Luận văn sư phạm Ứng dụng giải tích trong các bài toán bất đẳng thức thức

Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận, em đà nhận quan tâm giúp đỡ tạo điều kiện Thầy, Cô giáo khoa toán, đặc biệt Thầy Cô giáo tổ giải tích trường ĐHSP Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cô giáo, đặc biệt thầy giáo GVC, Ths Phùng Đức Thắng đà động viên, hướng dẫn tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận em Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2013 Sinh viên Trần Thị Duyên Lời cam đoan Tôi xin cam đoan khóa luận công trình nghiên cứu riêng Trong nghiên cứu đà kế thừa, tham khảo thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với tôn trọng biết ơn Những kết nêu khóa luận chưa công bố công trình khác Hà Nội, năm 2013 Sinh viên Trần Thị Duyên Lời nói đầu Trong chương trình giảng dạy học tập môn toán nhà trường phổ thông Bất đẳng thức chiếm vị trí vô quan trọng Bất đẳng thức có mặt hầu hết phân môn Toán: Số học, Đại số, Giải tích, Lượng giác Hình học Các toán bất đẳng thức quyến rũ niềm say mê người yêu toán Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng Giải tích để chứng minh bất đẳng thức xem phương pháp nhiều cho lời giải đẹp, độc đáo tỏ ưu việt so với phương pháp khác Được gợi ý, động viên tận tình giúp đỡ Thầy Phùng Đức Thắng với say mê thân em mạnh dạn nghiên cứu thực khóa luận với đề tài: ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Nội dung khóa luận gồm chương: - Chương 1: Các kiến thức bổ trợ Chương trình bày kiến thức cần thiết cho việc nghiên cứu phương pháp chứng minh bất đẳng thức chương - Chương 2: ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng yếu tố giải tích Cụ thể là: ứng dụng lý thuyết hàm lồi, ứng dụng tính đơn điệu hàm số Các ví dụ khóa luận sưu tầm từ đề thi học sinh giỏi, đề thi Olympic số ví dụ lựa chọn tạp chí toán học tuổi trẻ, sách chuyên đề Em hi vọng đề tài nhận ủng hộ cổ vũ thầy cô bạn Mặc dù đà có nhiều cố gắng lần bước vào nghiên cứu đề tài khoa học nên em không tránh khỏi bỡ ngỡ Do thời gian có hạn, điều kiện nghiên cứu hạn chế, đặc biệt lµ ngn tµi liƯu cịng ch­a thùc sù phong phó nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong quan tâm góp ý thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy, cô khoa ân cần bảo, tạo điều kiện giúp đỡ em suốt trình học tập trình làm đề tài, đặc biệt thầy giáo Phùng Đức Thắng ®· h­íng dÉn em hoµn thµnh ®Ị tµi nµy Hµ Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Duyên Mục lục Lời cảm ơn Lêi cam ®oan………………………… Lời nói đầu Môc lôc……………………………… Mở đầu Ch­¬ng : Các kiến thức bổ trợ 1.1 lý thuyÕt hµm låi………………… 1.1.1 TËp låi………………………… 1.1.2 Hµm låi………………………… 12 1.2 Tính đơn điệu hàm số 16 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 Định lý 17 Chương 2: ứng dụng lý thuyết hàm lồi tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức 18 2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức 18 2.1.1 Các bất đẳng thức kinh điển 18 2.1.2 Các bất đẳng thức đại số 26 2.2 Sử dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức 34 2.2.1 Phương pháp chung 34 2.2.2 Một số toán 34 2.2.3 Các toán tương tự vận dụng phương pháp 49 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích môn khoa học nghiên cứu tính chất tập hợp lồi, hàm lồi tính đơn điệu hàm số,Các kết giải tích áp dụng nhiều lĩnh vực Trong chương trình toán nhà trường phổ thông, em học sinh đà làm quen với khái niệm lồi đơn điệu từ cấp học môn Hình học Đại số Hầu hết chương trình Hình học bậc Trung học sở Trung học phổ thông giới hạn hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn,Trong đại số, tính lồi, lõm, tính đơn điệu hàm số giảng dạy chương trình học hàm số bậc hai dùng để khảo sát hàm số Sử dụng kết hàm lồi tính đơn điệu hàm số cho thành công việc giải toán đại số giải tích sơ cấp chứng minh bất đẳng thức Với lý em đà chọn đề tài ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức, hướng dẫn thầy giáo, GVC, Ths Phùng Đức Thắng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Đối tượng, phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương: Chương Các kiến thức bổ trợ Chương ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Các khái niệm tính chất hàm lồi hàm đơn điệu trình bày chương Chương trình bày cách sử dụng tính lồi tính đơn điệu hàm số để giải số toán đại số giải tích Lớp toán bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số Chương KiÕn thøc c¬ së 1.1 Lý thuyÕt hàm lồi 1.1.1 Tập lồi Định nghĩa tính chất Giả sử X không gian tuyến tính, tập số thực Định nghĩa 1.1 Tập A X gọi tập lồi nếu: x1 , x2  A :    0;1   x1  1    x2  A NhËn xét 1.1 Tập tập lồi Giả sử A X ; x1 , x2 A Định nghĩa 1.2 Đoạn nối x1 , x2 định nghĩa sau:  x , x    x  A : x   x  1    x ,0    1 2 NhËn xÐt 1.2 TËp A lµ tËp låi nÕu x1 , x2  A   x1 , x2 A Ví dụ 1.1 Các nửa khoảng tập lồi Tam giác hình tròn đơn vị mặt phẳng tập lồi Hình cầu không gian Banach tập lồi, Mệnh đề 1.1 Giao tùy ý tập lồi tập lồi Chứng minh Gi¶ sư A  X   I  tập lồi với I tập số Khi tập A A lµ tËp låi  I ThËt vËy, lÊy x1 , x2  A  x1 , x2  A    I  Do A låi nªn  x1  1    x2  A    I  ,    0;1   x1  1    x2  A , suy A tập lồi Mệnh đề 1.2 Gi¶ sư Ai  X låi i  ฀ i  1, m Khi ®ã m  A i 1 i i lµ tËp låi Chøng minh m §Ỉt A   i Ai , x, y  A th× i  x  1 x1  2 x2   m xm ; y  1 y1  2 y2   m ym xi , yi  Ai ; i  1, m  Víi mäi    0;1 ta cã m m m i 1 i 1 i 1  x  1    y    i xi  1    i yi   i  xi  1    yi   Do Ai låi   x1  1    x2  Ai , i  1, m  m   i   xi  1    yi   A , suy A tập lồi i Mệnh đề 1.3 Giả sử X i không gian tuyến tính, tập Ai  X i låi i  1, m Khi tích đề A1 A2  Am lµ tËp låi X  X   X m Chøng minh 10 HiÓn nhiªn, f '  x   víi x  vµ f '  x   Do hàm số f x đồng biến 0; f V× vËy : f  x   f    0, x  Hay lµ x  ln 1  x   0, Suy x  ln 1  x  , x  Từ (3) (4) ta có x ln 1  x   NhËn xÐt : NÕu ta thay x bëi x  (4) x , x  1 x (®pcm)  x  , bất đẳng thức trở thành : x x  1  1  ln       x ln     x x x 1 x 1 x    e x x 1    1    e x   Đây BĐT đẹp Bài toán Cho x  y  Chøng minh r»ng x  y Lời giải Xét hàm số Ta cã VËy f  x   x4  y4  x4    x  (do x  y  ) f '  x    x    x   f  x    x3    x   x 2 x  x  38 DÔ thÊy, víi x  1: f '  x   0, víi x  1: f '  x  Ta có bảng biến thiên sau: x  f  f'     Vậy từ bảng biến thiên ta suy ra: x  y  NhËn xÐt: a) Bµi toán giải theo nhiều cách khác Cụ thể sau: Cách 2: Từ giả thiết ta có:  x  y nªn   x y áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta cã  1.x  y   12  12  x  y  Suy  x2  y (5) Bình phương hai vế (5) áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski lần thứ hai ta 1.x  y   12  12  x  y  Hay lµ VËy  x4  y x  y  39 DÔ thÊy, dÊu ‘=’ xảy x Cách : Đặt x Theo bµi ta cã y    Khi ®ã: x  y  1     1    4  1  4  6  4     1  4  6  4      12  2  x4  y Suy (đpcm) Dấu = xảy vµ chØ   hay lµ x  y  C¸ch 4:  x  y Theo giả thiết ta có Do x y   x  y Hay lµ  x2  y2   2 2  (v×  x  y   ) (6) x Bình phương hai vế (6) ta Tõ ®ã suy x 4  y2    y    x  y   (v×  x  y   ) 2 Hay lµ  x  y   VËy cã  x  y (đpcm) b) Bài toán tổng quát cho ví dụ trên: 40 Cho x y  Chøng minh r»ng x n  y n  2, n  ฀  n a n  bn  a  b    Tõ ®ã suy  , n  ฀ , a  b    Với toán tổng quát ta chứng minh phương pháp vận dụng tính đơn điệu hàm số đơn giản Lời giải cụ thể: Với n bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y (luôn đúng) Với n 2, không tính tổng quát, ta xem x  y Khi ®ã x   y Lóc nµy ta xÐt hµm sè : f  x   x n  y n  x n    x  Ta cã n n 1 f '  x   n  x n 1    x   n f "  x   n  n  1  x n     x    0, x  Do ®ã, f ' x hàm đồng biến 1;   , tøc lµ f  x   f ' 1 , x  Mµ f 1  nªn suy f '  x 0, x Bảng biến thiên: x f'   f n n VËy f  x   hay x  y (đpcm) 41 Với giả thiết a b 0, không giảm tính tổng quát ta giả sử a b Từ suy a  b n + Gi¶ sư a  b  Khi ®ã ab   0  (7) Vì a b nên a n b n  b n Suy a n  bn 0 (8) Tõ (7) vµ (8) suy điều phải chứng minh + Giả sử a b 2a x ab Đặt   y  2b  ab (9) DÔ thÊy x  y  Theo chøng minh trªn ta cã x n  y n  (10) Thay x, y (9) vào (10) ta có điều phải chứng minh Bài toán Cho n ,   x, y, z  0, 2   x  y  z  Chøng minh r»ng T  2n  1 n 2n  x y z     x2n  y 2n  z 2n 2n 42 Lời giải Xét hàm số f t   t 1  t n  , t   0,1 Ta cã f '  t     2n  1 t n   t  n 2n Bảng biến thiên: x 2n  f' 2n  1  f 0 Theo bảng biến thiên ta cã  f  t   f   , t   0,1 ; 2n  2n Hay Từ suy  t 1  t n   2n , t   0,1  2n  1 n 2n  2n  1 n 2n   t  , t   0,1  t 2n 2n (11)  x, y , z  Do  nªn x, y, z   0,1 2 x y z     2n  1 n 2n   x x2   x ¸p dơng kÕt qu¶ (11) ta cã  x n x 1  x n  2n 2n  1 n 2n   y  y  y 2n 2n 43 (12) (13) 2n  1 n 2n  z  z   z 2n 2n (14) Céng vÕ với vế (12), (13) (14) ta T  2n  1 2n 2n  2n (®pcm)  x2  y  z   Chó ý : - DÊu ‘=’ x¶y    x  y  z  n 2n - Bài toán ta thay n 1, ta có toán sau đây: x2 y z  x y z 3 Cho  CMR    y  z z  x2 x2  y 2  x, y , z  n  k  Bµi to¸n Cho   n, k  Z k Chøng minh r»ng n  n k  k n  n k  k n (15) Lêi gi¶i n  k  ta cã Víi ®iỊu kiƯn ®· cho   n, k  Z n k k k  1 2 (15)   n n n k Đặt t n k ; t 0;1 n Khi (16) trở thành k  t  k  t  44 (16) XÐt hµm sè f  t   k  t  k  t , t   0,1  f t   k  ' Ta cã k 1  t   k 1 k 1  t  k 1   , t   0,1   DÔ thÊy f '  t  0, t 0,1 nên ta có bảng biÕn thiªn sau : t f' f k VËy f  t   2, t   0,1 Thay t  n k vµo f t ta (16) Từ ta suy điều phải chứng n minh Nhận xét : Có thể chứng minh bất đẳng thức (17) theo nhiều cách khác : Cách : Theo bất ®¼ng thøc Bernoulli k 1      t  k  t  1  t  k  1  t     t     t   k  k   k Từ suy điều phải chứng minh Cách 3: Theo bất đẳng thức Cauchy Với t  0,1 : 45 1    1  1  t   k k  t, Ta cã  k 1 sè1 Hay lµ k  t  k k  t suy k  t   k Do ®ã k  t  k  t (đpcm) Cách Xét hàm số f  x   x k , x   0,1 f '  x   kx k 1 ; Cã f "  x   k  k  1 x k   0, x   0,1 Nh­ vËy hµm f lµ hµm låi 0,1 Nên theo bất đảng thức Jensen ta cã f  k   1 t  f k  k 1 t  k 1 t  1 t  f       k 1 t  k 1 t   t   t  2    Hay lµ k Suy k  t  k  t  Tõ ®ã ta cã ®iỊu ph¶i chøng minh Víi n k bất đẳng thức (15) trở thành Hay  n n n n  n n  n n  n n  2n n n n n n (đề thi Olympic Toán Quèc gia) n n 46  x, y , z  Chøng minh r»ng  xy  yz zx xyz Bài toán Cho  27 x  y  z  (Đề thi Olympic Toán Quốc tế năm 1984) Lời giải Không giảm tính tổng quát, ta giả sử x  y  z Tõ ®ã, x  y  z  nªn ta cã  x   z  L¹i cã xy  yz  zx  xyz  z  x  y   xy 1  z        0  Mặt khác, ta có xy  x  y    x  y    x  y   1  z  2 V× vËy xy  yz  zx  xyz  z  x  y   xy 1  z   z 1  z    XÐt hµm sè Cã 1  z  1  z  1  z  z   f  z  f ' z  1  z  z   z z  z   1  3z   z  DÔ thÊy f  z     z  Bảng biến thiên z f' f 0 27 47 Tõ b¶ng biÕn thiªn suy f  z   Hay lµ xy  yz  zx  xyz   1 , z  0,  , 27  3 27  x, y, z  0, nÕu  27  x  y  z Nhận xét: Ta giải toán theo cách khác sau: Vậy ta lu«n cã  xy  yz  zx  xyz  + xy  yz  zx  xyz  xy 1  z   yz 1  x   zx  (v× x, y, z ) + Không giảm tính tổng quát ta giả sử z y x Khi ®ã ta sÏ cã x  y  z   x  y  z  NÕu  x  y  z  th×   x  y  z  x  y  z  x  y  z    xyz  x  x   y  z 2   x  y  z  x  y  z    NÕu  x  y  z  th×  y  y   z  x    x  y  z   x  y  z    2  z  z   x  y    x  y  z   x  y  z   Suy x y z    x  y  z   x  y  z   x  y  z  , 2 Hay lµ xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z  VËy víi x, y, z  ta cã xyz    x  y  z  x  y  z  x  y  z   1  x 1  y 1  z     x  y  z    xy  yz  zx   xyz  1   xy  yz  zx   xyz Tõ ®ã ta nhận kết sau xy yz zx  xyz  1  xyz 4 1 x  y  z  (do bất đẳng thức Cauchy) 4  48 (17)  (do x  y  z  ) 27 27 Kết hợp (17) (18) ta có điều phải chứng minh VËy cã xy  yz  zx  xyz (18) Bài toán Chứng minh với số nguyên dương n , ta có e  1 1    n 1 2n Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức e    n n   1    2n  LÊy logarit tù nhiªn hai vÕ, ta bất đẳng thức tương đương 1   n ln     ln     n  2n x Đặt x , x , ta ln 1  x   ln    n x  2 x   ln 1  x   x ln     x   2 (19) Ta sÏ chøng minh bất đẳng thức (19) với x (Hiển nhiên từ suy bất đẳng thức cần chøng minh) x  XÐt hµm sè f  x   ln 1  x   x ln x khoảng 0; Hàm số liên tục khoảng  0;   ; f    f '  x   x x   ln     1 1 x  2 x2 x    ln    x 1 x  49 f ' liên tục khoảng  0;   ; f    Ngoµi ra, f "  x   , x     x  1  x   x  DƠ dµng thÊy r»ng f "  x   0, x  Do ®ã f ' đồng biến khoảng 0; f '  x   f '    0, x Từ suy hàm số f đồng biến khoảng 0; Do ®ã f '  x   f '    0, x  0, tøc lµ bÊt ®¼ng thøc (19) ®óng víi mäi x  2.2.3 Các toán tương tự vận dụng phương pháp Bài toán Cho x Chøng minh r»ng: a) sin x  x b) tg x  x x3  sin x Bµi to¸n Chøng minh r»ng víi x  ta có x Bài toán Chứng minh tam giác ta có sin A  sin B  sin C    tgA  tgB  tgC    3 Bài toán Chứng minh với x   3x 1 ta cã 2sin x 2tgx 2 Bài toán Cho c¸c sè thùc a , b, c , r , s cho a  b  c  vµ r  s  Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau : a r b s  b r c s  c r a s  a s b r  b s c r  c s a r p   x x Bµi to¸n Cho x  0, p  Chøng minh 1    e p  1   p p   50 p x Kết luận Bất đẳng thức phần kiến thức khó Xong lại hấp dẫn đòi hỏi phải tư duy, tìm tòi có óc sáng tạo cao Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức độc đáo phương pháp ứng dụng giải tích để chứng minh Điều phần nói lên ứng dụng mạnh giải tích Với đề tài ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Sử dụng kết hàm lồi tính đơn điệu hàm số cho thành công việc giải toán đại số giải tích sơ cấp, khóa luận nói chung đà đáp ứng yêu cầu đề tài Khóa luận gồm hai chương đà hệ thống lại lý thuyết, đưa số toán có chọn lọc có số cách giải khác giúp người đọc hiểu sâu toán Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cô, bạn góp ý nhận xét để đề tài đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc đề tài này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt thầy giáo GVC,ThS Phùng Đức Thắng đà tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Trần Thị Duyên 51 Tài liệu tham khảo Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải, Giải tích lồi Nhà xuất Khoa học kỹ thuật 2000 Nguyễn Xuân Liêm, Chuyên đề bất đẳng thức bất phương trình Nhà xuất Giáo dục Phan Huy Khải, 10000 toán bất đẳng thức Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên, tập Nhà xuất Giáo dục 2000 Tạp chí Toán học tuổi trẻ 52 ... minh bất đẳng thức chương - Chương 2: ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách sử dụng yếu tố giải tích Cụ thể là: ứng dụng lý thuyết hàm lồi, ứng. .. học Các toán bất đẳng thức quyến rũ niềm say mê người yêu toán Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng Giải tích để chứng minh bất đẳng thức xem phương pháp nhiều cho lời giải. .. cứu ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức Đối tượng, phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng giải tích toán bất đẳng thức