Sỗ mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VIỆT TRINH SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG VECTƠ CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VIỆT TRINH SỐ MŨ ĐẶC TRƯNG VECTƠ CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể Thầy, Cơ giáo khoa Tốn, đặc biệt chun ngành Tốn Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Luận văn tài trợ phần chương trình hợp tác khoa học VAST HTQT NGA 01/16-17 Tác giả luận văn xin cám ơn Thạc sĩ Phan Thị Tuyết, cán giảng dạy Trường Đại học Điện lực, cho phép sử dụng thảo số mũ đặc trưng phương trình sai phân ẩn để trình bày Chương Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Việt Trinh LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn PGS TS Tạ Duy Phượng Số liệu kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực, tham khảo từ tài liệu chuyên khảo cơng trình khoa học cơng bố nhà xuất tạp chí chuyên ngành có uy tín ngồi nước Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Nguyễn Thị Việt Trinh Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân thường 1.1 Số mũ Lyapunov dãy số 1.2 Số mũ đặc trưng vectơ dãy số 14 1.3 Số mũ đặc trưng vectơ nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính 22 1.4 Sự ổn định tiệm cận nghiệm tầm thường hệ sai phân tuyến tính với nhiễu phi tuyến Phương trình sai phân ẩn 30 35 2.1 Khái niệm số 35 2.2 Nghiệm phương trình sai phân ẩn tiến 43 Số mũ đặc trưng vectơ phương trình sai phân ẩn 48 3.1 Số mũ Lyapunov phương trình sai phân ẩn 48 3.2 Tính ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường phương trình sai phân ẩn 51 3.3 Số mũ đặc trưng vectơ phương trình sai phân ẩn 53 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên R Tập số thực Rp Không gian vectơ thực p-chiều Rp×p Khơng gian ma trận vng thực cấp p Chuẩn Euclid vectơ x x A AT A−1 Ip Op Chuẩn Euclid ma trận A Chuyển vị ma trận A Nghịch đảo ma trận A diag (M, N ) Ma trận đơn vị cấp p Ma trận vuông cấp p với hệ số Ma trận đường chéo khối ker A rank A Nhân ma trận A Hạng ma trận A ImA Ảnh ma trận A x vectơ cột gồm p phần tử x1, , xp Tổng trực tiếp x = column[x1, , xp] ⊕ detA ✷ Định thức ma trận A Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào năm 1965-1982, Hoàng Hữu Đường [1] xây dựng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ, khái niệm mở rộng số mũ Lyapunov, áp dụng khái niệm nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Tương ứng, Đồn Trịnh Ninh [5] xây dựng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ ứng dụng khái niệm nghiên cứu ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân tuyến tính Trong [3], Lê Cơng Lợi trình bày nghiên cứu Phạm Kỳ Anh tính chất định tính phương trình sai phân ẩn Trong [4], Nguyễn Đình Cơng Hồng Nam xây dựng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov cho hệ phương trình vi phân đại số Mở rộng khái niệm này, Nguyễn Thị Khuyên Tạ Duy Phượng [2] xây dựng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình vi phân đại số Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Liệu xây dựng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn, tương tự [2] cho hệ phương trình vi phân đại số, mở rộng [5] cho hệ phương trình sai phân tuyến tính hay khơng? Mục đích luận văn trình bày khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân thường (theo [5]) xây dựng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân ẩn Đồng thời ứng dụng khái niệm nghiên cứu định tính ổn định phương trình sai phân thường phương trình sai phân ẩn Mục đích nghiên cứu 1) Trình bày khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân thường (theo [5]) xây dựng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân ẩn 2) Các ứng dụng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ nghiên cứu định tính ổn định phương trình sai phân thường phương trình sai phân ẩn Nhiệm vụ nghiên cứu 1) Trình bày khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân thường 2) Trình bày khái niệm, tính chất phương trình sai phân ẩn 3) Trình bày khái niệm số mũ đặc trưng vectơ số ứng dụng nghiên cứu ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân ẩn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu Số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính Phương pháp nghiên cứu 1) Thu thập tài liệu liên quan tới số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 2) Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới mục đích nghiên cứu Đóng góp luận văn Luận văn tổng quan mở rộng số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng Luận văn giúp người đọc hiểu sâu mở rộng số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 45 Suy xn = P˜n−1 xn Từ (2.2.1) suy phương trình sai phân thỏa mãn điều kiện ban đầu x0 = x ∈ Rp trở thành phương trình sai phân  x ˜ ˜ −1 ˜ ˜ n+1 = Pn Gn Bn Pn−1 xn , P˜ (x − x) = 0, n ≥ i (2.2.4) Khi  n−1  xn = ˜ −1 B ˜i P˜i−1 x, P˜i G i (2.2.5) i=0  P˜ (x − x) = 0, n ≥ i Ví dụ 2.2 Giải hệ phương trình sai    −1 n −    En =  0 n +  , An =  −1 0  phân (2.1.1) với liêu sau    −2    1  , q n =   , n ∈ N, −1    x0 =   Giải Xét ma trận  1   −1 −1    Vn =  0  , Vn−1 =  0 0    46 Ta có    0      Qn = Vn Q∗n VnT =   , Q∗n =  0  , 0  −1  Pn = I − Q n =  0 0   Tn = Vn−1 VnT =  0   ,   , 0   −1 n −   Gn = En + An Tn Qn =  n +  , −2  G−1 n = 2(n + 1) 2(3 − n) 2(1 − n) 1  n+1 −1 3−n   −n −  1 Khi  −n    ˜ n−1 = Tn Qn G−1 Q n Bn =  −n  , 0  ˜ n−1 P˜n−1 = I − Q  −1 n   =  0 n , 0 47   −1 n −   ˜ n = En + An Tn Q ˜n =  G , −2 n   n+2 6−n 2−n   ˜ −1 G −1  n =  −1 1 Ta có  ˜ −1 ˜ ˜ P˜n G n Bn Pn−1  0   =  0 n +  0 Khi nghiệm hệ phương trình sai phân (2.1.1) với liệu cho   n−1  ˜ −1 B ˜i P˜i−1 x =  n  xn = P˜i G  , n ∈ N i i=0 48 Chương Số mũ đặc trưng vectơ phương trình sai phân ẩn Chương trình bày khái niệm số mũ đặc trưng vectơ số kết ứng dụng nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình sai phân ẩn 3.1 Số mũ Lyapunov phương trình sai phân ẩn Xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính En xn+1 = An xn , n 0, (3.1.1) En , An ∈ Rp×p , giả sử En ma trận suy biến, khác khơng, có hạng hằng, tức rank En = r với n ∈ N0 , < r < p Định nghĩa 3.1 Với nghiệm không tầm thường xn (3.1.1), số (hoặc kí hiệu −∞, +∞) ln ||xn ||, n→∞ n α[xn ] = lim gọi số mũ đặc trưng (hay gọi số mũ Lyapunov ) nghiệm xn (3.1.1) 49 Định lý 3.1 Giả sử (3.1.1) phương trình sai phân ẩn số 1, En , An , bị chặn, G(n) = En + An Tn Qn có nghịch đảo bị chặn N Khi số mũ Lyapunov nghiệm khơng tầm thường xn (3.1.1) số mũ Lyapunov nghiệm yn phương trình vi phân thường tương ứng (3.1.1) Chứng minh Theo giả thuyết bị chặn ma trận En , An , Tn nên tồn số a, b, k, c dương cho ||En || ≤ a, ||An || ≤ b, −1 ||G−1 n || ≤ k, ||Tn || ≤ c Mặt khác Pn = Gn En , nên ta có ||Pn || ≤ ||G−1 n ||||En || ≤ ka, ||Qn || = ||I − Pn || ≤ ||I|| + ||Pn || ≤ + ka, −1 || − Tn Qn G−1 n An yn || ≤ ||Tn ||||Qn ||||Gn ||||An ||||yn || ≤ c(1 + ka)kb||yn || = M ||yn ||, (M = c(1 + ka)kb) Gọi xn nghiệm (3.1.1) yn nghiệm phương trình vi phân thường tương ứng với (3.1.1) Ta có α[xn ] = α[y(n) + z(n)] ≤ max {α[y(n)],α[z(n)], (3.1.2) α[zn ] = α[−Tn Qn G−1 n An yn ] = α[|| − Tn Qn G−1 n An yn ||] (3.1.3) ≤ α[M ||yn ||] = α[||yn ||] = α[yn ] Do từ (3.1.2) (3.1.3) ta suy α[xn ] ≤ α[yn ] Mặt khác, Pn bị chặn với n nên Pn−1 bị chặn Vì tồn 50 số dương h cho ||Pn−1 || ≤ h Ta có α[yn ] = α[Pn−1 xn ] = α[||Pn−1 xn ||] ≤ α[h||xn ||] = α[||xn ||] = α[xn ] Vậy α[xn ] = α[yn ] Định lý 3.2 Giả sử (3.1.1) phương trình sai phân ẩn số một, α(Qs ) ≤ với Qs = Qn G−1 n An Khi số mũ Lyapunov nghiệm không tầm thường xn (3.1.1) số mũ Lyapunov nghiệm yn phương trình vi phân thường tương ứng (3.1.1) Chứng minh Gọi xn nghiệm (3.1.1) yn nghiệm phương trình vi phân thường tương ứng với (3.1.1) Vì Tn ≤ nên Tn bị chặn, α[Tn ] ≤ Mặt khác ta có α[xn ] = α[yn + zn ] ≤ max { α[yn ], α[zn ]} (3.1.4) α[zn ] = α[−Tn Qn G−1 n An yn ] = α[Tn Qs yn ] (3.1.5) ≤ α[Tn ] + α[Qs ] + α[yn ] ≤ α[yn ] Do từ (3.1.4) (3.1.5) ta suy α[xn ] ≤ α[yn ] Tương tự ta chứng minh α[yn ] ≤ α[xn ] Vậy α[xn ] = α[yn ] Định lý 3.3 Giả sử (3.1.1) phương trình sai phân ẩn số một, En , An , Qn bị chặn, G(n) = En + An Tn Qn có nghịch đảo bị chặn N Khi nghiệm khơng tầm thường xn (3.1.1) có số mũ Lyapunov hữu hạn 51 Chứng minh Theo định lý (3.1) ta có α[xn ] = α[yn ], xn nghiệm (3.1.1) yn nghiệm phương trình vi phân thường tương ứng yn = Pn−1 G−1 n−1 An−1 yn−1 (3.1.6) Theo giả thuyết Qn bị chặn với N nên Pn = I − Qn bị chặn với −1 N, Pn−1 bị chặn G−1 n bị chặn với N, đo Gn−1 bị chặn An bị chặn với N, An−1 bị chặn Từ kéo theo ||Pn−1 G−1 n−1 An−1 || < M, ∀n ∈ N Như (3.1.6) phương trình sai phân thường tuyến tính có hệ số bị chặn, nghiệm khơng tầm thường yn (3.1.6) có số mũ Lyapunov hữu hạn Vậy nghiệm không tầm thường xn (3.1.1) có số mũ Lyapunov hữu hạn 3.2 Tính ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường phương trình sai phân ẩn Định nghĩa 3.2 Giả sử (3.1.1) phương trình sai phân ẩn số Nghiệm tầm thường (3.1.1) gọi ổn định tiệm cận mũ tồn số α, k > cho với x0 ∈ Rp , nghiệm toán giá trị đầu  E x = An xn n n+1 P (x − x0 ) = 0 thỏa mãn đánh giá sau: ||xn || ≤ k||P0 x0 ||e−αn , ∀n ∈ N 52 Định lý 3.4 Giả sử (3.1.1) phương trình sai phân ẩn số 1, α(Qs ) ≤ Khi nghiệm tầm thường (3.1.1) ổn định tiệm cận mũ nghiệm tầm thường phương trình sai phân thường tương ứng phép chiếu bị chặn Pn , yn = Pn−1 G−1 n−1 An−1 yn−1 (3.2.1) ổn định tiệm cận mũ imPn−1 Chứng minh Giả sử nghiệm tầm thường (3.1.1) ổn định tiệm cận mũ, tồn số α, k > cho với x0 ∈ Rp , nghiệm toán giá trị đầu  E x = An xn n n+1 P (x − x0 ) = 0 thỏa mãn đánh giá sau: ||xn || ≤ k||P0 x0 ||e−αn , ∀n ∈ N Vì Pn bị chặn với n nên Pn−1 bị chặn, tồn số dương M cho ||Pn−1 || ≤ M với n Mặt khác ta có ||yn || = ||Pn−1 xn || ≤ M k||P0 x0 ||e−αn = M k||y0 ||e−αn , ∀n ∈ N Vậy nghiệm tầm thường phương trình vi phân thường tương ứng (3.1.1) ổn định tiệm cận mũ imPn−1 Ngược lại, giả sử nghiệm tầm thường (3.2.1) ổn định tiệm cận mũ imPn−1 , nghĩa tồn số α, k > cho với 53 y0 ∈ imP−1 := imP0 ta có ||yn || ≤ k||y0 ||e−αn , ∀n ∈ N Giả sử x0 ∈ Rp vectơ xn nghiệm (3.1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu P0 (x0 − x0 ) = Gọi yn nghiệm (3.2.1) tương ứng với xn nói trên, ta có xn = yn + zn Vì α(Qs ) ≤ tồn số h > cho ||Qs || ≤ h Mặt khác Tn ≤ nên Tn bị chặn, tồn số c > cho ||Tn || ≤ c Ta có ||zn || = || − Tn Qn G−1 n An yn || = || − Tn Qs yn || ≤ ||Tn ||||Qs ||||yn || ≤ hc||yn || Vì xn = yn + zn y0 = P−1 x0 = P0 x0 nên ta có ||xn || = ||yn + zn || ≤ ||yn || + ||zn || ≤ ||yn || + hc||yn || = (1 + hc)||yn || ≤ (1 + hc)k||y0 ||e−αn = (1 + hc)k||P0 x0 ||e−αn Vậy nghiệm tầm thường (2.1) ổn định tiệm cận mũ 3.3 Số mũ đặc trưng vectơ phương trình sai phân ẩn Xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính (3.1.1) En xn+1 = An xn , n 0, 54 En , An ∈ Rp×p , xn = column[x1n , , xpn ] ∈ Rp , giả sử En ma trận suy biến, khác khơng, có hạng hằng, tức rank En = r với n ∈ N0 , < r < p Định nghĩa 3.3 Vectơ đặc trưng cấp m nghiệm không tầm thường x(n) hệ (3.1.1) cho công thức: α(m) [x(n)] = α(m) [ x(n) ] = max α(m) [xi (n)], 1≤i≤m α(m) [xi (n)] vectơ đặc trưng dãy số {xi (n)} Định lý 3.5 Giả sử (3.1.1) phương trình sai phân ẩn số một, En , An bị chặn, G(n) = En + An Tn Qn có nghịch đảo bị chặn N Khi vectơ đặc trưng nghiệm khơng tầm thường xn (3.1.1) vectơ đặc trưng nghiệm yn phương trình vi phân thường tương ứng (3.1.1) Chứng minh Theo Định lý 3.1 ta chứng minh α0 [xn ] ≤ α0 [yn ] Nếu α0 [xn ] < α0 [yn ] α(m) [xn ] ≺ α(m) [yn ] Nếu α0 [xn ] = α0 [yn ] ta có ln{||xn ||e−α0 [xn ]n } α1 [xn ] = lim n→∞ ln n ln{(||yn + zn ||)e−α0 [xn ]n } = lim n→∞ ln n ln{(||yn || + ||zn ||)e−α0 [xn ]n } ≤ lim n→∞ ln n −α ln{M ||yn ||e [xn ]n } ≤ lim n→∞ ln n ln{||yn ||e−α0 [yn ]n } = lim = α1 [yn ] n→∞ ln n 55 Một cách tổng quát αj [xn ] = αj [yn ] với j = 0, , l − 1, l ≤ m αl [xn ] ≤ αl [yn ] Ta chứng minh quy nạp công thức Giả sử công thức trường hợp l = k , tức αk [xn ] ≤ αk [yn ] Ta chứng minh công thức trường hợp l = k + Thật ta có ln{||xn ||e−α0 [xn ]n n−α1 [xn ] (ln n)−α2 [xn ] (lni−1 n)−αi [xn ] } n→∞ lni+1 n ln{||yn ||e−α0 [yn ]n n−α1 [yn ] (ln n)−α2 [yn ] (lni−1 n)−αi [yn ] } ≤ lim n→∞ lni+1 n = αk+1 [yn ] αk+1 [xn ] = lim Vậy công thức trường hợp l = k + Do α(m) [xn ] α(m) [yn ] Ngược lại, ta chứng minh α(m) [yn ] α(m) [xn ] Theo Định lý 3.1ta chứng minh α0 [yn ] ≤ α0 [xn ] Nếu α0 [yn ] < α0 [xn ] α(m) [yn ] ≺ α(m) [xn ] Nếu α0 [xn ] = α0 [yn ] ta có ln{||yn ||e−α0 [yn ]n } α1 [yn ] = lim n→∞ ln n ln{C||xn ||e−α0 [xn ]n } ≤ lim n→∞ ln n ln{||xn ||e−α0 [xn ]n } = α1 [xn ] = lim n→∞ ln n Một cách tổng quát αj [yn ] = αj [xn ] với j = 0, , l − 1, l ≤ m αl [yn ] ≤ αl [xn ] Vậy α(m) [yn ] α(m) [xn ] Do ta có điều phải chứng minh Kết luận Chương trình bày số kết ban đầu Phan Thị Tuyết sử 56 dụng khái niệm số mũ đặc trưng Lyapunov số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân ẩn Các kết hồn thiện phát triển tiếp tục 57 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: Các tính chất số mũ Lyapunov, số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân thường Khái niệm, tính chất cơng thức nghiệm phương trình sai phân ẩn số Số mũ đặc trưng vectơ ứng dụng nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình sai phân ẩn 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO CHÍNH [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Hoàng Hữu Đường (1982), Lý thuyết vectơ đặc trưng ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm hệ phương trình vi phân, Luận án Tiến sĩ khoa học Toán Lý, Đại học Tổng hợp Hà Nội [2] Nguyễn Thị Khuyên,Tạ Duy Phượng (2012), Khái niệm vectơ đặc trưng phương trình vi phân đại số, Kỷ yếu hội thảo khoa học Một số hướng tốn học giải tích ứng dụng, Đại học Hồng Đức [3] Lê Công Lợi (2004), Phương trình sai phân ẩn tuyến tính khơng dừng số 1, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hoàng Nam (2004), Lý thuyết số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân đại số tuyến tính qui số 1, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội [5] Đoàn Trịnh Ninh (1979), Về việc phát triển phương pháp thứ A M Lyapunov cho hệ sai phân hữu hạn, Luận án Phó tiến sĩ Tốn Lý, Đại học Tổng hợp Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [6] L Ya Adrianova (1995), Introduction to Linear Systems of Differential Equations, Americaan Mathematical Society, USA [7] Nguyễn Đình Cơng, Hồng Nam (2003), Lyapunov’s inequality for linear differential algebraic equation , Acta Mathematica Vietnamica, Volume 28, Number 1, pp 73-88 59 [8] Nguyễn Đình Cơng, Hồng Nam (2004), Lyapunov regularity of lin- ear differential algebraic equations of index 1, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 29, Number 1, pp 1-21 [9] Ngô Thị Thanh Nga (2017), Stability and asymptotic behavior of singular linear difference equations, Ha Noi National University, Viet Nam ... số mũ đặc trưng Lyapunov khái niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn, tương tự [2] cho hệ phương trình vi phân đại số, mở rộng [5] cho hệ phương trình sai phân tuyến. .. quan mở rộng số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng Luận văn giúp người đọc hiểu sâu mở rộng số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng... niệm số mũ đặc trưng vectơ cho hệ phương trình sai phân ẩn 2) Các ứng dụng khái niệm số mũ đặc trưng vectơ nghiên cứu định tính ổn định phương trình sai phân thường phương trình sai phân ẩn Nhiệm