Luận văn sư phạm Ứng dụng của ước chung và bội chung

Tr ng đ i h c s ph m hƠ n i Khoa : Toán  Nguy n th mùi ng d ng c a c chung vƠ b i chung Khoá lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngƠnh: HƠ n i - 2009 is Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p Tr ng đ i h c s ph m hƠ n i Khoa : Toán  Nguy n th mùi ng d ng c a c chung vƠ b i chung tóm t t Khoá lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngƠnh: Ng is ih ng d n khoa h c: Nguy n th Bình HƠ n i - 2009 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p L ic m n hoƠn thƠnh khoá lu n nƠy em đƣ đ c s giúp đ nhi t tình c a th y cô giáo, b n sinh viên khoa Qua đơy em xin chơn thƠnh c m n s giúp đ c a th y cô t th y cô giáo tr i S , th y khoa Tốn vƠ ng HSP HƠ N i b n sinh viên c bi t em bƠy t lòng c m n sơu s c t i cô Nguy n Th Bình Ng i đƣ t n tình h ng d n em q trình hoƠn thƠnh khố lu n! Em xin chân thành c m n ! HƠ N i, ngƠy tháng n m 2009 Sinh viên Nguy n Th Mùi Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p L i cam đoan Khoá lu n nƠy lƠ k t qu h c t p vƠ nghiên c u c a riêng em khoá h c 31 t i tr s h ng i H c S Ph m HƠ N i Khoá lu n đ c lƠm d ng d n c a cô giáo Nguy n Th Bình Em xin cam đoan khố lu n v đ tƠi “ ng D ng C a c Chung B i Chung “ không trùng v i b t kì khố lu n khác HƠ N i, ngƠy Tháng n m 2009 Sinh viên Nguyên Th Mùi i Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p Muc l c Trang L im đ u Ch ng 1: Ki n th c chu n b c chung B i chung Ch ng 2: ng d ng ng d ng 1: ng d ng vƠo bƠi toán chia h t ng d ng 2: ng d ng vƠo xét m t s bƠi 19 toán liên quan đ n chia h t ng d ng 3: ng d ng vƠo gi i ph ng 29 trình nghi m nguyên K t lu n 39 TƠi li u tham kh o 40 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p L iM u Lí ch n đ tƠi c chung vƠ b i chung lƠ m t n i dung quan tr ng c a toán h c Trong ch ng trình tốn ph thơng c Chung vƠ B i Chung đ c gi i thi u r t s m vƠ có nhi u ng d ng quan tr ng gi i toán Tuy nhiên đ n tƠi li u nƠy ch a đ ng d ng c chung vƠ b i chung ch a đ c nhi u Các d ng bƠi t p v c h th ng hố Vì lí em ch n đ tƠi “ ng d ng c a c chung vƠ b i chung “ M c đích nghiên c u B c đ u lƠm quen v i nghiên c u khoa h c, t hình thƠnh t logíc đ c thù c a b mơn Kh c sơu vƠ tìm hi u nh ng ki n th c v c a ng d ng c chung vƠ b i chung Nhi m v nghiên c u Nghiên c u v it c chung vƠ b i chung ng nghiên c u M ts Ph ng d ng c a ng d ng c a c chung vƠ b i chung ng pháp nghiên c u Nghiên c u lý lu n vƠ phơn tích đánh giá t ng h p C u trúc khoá lu n NgoƠi ph n m đ u ,k t lu n, tƠi li u tham kh o lu n v n g m ch Ch ng 1: Ch ng 2: Ki n th c chu n b ng d ng ng: Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p Ch ng 1: Ki n th c chu n b c chung 1 nh ngh a: M t s nguyên đ a a3,…, an lƠ M t b c g i lƠ c chung c a nhi u s nguyên a1, a2, c cu m i s c chung d c a s nguyên a1, a2, a3,…, an cho m i chung c a a1, a2, a3,…, an đ u lƠ c c a d đ c g i lƠ c c chung l n nh t ( CLN) c a a1, a2, a3,…, an N u lƠ c c chung l n nh t c a s nguyên a1, a2, a3,…, an s a1, a2, a3,…, an g i lƠ ngun t N u ta cịn có lƠ c chung l n nh t c a m i c p s ai, aj (i,j = 1, 2,…,n i  j) s a1, a2, a3,…, an đ c g i lƠ nguyên t t ng đôi m t hay nguyên t sánh đôi Cách tìm Chú ý: CLN.Thu t tốn clit V i a , b ฀ đ u t n t i nh t c p s q, r cho: a  bq  r v i  r b ta có (a , b)  (b, r ) a Cho a , b ฀ N u m t hai s lƠ c c a s kia, ch ng h n b a ta có (a , b)  b hi n nhiên b N u tr ng h p không s y ta có h th c sau đơy bi u th m t dƣy phép chia có d a  bq0  r1  r1 b b  r1q1  r  r2  r1 rn   rn 1qn 1  rn rn 1  rn qn  rn  rn 1 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p Dƣy phép chia có d liên ti p nƠy g i lƠ thu t toán clit th c hi n hai s a , b Dƣy nƠy ph i h u h n vƠ thu t toán clit ph i k t thúc v i m t s d rn 1  Theo ý m đ u ta có : (a , b)  (b, r1 )   (rn 1 , rn ) Nh v y, CLNc a hai s a vƠ b lƠ s d cu i khác thu t toán clit th c hi n a b Tìm s l ng cc am ts N u d ng phơn tích th a s nguyên t c a m t s t nhiên A axbycZ…thì s l Th t v y: Các ng c c a A b ng (x + 1)(y + 1)( z+ 1)… c c a A có d ng mnp…trong m có x+ cách ch n (là 1;a;a 2;…; a x) n có y+1 cách ch n (lƠ 1;b;b2;…; by) p có Z + cách ch n (lƠ 1;c;c2;…; cZ) Do s l ng c c a A b ng (x + 1)(y + 1)( Z + 1)… B i chung a nh ngh a: M t s nguyên đ c g i lƠ m t b i chung c a s a1, a2, a3,…, an lƠ b i c a m i s b M t b i chung m c a s a1, a2, a3,…, an cho m i b i chung c a s a1, a2, a3,…, an đ u lƠ b i c a m đ c g i lƠ b i chung nh nh t (BCNN) c a s Cách tìm BCNN c a nhi u s B i chung nh nh t c a hai s a b  a , b  ab ( a , b) Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p Ch ng minh: t m b a ab Ta có m  a V y m lƠ m t b i chung  b ( a , b) ( a , b) ( a , b) c a a b Gi s m, lƠ m t b i chung c a a b.ta s ch ng minh m, lƠ b i c a m Th t v y m, lƠ b i c a a nên ph i có k  ฀ cho m,  ak Vì b m t c c a m, nên có b ak ,  b b a a  k , nh ng  ,   nên ( a , b) ( a , b)  ( a , b) ( a , b)  b b vƠ ta đ k ngh a lƠ ph i có t đ cho k  t ( a , b) ( a , b) c m,  ab t  mt ( a , b) t c lƠ m, lƠ b i c a m B i chung nh nh t c a nhi u s b Cho s a1 , a , a3 , a n Ta đ H qu 1: t m2   a1 , a  , m3   m2 , a  , , mn   mn1 , a n  m  mn   a1 , a , a3 , a n  c B i chung nh nh t c a nhi u s nguyên t t ng đôi m t b ng tích c a chúng H qu N u m i s s a1 , a , a3 , a n nguyên t t ng đôi m t mƠ chia h t m t s m tích c a chúng c ng chia h t s m Ch ng 2: ng d ng ng d ng 1: ng d ng vƠo bƠi toán chia h t C s lý lu n D a vƠo đ nh ngh a vƠ m t s tính ch t c a quan h chia h t, c th lƠ: nh ngh a: Cho hai s nguyên a b, v i b  N u có m t s nguyên q cho a= bq ta nói r ng b chia h t cho a hay b lƠ ba c c a a vƠ kí hi u lƠ Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p Ta c ng nói a chia h t cho b hay a lƠ b i c a b vƠ kí hi u lƠ a  b - 1 a v i m i a  ฀ ,ngồi 1 khơng cịn s ngun nƠo có tính ch t nƠy - 0 a v i m i a  ฀ , a  ,ngoƠi s khơng cịn só nƠo có tính ch t - a a v i m i a ฀ , a  - a b b a kéo theo a  b - b a c b kéo theo c a n - b , i  0,1, , n kéo theo b  xi , i  0,1, , n v i m i x0 , x1 , x2 , xn ฀ i 0 - Trong n(n  1) s nguyên liên ti p có m t vƠ ch m t s chia h t cho n Gi s có n s t nhiên liên ti p a1 , a , , a n Ta ch ng minh r ng phép chia cho n s d c a n s nƠy đôi m t khác Gi s ng c l i, có i  j cho:  nqi  r ,  r n a j  nq j  r ai  a j  nk    a j  n   a j  Trái gi thi t  a j Do n s d khác ch nh n giá tr n giá tr 0,1, 2, , n  nên có m t s d b ng - M t s h ng đ ng th c V i (n  ฀  ) ta có a n  bn  (a  b)(a n 1  a n 2b   ab n 2  b n 1 ) V i n l ta có: a n  bn  (a  b)(a n 1  a n 2b   ab n 2  b n 1 ) Suy : 10 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p a n4  lƠ s nguyên t ; b n2003  n2002  lƠ s nguyên t Gi i: a Ta có   n   n  4n   n    n2    2n     n  2n  n  2n  N u n4  lƠ s nguyên t  n  2n    n  Th l i v i n = n4   lƠ s nguyên t V y n = n4  lƠ s nguyên t b Ta có: n2003  n2002   n2  n2001  1  n  n2001  1  n2  n  V i n1 ta có: n2001  1 n3   n2001  1 n2  n  Do đó: n 2003  n 2002  1 n  n  n  n  11 nên n2003  n2002  lƠ h p s V i n  lƠ s nguyên t n 2003  n2002   Ví d 2: Cho a , b, c, d  ฀  tho mƣn a b  c.d Ch ng minh r ng A  a n  bn  c n lƠ h p s v i m i n  ฀ Ch ng minh: Gi s  a , c   t T a b  c.d  a1b  c1d  b  c1 t Khi a  ta1 , c  tc1 v i (a1 , c1 )  b  kc1  c1d  a1kc1  d  ka1 A  a n  bn  c n  d n  t n a1n  knc1n  t nc1n  kn a1n   kn  t n Vì  a n  c1n  k, t , a1 , c1 ฀  nên a lƠ h p s 29 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p BƠi t p t luy n D ng 1: Ch ng minh r ng không t n t i s t nhiên a,b,c mà a.b.c + a = 333 ; a.b.c + b = 335 ; a.b.c + c = 341 Có s t nhiên nƠo mƠ t ng c a chúng t n b ng Tích c a chúng t n b ng hay không? D ng 2: Ch ng minh r ng t ng bình ph lƠ s ph ng c a n s nguyên liên ti p không th ng v i n = , , , , Ch ng minh r ng n  ฀ ta có: a n  3n  không chia h t cho b n2  3n  không chia h t cho 49 c n  3n  16 không chia h t cho 169 Dang3: Tìm t t c s t nhiên n cho  n  1! chia h t cho n Tìm t t c s t nhiên n tho m t u ki n sa nga n  11  n  1 b n  2n  6  n   n   n  3 c D ng 4: Ch ng minh r ng : S ph ng có ch s l hƠng ch c ch s hƠng đ n v b ng Cho abc lƠ s nguyên t ,ch ng minh r ng ph ng trình ax2  bx  c = khơng có nghi m h u t Tìm s h u t x cho x2  x  lƠ s ph ng D ng 5: 10 Tìm s nguyên t p cho p + 10 p + 14 lƠ s nguyên t 11 Tìm t t c s nguyên t p đ p  p c ng lƠ s nguyên t 30 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p 12 Cho p, q lƠ s nguyên t Ch ng minh r ng p  p  24 13 Cho n  ฀  , ch ng minh s sau lƠ h p s A  22 a n1 3 b B  22 ; n1 7 ; n c C  22  13 14 Ch ng minh r ng v i m i s nguyên t p có vô s s d ng 2n  n chia h t cho p 15 a Tìm s nguyên t p đ 2p + lƠ l p ph ng c a m t s t nhiên b.Tìm s nguyên t p đ 13p + lƠ l p ph ng c a m t s t nhiên 16 Tìm n  ฀  đ n3  n2  n  lƠ s nguyên t ng d ng : ng d ng vƠo gi I PH NG TRìNH NGHI M NGUYÊN C s lý lu n - nh lí v s t n t i nghiêm nguyên ng trình b c nh t m t n có d ng -Ph ax  by  c(a  0, b  0; a , b, c  ฀ ) - Ph ng trình có nghi m nguyên  (a ; b) c - M r ng đ i v i ph ng trình b c nh t nhi u n : a1 x1  a x2   a n xn  c Ch ng minh đ i v i tr  a k , c  ฀  Có nghi m nguyên   a1 , a , , a n  c ng h p n: Gi s ( x0 ; y0 ) lƠ nghi m nguyên c a (1) ta có ax0  by0  c N u Ng d  (a ; b) d ax0  by0  c c l i : Gi s d  (a ; b) c c  dc1 vƠ ta có hai s nguyên x1 , y1 cho d  ax1  by1  dc1  a ( x1c1 )  b( y1c1 )  c V y (1) có nghi m nguyên H qu : 31 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p N u (a ; b)  ph ng trình (1) ln có nghi m nguyên + Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình (1) Gi s d  (a ; b) c chia v c a (1) cho d ta đ c a b a b c x y  v i ( ; ) 1 d d d d d nh lí 1: N u ( x0 ; y0 ) lƠ m t nghi m nguyên c a ph ng trình ax  by  c v i (a ; b)  (1) có vơ s nghi m nguyên vƠ nghi m t ng quát c a (1) đ c cho b i công th c:  y  xo  bt v i t  ฀ ;  x0 ; yo  g i lƠ nghi m nghuyên c a (1)   y  yo  at Tìm nghi m riêng  x0 ; yo  : Thu t chia Euclid đ tìm Gi s L y “ th CLN (a;b) a  bq0  r1 , b  r1q1  r2 , , rk 1  rk qk  ng” dƣy phép chia c a thu t toán r i tính : m  q0  q1  p q = q2   qk Nghi m riêng c a a.x  b y  tho mƣn Th t ng tr  x0  p   y0  q ho c  x0  q   y0  p ng h p đ xác đ nh d u c a x0 , y0 - S lƠ s nguyên t ch n nh t Có th đ a ph ng trình v d ng f x g x  k v i f x g x  k v i f x , g x đa th c h s nguyên Ta phơn tích k th a s nguyên t r i gi i h  f x  m   g x  n v i m.n  k 32 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p Ph ng trình đ i x ng v i n c a x , y , z ,… tìm nghi m ngun d ng ta có th gi s  x  y  z  Khơng t n t i s ph ph ng liên ti p M t s ph Ph ng n m gi a hai s ng pháp ng pháp 1: S d ng phép chia h t vƠ chia có d Hai v c a ph d khác ph ng trình nghi m nguyên chia cho m t s có s ng trình khơng có nghi m ngun c th đơy lƠ m t v có s d b ng m t v có s d khác hay v khơng có c chung Ph ng pháp2: Ph ng pháp phơn tích Tìm nghi m ngun c a ph ng trình a  x  y   b  c.x y v i a,b  ฀   c.x y  a.x  a y  b  y  c.x  a     c.x  a  c y  a   a  b.c a  b.c  m.n Phân tích đơy lƠ ta tìm c v i (1) m, n  ฀ hai v c a (1) sau cho b ng Sau l n l Ph t gi i h ng pháp 3: Ph a a2  c.x  a    b c c c.x  a  m  c y  a  n ng pháp xu ng thang Thu t toán C n c vƠo d ng ta có thu t tốn c th 33 ct ng ng Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p D ng 1: Nghi m nguyên c a ph ng trình b c nh t Các ví d minh ho Ví d 1: Tìm t t c s t nhiên cho a n n  1 25 b n 21 n  1165 c n ; n  1 25 n  2 Gi i: n  n  x    25 y  x  n  1 25  n   25 y a 25  9.2  có m 2 1 ;  7.1   2 11  2  4 ; 1  2.3   x0  11 , y0  lƠ nghi m riêng c a 1  x  11  25t  y   9t nên 1 có nghi m t ng quát lƠ :  n 21 n  21x   165 y  21x  khơngcó nghi m  n  1165 n   165 y b nguyên 165, 21  không lƠ c c a Theo a ta có n  99  225t , n   101  225t  4k  4k  225t  101 c  2 Ta có: 225  4.56   m  56 Ta có: k  56, t  1 lƠ nghi m riêng c a ph ng trình 4k  225t  nên  56.101, 101 lƠ nghi m riêng c a   V y nghi m t ng quát c a   là: k  5656  225m  t  101  4m t   m  26 v y n  22626  900m, m  26 34 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p Ví d 2: Tìm s t nhiên nh nh t chia h t cho chia cho ,3 , , , ln có s d lƠ Gi i: G i n lƠ s t nhiên c n tìm n  x n    2,3, 4,5, 6 y n  x  x  60 y  BCNN  2,3, 4,5,   60 Khi đó:  n   60 y Theo thu t chi Euclid cho 60 7: 60  7.8  ;  4.1   m 8 1 1  ;  3.1  17 Th tr c ti p ta th y x  17, y  2 lƠ nghi m riêng c a 1 nên 1 có nghi m nguyên t ng quát lƠ: Khi  x  17  60t   y    7t t  ฀  t  ฀  n  x  119  420t V i t  n  301 lƠ s t nhiên nh nh t chia h t cho vƠ chia cho ,3 , , , có d D ng 2: M t s ph ng pháp gi i ph ng trình nghi m ngun khác Các ví d minh ho Ph ng pháp 1: S d ng phép chia h t vƠ chia có d Ví d 1: Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình : x2  y2 Gi i: Rõ ràng x = y = lƠ nghi m c a ph ng trình (1) N u x0 , y0   x0 , y0  lƠ nghi m c a (1) g i d   x0 , y0  Suy  x0 y0   d , d  1   1 35 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p x  y  x  2y     2  d  d  Có 2 x y   2  2  4 d d   y0 x y  2   ,   d d d  T 1   suy ph  2 ng trình khơng có nghi m khác Ví d 2: Tìm nghi m ngun c a ph ng trình: x2  y2  Gi i: N u x5 t N u x  y2  x2  5  y  x2  y2  25 y  Ta có x2  1 mod 5 y2  1 mod 5 Suy x2  y2  1, 3  mod 5 V y ph Ph ng pháp2: Ph vô lý ng trình khơng có nghi m ngun ng pháp phơn tích Ví d 1: Tìm nghi m ngun d ng c a ph ng trình  x  y  16  3.x y Gi i:  x  y  16  3.x y  3.x y  x  y  16 Ta có  y  3x    3x    16  3   3x   y    52 Gi s x  y Ta có h sau Gi i ta đ  3x   y  52  1.52  2.26  4.13 3x    3 y   52 3 x   3 y   26 ;  ng c a ph ng trình lƠ: ;  c nghi m nguyên d 1,18 , 18,1 ,  2,5 5,  Ví d 2: Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình: 36 3 x   3 y   13 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p  x  y  1  x  y  x2  x  105 Gi i: Vì 105   x  y 1  y2 x2  x  x  x  1 x   x  nên V i x  ta có ph Do mà ng trình:  y  1 y  1  21.5  y  1, y  1  5 y   21   y 1  nên ho c 5 y   21   y   5 + 5 y   21 5 y  20 y     y4   y 1  y  y  + 22  5 y   21 5 y  22  y           y y     y  6 V y: y4 Th l i v i x  y  lƠ nghi m nguyên c a ph Ví d 2: Tìm nghi m ngun c a ph x  y  xy b p  x  y  xy V i p lƠ s nguyên t Gi i: a Ta có: x  y  xy  xy  x  y     x  1 y  1  37 ng trình ng trình sau a  x    x     y 1  y        x   1  x      y   1   y  vô nghi m Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p V y ph ng trình có hai nghi m  0,   2,  Ta có th gi s x  y c p  x  y  xy  xy  px  py  p  p Ta có :   x  p  y  p   p p  p p    p    p   p    p   1 Mà x  p  p  y p  p T ph ng trình đƣ cho có nghi m nguyên  x, y là:  0,  ;  p, p  ; Ph x  p   x  p  1 x  p   p ho c  ho c  2 y p  p y p  p y p   p ho c   p  1, p ng pháp 3: Ph     p ; p  p, p  ; p  p, p  ; p  1, p  p  ng pháp xu ng thang Ví d 1: Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình: x2  y3  z3  Gi i: Gi s  x0 , y0 , z0  lƠ nghi m nguyên c a ph ng trình  x03  y03  z03  x0  , đ t x0  3x1 Thay x0  3x1 vƠo (1) ta đ c x13  y03  3z03   y0 3 t y0  y1 đó: x13  27 y13  3z03   3x13  y13  z03   z0 3 t z0  3z1 , đó: x13  y13  z13  V y:  x0 y0 z0   , ,  c ng lƠ nghi m c a ph   Quá trình nƠy ti p t c đ ng trình x y z c  k0 , k0 , k0  lƠ nghi m nguyên c a (1) v i 3 3  m i k , u nƠy ch s y x0  y0  z0  V y  0, 0,  lƠ nghi m nh t c a ph ng trình đƣ cho Ví d 2: Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình: x2  y2  z2  t  xyzt Gi i: 38 1 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p Gi s  x0 , y0 , z0 , t0  lƠ nghi m nguyên c a 1 , Khi x02  y02  z02  t02  x0 y0 z0t0 Do i x0 y0 z0t0   ph i có ch n s l s s x0 , y0 , z0 , t0 N u x0 , y0 , z0 , t0 đ u l x02  1 mod  , y02  1 mod  , z02  1 mod  , t02  1 mod   x02  y02  z02  t02   mod  Trong x0 y0 z0t0  ii N u s x0 , y0 , z0 , t0 có s l x02  y02  z02  t02   mod  nh ng x0 y0 z0t0  Nên x0 , y0 , z0 , t0 ph i lƠ s ch n, đ t: x0  x1 , y0  y1 , z0  z1 , t0  2t1 Ph ng trình tr thƠnh Lý lu n t ng t ta có: V i: x2  Ti p t c ta có: x12  y12  z12  t12  8x1 y1 z1t1 x22  y22  z22  t22  32x2 y2 z2t2 x1 y z t , y2  , z2  , t2  2 2 xn  x0 y z t , yn  n0 , zn  0n , tn  0n n 2 2 LƠ s nguyên v i m i n, suy x0  y0  z0  t0  V y ph ng trình có nghi m nh t  0, 0, 0,  BƠi t p t luy n D ng 1: Tìm s nguyên n cho 3n – chia h t cho vƠ 7n – chia h t cho Tìm ngi m nguyên d a x  11y  47 ; b ng c a ph ng trình sau: 3x  y  555 ; c 12 x  y  45 D ng 2: Tìm nghi m nguyên c a ph Gi i ph ng trình sau: 19 x2  28 y2  729 ng trình sau t p s nguyên 39 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p x14  x24   x74  2008 Ch ng minh ph ng trình sau khơng có nghi m ngun a x4  y4  z4  t  165 ; b x14  x24   x144  1599 Tìm t t c tam giác vng có c nh lƠ s nguyên vƠ có s đo di n tích b ng chu vi Gi i ph ng trình t p s nguyên: x2  x   y2 Gi i ph ng trình t p s nguyên a x3  y3  z3  b x4  y4  z4  u c x3  y3  z3 d x2  y2  z2  xyz 40 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p 41 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p K t lu n c chung vƠ b i chung có ng d ng quan tr ng đ i s s c p vƠ nh ng ng d ng nƠy r t hay đ c s d ng đ gi i bƠi toán k , thi đ c bi t lƠ k thi h c sinh gi i ph thơng, thi Olympic tốn h c Trong khố lu n nƠy có trình bƠy m t s bƠi toán th d ng ng d ng c a ki n th c v ng g p có s c chung vƠ b i chung.Tuy nhiên cịn r t nh so v i ng d ng c a c chung vƠ b i chung Khoá lu n đ c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m vi c nghiên c u vƠ h c t p toán T đ tƠi nƠy có th giúp b n đ c nghiên c u sơu h n, r ng h n v d ng c a ng c chung vƠ b i chung Do l n đ u tiên lƠm quen v i công tác nghiên c u th i gian vƠ n ng l c b n thơn em cịn nhi u h n ch nên khơng tránh kh i nh ng thi u xót Em r t mong đ c s đóng góp ý ki n quý báu c a th y cô vƠ b n sinh viên Em xin chân thành c m n! 42 Nguy n Th Mùi Khoá lu n t t nghi p TƠi li u tham kh o Nơng cao vƠ phát tri n toán t p V H u Bình NhƠ xu t b n giáo d c Giáo trình s h c L i c Th nh Chuyên đ b i d NhƠ xu t b n giáo d c ng h c sinh gi i trung h c c s V Thanh NhƠ xu t b n giáo d c BƠi t p s h c Nguy n Ti n Quang NhƠ xu t b n giáo d c 43 1977 s h c ... ng ki n th c v c a ng d ng c chung vƠ b i chung Nhi m v nghiên c u Nghiên c u v it c chung vƠ b i chung ng nghiên c u M ts Ph ng d ng c a ng d ng c a c chung vƠ b i chung ng pháp nghiên c u Nghiên... nhiên đ n tƠi li u nƠy ch a đ ng d ng c chung vƠ b i chung ch a đ c nhi u Các d ng bƠi t p v c h th ng hố Vì lí em ch n đ tƠi “ ng d ng c a c chung vƠ b i chung “ M c đích nghiên c u B c đ u lƠm... Khoá lu n t t nghi p L iM u Lí ch n đ tƠi c chung vƠ b i chung lƠ m t n i dung quan tr ng c a tốn h c Trong ch ng trình tốn ph thơng c Chung vƠ B i Chung đ c gi i thi u r t s m vƠ có nhi u ng