skkn ỨNG DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để GIẢI một số DẠNG TOÁN TRUNG học PHỔ THÔNG

Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃNLĩnh vực nghiên cứu: Có đính kèm:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Người thực hiện: ĐẶNG THANH HÃNLĩnh vực nghiên cứu:

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN

 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

(các phim, ảnh, sản phẩm phần mềm)

Năm học: 2015 - 2016

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

10A1, 12A3, 12B; Chủ nhiệm lớp 10A1

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học

- Năm nhận bằng: 2000

- Chuyên ngành đào tạo: Toán học

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy Toán

- Số năm có kinh nghiệm: 16 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây: 01

BM02-LLKHSKKN

Tên SKKN :ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT

-SỐ DẠNG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

- Trong chương trình Toán học phổ thông, chúng ta thường gặp nhiều bài toánchứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

Để giải các bài toán dạng trên, có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp khác

nhau, cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số Hiện nay, ngành giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới

để kịp với xu thế của thời đại, nên có nhiều yêu cầu được đặt ra Một trong số đóchính là làm sao có được những hướng giải quyết nhanh mà vẫn đến đúng đáp số

Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số là một phương pháp như vậy.

- Tuy vậy, trong chương trình toán THPT, các em học sinh được tiếp cận với cácbài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệphương trình ở một vài cách giải thông thường với những bài toán cơ bản đơngiản Nhưng trong thực tế, các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phươngtrình, bất phương trình, hệ phương trình xuất hiện rất nhiều trong các kì thi Tuyểnsinh Đại học - Cao đẳng và các kì thi học sinh giỏi Sự phong phú về các dạngtoán và cách giải đã gây không ít khó khăn cho các em học sinh, trong khi đó chỉ

có số ít các em biết phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải nhưng

trình bày còn lủng củng chưa được rõ ràng, thậm chí còn mắc một số sai lầmkhông đáng có trong khi trình bày Tại sao lại như vậy?

Hai là: Khi học sinh làm bài tập về phương trình, bất phương trình hoặc tìmgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có điều kiện mà trong lời giải cóbước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm:hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điềukiện của nó, hoặc đã tìm chính xác điều kiện của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên

phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ thì lại không xét trên điều kiện ràngbuộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác.

Ba là: Từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạngtoán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định línày đã bỏ, do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rấtnhiều bài toán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và khôngbiết phải giải quyết như thế nào

- Trong những năm học qua, khi được phân công giảng dạy lớp 12,qua nhận xét

và đánh giá, tôi thấy đa số học sinh đang thiếu tư duy độc lập, sáng tạo về vận

dụng kiến thức; nhất là khả năng “quy lạ về quen” hay mở rộng kiến thức vào

từng dạng toán cụ thể.Vì vậy, trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng năng lực tư duyhàm số cho học sinh thông qua các bài toán là một điều cần thiết Khi đó ngườithầy phải có phương pháp truyền thụ tốt và kiến thức chuyên sâu để dẫn dắt học

sinh, đồng thời cần hệ thống hóa lại bài tập để học sinh vận dụng có hiệu quả

- Tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích “Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số dạng toán THPT” thường gặp trong các kì thi Tuyển sinh Đại học -

Cao đẳng trong những năm gần đây với bài tập được phân dạng tương ứng, nhằmgiúp các em học sinh lớp 12 có thể tự ôn tập để nâng cao kiến thức nhằm giải tốtcác đề thi Đại học - Cao đẳng

- Tôi hy vọng chuyên đề này bổ túc cho các em học sinh một lượng kiến thứcnhất định Rất mong được sự động viên và những ý kiến đóng góp của quý Thầy

Cô và các em học sinh

Tôi xin chân thành cảm ơn !

-II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 Cơ sở lý luận:

- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của giáo viên và

hoạt động học của học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, giúp học sinh củng cố những kiến thức

phổ thông Trong đó, bộ môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khóvới kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

- Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môntoán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài

tập Điều đó thể hiện ở việc “học đi đôi với hành”, đòi hỏi học sinh phải có tư

duy logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toánhọc một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyếtvào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

x x

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1.

Ví dụ 2: (Đề kiểm tra học kỳ I lớp 12 năm học 2014 – 2015, Tỉnh Đồng Nai).

x

x x

Do đó hàm số f(x) = x3 + x   đồng biến trên khoảng (1; +).1 9

Mặt khác hàm số f(x) = x3 + x  1 9 liên tục trên nửa khoảng [1; +) và f(2) = 0

Vậy (2)  x > 2, do đó hàm số (1) có tập xác định D = (2; +).

-Ví dụ 3: (Đề kiểm tra học kỳ II lớp 12 năm học 2014 – 2015, Tỉnh Đồng Nai).

Cho a là số thực dương thỏa a < 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi a b x y

Áp dụng: Theo giả thiết ta có 0 < a < 2  2 – a > 0

Do đó, từ công thức (*) ta có P =    

2 2

2 2

Từ bảng biến thiên ta có minf(a) = minP = 2 khi a = 1

Qua ba ví dụ minh họa cho phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giảiphương trình, bất phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm

số, ta thấy hiệu quả hơn so với những cách giải thông thường

- Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vậndụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức,giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bằng cách sử dụng tính đơnđiệu của hàm số

- Trong giới hạn của SKKN tôi giới thiệu 4 ứng dụng của tính đơn điệu của hàm

số thường hay sử dụng trong chương trình toán THPT:

 Giải phương trình và bất phương trình

 Giải hệ phương trình

 Chứng minh bất đẳng thức

 Tìm Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài:

- Đưa ra một số ví dụ có lời giải cho học sinh tham khảo và bài tâp áp dụng.

- Đây là nội dung thường gặp trong các kỳ thi Tuyển sinh Cao đẳng và Đại học

Với phương châm “ Từ dễ đến khó” , học sinh cần phải rèn luyện nhiều thì mới

đạt kết quả tốt

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

A GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH:

I Tóm tắt lý thuyết:

1 Các định lý

 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

a) Nếu f ' x  0 với mọi xa;bthì hàm số f(x) đồng biến trên (a; b).

b) Nếu f ' x  0 với mọi xa;bthì hàm số f(x) nghịch biến trên (a; b).

 Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f ' x  0 trên khoảng

(a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a; b].

 Nếu hàm số liên tục trên đoạn đọan [a; b] và có đạo hàm f ' x  0 trên

khoảng (a; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a; b].

2 Các tính chất

 Tính chất 1: Giả hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)

và u;va;bkhi đó: f u f v   u v 

- Tính chất 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số nghịch biến trên (a; b) thì phương trình

f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)

Dựa vào tính chất trên ta suy ra: Nếu có x0a;b sao cho f x 0 g x 0

thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x 0 trên (a; b).

 Tính chất 3: Giả hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)

và u;va;bkhi đó: f u  f v   u v (u < v)

Chú ý:  Khoảng (a; b) nêu trong tính chất có thể thay bởi các miền

 ; ;a  ; ; ; ; ; ; ; ; ;a a b a b  a b b  ; ;b ;  ; 

 Để sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình ,ta có 3 hướng ápdụng sau đây:

H

ư ớng 1 : Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) k (k là hằng số)

Bước 2: Xét hàm số yf x( )

Bước 3: Nhận xét:

 Với x x 0  f x( ) f x( ) 0 k do đó x0 là nghiệm

 Với x x 0  f x( )  f x( ) 0 k do đó phương trình vô nghiệm

 Với x x 0  f x( )  f x( ) 0 k do đó phương trình vô nghiệm

 Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình

H

ư ớng 2 : thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f x( ) g x( )

Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f x( )và g(x) có những tính chất tráingược nhau và xác định x0 sao cho f x( ) 0 g x( ) 0

Bước 3: Vậy x0là nghiệm duy nhất của phương trình

H

ư ớng 3 : Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng ( ) f u f v( )

Bước 2: Xét hàm số yf x( ), dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

Bước 3: Khi đó ( ) f u f v( ) u v

3 Nhận xét: Vấn đề quan trọng nhất trong phương pháp này là chúng ta nhận ra

được hàm f(x) luôn đơn điệu và nhẩm được nghiệm của phương trình

1) Để nhận ra hàm luôn đơn điệu chúng ta cần nắm được một số tính chất của hàm đơn điệu:

i) Nếu hàm số y =f(x) đồng biến (nghịch biến) thì:

* Hàm y nf(x) (với điều kiện n f(x) tồn tại) cũng đồng biến (nghịch biến).

* Hàm y 1

f(x) (với f(x) > 0) nghịch biến (đồng biến).

* Hàm y f(x) nghịch biến (đồng biến).

ii) Tổng của hai hàm đồng biến (nghịch biến) là hàm đồng biến (nghịch biến) iii) Tích của hai hàm dương đồng biến (nghịch biến) là một hàm đồng biến (nghịch biến).

2) Khi nhẩm nghiệm của phương trình , ta thường ưu tiên cho những giá trị của x

mà biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là một số lũy thừa mũ n (với căn bậc n).

Bài 1 Giải các phương trình:

a) 2x 1 3 x 3   6 b) 3 2x 2 x 2 5 0  3   c) 3x 1  x 7x 2 4 d) x 2  4 x 2x  2 5x 1e) 3 2 1 2

Trên (x ;4]0 phương trình (4) có đúng một nghiệm x = 3.

Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất x = 3

Nhận xét: Hàm số f(x) ta xét ở trên không phải là một hàm luôn đơn điệunhưng

dựa vào bảng biến thiên ta chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất, từ

đó ta có được lời giải

x x

3 3

2009 x 2009 x cos x sin x 2009 x sin x 2009 x cos x

Xét hàm số f(u) = 2009u + u , ta có f(u) đồng biến trên R

Do đó f(sin2x) = f(cos2x)  sin2x = cos2x  cos2x – sin2x = 0

1 x 2.Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:    

thì f/(x) < 0 với mọi x nên f(x) nghịch biến và f(–1) = 0 ,

vậy bất phương trình có nghiệm x > –1

thì ta có f/(x) < 0 với mọi x, nên f(x) giảm

và f(2) = 0 Vậy bất phương trình có nghiệm x > 2

f) log3 x > 4 – x Điều kiện x > 0

Bất phương trình đã cho tương đương với log3 x + x – 4 > 0

-Đặt f(x) = log3 x + x – 4 thì f/(x) > 0 ,x > 0 nên f(x) đồng biến và f(3) = 0

Vậy bất phương trình có nghiệm x > 3

g) log7 xlog 23  x Điều kiện x > 0

Đặt u = log7 x  x = 7u Bất phương trình đã cho tương đương với

u < log (23  x) 3u < 2 +  7 u 2 1 7 1

u u

Đặt t = x2  5x 5 0 Bất phương trình đã cho tương đương với

log2 (t + 1) + log3 (t2 + 2)  0 (*) Đặt f(t) = log2 (t + 1) + log3 (t2 + 2), ta thấy f(t)

là hàm số đồng biến khi t  0 và f(1) = 2 nên (*)  t  1

Do đó

2 2



 Đặt f(x) = log2(x – 3) + log3(x – 2) và đặt g(x) = 1

2

x x

HD: Đặt u = x2  5x  0  u5 2 – 2 = x2 – 5x + 7

Phương trình tương đương log2(1 + u) + log3(2 + u2) = 2

Đặt f(u) = log2(1 + u) + log3(2 + u2)

HD: Đặt t = log2 x  x = 2t , biến đổi phương trình về dạng 4t + 3t = 5t

Bài 5 Giải các bất phương trình:

2/ x2 2  x 1 3  x  6 4 x6 2  x1 3  x2 ĐS: 1 7

2  x .HD: Biến đổi bất phương trình về dạng  x 2 x6  2x 1 3  4

4/ x 2 4 x 2x2 5x 1 ĐS: 2 x 3.5/ 2  1 1  2

3 x  3x x 4 x 3

HD: Biến đổi bất phương trình về dạng 3 2x1 1 2x 1 3x1 1  x 12

Bước 1: Tìm điều kiện cho các biến x, y của hệ phương trình (nếu có)

Bước 2: Tìm một hệ thức liên hệ đơn giản của x và y bằng phương pháp hàm số

+ Biến đổi một phương trình của hệ về dạng f(u) = f(v) (u, v là các biểu thức chứa x,y)

+ Xét hàm đặc trưng f(t), chứng minh f(t) đơn điệu, suy ra: u = v (đây là

hệ thức đơn giản chứa x, y)

Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm được vào phương trình còn lại của hệ để

Với x = – 1Þ y = 3 (thỏa điều kiện).

Vậy (x; y) = 1 3;  là nghiệm của hệ phương trình.

d)

3 2

Suy ra f(t) đồng biến trên 0; .

C CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI:

Nội dụng của phương pháp này là tìm cách đưa một bất đẳng thức nhiều biến về bất đẳng thức chứa một biến Một trong những công cụ tối ưu khi chứng minh bất đẳng thức một biến là công cụ đạo hàm Quan trọng nhất ở phương pháp này là

tìm cách đánh giá để đưa về một biến Để đưa về một biến, chúng ta cần lưu ý:

 Nếu một bất đẳng thức hai biến có điều kiện và trong điều kiện có một

biến bậc nhất thì ta có thể rút biến đó và thế vào bất đẳng thức cần chứng minh tađược một bất đẳng thức một biến Tuy nhiên cách làm này chúng ta chỉ xử lí khibất đẳng thức không quá phức tạp

 Nếu điều kiện của bài toán và bất đẳng thức cần chứng minh là những biểuthức đối xứng hai biến thì ta có thể chuyển về tổng và tích hai biến đó Lưu ý:

 Nếu trong bất đẳng thức xuất hiện các số hạng: ann bnn

a) Ta có x y 4y 5 4x

4

x 5 4x  Xét hàm số f x  4 1 , x 0;5

4

  b) Đặt: u x y,v xy    x y xy x   2 y2  xy uv u 2  3v

4 , x[–1 ;1]

D TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC:

1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

 Số M được gọi là GTLN của hàm số y = f(x) trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn:  

i) f x M x Dii) x D : f x M

 Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không

nói "trên tập D" thì ta hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH

của nó

 Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự

2) SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN:

Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn a;b thì đạt được GTLN và GTNN

trên đoạn đó

 Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) trên

miền D, ta lập BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy

ra kết quả

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

mà không cần lập bảng biến thiên của nó Giả sử hàm số f liên tục trên

đoạn a b;  và có đạo hàm trên khoảng a b;  , có thể trừ một số hữu hạn

quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm f trên đoạn a b;  như sau:

 Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của f trên đoạn a b ; 

 Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn a b; 

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:

4'