Luận văn sư phạm Ứng dụng định hướng trong hình học phẳng

Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p L ic m n Sau m t th i gian say mê nghiên c u v i s c g ng c a b n thân đ c bi t s h ng d n ch b o t n tình c a Th y Nguy n V n V n giúp đ em su t trình nghiên c u hồn thành khố lu n Qua em xin bày lòng bi t n t i Th y c ng nh s ch b o quan tâm, đóng góp ý ki n c a Th y, Cơ giáo t Hình h c, Th y, Cơ giáo khoa Tốn giúp đ em hồn thành khố lu n t t nghi p c a Do u ki n th i gian kh n ng c a b n thân nhi u h n ch nên lu n v n khơng th tránh kh i nh ng thi u sót Kính mong Th y, Cơ b n nh n xét góp ý ki n đ em rút đ c kinh nghi m có h ng hồn thi n phát tri n khố lu n sau M t l n n a em xin đ c g i l i c m n chân thành sâu s c l i chúc s c kho đ n Th y, Cơ tồn th b n Hà N i, ngày 10 tháng 05 n m 2007 Sinh viên D D ng Tr ng Luy n K29b toán ng Tr ng Luy n Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p L i cam đoan Qua q trình nghiên c u khố lu n: “ ng d ng đ nh h ng hình h c ph ng” giúp em tìm hi u sâu h n b mơn Hình h c đ c bi t m t nh ng khái ni m quan tr ng c a hình h c s c p Qua c ng giúp em b c đ u làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c Em xin cam đoan khố lu n đ c hồn thành s c g ng n l c tìm hi u, nghiên c u c a b n thân v i s h ng d n, ch b o c a th y Nguy n V n V n c ng nh Th y, Cơ t Hình h c c a khoa Toán tr ng i H c S Ph m Hà N i R t mong nh n đ b n đ khoá lu n đ c s đóng góp ý ki n c a Th y, Cơ c hồn thi n Hà N i, ngày 10 tháng 05 n m 2007 Sinh viên D D ng Tr ng Luy n K29b toán ng Tr ng Luy n Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p M cl c Trang M đ u Ph n Các h tiên đ c a hình h c Euclid Ph n V n đ đ nh h A nh h ng m t ph ng ng đ ng th ng nh ngh a dài đ i s c a đo n th ng 10 H th c Sa- l 10 Các ví d minh ho 11 B nh h ng m t ph ng 16 B0 H to đ tr c chu n thu n ngh ch 16 B1 Góc đ nh h ng 16 B2 Góc đ nh h ng c a hai đ B3 Cung đ nh h ng đ B4 ng d ng góc đ nh h Ph n M t s khái ni m đ nh h ng th ng ng tròn đ nh h 24 ng 31 ng m t ph ng 39 ng không gian 58 H to đ tr c chu n thu n ngh ch 58 58 nh h ng cho m t nh di n, m t tam di n Phân lo i phép d i hình lo i I lo i II 61 Ví d 62 K t lu n 64 Tài li u tham kh o D ng Tr ng Luy n K29b toán 65 Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p M đ u Lý ch n đ tài Hình h c m t mơn có tính ch t h th ng ch t ch , có tính logic tình tr u t ng cao R t nhi u tốn hình h c ph ng mà vi c tìm l i gi i r t khó ho c n u có tìm đ c l i gi i l i gi i c a toán th hi n ph m vi ki n th c h c nh t thi t ph i v hình đ tìm h ng gi i Trong l i gi i c a toán nhi u ph i xét r t nhi u tr ng h p th t v trí c a m toán… V i r t nhi u toán nh v y vân d ng đ nh h l i M t khác th y đ đ ng m t ph ng có r t nhi u thu n c s ti n l i c a vi c đ nh h ng ng th ng m t ph ng Chính v y mà em ch n đ tài: “ ng d ng đ nh h h c ph ng” có th làm rõ đ cm th ng hình ng vi c s d ng đ nh h m t ph ng làm rõ tình u vi t c a vi c đ nh h ng M c đích nhi m v nghiên c u 2.1 M c đích nghiên c u Nghiên c u m t s ng d ng tính ch t c a đ nh h ng m t ph ng vào gi i tốn ch ng minh qu tích m t ph ng 2.2 Nhi m v nghiên c u Làm n i b t tính u vi t ng d ng c a đ nh h it ng ng nghiên c u M t s toán ch ng minh qu tích hình h c s c p Ph m vi nghiên c u D ng Tr ng Luy n K29b toán ng Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p Nghiên c u sách giáo khoa, sách chuyên kh o, sách tham kh o gi ng có đ c p đ n phép bi n hình ý ngh a khoa h c th c ti n c a đ tài 5.1 ý ngh a khoa h c Tìm hi u sâu h n v ng d ng c a đ nh h ng gi i toán 5.2 ý ngh a th c ti n Là tài li u tham kh o h u ích cho Th y, Cơ giáo b n u thích tốn PH n Các h tiên đ c a hình h c Euclid D ng Tr ng Luy n K29b toán Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p M t s yêu c u c b n c a vi c xây d ng hình h c b ng ph ng pháp tiên đ Khi xây d ng m t s lý thuy t hình h c ng i ta c n ph i có khái ni m c b n (là nh ng khái ni m đ u tiên không đ nh ngh a) tiên đ (là nh ng m nh đ xu t phát đ tiên đ c n ph i đ c th a nh n đúng).Tuy nhiên h th ng c đ m b o u ki n sau: 1.1 i u ki n phi mâu thu n: i u ki n có ngh a nh ng u nói tiên đ nh ng k t qu suy t chúng khơng có hai trái ng c 1.2 i u k n đ c l p: M i tiên đ c a h ph i đ c l p (đ i v i tiên đ khác), ngh a không th suy đ c t tiên đ l i 1.3 i u ki n đ y đ : H tiên đ ph i đ y đ đ xây d ng môn h c b ng suy di n lơgic H tiên đ Hinbe c a hình h c Euclid H tiên đ Hinbe g m 20 tiên đ v i khái ni m c b n *Sáu khái ni m c b n g m: “ i m”, “ ng th ng”, “m t ph ng” (g i chung “đ i t ng c b n”) “Thu c”, “ gi a”, “b ng” (g i chung “t *Các tiên đ c a Hinbe chia làm nhóm: Nhóm I ch a tám tiên đ v “liên thu c” Nhóm II ch a b n tiên đ v “th t ” Nhóm III ch a n m tiên đ v “b ng nhau” Nhóm IV ch a hai tiên đ v liên t c Nhóm V ch a m t tiên đ v song song 2.1 Nhóm I - tiên đ v liên thu c D ng Tr ng Luy n K29b toán ng quan c b n”) Tr ng T i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p ng quan c b n nhóm t ng quan “thu c” có g i qua Các tiên đ nhóm là: 2.1.1 V i hai m b t k t n t i đ ng th ng qua 2.1.2 V i hai m phân bi t có khơng q m t đ ng th ng qua 2.1.3 M i đ ng th ng có nh t hai m Có nh t ba m khơng thu c m t đ ng th ng 2.1.4 Cho b t k ba m A, B, C không thu c m t đ ng th ng, không bao gi có m t m t ph ng thu c m i m 2.1.5 Cho b t k ba m A, B, C không thu c m t đ ng th ng, không bao gi có m t m t ph ng thu c m i m 2.1.6 N u hai m A, B thu c m t đ ng th ng a, đ ng th i thu c m t m t ph ng  m i m khác thu c đ ng th ng a c ng s thu c m t ph ng  2.1.7 N u hai m t ph ng thu c m t m A chúng s thu c nh t m t m th hai B 2.1.8 Có nh t b n m không thu c m t m t ph ng 2.2 Nhóm II- Các tiên đ v th t có thêm khái ni m t ng quan c b n “ gi a” Các tiên đ nhóm là: 2.2.1 N u m B gi a m A m C A, B, C ba m khac thu c m t đ ng th ng m B c ng gi a C A 2.2.2 Cho b t k hai m A, C bao gi a c ng có nh t m t m B đ ng th ng AC cho C gi a A cà B 2.2.3 Trong b t c ba m thu c m t đ ng th ng không bao gi có m t m gi a hai m 2.2.4 Tiên đ Pát Cho ba m A, B, C không thu c m t đ ng th ng m t đ ng th ng a thu c m t ph ng (ABC) nh ng không thu c b t c m ba m A, B, C c N u đ ng th ng a có m t m chung v i đo n AB m t m chung n a ho c v i AC ho c v i đo n BC 2.3 Nhóm III - Các tiên đ b ng T ng quan c b n nhóm t ng quan “b ng” c a m t đo n th ng v i m t đo n th ng khác c a m t góc v i m t góc khác Các tiên đ nhóm là: D ng Tr ng Luy n K29b toán Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p 2.3.1 N u cho m t đo n th ng AB m t n a đ ng th ng có g c A‟ bao gi c ng có m t m B‟ cho đo n th ng A‟B‟ b ng đo n th ng AB đ c ký hi u: A‟B‟  AB i v i m i đo n th ng AB ta đ u có: AB  BA 2.3.2 N u A‟B‟  AB A”B”  AB A‟B‟  AB 2.3.3 Cho ba m A, B, C th ng h ng v i B gi a A C ba m A‟, B‟, C‟ th ng hàng v i B‟ gi a A‟ C‟ N u AB  A‟B‟, BC  B‟C‟ AC  A‟C‟ 2.3.4 Cho m t góc ( x, y) m t n a m t ph ng xác đ nh b i đ ng th ng ch a tia x‟ Khi n a m t ph ng nói bao gi c ng có m t ch m t tia y‟ g c v i tia x‟ cho (x‟,y‟) b ng góc (x, y) ký hi u là: (x, y) = (x‟,y‟) i v i m i góc (x,y) ta đ u có (x,y)=(y,x) (x,y)=(x,y) 2.3.5 Cho tam giác ABC tam giác A‟B‟C‟ N u AB  A‟B‟, AC  A‟C‟ ฀' A' C ' ta có ฀ ฀ =B A' B ' C ' ฀ A' C ' B ' ABC = ฀ ACB = ฀ BAC 2.4 Nhóm IV – tiên đ liên t c 2.4.1 Tiên đ đ kin hay tiên đ IV N u t t c m c a m t đ ng th ng đ c chia thành hai l p không r ng cho: - M i m c a đ ng th ng đ u thu c m t l p ch m t mà - M i m c a l p th nh t đ u tr c m i m c a l p th hai Khi có m t m luôn gi a hai m b t k thu c hai l p có th coi m m cu i c a l p th nh t ho c m đ u c a l p th hai 2.4.2 Tiên đ Acsimét Cho hai đo n th ng AB CD b t k Khi có m t s h u h n m A1 , A2 , , An thu c đ ng th ng AB s p x p cho A1 gi a A A2 , A2 gi a A1 , A3 , …., An1 gi a An2 An , B gi a An1 An cho đo n AA1 , A1 A2 , , An1 An đ u b ng đo n CD 2.5 Nhóm V – tiên đ v song song nh ngh a: Hai đ ng th ng phân bi t n m m t m t ph ng m chung g i hai đ ng th ng song song v i N u a b hai đ ng th ng song song v i ký hi u là: a // b N i dung tiên đ : Cho m t đ ng th ng a b t k m t m A không thu c đ ng th ng a Khi m t ph ng xác đ nh b i m A đ ng th ng a có nhi u nh t m t đ ng th ng qua A không c t a 2.6 o đ dài, di n tích, th tích 2.6.1 dài D ng Tr ng Luy n K29b toán Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p nh ngh a 2.6.1 V i m t đo n th ng AB cho tr c t n t i nh t m t hàm f (AB) tho mãn u ki n sau: V i m i đo n th ng AB ta có f(ab) > N u hai đo n th ng AB A‟B‟ b ng f(AB) = f(A‟B‟) N u có m C gi a hai m A B : f(AC) + f(CB) = f(AB) Có m t đo n OE cho f(OE) = Hàm s f(AB) g i đ dài c a đo n th ng AB o n OE g i đ n v dài đo n th ng đ n v 2.6.2 o góc l n c a m t góc c ng đ c xác đ nh t ng t nh đ dài c a đo n th ng, ngh a ta có: nh ngh a2.6.4: S đo c a góc (x, y) m t hàm s  ( x, y) tho mãn u ki n sau: V i m i góc (x,y) ta có  ( x, y) >0 N u hai góc (x,y) (x‟,y‟) b ng  ( x, y)   ( x ', y ') N u có m t tia z gi a hai tia x,y c a góc (x,y)  ( x, z)   ( z, y)   ( x, y) Có m t góc ( x0 , y0 ) cho  ( x0 , y0 )  2.6.5 Di n tích c a đa giác đ n m t ph ng nh ngh a 2.6.5: Gi s có hàm s f xác đ nh t p h p t t c đa giác đ n c a m t ph ng cho u ki n sau tho mãn Giá tr c a hàm f d ng N u hai đa giác b ng giá tr c a f ng v i chúng c ng b ng N u P , P1 , P2 đa giác mà P  P1  P2 f ( P )  f ( P1 )  f ( P2 ) ng v i hình vng có c nh b ng đ n v đo đ dài đo n th ng giá tr c a hàm f b ng Khi giá tr c a hàm f m i đa giác (đ n) P, t c s f(P) đ c g i di n tích c a P theo đ n v di n tích hình vng nói u ki n 2.6.3 Th tích c a hình đa di n đ n Theo s đ nh xây d ng lí thuy t v di n tích c a đa giác đ n m t ph ng, ng i ta xây d ng lí thuy t v th tích c a hình đa di n đ n không gian D ng Tr ng Luy n K29b toán Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p Ph n 2: V n đ đ nh h A nh h ng đ nh ngh a Trên đ ng th ng  ng th ng  , cho m t m 0, g i g c m t vect đ n v e  t c e  Tia 0x h đ c g i tia d  ng v i e ng xác đ nh h đ i c a tia 0x ng (hay h ng m t ph ng  ng d ng v i e , đ ch ng c a tr c  tia 0x‟ tia c g i tia âm xác đ nh âm ng ngh ch c a tr c  )    V i vect u tr c  t n t i nh t m  R đ u  me m  g i to đ c a vect u tr c    V i X  n u X  xe x g i hồnh đ c a m X tr c  dài đ i s c a đo n th ng dài đ i s c a m t vect tr c  s (s đ i s ) mà nhân  v i vect đ n v e c a tr c cho ta m t vect b ng vect    ( AB  ABe ,AB g i đ dài đ i s c a AB tr c  ) Hay cho đo n th ng AB đ ng th ng đ nh h ng  Ta có đ dài đ i s c a đo n th ng AB s có giá tr t đ i đ dài c a đo n th ng AB, kí hi u: AB  N u AB h  ng v i e AB mang d u d ng  c h ng v i e AB mang d u âm   N u A, B có to đ l n l t a, b ta có: AB = (b- a) e AB = b-a  N u AB ng D ng Tr ng Luy n K29b toán 10 Tr ng i h c s ph m Hà N i Khố lu n t t nghi p Ví d 9: Cho tam giác ABC đ ng th ng x, y, z l n l t qua trung m c a BC, CA, AB song song v i nhau.Ch ng minh r ng đ ng th ng x‟, y‟, z‟ l n l t đ i x ng v i BC qua x, CA qua y, AB qua z đòng qui v i t i m t m Bài làm G i I1  x ' y ' I  y ' z ' I  z ' x ' ch ng minh đ ng th ng x‟, y‟, z‟ đ ng qui t i m t m ta ch ng minh I  I1  I  I Vì đ ng th ng x‟, y‟ l n l (BC,x)  (x,x') (mod  ) (y,AC)  (y,y') (mod  ) t đ i x ng BC qua x, CA qua y Nên ta có (1) (2) Vì x // y nên t (1) (2) ta có: (BC,AC)  (x,x') + (y',y) (mod )  (PN,PM)  (x,x') + (y,y')  (y',x')  (I1 N,I1M) (mod ) D ng Tr ng Luy n K29b toán 53 Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p Vì PN // BC, PM // AC, PN, PM đ ABC Do M, N, P l n l  I1 n m đ ng trung bình c a tam giác t trung m c a c nh AB, BC, CA ng tròn ngo i ti p tam giác PMN Ch ng minh t ng t ta có đ ng tròn ngo i ti p tam giác PMN c ng qua I Ta s ch ng minh I  I1 th t v y Vì I , I1 n m đ ng tròn ngo i ti p tam giác PMN nên ta có ( MP , MN )  ( I1P , I P )  ( I P , I N ) (mod  )  ( I1 P , y ')  ( I P , y ') (mod  )  I1 P  I P  I1  I Ch ng minh t V y ba đ ng t ta có I  I ng th ng x‟, y‟, z‟ đ ng quy t i m t m Ví d 10 Trên c nh c a tam giác ABC v d ng tam giác đ ng d ng ABC1 , A1BC, AB1C cho ฀ CAB = ฀ C= AB CMR: Các đ ฀ ฀ CAB = C1AB ฀ BC = ABC ฀ A 1 ng th ng AA1 , BB1 , CC1 đ ng quy Bài làm: Tr c h t ta ch ng minh đ ng tròn ( ABC1 ), (A1BC), (AB1C) c t t i m t m Th t v y G i giao m th hai c a hai đ ng tròn ( ABC1 ) (A1BC) Khi ta có: (0B,0C)  (OB, A)  (0 A, 0C )  (C1B, C1 A)  ( B1 A, B1C ) (mod  ) ( AB , AC )  ( AB , BC )  ( BC , CA1 )  ( B1 A, B1C )  (C1 B, C1 A) (mod  ) D ng Tr ng Luy n K29b toán 54 Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p Do ta có: (0 B, 0C )  ( AB , AC ) (mod  ) Nên b n m A1 , B, C, n m m t đ ng tròn V y đ ng tròn ( ABC1 ), (A1BC), (AB1C) c t t i m t m Ta ch ng minh AA1 , BB1 , CC1 c ng qua m Th t v y: Ta có: (OA, OB)  (OA, OC1 )  (OC1, OB)  (OB, OA1) (mod  )  ( BA, BC1 )  ( AC1 , AC )  (CB, CA1 ) (mod  )  ( AC1 , BC1 )  (CB, CA1 ) (mod  )  (mod  ) Nên đ ng th ng AA1 qua m O Ch ng minh t V y3đ ng t BB1 , CC1 c ng qua m O ng th ng AA1 , BB1 , CC1 qua m O 4.2 ng d ng đ nh h D ng m t ph ng đ i v i tốn qu tích ng Tr ng Luy n K29b toán 55 Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p Ví d 11: Cho tam giác ABC g i M m b t kì H, K, L theo th t hình chi u c a M đ ng th ng BC, CA, AB Tìm qu tích m M cho H, K, L th ng hàng Bài làm D th y M trùng v i m A, B, C tho mãn đ u Khi M khác A, B, C ta th y: H, K, L th ng hàng  ( HK, HL)  (mod )  ( HK, HM )  ( HM , HL)  (mod ) Do m K, C, M, H thu c m t đ ng tròn nên: ( HK, HM )  (CK, CM ) (mod ) Do m L, M, H, B thu c m t đ ( HM , HL)  ( BM , BL) (mod ) (1) (2) ng tròn nên: (3) T (1), (2) (3) ta có: H, K, L th ng hàng  (CK, CM )  ( BM , BL)  (mod )  (CA, CM )  ( BM , BA)  (mod )  (CA, CM )  ( BA, BM ) (mod ) Suy M, A, B, C thu c m t đ V y M thu c đ ng tròn ng tròn ngo i ti p tam giác ABC (không k cá m A, B, C) D ng Tr ng Luy n K29b toán 56 Tr ng i h c s ph m Hà N i Khố lu n t t nghi p Tóm l i qu tích m M đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Ví d 12: Cho tam giác ABC v i AA‟, BB‟, CC‟ đ òng phân giác G i M m b t kì khơng thu c AB, CA, AB Các m X, Y, Z theo th t m đ i x ng c a M qua AA‟, BB‟, CC‟ Tìm qu tích m M đ AX, BY, CZ đôi m t song song Bài làm Nh n xét: cho m A, B, C đ m đ i x ng c a A, B, C qua ng th ng ฀ G i A‟, B‟, C‟ theo th t ฀ Khi     ( AB, AC )  ( A' C ', A' B ') (mod 2 ) G i A1 , B1 , C1 l n l t m c a M qua BC, AC, AB Khi AB1  AM  AC1 (1) M t khác theo nh n xét ta có:       ( AX , AB1 )  ( AX , AC )  (AC, AB1 ) (mod 2 )       ( AX , AB1 )  ( AB, AM )  ( AM , AC ) (mod 2 )      ( AX , AB1 )  ( AB, AC ) (mod 2 )     T ng t nh u ta có: ( AX, AC1 )  ( AC, AB) (mod 2 )     T suy ( AX, AB1 )  ( AX, AC1 )  (mod 2 ) Nên AX tia phân giác c a góc B1 AC1 D ng Tr ng Luy n K29b toán 57 (2) Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p T (1) (2) suy AX trung t c c a đo n B1C1 T ng t BY, CZ theo th t trung tr c c a C1 A1 , A1B1 mà AX // BY // CZ nên A1 , B1 , C1 th ng hàng Theo ví d 11 suy M thu c đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC PH n M t s kháI ni m đ nh h ng không gian H to đ tr c chu n thu n ngh ch    Trong không gian E3 ,cho h to đ tr c chu n 0, e1 , e2 , e3  (I) h    to đ tr c chu n 0 ', e '1 , e '2 , e '3  (II) N u đ nh th c c a phép bi n đ i t (I) sang (II) có giá tr d ng ta nói h to đ (I) h to đ (II) chi u N u đ nh th c c a phép bi n đ i t (I) sang (II) có giá tr âm ta nói h to đ (I) h to đ (II) ng Vì v y ta quy c chi u c h to đ (I) thu n Khi n u đ nh th c c a phép bi n đ i t (I) sang (II) có giá tr âm ta nói h to đ (II) ngh ch D ng Tr ng Luy n K29b toán 58 Tr ng i h c s ph m Hà N i 2 nh h ng cho m t nh di n, m t tam di n nh h 2.1 ng cho không gian xung quanh m t tr c Xung quanh m t tr c quay Khi ng ng Quy ฀ (đ ng th ng có đ nh h ng) có hai chi u i ta ch n m t hai chi u quay làm chi u d i ta nói r ng đ nh h phía d Khố lu n t t nghi p ng ng cho không gian xung quanh tr c ฀ c: N u ta đ t m t v n nút chai lên tr c ฀ cho m i v ng c a tr c m t hai chi u quay xung quanh tr c cho nút xoáy sâu theo h chi u d ng d ng Thì chi u ng 2.2 Góc nh di n có h ng c a tr c, chi u quay đ ฀ s làm c ch n làm c l i g i chi u âm ng nh ngh a: Gi s (P) (Q) hai m t ph ng c t theo giao n a ng th ng a phân chia m i m t ph ng (P), (Q) thành hai n a m t ph ng Kí hi u   hai n a m t ph ng t (H.1) Hình tao b i hai n a m t ph ng   đ ng ng thu c (P) (Q) c g i làgóc nh di n : Các n a m t ph ng  ,  g i m t c a góc nh di n; đ ng th ng a g i c nh c a góc nh di n M i m t ph ng (R) vng góc v i a c t  ,  theo n a đ ng th ng p, q t o thành góc nh di n ph ng Vì góc nh di n có c nh t ng ng song song cung chi u b ng nên t t c góc ph ng c a góc nh di n b ng S đo c a góc nh di n ph ng g i s đo c a góc nh di n Vì v y,  nh n giá tr nh s đo gi a góc hai tia m t ph ng, ngh a là:     D ng Tr ng Luy n K29b toán 59 Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p h.1 M t góc nh di n g i có h ng ta có phân bi t hai m t c a làm m t đ u m t cu i Sau đ nh h ng cho c nh c a nh di n đ r i đ nh h ng cho không gian xung quanh c nh ta có th nói đ n góc nh di n âm hay góc nh di n d ng gi ng y nh v i góc đ nh h ng R i c ng nh đ i v i góc suy r ng đ l n c a góc nh di n suy r ng c ng s đ c xác đ nh sai khác k hay 2k Tu theo ta xét nh di n c a m t ph ng hay c a hai n a m t ph ng N u ta c t nh di n b i m t m t ph ng (R) vng góc v i c nh c a nh di n r i m t ph ng ch n chi u quay d ng xung quanh c nh nh di n làm chi u d ng, đ l n c a góc nh di n suy r ng t o b i s t ng giao c a (R) nh di n cho 2.3 T di n tam di n có h ng Khái ni m: Gi s x, y, z ba n a đ ng th ng không n m m t m t ph ng xu t phát t m O n a đ ng th ng x, y, z t o thành ba góc (x,y); (y,z); (z,x) (h.2) Hình t o b i ba góc (x,y); (y,z); (z,x) đ đ ng th ng x, y, z g i c nh c a tam di n, góc ph ng (x,y); (y,z); (z,x) g i m t (góc ph ng) c a tam di n D c g i góc tam di n n a ng Tr ng Luy n K29b toán 60 Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p Các m t c a góc (x.y) (x,z) c t theo đ Các n a m t ph ng c a hai m t ph ng t góc nh di n Góc nh di n đ ng th ng ch a x ng ng ch a y z t o thành m t c g i góc nh di n c a góc tam di n có c nh x (góc nh di n đ i di n v i góc ph ng (y,z)) (h.2) 2.3.1 Chi u c a t di n nh ngh a chi u c a tam giác không gian ph thu c vào n a không gian v i biên m t ph ng ch a tam giác, ngh a xét m t n a không gian v i b tam giác ABC, ch ng h n có chi u thu n n a khơng gian khác tam giác l i có chi u ngh ch T di n ABCD đ c g i có chi u d ng n u n a không gian v i biên m t ph ng BCD ch a đ nh A, tam giác BCD có chi u âm N u tam giác BCD xét n a không gian có chi u d ng t di n ABCD có chi u âm Tr c quan có th mơ t nh sau: N u đ nh A nhìn th y tam giác BCD có chi u âm t di n ABCD có chi u d 2.3.2 Tam di n có đ nh h ng, ng c l i ABCD có chi u âm ng Cho m t tam di n Oxyz, t o b i ba tr c Ox, Oy, Oz theo th t ba c nh Ox, Oy, Oz theo th t ta l y ba m A, B, C khác O N u t di n D ng Tr ng Luy n K29b toán 61 Tr ng i h c s ph m Hà N i OABC có chi u d Khố lu n t t nghi p ng ta có tam di n Oxyz có chi u d ng ng c l i Chú ý: N u ta hốn v vòng quanh ba tia Ox, Oy, Oz đ ng th i ta c ng hốn v ba m A, B, C chi u quay A, B, C không đ i ngh a tam di n gi nguyên h ng V y tam di n Oxyz; Ozxy; Oyzx h ng N u ta ch hốn v hai tia v i tam di n ng N u ta l y O‟ khác O O‟ABC s h h ng hay ng ng hay ng ch ch ng ngồi m t ph ng ABC tam di n ch ng v i tam di n Oxyz tu theo O O‟ ng đ i v i m t ph ng ABC diên đ i x ng v i qua m t m t ph ng khác h c bi t hai tam ng Phân lo i phép d i hình lo i I lo i II 3.1 nh ngh a: Phép d i hình khơng gian phép bi n đ i m không gian bi n đo n th ng AB thành đo n th ng A‟B‟ cho AB = A‟B‟ 3.2 Phân lo i: * Phép d i hình lo i I: N u m t phép d i hình khơng gian bi n m t t di n thành m t t di n t ng ng chi u phép d i hình g i phép d i hình lo i I Ví d : Phép quay xung quanh m t tr c phép d i hình lo i I *Phép d i hình lo i II N u m t phép d i hình khơng gian bi n m t t di n thành m t t di n t ng ng ng c chi u phép d i hình g i phép d i hình lo i II Ví d : Phép đ i x ng qua m t m t ph ng, phép đ i x ng tâm không gian phép d i hình lo i II Ví d D ng Tr ng Luy n K29b tốn 62 Tr ng i h c s ph m Hà N i Ví d 1: Cho hai đ Khố lu n t t nghi p ng th ng a, b D ng tr c đ i x ng c a hai đ ng th ng Bài làm bi n c p đ ng th ng (a,b) thành c p đ ng th ng (a,b) có kh n ng sau: a) Các đ ng th ng a, b l n l Khi (a,b)  (a,b) V y đ tr c đ i x ng c a hai đ b) t bi n thành nó: a  a b  b ng vng góc chung c a hai đ ng th ng a b ng th ng a b ng th ng a b b a Khi A B B  A suy trung m O c a đo n th ng AB m đ i x ng c a A B Gi s ( ฀ ,a) = (฀ i ฀ ฀ i tr c c n tìm khác tr c AB Qua phép đ i x ng có ฀ ,a‟) = (฀ ,b‟) suy i i phân giác c a góc (a‟,b‟) Do hai đ ng phân giác ฀ góc a฀' Ob ' tr c đ i x ng D i ta i ,b) D ng a‟ // a b‟ // b a‟, b‟ qua O đó: ( i ฀ ng Tr ng Luy n K29b tốn 63 ฀ c a góc góc ngồi c a Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p ฀ ,฀ V y có t t c tr c đ i x ng AB, Ví d Trong khơng gian s p x p ba ng giác đ u ABCDE, ALNMB AEKPL CMR đ ng th ng AC, AN, AK t ng c p vng góc v i Bài làm Gi s R m t ph ng trung tr c c a đo n AE ó m t ph ng đ i x ng c a hai ng giác ABCDE AEKPL Nên C, P thu c m t ph ng R K L đ i x ng qua m t ph ng R, D B đ i x ng qua R nên BL = KD Vì ng giác có c nh b ng nhau, nên BL = DA, t DA = KD M t khác EA = EK  D, E thu c m t ph ng trung tr c c a AK, ngh a DE  DK Vì AC // DE, nên AC  T D ng t ch ng minh đ ng Tr ng Luy n K29b toán c AC AK  64 AN Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p K t lu n Tính u vi t c a vi c đ nh h *Vi c đ nh h ng: ng m t ph ng hình h c s c p mang m t ý ngh a to l n toán ch ng minh tốn qu tích * Vi c đ nh h ng giúp gi i m t s t p hình hoc m t cách đ n gi n ng n g n th hi n s linh ho t, sáng t o gi i tốn Và ph i quan tâm đ n hình v , đ n v trí th t c a m, không ph i phân chia tr ng h p c a toán Trong n u gi i tốn b ng ki n th c s c p r t khó tìm l i gi i đ p có c ng có khơng gi i đ c, r t khó v hình mà ch ng minh b ng cách sinh ph i v hình, ph i xét tr giúp nghiên c u đ ph thơng nh t thi t h c ng h p Vi c đ nh h ng m t ph ng c sâu h n n i dung ki n th c khác hình h c nh phép quay, phép ngh c đ o, cung đinh h u cho ta th y s u vi t c a v n đ đ nh h ng, ….Nh v y ng m t ph ng Do ki n th c kinh nghi m c a b n thân ch a nhi u nên ch c ch n lu n v n khơng tránh kh i nh ng thi u xót Em r t mong Th y, Cô b n sinh viên đóng góp ý ki n trao đ i đ đ tài lu n v n đ h n D ng Tr ng Luy n K29b toán 65 c hoàn thi n Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p Tài li u tham kh o Bùi V n Bình – Nguy n V n V n Giáo trình hình h c s c p t p 1, - HSPHN2 – 1993 Bùi V n Bình Bài t p hình h c s c p - HSPHN2 – 1993 inh V n Thu Các gi ng v hình h c s c p Phan H ng Tr ng Các gi ng v chuyên đ “ ng d ng c a phép bi n hình đ gi i tốn Nguy n Minh Ch ph thơng” ng – Lê ình Phi – Nguy n Cơng Q Hình h c s c p – NXBGD – 1963 V.VPRAXOLOV Các toán v hình h c ph ng t p 1, – NXB HQGTPHCM Ng i d ch: Hoàng c Chính – Nguy n Thanh S n Phép bi n hình m t ph ng – NXBGD – 2004 Nguy n M ng Hy Các phép bi n hình m t ph ng – NXBGD – 2003 oàn Qu nh (ch biên) – V n Nh C ng – Hồng Xn Sính i s n tình hình h c – NXBGD – 1987 10 Nguy n ng Ph t Các phép bi n hình m t ph ng – NXBGD – 2005 11 Phan Huy Kh i Tốn nâng cao hình h c 10 – NXB HQGHN – 1998 12 Tam Hình s c p – NXB HSP - 2005 D ng Tr ng Luy n K29b toán 66 Tr ng i h c s ph m Hà N i D ng Tr ng Luy n K29b toán Khoá lu n t t nghi p 67 ... trình nghiên c u khố lu n: “ ng d ng đ nh h ng hình h c ph ng” giúp em tìm hi u sâu h n b mơn Hình h c đ c bi t m t nh ng khái ni m quan tr ng c a hình h c s c p Qua c ng giúp em b c đ u làm quen... cao R t nhi u tốn hình h c ph ng mà vi c tìm l i gi i r t khó ho c n u có tìm đ c l i gi i l i gi i c a toán th hi n ph m vi ki n th c h c nh t thi t ph i v hình đ tìm h ng gi i Trong l i gi i c... a hình h c Euclid D ng Tr ng Luy n K29b toán Tr ng i h c s ph m Hà N i Khoá lu n t t nghi p M t s yêu c u c b n c a vi c xây d ng hình h c b ng ph ng pháp tiên đ Khi xây d ng m t s lý thuy t hình