trái dấu ax  bx  c  (a ≠ 0) có hai a.c < nghiệm trái dấu nào? - Áp dụng vào giải câu a.Giáo viên gọi học sinh lên bảng - Điều kiện để phương trình Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ax  bx  c  (a ≠ 0) có hai 0 a   '  nghiệm dương phân biệt?  P  - Áp dung vào giải câu b  Giáo viên gọi học sinh lên  S  bảng a, Phương trình có hai nghiệm trái dấu - Gọi học sinh nhận xét m(3m + 1) <   < m