Luận văn sư phạm Ứng dụng của định lý Vi-ét để giải một số bài toán trung học phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Định lý là một mệnh đề đúng vì thế nó là kiến thức cơ bản và có giá trị  về phương diện suy luận và ứng dụng trong chương trình tốn nói chung cũng  như chương trình tốn trung học phổ thơng nói riêng.                                                             Có  rất  nhiều  định  lý  nổi tiếng  có  vai  trị quan trọng trong  nghành  tốn  học  như  định  lý  Fermat,  định  lý  Chebyshev,  định  lý  Bunhia,  định  lý  Cauchy….trong đó có định lý Vi-ét. Do có đặc thù đặc biệt gồm định lý thuận  và  định  lý  đảo  nên  nó  có  nhiều  ứng  dụng  quan  trọng,  có  vai  trị  “móc  chìa  khóa” mở ra các hướng giải quyết cho những bài tốn liên quan đến phương  trình bậc hai, hệ phương trình….  Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm đa dạng  các bài tập về phương trình bậc hai, quy về phương trình bậc hai, các bài tốn  liên quan đến nghiệm số của phương trình bậc hai, những thuật giải phương  trình, hệ phương trình độc đáo.  Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải tốn đã tạo được hứng thú giải bài  tập cho học sinh, hình thành cho học sinh những lý tưởng phong phú, trau dồi  tư duy và óc sáng tạo cho các em. Tuy nhiên, cịn rất nhiều ứng dụng của định  lý  Vi-ét  mà  hầu  như  học  sinh  chưa  nắm  được.  Với  việc  hệ  thống  một  cách  tương đối đầy đủ và cụ thể theo từng dạng cùng phương pháp giải và bài tập  áp dụng nhằm cung cấp thêm tài liệu cho học sinh và giáo viên thuận lợi trong  q trình học tập, cùng với sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm  tịi mong muốn có được kiến thức vững vàng hơn về các bài tốn ứng dụng  của định lý Vi-ét mà tơi chọn đề tài “Ứng dụng định lý Vi-ét để giải số toán trung học phổ thơng”.  Lê Thị Thanh Thảo                              1                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Cung  cấp  thêm  tài  liệu  cho  giáo  viên  và  học  sinh  thuận  lợi  trong  q  trình học tập và giảng dạy, từ đó nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà  trường phổ thơng.  Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cơ sở lý luận, ứng dụng của định lý Vi-ét.  - Tìm hiểu thực trạng dạy và học định lý Vi-ét ở một số trường trung học  phổ thơng.  - Xây dựng hệ thống bài tập về một số ứng dụng của định lý Vi-ét.  - Tiến hành thực nghiệm để kiểm tra tính khả thi của khóa luận.  Phương pháp nghiên cứu  - Phương pháp nghiên cứu lý luận.   - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.   - Phương pháp thực nghiệm.  Cấu trúc đề tài Mở đầu  1. Lý do chọn đề tài  2. Mục đích nghiên cứu  3.  Nhiệm vụ nghiên cứu  4. Phương pháp nghiên cứu  Nội dung  Chương 1. Cơ sở lý luận  Chương 2. Ứng dụng của định lý Vi-ét để giải các bài tốn trung học  phổ thơng.  Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.  Kết luận.    Lê Thị Thanh Thảo                              2                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp NỘI DUNG Chương CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Định lý Vi-ét 1.1.1 Định lý Vi-ét Toán học 1.1.1.1 Định lý thuận Nếu phương trình bậc n                                an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0   a     có n nghiệm  x1 , x2 , , xn   (các nghiệm khơng nhất thiết phân biệt) thì ta có hệ  thức Vi-ét sau:            x1  x2   xn   an1   an          x1 x2  x1 x3  x1 xn  x2 x3   x2 xn  xn 1 xn           1i1  i2   n xi xi xi   1 k k         x1 x2 xn   1 k an     an an  k   an a0   an 1.1.1.2 Định lý đảo Cho n số thực tùy ý 1 , , , n   Đặt      S1  1      n               S  1   2   n1 n               …………………………                Sk      1i1 i2   n i1 i2 ik                    ……………………………….               S n  1.  n   Lê Thị Thanh Thảo                              3                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp Khi đó  1 , , , n  là các nghiệm của phương trình:              x n  S1 x n 1    1 Sk x n k    1 Sn    k n 1.1.1.3 Ví dụ Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba.   Định lý thuận Cho phương trình bậc ba:                   ax3  bx  cx  d   a     Giả sử phương trình có ba nghiệm  x1 , x2 , x3  (các nghiệm không nhất thiết  phải phân biệt).  b   x1  x2  x3   a  c  Khi đó       x1 x2  x2 x3  x1 x3    a  d   x1 x2 x3   a   Định lý đảo Giả sử cho 3 số thực x1 , x2 , x3        Đặt   S1  x1  x2  x3   S  x1 x2  x2 x3  x1 x3   S3  x1 x2 x3   Khi đó  x1 , x2 , x3  là các nghiệm của phương trình:  x3  S1 x  S2 x  S3    1.1.2 Nội dung định lý Vi-ét nhà trường phổ thơng 1.1.2.1 Định lý thuận Nếu phương trình bậc hai  ax  bx  c   a    có hai nghiệm  x1 , x2 thì  b   x1  x2   a    c  x x   a Lê Thị Thanh Thảo                              4                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp 1.1.2.2 Định lý đảo Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là nghiệm  của phương trình:  X  SX  P    Điều kiện cần và đủ để tồn tại hai số u và v là S2 ≥ 4P.  1.2 Một số ứng dụng định lý Vi-ét để giải tốn Trung học phổ thơng 1.2.1 Bài tốn nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ: Khơng giải phương trình, hãy tìm nghiệm các phương trình sau:    a,  x  3x           b,  x  x       c,  x  x          d,  x  12 x  17    Giải a,  x  3x      Ta có: a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0  x                 Phương trình có hai nghiệm    x2  b,  x  x     Ta có: a – b + c = 1 + 7 – 8 = 0   x  1   Phương trình có hai nghiệm   x   c,  x  x     Ta có: a – b + c = 2 – 5 + 3 = 0   x1  1      Phương trình có hai nghiệm    x2    d,  x  12 x  17    Ta có: a + b + c = 5 + 12 – 17 = 0   x1   .    Phương trình có hai nghiệm    x2   17  Lê Thị Thanh Thảo                              5                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp 1.2.2 Bài tốn tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ 1:  Giả  sử  phương  trình  ax  bx  c   a     có  hai  nghiệm  x1 , x2  Hãy lập phương trình có nghiệm như sau:    a,   x1  và   x2                             d,  x1  x2  và  x1.x2          b,  2x1  và  2x2                             e,         c,  x12  và  x22   1  và    x1 x2 Giải Giả sử phương trình  ax  bx  c   a    có hai nghiệm  x1 , x2   b  S  x  x    a Khi đó ta đặt:         P  x x  c  a a,   x1  và   x2                                 x1     x2     x1  x2    S    Ta có:     x1   x2   x1 x2  P Vậy  x1  và   x2  là nghiệm của phương trình  t  St  P    b,  2x1  và  2x2   2 x  x2  2( x1  x2 )  2S Ta có:     2 x1.2 x2  x1 x2  P Vậy  2x1  và  2x2  là nghiệm của phương trình  t  St  P   .  c,  x12  và  x22    x12  x22   x1  x2 2  x1 x2  S  P     Ta có:    2  x1 x2  P Vậy  x12  và  x22  là nghiệm của phương trình  t   S  P  t  P    Lê Thị Thanh Thảo                              6                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp d,  x1  x2  và  x1.x2   ( x  x2 )  x1 x2  S  P    Ta có:     ( ) x x x x SP  2 Vậy  x1  x2  và  x1.x2  là nghiệm của phương trình  t   S  P   SP    e,  1  và     x1 x2  1 x1  x2 1 S   x  x  P x x x1 x2   2       Ta có:   1  1   x1 x2 P  x1 x2 x1 x2 Vậy  S 1  và   là nghiệm của phương trình  t  t     P P x1 x2 Ví dụ 2: Giả sử  x1 , x2 là các nghiệm của phương trình  3x  x     Hãy tính:    a,  x13  x23         b,  x14  x24      c,  x14  x24         d,  x1 x  x22   1  x12     x2 x1 Giải  Ta có ∆ = 25 + 4.3.6  ∆ = 97 > 0  phương trình có hai nghiệm x1 , x2     x1  x2  Theo định lý Vi-ét ta có:   3   x1.x2  2 a,  x13  x23   Ta có   ( x13  x23 )  ( x1  x2 )3  3x1.x2 ( x1  x2 )   5   x  x  =     3. 2     3 3 Lê Thị Thanh Thảo                              7                          K35A - SP Toán  Khóa luận tốt nghiệp   x13  x23  =  125  +10   27   x13  x23  =  395   27 b,  x14  x24   Ta có  ( x14  x24 )  ( x12  x22 )  x12 x22    x14  x24  = ( x1  x2 )  x1 x2      2 x12 x22       3721 4   x1  x2  =    2. 2    2.4    x14  x24  =    8   81       x14  x24  =  3073   81 c,  x14  x24                        Ta có  ( x14  x24 )   x12  x22  x12  x22   ( x1  x2 )( x1  x2 ) ( x1  x2 )  x1 x2         x  x  =  ( x1  x2 )          4   x14  x24  =  305 ( x1  x2 )   27 mà   ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2   97 5    ( x1  x2 )  =      2     ( x1  x2 )  =    3    x1  x2  97   Giả sử  x1  x2  thì  x1  x2  =  97     Lê Thị Thanh Thảo                              8                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp  x14  x24  =   Giả sử  x1  x2  thì   x1  x2 =   x14  x24  =  d,  305 97 305 97    x14  x24  =     27 81 97   355 97 305 97     x14  x24  =    27 81 x1 x  x22   1  x12     x2 x1 Ta có    x1 x x x  x22   1  x12   =    x1 x2    x2 x1 x2 x1  x  x   x1 x2  x x   x x      x1 x2 =  2 x1 x2 x2 x1 ( ) 4 x x  + 4    1  x22   1  x12  =  2 x2 x1   x1 x 61  x22   1  x12         x2 x1 18    x1 x 11  x22   1  x12  =     x2 x1 18 Ví dụ 3:  Giả  sử  x1 , x2   là  các  nghiệm  của  phương  trình  ax  bx  c   a    Hãy biểu diễn các biểu thức sau qua a, b, c.    a,  x12  x22                                    b,  x13  x23   c,  1                         d,  x12  x1 x2  x22   x1 x2 Giải b   x1  x2   a Theo định lý Vi-ét ta có:     c x x   a Lê Thị Thanh Thảo                              9                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp a,  x12  x22                                       Ta có  x12  x22 =  ( x1  x2 )  x1 x2     x12  x22  =  b2 c 2   a a (b)  2ac      x  x  = a2 2 b,  x13  x23   Ta có  x13  x23  =  ( x1  x2 )3  x1 x2 ( x1  x2 )   b3 cb    x  x  =    a aa 3   x13  x23  =  c,  3abc  b3   a3 1                            x1 x2 Ta có    b a x x 1 1 1 b   =         =       =   x1.x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 c a c d,  x12  x1 x2  x22    Ta có   x12  x1 x2  x22  =  ( x1  x2 )   6 x1.x2     x12  x1 x2  x22  =  b2 c         a2 a   x12  x1 x2  x22  =  b  6ac   a2 1.2.3 Bài tốn tìm hệ thức liên hệ nghiệm phương trình ax  bx  c   a   không phụ thuộc vào tham số Ví dụ 1: Cho phương trình   m  1 x  2(m  4) x  m   (1). Tìm hệ  thức  liên  hệ  giữa  các  nghiệm  của  phương  trình  khơng  phụ  thuộc  vào  tham   số m.  Lê Thị Thanh Thảo                              10                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp 3.4.2 Phân tích kết thực nghiệm Đề kiểm tra chất lượng ban đầu                                        (Thời gian làm bài 45 phút)  Bài 1: (2 điểm) Nhẩm nghiệm các phương trình sau:  a x  x                  b.  x  x  11    c.  x  x                d.  x  10 x  24    Bài 2: (4 điểm) Cho phương trình bậc hai  x  2( m  1) x  m  2m    a Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.  b Với giá trị nào của m thì phương trình trên có hai nghiệm phân biệt và  tích của chúng bằng 8.  Bài 3: (4 điểm) Cho phương trình   mx  2( m  1) x  3(m  2)    a Xác định m để phương trình có hai nghiệm  x1 , x2  sao cho  x 1 + 2 x 2 = 1  b Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương.  Kết quả thu được từ bài tốn kiểm tra được thống kê trong bảng phân bố  tần số và tần xuất sau:  Điểm kiểm tra học sinh lớp 10A, 10B trường THPT Mỹ Lộc Tần Số  Lớp  Tần Xuất (%)  Điểm Thi  10A  10B  10A  10B  0;2    0  0  0  0   2;4    2  3  5,7  7,9   4;6    11  15  31,4  39,5  6;8   15  12  42,9  31,5  8;10   7  8  20  21,1  Tổng 35  38  100%  100%  Lê Thị Thanh Thảo                              50                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét:  Nhìn chung kết quả bài kiểm tra ở hai lớp tương đối đồng đều. Số học  sinh đạt điểm dưới 6 ở các lớp chiếm tỉ lệ khá cao (cụ thể là trên, dưới 40%).  Số học sinh đạt điểm giỏi chiếm tỉ lệ thấp (chỉ khoảng hơn 20%). Điều này  chứng tỏ khả năng vận dụng định lý Vi-ét vào giải bài tập của học sinh cịn  hạn chế.  Giáo Án Thực Nghiệm Một số ứng dụng định lý Vi-ét để giải tốn trung học phổ thơng I, Mục tiêu Về kiến thức Hệ  thống  một  số ứng  dụng cụ thể của định lý Vi-ét để giải một  số bài  tốn trung học phổ thơng.  Về kỹ Vận dụng thành thạo các ứng dụng của định lý Vi-ét vào giải các bài tập  liên quan.  Về tư Tư duy logic, sáng tạo.  II, Chuẩn bị giáo viên học sinh Chuẩn bị giáo viên Phiếu học tập, giáo án, dụng cụ phục vụ giảng dạy.  Chuẩn bị học sinh Ơn lại phần nội dung định lý Vi-ét đã học, dụng cụ học tập.  III, Tiến trình học Phiếu học tập số 1  Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:  a,  x  x                                  b,  x 2 + 3 x  +2 = 0  Ví dụ 2: Cho phương trình:  3x  x    Tính giá trị các biểu thức sau       a, A =  x12  x22                                    b, B = 1     x12 x22 Lê Thị Thanh Thảo                              51                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh - Phương pháp giải bài tốn ví dụ 1?  -  Phương  pháp  giải  bài  tốn  này  là    nhẩm nghiệm     + Nếu a + b + c = 0 thì phương trình        có hai nghiệm  x1  1, x2  c  .  a + Nếu a – b + c = 0 thì phương trình  -  Cho  học  sinh  hoạt  động  cá  nhân  có hai nghiệm  x  1, x   c   a trong 3 phút.    -Cho học sinh báo cáo kết quả.        a,  x  x         Nhận  thấy  1  –  6  +5  =  0    phương    trình có hai nghiệm  x1  1, x2      b,  x  x      Giáo  viên  nhấn  mạnh:  khi  giải  Nhận thấy  1  –  3  +  2  =  0   phương  phương  trình  bậc  hai,    trước  tiên  trình có hai nghiệm  x1  1, x2  2   kiểm  tra  việc  áp  dụng  định lý  Vi-ét,    nếu  không  sử  dụng  được  mới  dùng    cơng thức nghiệm.    Ví dụ 2.    - Có nhận xét gì về các biểu thức ở ví    dụ này?    - Nêu hướng làm bài tốn này?  - Là các biểu thức đối xứng.  - Chia lớp thành 4 nhóm thực hiện ví    dụ 2: Nhóm 1,3: a              Nhóm 2,4: b    - Cho học sinh hoạt động nhóm trong  Lê Thị Thanh Thảo                              52                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp 3 phút rồi báo cáo kết quả.          Ví dụ 2.      x  x    Theo định lý Vi-ét ta có:   x1.x2    a. Ta có      x12  x22   x1  x2   x1 x2           x12  x22  = 52 –  2.6         x12  x22    = 13.    Giáo  viên  tổng  kết  lại  các  bước  để  b. Ta có:  2 tính  giá  trị  các  biểu  thức  đối  xứng        1 =  x1  x2    x12 x22 x12 x22 các  nghiệm của phương trình bậc hai  gồm 3 bước:  + Bước 1: Đưa biểu thức đó về dạng   1 13   =    36 x1 x2 biểu  thức  chỉ  chứa  tổng  và  tích  các      nghiệm.  + Bước 2: Áp dụng định lý Vi-ét tìm      tổng, tích các nghiệm.  + Thay tổng, tích các nghiệm đó vào    biểu thức vừa biến đổi ta được giá trị    cần tìm.      Phiếu học tập số Ví dụ 3: Cho phương trình:                                 mx  2(m  1) x  3m          a, Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.  b, Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.  Lê Thị Thanh Thảo                              53                          K35A - SP Tốn  Khóa luận tốt nghiệp Hoạt động giáo viên - Phương trình  Hoạt động học sinh - Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và  ax  bx  c   (a ≠ 0) có hai  chỉ khi a.c