Luận văn sư phạm Ứng dụng của bất đẳng thức vào giải một số bài toán và sáng tạo một số dạng toán đại số sơ cấp

MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn phổ thơng, tốn liên quan đến bất đẳng thức ln tốn hấp dẫn, lơi tất người học Toán làm toán Các tốn phong phú đa dạng toán bất đẳng thức thường xuyên có mặt kỳ thi phổ thơng trung học, kỳ thi học sinh giỏi kì thi đại học, cao đẳng Để giải địi hỏi người học Tốn làm tốn phải linh hoạt vận dụng cách hợp lý toán Tất nhiên đứng trước toán bất đẳng thức người có xu hướng phát triển riêng cuả Nói có nghĩa có nhiều cách để dến kết cuối toán Điều quan trọng ta phải lựa chọn phương pháp cho lời giải tối ưu tốn Thật khó thật thú vị ta tìm đường lối đắn để giải Với lý với đam mê thân với hướng dẫn tận tình thầy giáo - Thạc sỹ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn thực khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Ứng dụng bất đẳng thức vào giải số toán sáng tạo số dạng toán đại số sơ cấp ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng bất đẳng thức vào giải số bất đẳng thức sáng tạo bất đẳng thức Đối tượng nghiên cứu Các toán liên quan đến bất đẳng thức Dương Thị Phúc Phương pháp nghiên cứu Đọc, nghiên cứu tài liệu So sánh, phân loại, tổng hợp kiến thức Tổng hợp, xếp, giải tập Dương Thị Phúc CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki toán cực trị hàm số 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki - Bất đẳng thức Cauchy: cho a1 , a2 , , an  , ta có: a1  a2   an n  a1.a2 an n (1) Dấu xảy a1  a2   an - Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai dãy số  a1 ; a2 ; ; an   b1 ; b2 ; ; bn  Khi ta có: a  a22   an2  b12  b22   bn2    a1b1  a2b2   anbn  Đẳng thức xảy (2) a a1 a2    n , bi  0, i  1, n b1 b2 bn Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho dãy số:  a1 a2 a  ; ; ; n    b bn   b2  b1 ; b2 ; ; bn  Ta bất đẳng thức:  a12 a22 an2   a1  a2   an  , bi  0, i  1, n       bn  b1  b2   bn  b1 b2 Đẳng thức (3) xảy Dương Thị Phúc (3) a a1 a2    n b1 b2 bn Đặt bi  ci , i  1, n a12 a2 a   i  nên (3) tương đương với b1 ci ci  a1  a2   an  , với a1 a2 a    n  ci  0, i  1, n c1 c2 cn a1c1  a2 c2   an cn   (4) 1.1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bài 1.1.1: Cho hàm số f  x; y; z   1 1 xác định    2 x y z xy yz zx D   x; y; z  : x  0, y  0, z  x  y  z  1 Tìm giá trị bé f  x; y; z  D Lời giải: Với  x; y; z   D theo bất đẳng thức Cauchy ta có:  1 1   9  xy yz zx   xy  yz  zx   Hay 1    xy yz zx xy  yz  zx Suy :   x; y; z   D ta có: 1 1      x  y  z xy yz zx x  y  z xy  yz  zx Hay   x; y; z   D f  x; y; z    x  y  z xy  yz  zx (5) Lại theo bất đẳng thức Cauchy   x; y; z   D ta có: 1    2 x y z xy  yz  zx xy  yz  zx 3  x2  y  z   xy  yz  zx  (6) Từ (5) (6) ta suy ra: Dương Thị Phúc f  x; y; z   x  y  z   xy  yz  zx   21  xy  yz  zx  (7) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có   x; y; z   D x 2 y z   xy  yz  zx  x  y  z   xy  yz  zx   x  y  z     3 Và  xy  yz  zx    x  y  z   (8) (9) 3 Từ (7), (8), (9) suy f  x; y; z    21 hay f  x; y; z   30 ,   x; y; z   D 1 1 1 1   ; ;   D f  ; ;   30  f  x; y; z   30 D 3   3 3 Bài 1.1.2: Tìm giá trị lớn shàm số f  x; y; z   xyz   1    2 D   x  0; y  0; z  0; 1 x 1 y 1 z   Lời giải: Lấy  x; y; z  tùy ý D Khi từ định nghĩa D ta có:  1    y z  1     1   1 x  1 y   1 z  1 y 1 z Theo bất đẳng thức Cauchy Lập luận tương tự ta có: Dương Thị Phúc 1    1 x 1 y 1 z yz 1  y 1  z  (10) xz  1 y 1  x 1  z  (11) xy  1 z 1  x 1  y  (12) Nhân vế (10), (11), (12) suy ra: 1 xyz  hay xyz  1  x 1  y 1  z  1  x 1  y 1  z  Vậy f  x; y; z   ,   x; y; z   D 1 1 1 1 Mặt khác f  ; ;   mà  ; ;   D nên max f  x; y; z   D 2 2 2 2 Nhận xét: tốn phát biểu dạng tổng quát hóa Chứng minh rằng: max f  x1 ; x2 ; ; xn    n  1 n ,   x1 ; x2 ; ; xn   D đó: f  x1 ; x2 ; ; xn   x1.x2 xn   1 D   x1; x2 ; ; xn  : xi  i  1, n ,     n  1 x1 x2 xn     Bài 1.1.3: Tìm giá trị lớn hàm số: f  x; y ; z   x y z    1  x 1  y 1  z  miền y  z 1 x  z 1 x  y 1 D   x; y; z  :  x  1,  y  1,  z  1 Lời giải: Lấy tùy ý  x; y; z   D Khi ta có:  x  1,  y  1,  z  Do x; y; z giữ vai trị nên ta giả sử x  y  z Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1  y   1  z   1  y  z   3 Dương Thị Phúc 1  y 1  z 1  y  z    1  y 1  z  1 y  z (13) Do 1  x   nên từ (13) suy ra: 1 x  1  x 1  y 1  z  1 y  z (14) Vì x  y  z x  0, y  0, z  nên ta có: y y  1 y  z 1 z  x (15) z z  1 y  z 1 y  x (16) Cộng vế (14), (15), (16) ta có:  1  x 1  y 1  z   x y z   1 y  z 1 z  x 1 x  y (17) Hay f  x; y; z   1,   x; y; z   D Do 1;1;1  D mà f 1;1;1  nên ta có max f  x; y; z   D Bài 1.1.4: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f  x; y; z   2   x  y  z  y  z  x z  x  y miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  0; xyz  1 Lời giải: x y z Đặt X  , Y  , Z  Khi đó: Dương Thị Phúc 2 2 X 3YZ 2Y XZ Z XY      x3  y  z  y3  z  x  z  x  y  Y  Z X Z X Y Mặt khác: xyz  nên XYZ  Vì ta có: f  x; y; z   F  X ; Y ; Z   x; y ; z D  X ;Y ;Z D  X2 Y2 Z2     Y  Z Z  X X Y  Với F  X ; Y ; Z    D '   X ; Y ; Z  : X  0, Y  0, Z  0; XYZ  1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:   X ; Y ; Z   D ' thì: X2 Y Z  X Y Z Y2 ZX  Y ZX Z2 X Y  Z X Y Cộng vế ba bất đẳng thức ta được: X Y  Z F  X ;Y ; Z    XYZ 2  F  X ; Y ; Z   3,   X ; Y ; Z   D ' Mặt khác F 1;1;1  1;1;1  D '  F  X ;Y ; Z    X ;Y ;Z D ' f  x; y; z   Vậy xmin ; y ; z D   Dương Thị Phúc Bài 1.1.5: Cho hàm số f  x; y; z   x  y  z xét miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  x 2002  y 2002  z 2002  3 Tìm giá trị lớn f  x; y; z  miền D Lời giải: Lấy  x; y; z   D Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2000 số số x 2002 ta có:     x 2002  x 2002 2002 2002 2002 x x  2002 Hay 2000  2.x 2002  x2 2002 Tương tự ta có: (18) 2000  y 2002  y2 2002 (19) 2000  2.z 2002  z2 2002 (20) Cộng vế (18), (19), (20) ta có: 3.2000   x 2002  y 2002  z 2002  2002 (21)  x2  y  z Vì  x; y; z   D  x 2002  y 2002  z 2002  nên từ (21) ta có: f  x; y; z   3,   x; y; z   D Mặt khác f 1;1;1  1;1;1  D nên suy max f  x; y; z   D  1 Bài 1.1.6: Tìm giá trị lớn hàm số f  x; y; z   1   1   1    x  y  z miền D   x; y; z  : x  0, y  0, z  x  y  z  1 Dương Thị Phúc Lời giải: Lấy  x; y; z   D tùy ý Ta có:       1  x 1  y 1  z  f  x; y; z   1   1   1    xyz  x  y  z  (22) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: (23)  x  x  y  z  x  4 x yz  y  x  y  z  y  4 y xz (24)  z  x  y  z  z  4 z xy (25) Nhân vế (23), (24), (25) ta được: 1  x 1  y 1  z   64 xyz (26) Từ (22) (26) suy f  x; y; z   64 1 1 1 Mặt khác: f  ; ;   64  ; ;   D Từ ta có: 3 3 3 3 max f  x; y; z   64,  x; y; z   D Chú ý: Để f  x; y; z   64 dấu (23), (24), (25) xảy 1 x  y  z Từ ta có: 1    64  1     x  y  z  hay  x  x 1 1  ; ;  phần tử thuộc D làm cho hàm số cho nhận giá trị  3 3 lớn Dương Thị Phúc 10 a b c   3 bca acb a bc Hướng dẫn: Đặt x  b  c  a; y  a  c  b; z  a  b  c Khi đó: x, y, z  a  Ta có: x y x z yz ;b  ;c  2 1 x y yz zx a b c            2  bc a a cb a bc 2 z x y  x y y  x 2  x z Dấu xảy      x  y  z  z x y z z  y 2  Bài 8: Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c  b c a  c a b  Hướng dẫn: Ta có: b3  c3   b  c  (1) Thật 1   b3  c3   b3  c3  3b2c  3c2b  b  c  b  c   (luôn đúng)  1 Dương Thị Phúc 62 a  c Tương tự ta có: a  b3   a  b  a3  c3  Do a b c Mặt khác  b  c a c  b c   a  4    bc ac ab a b 2 2a 2b 2c a b c      2 b  c a  c a  b b  c   a  c  a  b a b c  b c a  c a b  (đpcm) Bài 9: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh rằng: a  2bc b  2ac c  2ab   3 b2  c2 c  a2 a  b2 Hướng dẫn: Tìm mối liên hệ cạnh tam giác, ta có: a2  b  c   a  2bc 1 b2  c2 (1) Chứng minh tương tự ta được: b  2ac 1 c2  a2 (2) c  2ab 1 a  b2 (3) Từ (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh Dương Thị Phúc 63 Bài 10: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ  a  T   bc của:  b    ca  c     ab Hướng dẫn:  Bổ đề: a b c    bc c a a b  Áp dụng: Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli ta có:  2a   2a     1    bc  b  c    2b   2b      1    ca  c  a    2c      2c   a  b   ab   a   2    b  c   b    ca  c     ab   3   b c   a 1  2      ac ca ab   a   2    b  c   b    ca  c     ab  3   3 1  2    2 T  2   1  3  2 Với a  b  c  ABC MinT    2 Bài 11: Giải phương trình sau: x   x 1  x   x 1  (1) Hướng dẫn: Biến đổi 1    x 1  x 1      x 1  x 1    1 (2) Xét khả sau: Dương Thị Phúc 64  Nếu x     x  10  x    Khi đó: (2)  x    x     x 1   x  10 (thỏa mãn)  Nếu x     x   x    Khi đó: (2)   x    x    x 1   x5 (thỏa mãn)  x 1    Nếu    x  10  x    Khi đó:  2  x 1    x 1  11   x  10 thỏa mãn (2) Vậy nghiệm phương trình  x  10 Bài 12: Giải phương trình: x2  x 1   x2  x   x2  x  (1) Hướng dẫn: 1 1   x  x    x 2  x  x   Điều kiện:  (2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:         x  x  1   x  x  x  x  1  2   x  x  1    x   x  x  1  2 2 2 Dương Thị Phúc  x2 65  (3) x2  x    x2  x   x  Mặt khác: 1  x  x    x  x    x  1  x  x  (4) Từ (3) suy VT    0;VP    2  x  x    x  x    x  1  Vậy      x  x    x 1 Vậy nghiệm (1) x  Bài 13: Giải phương trình: x2 x  3x  3x    3x  2 (1) Hướng dẫn: Điều kiện: x  1  x  x  1  x   x   x  1   x   (2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: VT   x   x  1   x    VP   Từ suy    x  x   x   x2  4x   x 1  x  Vậy phương trình có nghiệm x  1; x  Bài 14: Giải bất phương trình sau: x  x2 1  x  x2 1  (1) Hướng dẫn: Dương Thị Phúc 66 Điều kiện: x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm x  x  x  x  ta được: VT 1  x  x  x  x   x  x   Bài 15: Giải bất phương trình sau: x 1 x  x 1 x  Hướng dẫn: Điều kiện:  x  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được: x  x  x 1 x  2   x  1  x   1  x  x   x  x     Bài 16: Giải bất phương trình sau: cos x  x  Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp đánh giá: cos x    x    bất phương trình tương đương với: cos x   x0   x   Vậy bất phương trình có nghiệm x  Bài 17: Giải hệ phương trình sau:  x  y  y  x   2  x  y  x  y  (1) (2) Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho phương trình (1): Dương Thị Phúc 67  x2  y  y2  x  1  1  x  y  y  x   Vậy (1) tương đương với: x2  y  y  x   x  y  x  y  1  x  y   y  x 1  Với x  y hệ có dạng: x  y 1 x y  2 x  x  x  x   Với y   x  hệ có dạng:  y   x   2  x    x  1  x    x  1   x    y  1    x  1    y  Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm Bài 18: Giải hệ bất phương trình: x   x  x2  x   x  x  Hướng dẫn: x  Điều kiện:  x  (1) Ta có: x  x    x   x   x  2  Hệ bất phương trình tương đương với: x2  x   x  x   2x 4x    8x Dương Thị Phúc (2) 68  Với x  ,(2)   1 Vậy x  nghiệm  Với x  3, VP    , (2) ln Vậy x  nghiệm Vậy x  x  nghiệm hệ bất phương trình Dương Thị Phúc 69 KẾT LUẬN Trong chương trình tốn phổ thơng, toán bất đẳng thức phần hấp dẫn, lơi tất người học Tốn làm Tốn Trong khóa luận em trình bày ứng dụng bất đẳng thức vào giải số toán sáng tạo bất đẳng thức Em thực khóa luận với mong muốn đóng góp kinh nghiệm việc nghiên cứu học tập mơn tốn Từ khóa luận giúp bạn đọc biết thêm số ứng dụng bất đẳng thức vào giải số toán sáng tạo số toán sơ cấp Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực thân hạn chế cố gắng khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận bảo thầy giáo, giáo khoa tốn với đóng góp bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Dương Thị Phúc 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri thức Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri thức 2006 Phan Huy Khải, 500 toán bất đẳng thức, NXB Hà Nội 1994 Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục Dương Thị Phúc 71 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu với hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo, thạc sĩ Phạm Lương Bằng, khóa luận em đến hồn thành Qua em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phạm Lương Bằng, người trực tiếp hướng dẫn bảo cho em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy giáo khoa tốn tạo điều kiện tốt cho em thời gian em làm khóa luận Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, thời gian lực cịn hạn chế nên có nhiều cố gắng song khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng năm 2013 Sinh viên Dương Thị Phúc MỞ ĐẦU Dương Thị Phúc 72 CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki toán cực trị hàm số 1.1.1 Bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunhiacopxki 1.1.2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 1.1.3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 13 1.2 Ứng dụng bất đẳng thức giải phương trình, bất phương trình hệ 19 1.2.1 Tính chất bất đẳng thức 19 1.2.2 Bất đẳng thức liên quan đến trị tuyệt đối 20 1.2.Bài tập rèn luyện: 21 1.3 Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức 35 1.3.1 bất đẳng thức Chebyshev: 35 1.3.2 Bất đẳng thức Bernoulli 36 1.3.3 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev: 36 1.3.4 Áp dụng bất đẳng thức bernoulli: 43 1.4 Ứng dụng bất đẳng thức hình học 49 CHƯƠNG 2: SÁNG TẠO RA MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ SƠ CẤP 58 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 s Dương Thị Phúc 73 Dương Thị Phúc 74 Dương Thị Phúc 75 Dương Thị Phúc 76 ... kiến thức Tổng hợp, xếp, giải tập Dương Thị Phúc CHƯƠNG 1: BẤT ĐẲNG THỨC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN 1.1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Bunhiacopxki toán cực trị hàm số 1.1.1 Bất đẳng thức. .. y  1;1 ,  1.3 Ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức 1.3.1 Bất đẳng thức Chebyshev 1.3.1.1 Bất đẳng thức Chebyshev dãy đơn điệu ngược chiều Cho dãy hữu hạn số thực a1 , a2 , ,...    ab  bc  ca   18abc  2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy  a  b  c  1.3.4 Áp dụng bất đẳng thức bernoulli Bài 1.3.8: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 710  810  910 (1) b) 1997