skkn ỨNG DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để GIẢI một số DẠNG TOÁN TRUNG học PHỔ THÔNG

BM 01-Bia SKKN S GIO DC V O TO NG NAI TRNG THPT NGUYN TRI Mó s: (Do HKH S GD&T ghi) SNG KIN KINH NGHIM NG DNG TNH N IU CA HM S GII MT S DNG TON TRUNG HC PH THễNG Ngi thc hin: NG THANH HN Lnh vc nghiờn cu: - Qun lý giỏo dc - Phng phỏp dy hc b mụn: TON - Lnh vc khỏc: Cú ớnh kốm: Cỏc sn phm khụng th hin bn in SKKN Mụ hỡnh a CD (DVD) Phim nh Hin vt khỏc (cỏc phim, nh, sn phm phn mm) Nm hc: 2015 - 2016 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT S LC Lí LCH KHOA HC BM02-LLKHSKKN I THễNG TIN CHUNG V C NHN H v tờn: NG THANH HN Ngy, thỏng, nm sinh: 01 08 1976 Nam, n: NAM a ch: KP 9, phng Tõn Biờn, TP Biờn Hũa, Tnh ng Nai in thoi: Fax: (CQ)/ (NR); TD: 0919302101 E-mail: Chc v: Giỏo viờn Nhim v c giao (qun lý, on th, cụng vic hnh chớnh, cụng vic chuyờn mụn, ging dy mụn, lp, ch nhim lp,): Ging mụn Toỏn lp 10A1, 12A3, 12B; Ch nhim lp 10A1 n v cụng tỏc: Trng THPT Nguyn Trói II TRèNH O TO - Hc v (hoc trỡnh chuyờn mụn, nghip v) cao nht: i hc - Nm nhn bng: 2000 - Chuyờn ngnh o to: Toỏn hc III KINH NGHIM KHOA HC - Lnh vc chuyờn mụn cú kinh nghim: Ging dy Toỏn - S nm cú kinh nghim: 16 nm - Cỏc sỏng kin kinh nghim ó cú nm gn õy: 01 -Trang : SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Tờn SKKN :NG DNG TNH N IU CA HM S GII MT S DNG TON TRUNG HC PH THễNG I Lí DO CHN TI - Trong chng trỡnh Toỏn hc ph thụng, chỳng ta thng gp nhiu bi toỏn chng minh bt ng thc, gii phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh gii cỏc bi toỏn dng trờn, cú bi ta gii c bng nhiu phng phỏp khỏc nhau, cng cú bi ch cú th gii c bng phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s Hin nay, ngnh giỏo dc khụng ngng c ci cỏch v i mi kp vi xu th ca thi i, nờn cú nhiu yờu cu c t Mt s ú chớnh l lm cú c nhng hng gii quyt nhanh m n ỳng ỏp s ng dng tớnh n iu ca hm s l mt phng phỏp nh vy - Tuy vy, chng trỡnh toỏn THPT, cỏc em hc sinh c tip cn vi cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc, gii phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh mt vi cỏch gii thụng thng vi nhng bi toỏn c bn n gin Nhng thc t, cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc, gii phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh xut hin rt nhiu cỏc kỡ thi Tuyn sinh i hc - Cao ng v cỏc kỡ thi hc sinh gii S phong phỳ v cỏc dng toỏn v cỏch gii ó gõy khụng ớt khú khn cho cỏc em hc sinh, ú ch cú s ớt cỏc em bit phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s gii nhng trỡnh by cũn lng cng cha c rừ rng, thm cũn mc mt s sai lm khụng ỏng cú trỡnh by Ti li nh vy? - Lý chớnh õy: Mt l: Vic gii phng trỡnh, bt phng trỡnh bng nhng phộp bin i tng ng thụng thng thỡ hc sinh c gii quyt khỏ nhiu lp 10 v lp 11, nhng gii bng ng dng tớnh n iu ca hm s thỡ n lp 12 mi c hc, nờn lm bi cn phi kt hp hai cỏch lm vi thỡ hc sinh li lỳng tỳng li gii, dn n sai kt qu Hai l: Khi hc sinh lm bi v phng trỡnh, bt phng trỡnh hoc tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc cú iu kin m li gii cú bc t n ph thỡ tụi thy nhiu hc sinh mc phi mt nhng sai lm: -Trang : SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT hoc l t n ph m khụng ngh n tỡm iu kin ca n ph hoc tỡm sai iu kin ca nú, hoc ó tỡm chớnh xỏc iu kin ca n ph nhng lp lun trờn phng trỡnh, bt phng trỡnh theo n ph thỡ li khụng xột trờn iu kin rng buc ca nú nờn dn n kt lun khụng chớnh xỏc Ba l: T thay i sỏch giỏo khoa, tinh gim chng trỡnh thỡ cỏc dng toỏn phi s dng nh lớ o ca tam thc bc hai khụng th dng vỡ nh lớ ny ó b, ú hc sinh c sỏch tham kho xut bn trc ú cú rt nhiu bi toỏn s dng nh lý ú nờn hc sinh c sỏch rt hoang mang v khụng bit phi gii quyt nh th no Bn l: Trong chng trỡnh SGK Gii Tớch lp 12 hin hnh, ng dng tớnh n iu ca hm s c trỡnh by phn u chng I (u hc k I) rt hn ch Do ú quỏ trỡnh ging dy, cỏc giỏo viờn khụng th a a c nhiu bi cho nhiu dng hỡnh thnh k nng gii cho hc sinh - Trong nhng nm hc qua, c phõn cụng ging dy lp 12,qua nhn xột v ỏnh giỏ, tụi thy a s hc sinh ang thiu t c lp, sỏng to v dng kin thc; nht l kh nng quy l v quen hay m rng kin thc vo tng dng toỏn c th.Vỡ vy, cỏc gi dy, vic bi dng nng lc t hm s cho hc sinh thụng qua cỏc bi toỏn l mt iu cn thit Khi ú ngi thy phi cú phng phỏp truyn th tt v kin thc chuyờn sõu dn dt hc sinh, ng thi cn h thng húa li bi hc sinh dng cú hiu qu - Tụi vit chuyờn ny nhm mc ớch ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT thng gp cỏc kỡ thi Tuyn sinh i hc Cao ng nhng nm gn õy vi bi c phõn dng tng ng, nhm giỳp cỏc em hc sinh lp 12 cú th t ụn nõng cao kin thc nhm gii tt cỏc thi i hc - Cao ng - Tụi hy vng chuyờn ny b tỳc cho cỏc em hc sinh mt lng kin thc nht nh Rt mong c s ng viờn v nhng ý kin úng gúp ca quý Thy Cụ v cỏc em hc sinh Tụi xin chõn thnh cm n ! -Trang : SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT II C S Lí LUN V THC TIN C s lý lun: - Nhim v trung tõm trng hc THPT l hot ng dy ca giỏo viờn v hot ng hc ca hc sinh, xut phỏt t mc tiờu o to Nõng cao dõn trớ, o to nhõn lc, bi dng nhõn ti, giỳp hc sinh cng c nhng kin thc ph thụng Trong ú, b mụn Toỏn l mt mụn hc t nhiờn quan trng v khú vi kin thc rng, a phn cỏc em ngi hc mụn ny - Mun hc tt mụn Toỏn cỏc em phi nm vng nhng tri thc khoa hc mụn toỏn mt cỏch cú h thng, bit dng lý thuyt linh hot vo tng dng bi iu ú th hin vic hc i ụi vi hnh, ũi hi hc sinh phi cú t logic Giỏo viờn cn nh hng cho hc sinh hc v nghiờn cu mụn toỏn hc mt cỏch cú h thng chng trỡnh hc ph thụng, dng lý thuyt vo lm bi tp, phõn dng cỏc bi ri tng hp cỏc cỏch gii Xột mt s vớ d sau: 3x + + x + = (1) Vớ d 1: Gii phng trỡnh Cỏch gii c bn: 3x + x (1) x + ( 3x + 1) ( x + 1) = 23 11x 3x + + x + + ( x + 1) ( x + 1) = 25 23 23 x x 11 11 24 x +11x +1 = 529 506 x +121x x 22 x + 21 = 23 x 11 x = x=1 x = 21 ( ) Cỏch s dng tớnh n iu ca hm s: 3x +1 iu kin : x 8 x +1 -Trang : SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Xột hm s f(x) = 3x + + x + , vi x 8 + Ta cú f (x) = > vi mi x > 3x + x + 1 Mt khỏc hm s f(x) = 3x + + x + liờn tc trờn na khong [ ; +) Do ú hm s ng bin x v f(1) = Vy phng trỡnh (1) cú nghim nht x = Vớ d 2: ( kim tra hc k I lp 12 nm hc 2014 2015, Tnh ng Nai) x 3( Tỡm xỏc nh ca hm s y = log + x ) (1) Cỏch gii 1: x x Hm s (1) xỏc nh ( x 8) + x + x > ( x 1) > x x x 2) ( > ( x ) x2 + x + + ( x ) x + x + + x +1 x 1 , ( x + x + ) + > 0, x x + x > ( ( ) ) ữ> x +1 x > Vy hm s (1) cú xỏc nh D = (2; + ) Cỏch gii 2: x Hm s (1) xỏc nh (2) x + x > Xột hm s f(x) = x3 + x , vi x Ta cú f/(x) = 3x2 + > , vi x > Do ú hm s f(x) = x3 + x ng bin trờn khong (1; +) Mt khỏc hm s f(x) = x3 + x liờn tc trờn na khong [1; +) v f(2) = Vy (2) x > 2, ú hm s (1) cú xỏc nh D = (2; +) -Trang : SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Vớ d 3: ( kim tra hc k II lp 12 nm hc 2014 2015, Tnh ng Nai) Cho a l s thc dng tha a < Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc 2 a) P= a +( 2a a Cỏch gii 1: Ta cn chng minh bt ng thc sau: a2 b2 ( a + b ) a, b R v x > 0, y > chng minh + ữ y x+ y x (*) a, b R v x > 0, y > p dng bt ng thc Bunhiacụpxki cho bn s a a b2 b x+ + ữ( x + y ) y y x x a b , , x , y ta c x y a b2 ( a + b ) y ữ + ữ ữ x+ y x y 2 a b Du = xy v ch x = y p dng: Theo gi thit ta cú < a < a > 2 a ) a + ( a ) ( a2 Do ú, t cụng thc (*) ta cú P = + =2 2a a (2 a) + a Vy P = a 2a = a = a a =1 2a a Cỏch gii 2: Xột hm s f(a) = a + ( a ) 2a a Ta cú f/(a) = , vi a (0; 2) 2 ( a 1) 4a ( a ) + a + ( a ) a ( a) Bng bin thiờn: a f/(a) f(a) + T bng bin thiờn ta cú minf(a) = minP = a = -Trang : SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Qua ba vớ d minh cho phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s gii phng trỡnh, bt phng trỡnh hay tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s, ta thy hiu qu hn so vi nhng cỏch gii thụng thng - Tụi vit sỏng kin kinh nghim ny vi mc ớch giỳp cho hc sinh THPT dng v tỡm phng phỏp gii gp cỏc bi toỏn chng minh bt ng thc, gii phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh bng cỏch s dng tớnh n iu ca hm s - Trong gii hn ca SKKN tụi gii thiu ng dng ca tớnh n iu ca hm s thng hay s dng chng trỡnh toỏn THPT: Gii phng trỡnh v bt phng trỡnh Gii h phng trỡnh Chng minh bt ng thc Tỡm Giỏ tr ln nht Giỏ tr nh nht ca biu thc Ni dung, bin phỏp thc hin cỏc gii phỏp ca ti: - a mt s vớ d cú li gii cho hc sinh tham kho v bi tõp ỏp dng - õy l ni dung thng gp cỏc k thi Tuyn sinh Cao ng v i hc Vi phng chõm T d n khú , hc sinh cn phi rốn luyn nhiu thỡ mi t kt qu tt III T CHC THC HIN CC GII PHP A GII PHNG TRèNH & BT PHNG TRèNH: I Túm tt lý thuyt: Cỏc nh lý Cho hm s y = f(x) cú o hm trờn khong (a; b) a) Nu f ' ( x ) > vi mi x ( a;b ) thỡ hm s f(x) ng bin trờn (a; b) b) Nu f ' ( x ) < vi mi x ( a;b ) thỡ hm s f(x) nghch bin trờn (a; b) Nu hm s liờn tc trờn on [a; b] v cú o hm f ' ( x ) > trờn khong (a; b) thỡ hm s f ng bin trờn on [a; b] Nu hm s liờn tc trờn on an [a; b] v cú o hm f ' ( x ) < trờn khong (a; b) thỡ hm s f nghch bin trờn on [a; b] Cỏc tớnh cht -Trang : SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Tớnh cht 1: Gi hm s y = f(x) ng bin (nghch bin) trờn khong (a; b) v u; v ( a;b ) ú: f ( u ) = f ( v ) u = v Tớnh cht 2: Nu hm s y = f(x) ng bin trờn (a; b) v y = g(x) l hm hng hoc l mt hm s nghch bin trờn (a; b) thỡ phng trỡnh f(x) = g(x) cú nhiu nht mt nghim thuc khong (a; b) Da vo tớnh cht trờn ta suy ra: Nu cú x ( a;b ) cho f ( x ) = g ( x ) thỡ phng trỡnh f(x) = g(x) cú nghim nht x0 trờn (a; b) Tớnh cht 3: Gi hm s y = f(x) ng bin (nghch bin) trờn khong (a; b) v u; v ( a;b ) ú: f ( u ) > f ( v ) u > v (u < v) Chỳ ý: Khong (a; b) nờu tớnh cht cú th thay bi cỏc ( ; a ) ; ( ; a ] ; a; b ; ( a; b ; a; b ) ; ( b; + ) ; b; + ) ; ( ; + ) s dng tớnh n iu ca hm s gii phng trỡnh ,ta cú hng ỏp dng sau õy: Hng 1: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = k (k l hng s) Bc 2: Xột hm s y = f ( x) Bc 3: Nhn xột: Vi x = x0 f ( x) = f ( x0 ) = k ú x0 l nghim Vi x > x0 f ( x) > f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vi x < x0 f ( x) < f ( x0 ) = k ú phng trỡnh vụ nghim Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 2: thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng: f ( x) = g ( x) Bc 2: Dựng lp lun khng nh rng f ( x) v g(x) cú nhng tớnh cht trỏi ngc v xỏc nh x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) Bc 3: Vy x0 l nghim nht ca phng trỡnh Hng 3: Thc hin theo cỏc bc: Bc 1: Chuyn phng trỡnh v dng f (u ) = f (v) Bc 2: Xột hm s y = f ( x) , dựng lp lun khng nh hm s n iu Bc 3: Khi ú f (u ) = f (v) u = v Nhn xột: Vn quan trng nht phng phỏp ny l chỳng ta nhn c hm f(x) luụn n iu v nhm c nghim ca phng trỡnh 1) nhn hm luụn n iu chỳng ta cn nm c mt s tớnh cht ca hm n iu: i) Nu hm s y =f(x) ng bin (nghch bin) thỡ: -Trang : SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT * Hm y = n f(x) (vi iu kin n f(x) tn ti) cng ng bin (nghch bin) * Hm y = f(x) (vi f(x) > 0) nghch bin (ng bin) * Hm y = f(x) nghch bin (ng bin) ii) Tng ca hai hm ng bin (nghch bin) l hm ng bin (nghch bin) iii) Tớch ca hai hm dng ng bin (nghch bin) l mt hm ng bin (nghch bin) 2) Khi nhm nghim ca phng trỡnh , ta thng u tiờn cho nhng giỏ tr ca x m biu thc di du cn nhn giỏ tr l mt s ly tha m n (vi cn bc n) Bi Gii cỏc phng trỡnh: a) 2x + + x = c) e) b) 2x x + = d) x + x = 2x2 5x 3x + + x + 7x + = x +1 = x f) log ( ) x = log x Gii a) a 2x + + x = (1) iu kin: x Xột hm s f(x) = 2x + + x , x Ta thy f l hm liờn tc trờn [ 3; + ) v f '(x) = 2x + + x3 > 0, x > Nờn hm s f ng bin trờn 3; + ) Mt khỏc f(4) = nờn (1) f(x) = f(4) x = Vy x = l nghim nht ca phng trỡnh (1) b) 2x x + = (2) 3 iu kin: x Xột hm s f(x) = 2x x + , x Ta thy f(x) l hm liờn tc trờn ; ữ v f'(x) = 2x < 0, x ; ữ Nờn hm 3.3 (x + 2)2 s nghch bin trờn ; Mt khỏc f( 3) = nờn (2) f(x) = f(3) x = Vy x = l nghim nht ca phng trỡnh (2) c) 3x + + x + 7x + = (3) iu kin: 3x + 7x + x + 7x + x 7x + x x 57 -Trang : 10 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Thay y = 2x + vo phng trỡnh (2) ta c phng trỡnh: x x + = x + = x 16 x + 24 x = x = 33 Vy nghim ca h phng trỡnh l 3 3 ; + ữ ( x; y ) = ; ữ ữ ữ 2 ( x; y ) = ỡù x + - y - y + x + - y - y = ( ) ùù c) ùù ùợ x + xy + + ( x + 2) y + x + = iu kin: y + x + (1) (2) Bin i phng trỡnh (1) v dng tớch s Xem (1) l mt phng trỡnh bc hai theo n x + , phõn tớch tam thc bc hai thnh nhõn t Ta c: ( 1) x + - ( y - y + 1) x + - y - y = 2 y = x2 + 2 (vỡ ( x + - y )( x + + y + 1) = x2 + + y2 + 1> ) Th y = x + , thay vo (2) ta c phng trỡnh mt n: x + x x + + + ( x + 2) x + x + = x + x x + + x + + ( x + 2) ( x + ) + = 2 ( x + 2) + ( x + ) ( x + 2) + = ( - x ) + ( - x ) ( - x ) + (3) Xột hm s: f ( t ) = t + t t + vi t R Ta cú: f '( t ) = + t + + t2 t2 + > 0, " t ẻ R f(t) ng bin trờn R Nờn: ( 3) f ( x + 2) = f ( - x ) x + = - x x = - Vi x = ị y = (tha iu kin) ( ) Vy (x; y) = 1; l nghim ca h phng trỡnh -Trang : 18 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT (6 x + 5) x + y y = d) y + x = x + x 23 (1) (2) x + + x iu kin x 2 x + x 23 ( Khi ú: (1) x + + ( x + 1) = y + y ( ) ) (*) Xột hm s: f (t ) = t + 3t = 3t + 2t , vi t [ 0; + ) Ta cú f '(t ) = 9t + > , vi mi t [ 0; + ) Suy f(t) ng bin trờn [ 0; + ) Do ú: ( *) f ( x + 1) = f ( y) x + = y Thay y = 2x + vo phng trỡnh (2) ta c phng trỡnh: x + + x = x + x 23 x + + 2 x + x = x + x 23 x + x 2 x + x 24 = x = 2x2 + x = x + x 36 = x=4 x = x + x = Vi x = y = Vy nghim ca h phng trỡnh l ( x; y ) = ( 4;3) Bi t luyn Bi Gii cỏc h phng trỡnh: x +1 x + ( y ) y = 1/ (H - 2010A) 2 x + y + x = ( ( ) ) ( S: ( x; y ) = ; ữ ) 2 HD: Bin i x + x + ( y 3) y = x + x = ( y + 1) y Xột hm s f(t) = t3 + t Bin i n phng trỡnh x + x ữ + x = 2 Xột hm s g(x) = x + x ữ + x -Trang : 19 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT x ( x + y ) = y ( y + 1) 2/ 4x + + y + = ( S: ( x; y ) = ( 1; 1) ( x; y ) = ( 1;1) HD: Vi y bin i x x + y 2 )=y ( x x y + 1) ữ + = y + y , t ú y y xột hm s f(t) = t3 + t x3 x x + 22 = y + y y 3/ (H 2012A) 2 x + y x + y = 3 S: ( x; y ) = ; ữ ( x; y ) = ; ữ 2 2 x + + x y + = y 4/ (H 2013A) 2 x + x ( y 1) + y y + = S: ( x; y ) = ( 1; ) ( x; y ) = ( 2;1) C CHNG MINH BT NG THC: PHNG PHP GII: Ni dng ca phng phỏp ny l tỡm cỏch a mt bt ng thc nhiu bin v bt ng thc cha mt bin Mt nhng cụng c ti u chng minh bt ng thc mt bin l cụng c o hm Quan trng nht phng phỏp ny l tỡm cỏch ỏnh giỏ a v mt bin a v mt bin, chỳng ta cn lu ý: Nu mt bt ng thc hai bin cú iu kin v iu kin cú mt bin bc nht thỡ ta cú th rỳt bin ú v th vo bt ng thc cn chng minh ta c mt bt ng thc mt bin Tuy nhiờn cỏch lm ny chỳng ta ch x lớ bt ng thc khụng quỏ phc Nu iu kin ca bi toỏn v bt ng thc cn chng minh l nhng biu thc i xng hai bin thỡ ta cú th chuyn v tng v tớch hai bin ú Lu ý: S 4P f ( x, y ) Khi gp bi toỏn chng minh BT hai bin cú dng: g x, y p , ú ( ) f ( x, y ) v g ( x, y ) l nhng biu thc ng cp bc k hai bin, ta cú th t x = ty (y 0) Khi ú BT cn chng minh tr thnh : f ( t,1) p õy l BT mt g ( t,1) bin chng minh BT ny ta cú th s dng phng phỏp kho sỏt hm s -Trang : 20 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT -a n bn Nu bt ng thc xut hin cỏc s hng: n + n thỡ ta cú th t b a t= a b + b a Bi Chng minh rng: a) sin x x x 0; b) cosx < x + x x (0; ) 24 2 d) ln(1 + x) x x x c) ex + x x Gii: a) sinx x x 0; Xột hm s f(x) = sin x x vi x 0; Ta cú: f '(x) = cos x x 0; f(x) l hm nghch bin trờn 0; f(x) f(0) = sin x x x 0; (pcm) b) cosx < x + x x (0; ) 24 Xột hm s f(x) = sin x x + x3 , x 0; ữ, ta cú: x2 f '(x) = cos x + f "(x) = sin x + x x 0; ữ (theo cõu a) f '(x) f '(0) = x 0; ữ f(x) f(0) = x 0; ữ sin x > x x3 x 0; ữ (pcm) 3! c) ex + x x Xột hm s f(x) = e x x Ta cú: f '(x) = e x f '(x) = x = x - f'(x) + + f(x) T bng bin thiờn, ta thy f(x) f(0) = x ex x x ex 1+ x x d) ln(1 + x) x x x -Trang : 21 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT -1 Xột hm s f(x) = ln(1 + x) x + x vi x x2 1+ x = x f(x) f(0) = x 1+ x x+1 Cú f '(x) = ln(1 + x) x x x (pcm) Bi Chng minh rng: a) b) c) + ; Vi x > 0, y > v x + y = x 4y x3 + y3 16 ; vi hai s x, y thay i tha ( x + y ) xy = x + y xy 3a 3b ab + + a + b2 + ; vi a, b, c l cỏc s thc dng tha món: b +1 a +1 a + b ab + a + b = Gii: 4y = 4x (1) + x 4x 4 , x 0; ữ Xột hm s f ( x ) = + x 4x 4 f '( x) = + ,f ' ( x ) = x = x ( 4x ) a) Ta cú x + y = T bng bin thiờn ta c: f ( x ) = f ( 1) = 0; ữ 4 , t ú suy x + 4y ng thc xy x = 1, y = b) t: u = x + y,v = xy ( x + y ) xy = x + y xy uv = u 3v ( u + ) v = u2 v = Vy x3 + y3 = x3 + y ( xy ) Vỡ u 4v u u2 ( u ) u+3 = u 3uv v3 = ( u u 3v v3 ) = u2 = u + v2 ữ u 4u u1 ( õy ta lu ý u ) u+3 u+3 u+3 u u < (*) u+3 > nờn ta ch cn chng minh : u u+3 u+3 f '( u) = < , u ( ; ) [1; +) Xột hm f ( u ) = u u u Vỡ t (*) suy -Trang : 22 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Do ú f ( u ) f ( 1) = 4, u [1; +) v = f ( ) < f ( u ) < 1,u (-; 3) t ú suy pcm c) t t = a + b ab = t v a + b2 = t 2(3 t) = t + 2t Vỡ (a + b)2 4ab t 4(3 t) t + 4t 12 t (do t > 0) 3(a + b2 ) + 3(a + b) ab + (a + b2 ) Khi ú : (1) (a + 1)(b + 1) a+b 12 3t + 6t 18 + 3t t (*) + t 2t + t + t + t t 2 Xột hm s : f(t) = t + t + 12 12 vi t Ta cú : f '(t) = 2t + < t t t f(t) f(2) = t (*) ỳng pcm ng thc xy a = b = Bi t luyn Bi Chng minh rng: a) sin x > x x 3! x (0; ) x2 x c) e + x + x x 0, y e) x + y ; vi 3 x + y = g) x3 + (1 x)3 ,x sin x b) ữ > cos x x (0; ) x x2 2x3 d) ln(1 + x) x + f) h) (x+ 4xy x + 4y ) x + 1+ x + x ; vi x, y > x2 , x[1 ;1] D TèM GI TR LN NHT V NH NHT CA BIU THC: KIN THC C BN: 1) NH NGHA: Gi s hm s y = f(x) xỏc nh trờn hp D S M c gi l GTLN ca hm s y = f(x) trờn D nu cỏc iu sau c i) f ( x ) M x D f ( x) tha món: Ký hiu: M = Max xD ii) x D : f x = M ( ) 0 S m c gi l GTNN ca hm s y = f ( x ) trờn D nu cỏc iu sau c i) f ( x ) m x D f ( x) tha món: ii) x D : f x = m Ký hiu: m = xD ( ) 0 -Trang : 23 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Quy c: Ta quy c rng núi GTLN hay GTNN ca hm s f m khụng núi "trờn D" thỡ ta hiu ú l GTLN hay GTNN trờn TP XC NH ca nú i vi GTLN v GTNN i vi hm nhiu bin cng cú nh ngha tng t 2) S DNG TNH N IU CA HM S TèM GTLN & GTNN CA HM S MT BIN: iu kin tn ti GTLN v GTNN: nh lý: Hm s liờn tc trờn mt on [ a; b ] thỡ t c GTLN v GTNN trờn on ú Phng phỏp chung: Mun tỡm GTLN v GTNN ca hm s y = f(x) trờn D, ta lp BNG BIN THIấN ca hm s trờn D ri da vo BBT suy kt qu Phng phỏp riờng: Trong nhiu trng hp, cú th tỡm GTLN v GTNN ca hm s trờn mt on m khụng cn lp bng bin thiờn ca nú Gi s hm s f liờn tc trờn on [ a; b ] v cú o hm trờn khong ( a; b ) , cú th tr mt s hu hn im Nu f '( x) = ch ti mt s hu hn im thuc ( a; b ) thỡ ta cú quy tc tỡm GTLN v GTNN ca hm f trờn on [ a; b ] nh sau: Quy tc: 1) Tỡm cỏc im x1 , x2 , , xm thuc ( a; b ) m ti ú hm s f cú o hm bng hoc khụng cú o hm 2) Tớnh f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xm ), f (a ), f (b) 3) So sỏnh cỏc giỏ tr tỡm c S ln nht cỏc giỏ tr ú l GTLN ca f trờn on [ a; b ] S nh nht cỏc giỏ tr ú l GTNN ca f trờn on [ a; b ] Bi Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht (nu cú) ca hm s: a) y = 2x3 + 3x2 12x + trờn on [1; 2] b) y = ex.(x2 x 1) trờn on [0; 2] c) y = x - 4- x2 d) y = 2sin2x cosx + Gii -Trang : 24 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT ự a) Hm s y = 2x3 + 3x2 12x + liờn tc trờn on ộ ở- 1;2ỷ ộx = - ẽ D y ' = Ta cú: y ' = x + x - 12 ; ờx = ẻ D y = - 5; max y = 15 Do y ( - 1) = 15; y ( 2) = 6; y ( 1) = - Vy xẻ D xẻ D b) Hm s y = ex.(x2 x 1) liờn tc trờn on [0; 2] ộx = - ẽ D x y ' = y ' = e x + x Ta cú: ( ); ờx = ẻ D 2 y = e ; max y = e Do y ( 0) = - 1; y ( 2) = e ; y ( 1) = - e Vy xẻ D xẻ D c) Tp xỏc nh D = [2; 2] - x liờn tc trờn on [2; 2] Hm s y = x Ta cú: y ' = - x2 + x - x2 ; y'= x =- ( Do y ( - 2) = - 2; y ( 2) = 2; y d) 2ẻ D ) = - 2 Vy y = - 2; max y = xẻ D xẻ D Tp xỏc nh: D = R ự t t = cosx vi t ẻ ộ ở- 1;1ỷ, hm s tr thnh: y = - 2t - t + Ta cú: y ' = - 4t - ; y'= t =- ổ Do y ( - 1) = 2; y ( 1) = 0; y ỗ ỗỗ ố ộ ự ẻ - 1;1 ỷ 1ử 25 ữ ữ = ữ ữ 4ứ y = - 2; max y = Vy xẻ D xẻ D Bi t luyn Bi Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht (nu cú) ca hm s: a) y = c) y = x2 3x + x3 + x + 3x trờn on [4; 0] b) y = trờn on [0; 2] x +1 x +1 x2 +1 trờn on [1; 2] e) y = x + x d) y = ln x trờn on [1; e3] x e) y = sin4x + cos4x + -Trang : 25 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT 3) S DNG TNH N IU CA HM S TèM GTLN & GTNN CA HM S NHIU BIN: A PHNG PHP CHUNG: gii bi toỏn tỡm GTLN, GTNN ca hm s nhiu bin bng phng phỏp hm s, thụng thng ta thc hin theo cỏc bc sau : Bin i cỏc s hng cha biu thc v cựng mt i lng ging a vo mt bin mi t, bng cỏch t t bng i lng ó c bin i nh trờn Xột hm s f(t) theo bin t Khi ú ta hỡnh thnh c bi toỏn tng ng sau : Tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s f (t ) vi t D Lỳc ny ta s dng o hm tỡm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s f (t ) vi t D Chỳ ý : trng hp khụng th xõy dng trc tip c hm s f(t)vi t D , ta cú th i tỡm f (t ) vi t D tha P f (t ) i vi bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht f (t ) vi t D tha P f (t ) i vi bi toỏn tỡm giỏ tr ln nht B MT S BI TON MINH HA I XY DNG TRC TIP HM S f(t) BNG CC BIN I I S: Phng phỏp: D oỏn kh nng du bng xy hoc giỏ tr c bit iu kin t c bin ph t thớch hp Cú th bin i c v hm f(t) khụng cn s dng tớnh cht bt ng thc Hm f(t) tng i kho sỏt c Chỳ ý phn tỡm iu kin ca t (phi tht chớnh xỏc) Thớ d Cho x, y l cỏc s thc dng tha x + y = Tỡm GTNN ca biu thc P = x + ữ y + ữ y2 x Gii Ta bin i P = ( xy ) + +2 ( xy ) x, y > Do nờn = x + y xy < xy x + y = -Trang : 26 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT t t = ( xy ) , iu kin ca t l < t 16 t Khi ú biu thc P = f ( t ) = + t + f ' ( t ) = ; ta thy f ' ( t ) < vi mi t t t 0; , suy hm s f(t) nghch bin trờn na khong 0; 16 16 289 Vy giỏ tr nh nht ca biu thc P l P = min1 f ( t ) = f 16 = 16 t( 0; ] 16 Thớ d Cho cỏc s thc thay i x ,y tha iu kin y v x2 + x = y + 12 Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc P = xy + x + 2y +17 Gii Ta cú x + x 12 = y x P = x( x + x 12) + x + 2( x + x 12) + 17 = x + x x Xột hm s f ( x) = x + x x vi x f / ( x) = x + x f / ( x) = x = 3; x = Vy GTLN P = 20 x = 3, y = hoc x = 3, y = GTNN P = 12 x = 1, y = 10 Thớ d Cho cỏc s thc x v y tha x + y = x + xy + y + x Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x xy + Gii x0 y0 x2 x + y = 2x x + x(2 x) + (2 x) + x x x + / P= = P = ( x + x + 1) 3x x(2 x) + x + x +1 -Trang : 27 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Vy GTNN P = x = 1; y = Thớ d Cho cỏc s thc thay i x, y tha iu kin x + y v x + y + xy = x + y + Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc P = xy x + y +1 Gii T gi thit 2 t t = x + y, ta cú ( x + y ) xy 3t 4t t t t Khi ú P = f (t ) = vi t < t +1 t = t + 2t / f ( x ) = f (t ) = t =0 (t + 2) / 1 x = y = hoc x = y = 3 GTNN P = x = 1, y = hoc x = 1, y = Vy GTLN P = Bi t luyn Bi (H - 2006A) Cho cỏc s thc x 0, y tha ( x + y ) xy = x + y xy Tỡm GTLN ca biu thc A = 1 + x3 y S: GTLN A = 16 x = y = Bi (H 2009D) Cho cỏc s thc khụng õm x, y tha iu kin x + y = Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc S = (4 x + y )(4 y + 3x) + 25 xy -Trang : 28 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT 25 x = y = 2 191 2+ 2+ 3 GTNN S = x = hoc x = ,y = ,y = 16 4 4 Bi (H 2011B) Cho a, b cỏc s thc dng tha 2(a2 + b2) + ab = (a + b)(ab + 2) S: GTLN S = a b3 a b P = Tỡm GTNN ca biu thc + ữ + ữ a b a b 23 S: GTNN P = a = 1, b = hay a = 2, b = Bi Cho x, y , z thuc on [ 0; 2] v x + y + z = Tỡm giỏ tr ln nht ca A = x2 + y2 + z S: GTLN A = x = 0; y = 1; z = Bi Cho cỏc s thc thay i x, y tha iu kin y = x( x y ) Tỡm GTLN, GTNN ca biu thc P = x6 + y x y + xy x = y = 1 25 GTLN P = f ( ) = x = y = S: GTNN P = f (1) = II XY DNG GIN TIP HM S f(t) BNG S DNG TNH CHT BT NG THC: Phng phỏp chung: D oỏn kh nng du bng xy hoc giỏ tr c bit iu kin t c bin ph t thớch hp Kh nng bin i c v hm f(t )l khú buc phi s dng bt ng thc Lu ý s dng bt ng thc iu kin du bng xy phi ỳng Cn thuc mt s bt ng thc ph cú th a v theo mt i lng thớch hp no ú theo ý mong mun Hm f(t) tng i kho sỏt c Chỳ ý phn tỡm iu kin ca t (phi tht chớnh xỏc) Thớ d (Khi B 2009) Cho cỏc s thc thay i tha ( x + y )3 + xy Tỡm GTNN ca biu thc P = 3( x + y + x y ) 2( x + y ) + Gii -Trang : 29 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT x2 + y2 Ta cú ( xy ) 2 x2 + y2 2 2( x + y ) + P 3( x + y ) ( x + y) t t = x + y 2 (t gi thit ( x + y ) + ( x + y ) ( x + y ) + xy ) 2 9t 9t / Xột hm s f (t ) = 2t + vi t f (t ) = 2 Suy P f (t ) f ( ) = Vy GTNN P = 16 x = y = z = 16 Thớ d (Khi B 2010) Cho cỏc s thc khụng õm a, b, c tha a + b + c = Tỡm GTNN ca biu thc P = 3(a 2b2 + b c + c a ) + 3(ab + bc + ca ) + a + b + c Gii Ta bin i P (ab + bc + ca )2 + 3(ab + bc + ca ) + 2(ab + bc + ca ) (a + b + c) t t = ab + bc + ca , iu kin t = ab + bc + ca = 3 Xột hm s f (t ) = t + 3t + 2t , t 0; 2 // Ta cú f '(t ) = 2t + , f (t ) = (1 2t )3 2t 11 / / Do vy f /(t) l hm nghch bin: f (t ) f ữ = > 3 Suy f(t) l hm s ng bin BBT t f / ( t) + -Trang : 30 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT -10 + f (t ) Suy P f (t ) f (0) = ab = bc = ca Vy GTNN P = ab + bc + ca = (1; 0; 0) v cỏc hoỏn v a +b +c =1 Bi t luyn Bi (H 2013D) Cho x, y l cỏc s thc dng tha iu kin xy y Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc P = x+ y x xy + y x 2y 6( x + y) x = v y = + 30 Bi (H 2013B) Cho x, y l cỏc s thc dng Tỡm giỏ tr ln nht ca biu S: GTLN P = thc P = a2 + b2 + c2 + ( a + b ) ( a + 2c ) ( b + 2c ) a = b = c = Bi (H 2012D) Cho cỏc s thc x, y tha (x 4)2 + (y 4)2 + 2xy 32 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = x3 + y3 + 3(xy 1)(x + y 2) 17 5 1+ S: GTNN A = x = y = 4 Bi Cho cỏc s ng x, y tha x + y = Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc S: GTLN P = P= x y + x y GTNN P = x = y = IV HIU QU CA TI - Ti liu phự hp vi mi i tng hc sinh, ú hc sinh tớch cc, t giỏc hc - Cng c c nhiu k nng nh Phõn tớch, T Tng hp Giỳp cỏc em hc sinh t tin hn vic hc mụn Toỏn - Thng kờ: Nm hc TB < 6,5 6,5 < TB < 8,0 8,0 < TB -Trang : 31 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT 2014 2015 25% 60% 15% 2015 2016 15% 55% 30% V XUT, KHUYN NGH Cú th a vo chng trỡnh hc v xem nh l bi c thờm, trờn c s ú giỏo viờn v hc sinh tham kho v rốn luyn VI DANH MC TI LIU THAM KHO Trn Phng (2010) Bi ging trng tõm ụn luyn mụn toỏn, Nh xut bn i Hc Quc Gia H Ni Phan Huy Khi (2011) Bi c bn v nõng cao theo chuyờn toỏn THPT Tp 3: Phng trỡnh Bt phng trỡnh Bt ng thc, Nh xut bn giỏo dc ,Vit Nam Nguyn Tt Thu (2013) Cm nang luyn thi i hc i S S cp, Nh xut bn Tng hp, Thnh Ph H Chớ Minh Mt s bi toỏn c tỏc gi tớch ly quỏ trỡnh ging dy -Trang : 32 [...].. .SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Xột hm s f(x) = 3x +1 + x + 7x + 2 trờn D = [ 7 57 ; +) , 2 7 3 2 7x + 2 > 0 nờn... 2.2 + 1 = 5 u log x 1 = u x 1 = 2 2 ( u ) u u u u u 4 2 1 4 2 1 ữ + 2 ữ + ữ = 1 (*) t f(u) = ữ + 2 ữ + ữ , 5 5 5 5 5 5 -Trang : 11 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT -/ ta cú f (u) < 0 vi mi u nờn f(u) gim v cú f(2) = 1, do ú phng trỡnh (*) cú nghim... 15x2 + 42x 29 2 3 + 7 x x c) x 6x + 12x 7 x + 9x 19x + 11 3 e) 2 3 2x+1 + 3x+1 < 6x 1 3 2 1 d) ữ < x + 4 3 f) log3 x > 4 x -Trang : 12 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT ( g) log 7 x < log 3 2 + x ) h) log 2 ( ) x 2 + 5x + 5 + 1 + log3 ( x 2 5 x +... 2 Vy tp nghim ca bt phng trỡnh ó cho l: T = 1;2 3; + ) x 1 d) ữ < x + 4 3 x 1 Bt phng trỡnh ó cho tng ng vi ữ x 4 < 0 3 -Trang : 13 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT -x 1 t f(x) = ữ x 4 thỡ f/(x) < 0 vi mi x nờn f(x) nghch bin v f(1) = 0 , 3 vy... t luyn Bi 4 Gii cỏc phng trỡnh: 1/ 3 x + x2 2 + x x2 = 1 HD: t t = x2 x , bin i phng trỡnh v dng: S: x = 1 5 2 3 + t = 1+ 2 t -Trang : 14 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT 2/ 3 3 1 S: x = 1, x = 2 3 x + 2 + 3 x + 1 = 2x 2 + 1 + 2x 2 HD: t u = 3 x +... 12/ x 2 + 3log 2 x = x log 2 5 S: x = 4 HD: t t = log2 x x = 2t , bin i phng trỡnh v dng 4t + 3t = 5t Bi 5 Gii cỏc bt phng trỡnh: -Trang : 15 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT 1/ 5x 1 + x + 3 4 S: x 1 2/ ( x + 2 ) ( 2 x 1) 3 x + 6 4 ( x + 6 ) ( 2 x... ( y 1) ( 3 y ) + 1 = 0 ỡù x 2 + 2 - y 2 - y + 1 x 2 + 2 - y 3 - y = 0 ( ) ù c) ùớ ùù 2 ùợ 2 x + xy + 2 + ( x + 2) y + 4 x + 4 = 0 -Trang : 16 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT -3 (6 x +5) 2 x +1 2 y 3 y = 0 d) 2 y + x = 2 x + 4 x 23 Gii x y + 1 y 1... 3 = 3(t 2 1) 0 , vi mi t [1; 1] Suy ra f(t) nghch bin trờn on [ 1;1] Do ú: ( *) f (2 x) = f ( y 2) 2 x = y 2 y = 2 x + 2 -Trang : 17 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT Thay y = 2x + 2 vo phng trỡnh (2) ta c phng trỡnh: 4 x 2 2 1 4 x 2 + 1 = 0 4... Nờn: ( 3) f ( x + 2) = f ( - x ) x + 2 = - x x = - 1 Vi x = 1 ị y = 3 (tha iu kin) ( ) Vy (x; y) = 1; 3 l nghim ca h phng trỡnh -Trang : 18 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT (6 x + 5) 2 x + 1 2 y 3 y 3 = 0 d) 2 y + x = 2 x + 4 x 23 (1) (2) 2 x + 1... f(t) = t3 + t 2 5 Bin i n phng trỡnh 4 x + 2 x 2 ữ + 2 3 4 x 7 = 0 2 2 2 5 Xột hm s g(x) = 4 x + 2 x 2 ữ + 2 3 4 x 7 2 2 -Trang : 19 SKKN nm 2016: ng dng tớnh n iu ca hm s gii mt s dng toỏn THPT x ( x 2 + y 2 ) = y 4 ( y 2 + 1) 2/ 2 4x + 5 + y + 8 = 6 ( S: ( x; y ) = (