Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 55 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
55
Dung lượng
0,96 MB
Nội dung
TR NG I H C S PH M HÀ N I KHOA TOÁN NGUY N TH THÚY VÂN NG D NG Lụ THUY T HÀM BI N PH C TRONG M T S BÀI TOỄN V PH NG TRỊNH HÀM VÀ PH NG TRỊNH SAI PHÂN KHÓA LU N T T NGHI P Chuyên ngƠnh: Gi i tích Ng I H C ih ng d n khoa h c TH.S PHỐNG HÀ N I 2010 C TH NG L IC M N hoàn thành t t đ tài này, tr t i th y, khoa Tốn - c tiên em xin bày t lòng c m n sâu s c i h c S ph m Hà N i 2, đ ng viên giúp đ em su t trình h c t p c bi t, em xin chân thành c m n th y - Phùng Ế Th ng t o u ki n t t nh t ch b o t n tình đ em có th hồn thành đ tài lu n v n Do th i gian ki n th c có h n nên nh ng v n đ trình bày đ tài khơng tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a th y, cô b n khoa Em xin chân thành c m n! Sinh viên Nguy n Th Thúy Vân L I CAM OAN Khóa lu n c a em đ Phùng c hoàn thành d i s h ng d n c a th y Ế Th ng v i s c g ng c a b n thân em trình nghiên c u th c hi n khóa lu n Em có tham kh o tài li u c a m t s tác gi (đã nêu m c tài li u tham kh o) Em xin cam đoan nh ng k t qu khóa lu n k t qu nghiên c u c a b n thân em, không trùng v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Sinh viên Nguy n Th Thúy Vân M CL C L i nói đ u Ch ng 1: S ph c, hƠm bi n ph c 1.1 S ph c 1.1.1 nh ngh a 1.1.2 Các phép toán s ph c 1.1.3 D ng l ng giác c a s ph c 1.1.4 D ng m c a s ph c 1.1.5 Phép khai c n c a m t s ph c 1.2 Hàm bi n ph c 1.2.1 10 nh ngh a hàm bi n ph c 10 1.2.2 Tính liên t c, liên t c đ u 10 1.2.3 Hàm gi i tích 11 1.2.4 Ánh x b o giác 12 Ch ng 2: Ph ng trình hƠm v i bi n đ i phơn n tính 2.1 M t s tính ch t c a hàm phân n tính 13 2.2 15 ng c u phân n tính 2.3 Ph ng trình hàm sinh b i hàm phân n tính 2.4 Bài t p v n d ng Ch 29 34 ng 3: S ph c vƠ l i gi i c a ph ng trình sai phơn 3.1 Các ki n th c c b n 36 3.1.1 Các khái ni m c b n v sai phân 36 3.1.2 Ph 37 ng trình sai phân n tính 3.1.3 Nghi m c a ph ng trình sai phân n tính 38 3.2 Bài t p v n d ng 42 3.3 Bài t p c ng c 49 K t lu n 51 Tài li u tham kh o 52 L I NịI U S ph c đóng vai trị quan tr ng nh m t công c đ c l c nh m gi i quy t hi u qu nhi u toán l nh v c toán h c, v t lí h c,… Ngồi ra, tính ch t c b n c a s ph c, hàm bi n ph c đ c s d ng toán cao c p, toán ng d ng nhi u mơ hình th c t Trong kì thi h c sinh gi i qu c gia, Olympic sinh viên toàn qu c, Olympic khu v c Olympic qu c t toán liên quan đ n S ph c bi n ph c th ng đ cđ c pd đ i khác c a ph i nhi u d ng qua đ c tr ng bi n ng pháp gi i v a mang tính t ng h p cao v a mang tính đ c thù sâu s c Vì nh ng lí trên, em m nh d n ch n đ tài: “ ng ế ng lí thuy t hàm bi n ph Ế m t s tốn v ph ng trình hàm ph ng trình sai phân” N i dung đ tài đ c chia thành ba ch ng: Ch ng 1: S ph c, Hàm s bi n s ph c Ch ng 2: Ph Ch ng 3: S ph c l i gi i c a ph ng trình hàm v i bi n đ i phân n tính ng trình sai phân Sau ph n lí thuy t m t s t p v n d ng lí thuy t nêu Sinh viên Nguy n Th Thúy Vơn Ch ng 1: S PH C, HÀM BI N PH C 1.1 S ph c 1.1.1 nh ngh a Ta bi t r ng t p h p s th c, ph bao gi c ng có nghi m, ví d nh ph ng trình b c n khơng ph i ng trình x2 Vì v y c n ph i đ a vào m t lo i s m i có b n ch t t ng quát h n, mà s th c m t tr ng h p đ c bi t Và t t nhiên đ a lo i s m i ta c n ph i trang b m t s phép tốn, mà phép toán ph i phù h p v i phép tốn có t p h p s th c Có nhi u ph ng pháp đ xây d ng lo i s m i này, ta đ a vào s i ( g i đ n v o ) nghi m c a ph ng trình x2 t p h p s m i đ a vào nh ngh a S ph c s có d ng z x iy x, y i đ cg i đ n v o ( i ) x: đ c g i ph n th c c a s ph c z , kí hi u: Re z ; y: đ c g i ph n o c a s ph c z , kí hi u: Im z c bi t: N u y s ph c z x i.0 x s th c x N u x s ph c z iy iy g i s thu n o x x2 Hai s ph c z1 x1 iy1, z2 x1 iy2 g i b ng n u y1 y2 Cho s ph c z x iy , s ph c có d ng x iy đ c g i s ph c liên h p c a s ph c z Kí hi u z , ngh a z x iy x iy Kí hi u: z x iy x, y t p h p s ph c 1.1.2 Các phép toán s ph c Trên t p s ph c ta trang b phép toán sau: PhỨp Ế ng: Ta g i t ng c a hai s ph c z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 s ph c z x1 x2 i y1 y2 Kí hi u: z z1 z2 T đ nh ngh a c a phép c ng ta có tính ch t sau: 1) K t h p: z1 z2 z3 z1 z2 z3 2) Giao hoán: z1 z2 z2 z1 PhỨp tr : Phép c ng có phép tốn ng c V i hai s ph c z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 ta có th tìm đ cho z2 z z1 S ph c đ c s ph c z c g i hi u c a hai s ph c z1 , z2 Kí hi u: z z1 z2 Rõ ràng, t đ nh ngh a ta có z x1 x2 i y1 y2 Phép nhân: Ta g i tích c a hai s ph c z1 x1 iy1, z2 x2 iy2 m t s ph c xác đ nh b i z x1x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 Kí hi u: z z1.z2 T đ nh ngh a ta có tính ch t sau: 1) K t h p: z1 z2 z3 z1.z2 z3 2) Giao hoán: z1.z2 z2 z1 3) Phép nhân có tính ch t phân ph i đ i v i phép c ng: z1 z2 z3 z1.z2 z1.z3 Chú ý: z.z x2 y2 Phép chia: Phép tốn nhân có phép tốn ng c n u nh t m t hai s khác khơng Gi s z2 , ta có th tìm đ c s ph c z x iy cho z2 z z1 Theo đ nh ngh a c a phép nhân ta có h ph ng trình sau x2 x y2 y x1 y x x y y 2 Vì z2 ngh a đ nh th c Crame khác , nên h ph ng trình ln có m t nghi m x, y nh t S ph c z x iy đ c g i th ng c a hai s ph c z1 , z2 Gi i h ph ng trình ta đ Kí hi u: z c x x1 x2 y1 y2 x22 y22 y y1 x2 x1 y2 x22 y22 z1 z2 Chú ý: T p h p s ph c v i hai phép toán c ng nhân đ t o thành m t tr ng, đ c g i tr ng s ph c L y th a b Ế n : Tích c a n s ph c z đ ph c z Kí hi u: zn c xây d ng c g i l y th a b c n c a s C n b Ế n Ế a s ph Ế z : S ph c đ c g i c n b c n c a s ph c z n u n z Kí hi u: n z nh lí 1.1 1) z z ; z1 z2 z1 z2 ; z1.z2 z1.z2 2) z z 2Re z x ; z z 2.i.Im z 2iy 3) z.z x2 y2 z z 4) z2 z2 1.1.3 D ng l ng giác c a s ph c Xét m t ph ng t ng ng v i h t a đ Descartes xOy ta bi u di n m t s ph c z x iy b i m t m có t a đ x, y Nh v y s th c s đ bi u di n b i m tr c Ox , đ c g i tr c th c; s thu n o c bi u di n b i m tr c Oy , đ đ Ng c c g i tr c o c l i, v i m i m c a m t ph ng xOy có t a đ x, y ta đ t t ng ng v i m t s ph c z x iy V y có s t ng ng 1-1 gi a t p h p s ph c v i t p h p m c a m t ph ng xOy Vì m i m t m có t a đ x, y m t ph ng đ u t vect có bán kính vect r x2 y2 góc c c t ph c z x iy có th bi u di n z r cos i sin , ng ng v i m t ng ng Do đó, m i s Trong r , l n l t bán kính c c góc c c c a s ph c z Bán kính r g i mơđun c a s ph c z Kí hi u: r z Góc c c g i argument c a s ph c z Kí hi u: Argz Môđun c a s ph c z đ c xác đ nh m t cách nh t z x2 y2 Và argument c a s ph c đ c xác đ nh v i sai khác m t b i c a 2 y arctan x 2k k Argz arctan y 2k 1 k Z x y V i arctan , giá tr c a hàm arctan Kí hi u arg z x 2 T ta có cơng th c z z cos i sin , arg z D ng (1.1) đ c g i d ng l Còn d ng z x iy đ T công th c l ng giác hay d ng c c c a s ph c z x iy c g i d ng đ i s c a s ph c z ng giác t (1.1) ta có arg z1z2 arg z1 arg z2 , arg (1.1) z1 arg z1 arg z2 z2 B ng qui n p ta có argz1z2 zn argz1 argz2 argz n Bây gi ta gi thi t z1 z2 zn r cos i sin Khi 10 nh ngh a 3.5 N u fn (3.2) g i ph ng trình sai phân n tính thu n nh t ( đ c bi t a0 , a1, , a k a0 0, a k h ng s (3.2) có d ng a0 xnk a1xnk1 ak xn đ c g i ph (3.3) ng trình sai phân n tính thu n nh t c p k v i h s h ng s ) N u fn (3.2) g i ph ng trình sai phân n tính khơng thu n nh t 3.1.3 Nghi m c a ph ng trình sai phơn Hàm s xn bi n n th a mãn (3.2) đ c g i nghi m c a ph ng trình sai phân n tính (3.2) Hàm s xn ph thu c k tham s th a mãn (3.3) đ c g i nghi m t ng quát c a (3.3) N u giá tr ban đ u x0 , x1, , xk 1 ta đ u xác đinh đ c nh t h ng s C1 , C2 , , Ck nghi m xn tr thành nghi m riêng c a (3.3) v a th a mãn (3.3) v a th a mãn x0 x0 , x1 x1 , , xk1 xk1 nh lí 3.1 Nghi m t ng quát c a (3.2) b ng t ng nghi m t ng quát x k c a (3.3) m t nghi m riêng xn* b t kì c a (3.2) Tính ch t 3.1 N u xn* , xn** hai nghi m c a ph ng trình sai phân n tính (3.3) v i , : xn xn* xn** c ng nghi m c a (3.3) Ta s tìm nghi m riêng c a (3.3) d i d ng c. n c 0, x n 41 Thay xn c. n vào (3.3) ta có a0c. nk a1c. nk1 a kc. n Ph ng trình (3.4) đ a0 k a1 k1 a k c g i ph Và m t nh ng khó kh n th n tính ph th c V i tr (3.4) ng trình đ c tr ng c a (3.2) (3.3) ng g p gi i ph ng trình đ c tr ng t ng s ph c, ta có m i ph ng trình sai phân ng ng khơng có đ n nghi m ng trình b c n đ u có n nghi m (th c ho c ph c) Tính ch t 3.2 N u xn1 , xn2 , , xnk k nghi m đ c l p n tính c a (3.3) t c h th c C1xn1 C2 xn2 Ck xnk Suy C1 C2 Ck nghi m t ng quát c a (3.3) có d ng xn C1 xn1 C2 xn2 Ck xnk , v i C1 , C2 , , Ck - h ng s tùy ý Bây gi ta chuy n sang tìm nghi m xn c a (3.3) v i vi c xét ph đ c tr ng (3.4): Tính ch t 3.3 N u ph ng trình a0 k a1 k1 a k ng trình đ c tr ng (3.4) có k nghi m th c phân bi t 1 , 2 , , k nghi m t ng qt c a ph ng trình (3.3) có d ng xn C11n C22n Ck kn , (3.5) C1 , C2 , , Ck h ng s th c tùy ý Nh n xét r ng ph ng trình đ c tr ng (3.4) có đ k nghi m th c, có nghi m j nghi m b i b c s cơng th c nghi m t ng quát c a ph ng trình sai phân n tính thu n nh t (3.3) s 42 j 1 s 1 k xn Ci in C j 1ni jn Ci in i 1 T i 0 i js ng t ta c ng có công th c nghi m t ng quát tr ng h p ph ng trình (3.4) có đ nghi m th c nh ng có s nghi m b i nhi u h n Trong tr ng h p ph ng trình đ c tr ng (3.4) có nghi m ph c đ n b j a bi r cos i sin , r j a b , a rgument j tan a (3.4) có nghi m liên h p ph c j a bi r cos i sin Khi ta có jn r n cos n i sin n ; j r n cos n i sin n n nghi m c a (3.3) Ta l y x1n j n n n j j r n cos n ; xn2j jn j r n sin n làm 2 nghi m đ c l p n tính c a (3.3) k Khi xn Ci in r n C1j cos n C 2j sin n , Ci , C1j , C 2j j i 1 h ng s tùy ý Khi ph ng trình đ c tr ng (3.4) có nghi m ph c b i s j j 1 j s 1 r cos i sin , (3.4) c ng có nghi m ph c b i s liên h p v i j j j s j s 1 j 2s1 j r cos i sin Trong tr ng h p này, đ thu đ c nghi m t ng quát c a (3.3) công th c (3.5) ta thay C j jn C j 1 jn1 C j 2s1 jn 2s1 b i 43 T s 1 i 0 ng t , ta c ng thu đ ph s 1 i n i n C j i n r cos n C j s 1n r sin n i 0 c công th c nghi m t ng quát tr ng h p ng trình (3.4) có nhi u nghi m b i ph c h n Xét ph ng trình sai phân n tính khơng thu n nh t v i h s h ng s a0 xnk a1xnk1 a k xn fn , (3.6) a j , j 0, k, a 0, a k Ta xét ph ng pháp tìm nghi m riêng c a (3.6) Hi n nhiên, n u t ng trình sai phân n ng ng v i m i j 1, , l , ph tính a xnk a1 xnk 1 a k xn fn j có nghi m riêng xn* ph ng trình sai phân n tính j l a xnk a1 xnk1 a k xn fn j j 1 l s có nghi m riêng xn* xn* j j 1 Nhìn chung, khơng có ph nhiên, m t s tr riêng t Tr ng pháp chung đ tìm nghi m riêng c a (3.6) Tuy ng h p đ n gi n c a fn có th tìm đ c nghi m ng ng ng h p 1: fn đa th c b c m c a n, m , fn Pm n Các nghi m 1, 2 , , k nghi m th c khác c a ph ng trình đ c tr ng (3.4) nghi m riêng xn* Qm n , m , Qm n đa th c b c m v i fn 44 ng trình đ c tr ng có nghi m b i s N u ph xn* n sQm n , m , Qm n đa th c c a n b c m v i fn ng h p 2: fn Pm n n , Pm n đa th c b c m c a n, Tr N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m th c khác xn* Qm n n , Qm n đa th c b c m c a n N u ph ng trình đ c tr ng có nghi m b i xn* n s Qm n n , v i Qm n đa th c b c m c a n Tr ng h p 3: fn cos nx sin nx, , h ng s Tr ng h p ta tìm nghi m riêng d 3.2 i d ng xn* a.cos nx b.sin nx BƠi t p v n d ng Bài 3.1 Gi i ph ng trình sai phân n tính x0 a , xn1 qxn p, p, q L i gi i N u q xn c p s c ng công sai p nên xn a np N u p xn c p s nhân công b i q nên xn a.qn Xét q 1, p t xn yn b , v i b đ c xác đ nh sau, ta có yn1 b q yn b p yn1 qyn p b q 1 Ch n b p , ta đ 1 q c p n p yn1 qyn yn y0 q n xn a q q q 45 s V y nghi m c a ph ng trình sai phân n tính c p p n p xn a q 1 q 1 q Bài 3.2 Cho tr xn th c h ng s a , b, x0 , x1 Tìm s h ng t ng quát c a dãy s a mãn u ki n xn1 a b xn abxn1 L i gi i Ta có xn1 axn b xn axn1 t yn xn axn1 Ph ng trình cho tr thành yn1 byn yn y1bn1 T đó, ta có x1 ax0 y1 x2 ax1 y1b xn axn1 y1b n1 Nhân ph ng trình đ u v i a r i c ng v i ph ng trình th hai ta đ c x2 a x0 a b y1 Ti p theo thay th bi u th c c a x2 v a thu đ có c vào ph x3 a x0 a ab b2 y1 n1 Ta ch ng minh xn a n x0 a n1 jb j y1 , n * j 0 Th t v y, đ ng th c t i n Gi s , đ ng th c t i n Do xn1 axn y1bn nên 46 ng trình th ba, ta n1 n xn1 a n1 x0 a a n1 jb j y1 y1b n a n1x0 a n jb j y1 j 0 j 0 V y đ ng th c v i n 1 Theo ngun lí qui n p tốn h c, đ ng th c v i n * n1 n 2 Nh ng y1 x1 ax0 , xn a n1 jb j x1 ab a n2 jb j x0 j 0 j 0 Bài 3.3 Gi i ph ng trình sai phân yn3 yn2 16 yn1 12 yn L i gi i Ph ng trình cho có ph ng trình đ c tr ng 7 16 12 1,2 3 V y ph ng trình cho có nghi m t ng qt yn C1 C2n 2n C3 3n , v i C1 , C2 , C3 h ng s tùy ý Bài 3.4 Gi i ph ng trình sai phân yn3 yn2 yn1 yn L i gi i Ph ng trình cho có ph ng trình đ c tr ng 1 5 8 2 i cos i sin 4 3 i cos i sin 4 47 V y ph y a 3n n ng trình cho có nghi m t ng bcos n4 c sin n4 , a, b, c h ng s n Bài 3.5 Gi i ph quát tùy ý ng trình sai phân yn6 yn5 yn4 yn3 yn2 yn1 yn L i gi i Ph ng trình cho có ph ng trình đ c tr ng 1 2 3 4 6 5 3 3,4 i cos i sin 2 i cos i sin 5,6 2 V y ph ng trình cho có nghi m t ng quát y a a 2n b b n cos n c c n sin n , n 2 2 a1, a , b1, b2 , c1, c2 h ng s tùy ý Trong t p sau ta kí hi u n c a ph v ph i c a ph c a ph ng trình đ c tr ng, f n ng trình sai phân n tính cho, xn* m t nghi m riêng ng trình sai phân n tính khơng thu n nh t, xn nghi m t ng quát c a ph ng trình sai phân n tính thu n nh t, xn n c n tìm C1 , C2 , h ng s th c Bài 3.6 Gi i ph ng trình sai phân x0 7, xn1 15xn 14n 48 (3.7) L i gi i Ta có f n 14n đa th c b c nh t Xét ph ng trình đ c tr ng c a ph ng trình cho 15 15 Ta có 15 nên ta tìm nghi m riêng có d ng xn* an b Thay xn* an b vào (3.7) ta đ c a n 1 b 15 an b 14n n 14 a 1 n 14b a n a 1 a 1 14 b a b V y xn* n, xn C.15n Suy ra, nghi m t ng quát c a (3.7) xn C.15n n Mà x0 C.15n C V y ph ng trình (3.7) có nghi m xn 7.15n n Bài 3.7 Gi i ph ng trình sai phân x0 99, xn1 xn 2n (3.8) L i gi i Ta có f n 2n 1 đa th c b c nh t; ph ng trình đ c tr ng c a (3.8) có nghi m Do đó, ta tìm nghi m riêng c a (3.8) d Thay xn* vào (3.8) ta đ i d ng xn* n an b c n 1 a n 1 b n an b 2n 2a n a b n 49 n 2a a b a 1 b xn* n , xn C.1n C Suy nghi m t ng quát c a (3.8) xn C n2 Mà x0 99 C 99 V y ph ng trình (3.8) có nghi m xn 99 n2 Bài 3.8 Gi i ph ng trình sai phân x0 8, xn1 xn 3n (3.9) L i gi i Xét ph ng trình đ c tr ng c a (3.9) Suy xn C.2n ta tìm nghi m riêng c a (3.9) d i d ng xn* d 3n c d Suy xn* 3n Thay vào (3.9), ta đ V y xn C.2n 3n K t h p u ki n x0 C V y ph ng trình (3.9) có nghi m Bài 3.9 Gi i ph xn 7.2n 3n ng trình sai phân x0 1, xn1 xn sin n L i gi i Xét ph ng trình đ c tr ng c a (3.10) n C Suy x n 2 50 2 1 1/ (3.10) L i có f n sin n Do đó, ta tìm nghi m riêng d xn* a.cos Thay xn* vào (3.10) ta đ i d ng n n b.sin 4 a 1 c b n n Suy x cos V y xn C. cos 4 2 n * n K t h p u kiên x0 C V y ph ng trình cho có nghi m xn cos Bài 3.10 Gi i ph n ng trình sai phân x0 17, xn1 xn n2 2n 6.2n (3.11) L i gi i Xét ph ng trình đ c tr ng c a (3.11) Suy xn C.2n G i f n f1 n f2 n , v i f1 n n 2n 1, f2 n 6.2n Do nên ta tìm nghi m riêng c a ph d ng xn*1 an2 bn c xn1 xn f2 n d tìm ng trình xn1 xn f1 n d nghi m riêng c a ph ng trình i d ng xn*2 d n.2n Suy xn* xn*1 xn*2 an2 bn c d n.2n nghi m riêng c a ph cho Thay vào ph i ng trình (3.11), ta đ c 1 a n2 2a b 2 n a b c 1 2d 6 2n 51 n ng trình a 1 2a b a b c 2d a 1 b c d Suy xn* n2 3n.2n V y xn xn xn* C.2n n 3n.2n K t h p u ki n x0 17 C 17 V y ph 3.3 ng trình cho có nghi m xn 3n 17 2n n BƠi t p c ng c Bài 3.1 Gi i ph ng trình sai phân a) xn4 xn3 3xn2 5xn1 xn b) xn3 xn2 xn1 xn cos n n 2sin 4 c) x0 101, xn1 xn 7n1 d) xn3 xn2 xn1 3xn 2n 3n sin n Bài 3.2 Tìm t t c đa th c P x b c nh thua n th a mãn u ki n k 1 Cn P k n k k 0 Bài 3.3 (Vi t Nam TST 2009) Cho đa th c P x rx3 qx2 px 1, p, q, r s th c Xét dãy s a n n0 đ c xác đ nh nh sau a 1, a1 p, a p q a n3 pa n2 qa n1 n , n 0,1,2, 52 Ch ng minh r ng, n u đa th c P x ch có nh t m t nghi m th c khơng có nghi m b i dãy s a n có vơ s Bài 3.4 Tìm cơng th c t ng qt c a dãy s nghi m âm xn xác đ nh b x0 1, x1 0, x2 0, xn3 xn2 3xn1 xn Bài 3.5 Xét khai tri n a1 x a1 x2 ax bx Ch ng minh r ng, n u a j j 1,2,3, ph ax bx2 có nghi m đ u th c 53 ng trình i K T LU N Trên toàn b n i dung c a đ tài: “ ng d ng lí thuy t hàm bi n ph c m t s tốn v ph ng trình hàm ph ng trình sai phân” N i dung c a đ tài đ c p đ n Các khái ni m c b n v s ph c, hàm bi n ph c m t s tính ch t c b n c a lí thuy t hàm s ph c M t s tính ch t c a hàm phân n tính, ph ng trình hàm sinh b i hàm phân n tính m t s tốn c th Các khái ni m c b n v sai phân, ph ph ng trình sai phân, nghi m c a ng trình sai phân n tính cách gi i m t s ph ng trình sai phân n tính đ n gi n M t l n n a cho phép em đ gi ng viên tr th y Phùng c g i l i c m n t i t t c th y cô ng, cán b Th vi n nhà tr Ế Th ng t n tình h ng, đ c bi t ng d n em hoàn thành t t đ tài Em xin chân thành c m n! 54 TÀI LI U TảAM Kả O [1] Lê H i Chơu, Thi vô đ ch toán Qu c t , Nhà xu t b n tr , 2001 [2] Nguy n Ph Hy, Hàm s bi n s ph c, NXB Khoa h c k thu t, 2006 [3] Nguy n V n Khuê-Lê M u H i, Hàm bi n ph c, NXB HQGHN, 1997 [4] Nguy n V n M u, Ph ng trình hàm, Nhà xu t b n Giáo d c, 1997 [5] Nguy n V n M u (ch biên), Chuyên đ ch n l c S ph c áp d ng, NXB Giáo d c Vi t Nam, 2009 [6] Nguy n Th y Thanh, C s lý thuy t hàm bi n ph c, NXB HQGHN, 2007 [7] Nguy n Th y Thanh, Bài t p toán cao c p, NXB HQGHN, 2007 55 ... t sai phân h u h n sai phân nh ngh a 3.2 Ta g i sai phân c p c a hàm xn sai phân c a sai phân c p c a xn nói chung sai phân c p k c a xn sai phân c a sai phân c p k 1 c a hàm s Nh v y, sai. .. ng trình sai phơn n tính nh ngh a 3.3 Ph ng trình sai phân n tính m t h th c n tính gi a sai phân c p F xn , xn , 2 xn , , k xn , xn hi u sai phân c p c a hàm xn , c p l n nh t c a sai. .. s tính ch t c a hàm phân n tính 13 2.2 15 ng c u phân n tính 2.3 Ph ng trình hàm sinh b i hàm phân n tính 2.4 Bài t p v n d ng Ch 29 34 ng 3: S ph c vƠ l i gi i c a ph ng trình sai phơn 3.1 Các