Thông tin tài liệu
khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà Tr ng đ i h c s ph m hƠ n i Khoa: toán ********************* Thơn th thu hƠ NG D NG A TH C KHOÁ LU N T T NGHI P Chuyên nghƠnh : I H C is HƠ n i - 2009 ng d ng đa th c -1- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà Tr ng đ i h c s ph m hƠ n i Khoa: toán ********************* Thơn th thu hƠ NG D NG A TH C KHOÁ LU N T T NGHI P Chuyên ngƠnh : Ng is ih I H C ng d n khoa h c: Gi ng viên : V NG THỌNG HƠ n i - 2009 ng d ng đa th c -2- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà L ic m n Sau m t th i gian h ng say mi t mài nghiên c u v i s giúp đ t n tình c a th y giáo b n sinh viên khoá lu n c a em hồn thành Em xin bày t lịng bi t n sâu s c c a t i th y V T tr ng t ng Thông- i s ch b o, giúp đ em trình th c hi n hồn thành khố lu n Em xin chân thành c m n s giúp đ quý báu c a th y cô giáo khoa Tốn, th y t i s tr c ti p gi ng d y t o u ki n thu n l i cho em q trình em làm khố lu n Khố lu n c a em hồn thành song c ng không tránh kh i nh ng thi u xót, h n ch Em r t mong nh n đ c s đóng góp chân tình, nh ng ý ki n ph n h i c a th y cô giáo b n sinh viên đ khố lu n c a em đ hồn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà n i, tháng 05 n m 2009 Sinh viên Thơn Th Thu HƠ ng d ng đa th c -3- c khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà L i nói đ u a th c chi m m t v trí h t s c quan tr ng tốn h c, khơng nh ng đ i t ng nghiên c u ch y u c a đ i s mà ph ng ti n h u hi u c a gi i tích.Bên c nh lý thuy t đa th c cịn ph c v cho ch ng trình tốn ph thơng, tốn cao c p, tốn ng d ng V i nh ng ng d ng ngày tài li u v đa th c c ng nhi u sâu vào nhi u d ng toán, d ng toán đ c phân lo i rõ ràng có h th ng.Song nh ng v n đ v đa th c ch a đ a đ cách chi ti t t c ph ng pháp gi i m t ng minh V i nh ng lí em ch n đ tài “ ng d ng đa th c” đ làm khoá lu n t t nghi p Khoá lu n bao g m n i dung: Ch ng 1: Nh ng ki n th c liên quan Ch ng 2: ng d ng đa th c m t n Ch ng 3: ng d ng đa th c nhi u n Do l n đ u làm quen v i công tác nghiên c u kh n ng c a b n thân nhi u h n ch nên khố lu n khơng tránh kh i nh ng thi u xót Kính mong th y giáo b n sinh viên nh n xét đóng góp ý ki n đ khố lu n c a em đ c hoàn thi n h n Hà n i, tháng 05 n m 2009 Sinh viên Thơn Th Thu HƠ ng d ng đa th c -4- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà M cl c L i nói đ u: ……………………………………………………………… M C L C …………………………………………………………… Ch ng 1: Nh ng ki n th c liên quan ………………………………… 1.1 Vành đa th c m t n …………….……………………………… 1.2 a th c v i h s nguyên ………………………………………… 10 1.3 Vành đa th c nhi u n …………………………………………… 13 Ch ng 2: ng d ng đa th c m t n ……………………………… 16 2.1 NG D NG 1: M t s toán chia h t ………………………… 16 2.2 NG D NG 2: GI i toán ph ng trình b c hai …………………… 19 ng trình c n th c ………………… …… 22 2.3 NG D NG 3: GI i ph 2.4 NG D NG 4: Tâm giá tr c a bi u th c đ i x ng đ i v i nghi m c a đa th c ………………………………………… 24 2.5 ng d ng 5: Nghi m c a đa th c h s đ i x ng 29 2.6 NG D NG 6: Tâm m c đ nh c a h đ th hàm s … …… 32 Ch ng 3: ng d ng đa th c nhi u n ………………………………… 35 3.1 ng d ng 1: Phân tích đa th c thành nhân t …………………… 35 3.2 NG D NG 2: Tìm nghi m nguyên c a ph 38 3.3 NG D NG 3: Gi i h ph ng trình … ……………………… 45 3.4 NG D NG 4: CH ng minh h ng đ ng th c….………………… 47 3.5 NG D NG 5:CH ng minh b t đ ng th c …… ……………… 51 3.6 NG D NG 6: TR c c n th c 54 ng trình đ i x ng m u ……… ………………… K T LU N …………………………………………………………… 58 TàI LI U THAM KH O ……………………………………………… 59 ng d ng đa th c -5- khóa lu n t t nghi p Ch Thân Th Thu Hà ng : nh ng ki n th c liên quan vƠnh đa th c n Xây d ng vƠnh đa th c n Gi s A vành giao hoán, có đ n v G i K t p h p dãy: K a , a1 , , a n , | , i 0,1, ; a i h uh t Trên K ta đ nh ngh a phép toán c ng nhân nh sau + ( a , a1 , , a n , ) (b0 , b1 , , bn , ) (a b0 , , a n bn , ) + ( a , a1 , , a k , ).(b0 , b1 , , bk , ) (c0 , c1 , , ck , ) ab V i ck i j k i j , k 0,1,2 Khi (K,+,.) l p thành vành giao hốn có đ n v Xét ánh x : f : A K a (a , 0, , ) + f đ n c u b o toàn t ng,tích f (a b) (a b, 0, ) (a , 0, ) (b, 0, ) f (a ) f (b) f (a.b) (a.b, 0, ) ( a, 0, )(b, 0, ) f ( a) f ( b) N u f (a ) f (b) (a , 0, ) (b, 0, ) a b +Do f đ n c u nên ta th đ ng nh t m i ph n t a A v i nh f (a ) c a K có th coi A m t vành c a K KH: x (0,1, 0, ) g i n ng d ng đa th c -6- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà Khi ta có x (0, 0,1, 0, ) … x (0, , ,1, 0, ) n n Vì ph n t c a K dãy ( a , a ,…, a n ,…) a A& a h u h t tr s h u h n nên ta có th gi s n i i s l n nh t đ a n 1 a n Khi m i ph n t K có th vi t : ( a 0, a ,…, a n ,0,…)= ( a ,0 ,…)+ (0, a ,…)+ (0,0, a ,…)+…+ (0,…,0, a n ,0,…) =( a ,0 ,…)(1,0 ,…)+ (0, a ,…)(0,1,0…)+…+ ( a n ,0,…)(0,…,1,0,…) = a a1 x a n x n G i K vành đa th c n x l y h t A hay vành đa th c m t n x A KH: K A x +Ta th ng KH ph n t c a K f ( x), g ( x) Và đ f ( x) a x a n 1 n n n 1 x a x a c vi t Trong a , i 0, n h t c a đa th c i i a x : h t th i a a ng d ng đa th c i c a đa th c : h ng t t n : h t cao nh t -7- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà 2.Các tính ch t c a đa th c 2.1.B c c a đa th c n Cho f ( x) a x a n n 1 x n 1 a x a n ( a n 0, n ) n + f ( x) : Ta nói f ( x) đa th c khơng có b c ho c b c - + f ( x) : Cho f ( x) A x , n đ c g i b c c a f ( x) KH n deg f ( x) Tính ch t 1/N u deg f ( x) deg g ( x) f ( x) g ( x) deg( f ( x) g ( x)) max{deg f ( x), deg g ( x)} N u deg f ( x) deg g ( x) f ( x) + g ( x) deg( f ( x) g ( x)) max{deg f ( x) deg g ( x)} 2/N u f ( x).g ( x) deg( f ( x).g ( x)) deg f ( x) deg g ( x) 2.2 Phép chia đa th c 2.2.1 Phép chia có d nh lí: Cho vành đa th c A x , A _tr ng f ( x) , g ( x) A x , g ( x) ! g ( x) , r ( x) A x cho f ( x) g ( x) f ( x) r ( x) v i r (x) phép d c a phép chia f ( x) cho g ( x) r ( x) deg f ( x) deg g ( x) r ( x) = ng d ng đa th c f ( x) g ( x) -8- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà 2.2.2 phép chia h t nh ngh a: Ta nói r ng đa th c f ( x) chia h t cho g ( x) n u t n t i m t đa th c q( x) , q( x) A x cho f ( x) = g ( x) q( x) f ( x) g ( x) KH: M t s tính ch t: i/ N u f ( x) g ( x) deg f ( x) deg g ( x) ii/ V i f ( x) g ( x) , f ( x) g ( x) iii/ f ( x) g ( x) , g ( x) f ( x) f ( x) g ( x), iiii/ N u fi ( x) g ( x), i 1, n q1 ( x), q2 ( x), , qn ( x) nh ng đa th c b t kì [ f1 ( x) q1 ( x) f2 ( x) q2 ( x) fn ( x) qn ( x)] g ( x) thì: L c đ Hoocner n n 1 a n 1x a n , A Cho f ( x) A x : f ( x) a1x a1x Gi s th ng c a phép chia f ( x) cho x A x : n 1 n2 q( x) b0 x b1x bn 1 , b A , i 0, n i i Khi ta bi u di n : n n 1 n 1 a x a1x a n 1x a n f ( x)( x ) (b0 x bn 1) So sánh h t c a lu th a gi ng c a x h th c ta có b ng ng d ng đa th c -9- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà ………… ao a1 bo a o b1 a o bo an ………… r a o bn 2.3 Nghi m c a đa th c nh ngh a: Cho f ( x) A x , deg f ( x) , f ( x) = a a1 x a n x n Ph n t đ c g i nghi m c a đa th c n u n f ( ) = a a a Gi s n A _tr ng, A nghi m c a đa th c f ( x) A x f ( x) ( x ) A x * Công th c Viét: n 1 Cho f ( x) a x a1 x n a n 1 x a n đa th c b t kì f ( x) a ( x )( x ) ( x ) 1 n V i 1 , , , n nghi m c a đa th c a n a a 1 1 1 n 2 n 1 n a a k k ( 1) k n k 1 n k n a a ( 1) n n n a ng d ng đa th c -10- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà V y h có nghi m : ( x, y, z) (2, 1,1) hoán v c a 3.3.3 BƠi t p t luy n Gi i h ph ng trình sau 3 x y 1/ 2 x y 2 x xy y 2/ 4 x y 17 x2 y2 12 x y 3/ 1 13 x y x y a 3 4/ Gi i bi n lu n x y b x2 y2 x y z x y z 3 x y2 z2 x3 y3 z3 x y3 z3 27 6/ 5/ xyz x4 y4 z4 113 3.4 ngd ng 4: Ch ng minh h ng đ ng th c 3.4.1 C s lí lu n V n d ng ki n th c v đa th c đ i x ng c b n tính ch t c a 3.4.2 Ph - ng pháp gi i a đa th c đ i x ng v đa th c đ i x ng c b n -Ch ng minh v i bi u th c m i 3.4.3 Các ví d minh ho Ví d 1: Cho x y 1, x y a , x y b 3 5 CMR: 5a (a 1) 9b L i gi i ng d ng đa th c -50- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà Ta có x y ( x y) 3xy( x y) 1 31 3 2 1 a (*) L i có: b x y x y x y x y x y x y 5 5 3 2 3 x2 ( x3 y3 ) y2 ( x3 y3 ) x2 y2 ( x y) ( x2 y2 )( x3 y3 ) x2 y2 ( x y) x y xy ( x y)3 xy( x y) x2 y2 ( x y) (1 2 )(1 31 ) 1 2 (1 2 )(1 3 ) 2 5 5 (theo *) 5a a V y 9b 5a 5a hay 5a (a 1) 9b (đpcm) Ví d 2: Ch ng minh đ ng th c sau ( x y)3 ( y z)3 ( z x)3 3( x y)( y z)( z x) 2 = 2( x y z)( x y z xy yz zx) L i gi i Cách 1: x y u y z v t z x r G i đa th c đ i x ng c b n c a n u, v, r Khi ta có ( x y) ( y z) ( z x) 3( x y)( y z)( z x) ng d ng đa th c 3 -51- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà u v3 r 3uvr 3 1 3 3 3 3 1 Ta đ c: 2 uv vr ru ( x y)( y z) ( z y)( z x) ( z x)( x y) x2 y2 z2 ( xy yz zx) 1 2 V y ta có : VT= 1 31 (2 ) 3(2 )(1 ) 2 2( x y z)( x2 y2 z2 xy yz zx) (đpcm) Cách 2: Ta th y f ( x, y, z) đa th c đ i x ng có h ng t cao nh t 2x3 áp d ng ph ng pháp h s b t đ nh H th ng s m H s cao nh t T h p i 21 (3,0,0) 2x3 (2,1,0) x2 y 1 (1,1,1) xy2 VT(*) 21 1 3 Ch n ng d ng đa th c -52- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà f ( x, y, z) 23 13 13 3.2.1.1 Ta có: hay 2.3 2 6 x 1 y 3 Ch n z 1 Ta có f ( x, y, z) ( 2) 3.1.1.( 2) 3 Hay f ( x, y, z) 213 61 V y 2 ( 3 ) 2( x y z) x y z 3( xy yz zx) 2( x y z)( x2 y2 z2 xy yz zx) 3.4.4 BƠi t p t luy n Bài 1: CMR n u x y z a/ 2( x y z ) xyz( x y z ) 5 2 b/ x2 ( y z) y2 ( z x) z2 ( x y) ( x2 y2 z2 )( xy yz zx) c/ ( y z) ( z x) ( x y) 24 x y z 2 2 2 x4 ( y z) y4 ( z x) z4 ( x y) Bài 2: CMR a/ x y ( x y) 2( x y z ) 4 2 2 b/ ( x y z)( xy yz zx) xyz ( x y)( y z)( z x) ng d ng đa th c -53- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà 3.5 ngd ng 5: Ch ng minh b t đ ng th c 3.5.1 C s lí lu n 3.5.1.1 Tr ng h p bi n - V n d ng k t qu đa th c đ i x ng đ ch ng minh B T - Gi s , nh ng s th c - x y 1 s x, y xác đ nh b i u ki n xy th c u ki n c n đ 1 4 2 - x, y th c không âm u ki n c n đ : 1 4 0, 1 0, V y gi s cho m t đa th c đ i x ng f ( x, y) ta c n ch ng minh v i nh nggiá tr th c b t kì x, y (ho c v i nh ng giá tr không âm ho c x y a , tu u ki n tốn) đa th c f ( x, y) l y nh ng giá tr không âm f ( x, y) Cách gi i: Thay f ( x, y) b i bi u th c c a qua đa th c đ i x ng c , r i tìm đa th c tìm đ Và 1 4 t c đ t b n c ta thay b i bi u th c c a qua 1 ( ) K t qu ta thu đ c m t đa th c c a Ta ph i ch ng minh v i nh ng giá tr không âm c a nh ng u ki n cho v đa th c ch l y nh ng giá tr không âm ng d ng đa th c -54- khóa lu n t t nghi p 3.5.1.2 Tr Thân Th Thu Hà ng h p bi n N u x, y, z ta ln có B T sau ( x y) ( y z) ( x z) (*) D u “=” x y x y z Xét đ i x ng đ i v i x, y, z ta có: ( x y) ( y z) ( x z) 2( x2 y2 z2 ) 2( xy yz zx) 2( 2 ) 2 2 2 6 2 Do 21 6 1 3 2 T B T (*) ta ch ng minh đ c B T khác 3.5.2 Các ví d minh ho Ví d 1: Ch ng minh B T sau a/ ab ac bc 3abc( a b c) v i a , b, c b/ ( a b c) ab ac bc abc v i a , b, c L i gi i a/ T 1 3 hay x y z 3( xy yz zx) t x ab, y ac, y bc ta đ ab ac bc c a 2bc ab 2c abc 3abc(a b c) (đpcm) b/ B T c n cm 1 9 Vì a , b, c nên , , T B T 1 3 & 31 Ta có 1 91 2 ng d ng đa th c 2 -55- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà 1 9 1 D u “=” x y x y z Ví d 2: Cho a , b tho mãn a b ab a b CMR (*) L i gi i a b 0 a b , 1 Theo gi thi t ab L i có a b ab (1) (2) T (1) (2) có ( ) 0 Do 1 4 Nên có 4 L i nên 1 1 4 hay a b (đpcm) Ví d 3: CMR a , b tho mãn a b ab a b2 6 L i gi i ab a b2 6 a b ab 6ab(a b ) ab(a b ) 0 a b ab 6ab(a b ) (vì a , b ) ng d ng đa th c -56- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà Xét f a b ab 6ab(a b ) 1 61 12 2 1 3 4 ( ) 6 1 4 1 1 2 2 ( ) 12 16 ( ) 2 0 Theo gi thi t có a b nên V y ab a b 2 v i a , b , a b 3.5.3.BƠi t p t luy n Bài 1: CMR x, y : x y xy yx 4 3 Bài 2: Ch ng minh n u a , b, c đ dài c nh c a tam giác a/ a (b c a ) b (a c b) c (a b c) 3abc 2 b/ (a b c )( a b c) 2(a b c ) 2 3 Bài 3: Cho a , b, c 0, a b c CMR a 2bc b 2ac c 2ab 9 Bài 4: CMR a b 64ab(a b) v i a , b 3.6 ng d ng 6: Tr c c n th c m us 3.6.1 C s lí lu n n - N u m u s có d ng a b hay ng d ng đa th c n a n b ta ch vi c áp d ng -57- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà công th c sau: x2 y2 ( x y)( x y) xn yn ( x y)( xn 1 xn y xyn yn 1 ) x2 k 1 y2 k 1 ( x y)( x2 k x2 k 1 y xy2 k 1 y2 k ) -N u m u s có hay nhi u h n c n th c v n d ng đa th c đ i x ng -Ta tìm nh ng bi u th c mà ch a nh m t nhân t sau th c hi n chia bi u th c khơng cịn c n th c m u 3.6.2 Các ví d minh ho Ví d 1: Tr c c n th c , a , b, c , a b c * a b c L i gi i t x a , y b, z c x y z a b c Và có: x y z ( x y z) 2( xy yz zx) 1 2 2 2 2 Tath y S2 x2 y2 z2 S4 x4 y4 z4 a a b b a b c 12 2 a b2 c c c 1 41 41 2 Ta t h p t ng S2 , S4 cho đ c đ t thành th a s có đ c bi u th c khơng cịn ch a c n Xét S2 2S4 (1 2 ) 2(1 41 41 2 ) ng d ng đa th c 2 2 -58- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà 4 8 1 (4 8 ) 1 V y có 4 8 3 S2 S4 a b c 4( a b c )( ab bc ca ) ( a b c )3 abc ( a b c ) 2( a b c ) Ví d 2: Tr c c n th c bi u th c a b c d a , b, c, d * , a b c d , ac bd V i L i gi i x a , y b, z c, t d x y z t a b c 1 41 41 2 Khi 2 a b c d 1 Ta có S2 x y z t a b c d 1 2 2 2 2 S4 x4 y4 z4 t a b2 c d 1 41 41 2 4 4 Ta th y n u t h p t ng đ c đ t thành th a s s đ c m t bi u th c khơng cịn c n th c ng d ng đa th c -59- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà Theo gi thi t đ t ac bd t c a ,d t a b ab b a b c d t t a a b t b ab a b ab t ab ba a b ab cd 3.6.3 BƠi t p t luy n Tr c c n th c m us 1/ a 5b5c 2/ n a b c n n a , b, c * 3/ n a1 a a m n ng d ng đa th c n m, n * -60- khóa lu n t t nghi p ng d ng đa th c Thân Th Thu Hà -61- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà K t lu n Khố lu n trình bày c th chi ti t v nh ng d ng toán c b n c a đa th c m i ch ng đ u nêu lý thuy t liên quan, ph ví d n hình.Các ví d đ a ph ng pháp gi i ng pháp gi i đ c tr ng , c b n nh t Tuy nhiên v i v n ki n th c h n ch nên khoá lu n ch a đ a đ c nhi u d ng toán v đa th c Khoá lu n đ c th c hi n v i mong mu n đóng góp m t ph n kinh nghi m nh bé c a b n thân vi c nghiên c u tìm hi u v đa th c, t giúp b n đ c có nhìn t ng qt vào nghiên c u sâu h n, r ng h n v đa th c ng d ng đa th c -62- khóa lu n t t nghi p Thân Th Thu Hà TƠi li u tham kh o Nguy n H u i n (2003), a th c ng d ng, NXBGD,Hà N i Ngô Thúc Lanh (1987), Hồng Xn Sính (1998), Nguy n Ti n Quang (1987), Bài t p đ i s s h c t p 3, NXBGD T p chí tốn h c t p 2,3,NXBGD Jean-Marie Monier (2006), Giáo trình tốn t p 5- ng d ng đa th c i s s h c t p 3, NXBGD, Hà N i is đ ic ng, NXBGD i s 1, NXBGD -63- khóa lu n t t nghi p ng d ng đa th c Thân Th Thu Hà -64- ... ch t c a đa th c b ng - Cho đa th c f ( x) h t c a đa th c b ng 0.Khi đa th c b c n có q n nghi m đa th c 2.6.2 Ph ng pháp gi i G i M ( x0 , y0 ) m c đ nh c a h đ th hàm s ng d ng đa th c y... quy c a vành A x nh lí: -M i đa th c b c nh t đ u b t kh quy m i tr ng s -M t đa th c b t kh quy C đa th c b c nh t R đa th c b c nh t,b c hai(v i -M t đa th c b t kh quy ) *Tiêu chu... 2: Trong vành A[ x1 , x2 , , xn ] đa th c sau đa th c đ ix ng g i đa th c đ i x ng c b n hay đa th c đ i x ng s c p n xi x1 x2 xn i 1 ng d ng đa th c -16- khóa lu n t t nghi p
Ngày đăng: 30/06/2020, 20:33
Xem thêm:
