Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính áp dụng phần mềm maple trong tính toán

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********* PHẠM THU THỦY PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH ÁP DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG TÍNH TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI – 2014 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian học tập trường Đại học Sư phạm Hà Nội em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo trường bảo tận tình tạo điều kiện giúp em tiếp thu nhiều tri thức khoa học, hình thành kĩ cần thiết cho thân, tích lũy nhiều kinh nghiệm bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể thầy giáo khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người chăm lo bảo chúng em giúp chúng em đứng vững đường Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phó giáo sƣ, Tiến sĩ Khuất Văn Ninh – người trực tiếp hướng dẫn, bảo đóng góp ý kiến quý báu suốt thời gian em thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thu Thủy Phạm Thu Thủy – K36C Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hồn thành hướng dẫn thầy giáo Phó giáo sƣ, Tiến sĩ Khuất Văn Ninh với nỗ lực thân Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục Tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết khóa luận hồn tồn kết nghiên cứu thân em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thu Thủy Phạm Thu Thủy – K36C Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Không gian Banach 1.1 Định nghĩa 1.2 Định lí 1.3 Một số không gian hàm Phương trình vi phân thường 2.1 Một số định nghĩa 2.2 Định lí tồn nghiệm Sai phân, tỷ sai phân 3.1 Sai phân 3.2 Tỷ sai phân CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 10 Phương trình sai phân 10 1.1 Định nghĩa 10 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính 10 1.3 Phương trình sai phân phi tuyến 22 Phương trình vi phân thường tuyến tính 23 2.1 Các khái niệm 23 2.2 Định lí tồn nghiệm 24 2.3 Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính hàm 24 2.4 Cấu trúc nghiệm phương trình vi phân tuyến tính 26 Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính 33 Phạm Thu Thủy – K36C Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 3.1 Phương pháp lưới 33 3.2 Phương pháp khử lặp 43 CHƢƠNG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG 48 Giải phương trình vi phân tuyến tính 48 Giải phương trình vi phân tuyến tính khơng 49 Phương trình vi phân với điều kiện ban đầu 50 Phương trình vi phân chứa điều kiện biên 51 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 Phạm Thu Thủy – K36C Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển Toán học đánh dấu ứng dụng Toán học vào việc giải toán thực tiễn Trong Toán học ứng dụng thường gặp nhiều tốn có liên quan đến phương trình vi phân thường Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò quan trọng lí thuyết Tốn học Để giải phương trình vi phân có nhiều phương pháp, nhiên phương pháp coi vạn để giải hầu hết phương trình vi phân phương pháp sai phân Ngoài ra, nhờ phát triển khoa học – kĩ thuật, nhà khoa học tìm phương pháp giải phương trình vi phân cách xác mà tiện lợi tính tốn Đó việc nghiên cứu để đưa phần mềm – phần mềm Maple Nhờ phần mềm người ta khơng tìm nghiệm phương trình mà biểu diễn đồ thị phương trình vi phân khơng gian n – chiều Xuất phát từ nhận thức lòng ham mê học Tốn, đặc biệt sức lơi phương pháp sai phân ứng dụng để giải phương trình vi phân ứng dụng thú vị phần mềm Maple, em xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Phƣơng pháp sai phân giải phƣơng trình vi phân tuyến tính Áp dụng phần mềm Maple tính tốn” Cụ thể, em nghiên cứu vấn đề sau Phương trình sai phân Phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính Ứng dụng phần mềm Maple việc giải phương trình vi phân Phạm Thu Thủy – K36C Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Đây đề tài có phạm vi quy mơ nhỏ ngành giải tích Tốn học với hi vọng làm sáng tỏ ứng dụng phương pháp sai phân vào giải phương trình vi phân tuyến tính áp dụng cơng nghệ Tin học vào Tốn học Khóa luận em gồm ba phần: Mở đầu, nội dung kết luận Do thời gian lực có hạn nên chắn khóa luận em nhiều thiếu sót Rất mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên Mục đích nghiên cứu Đi sâu tìm tòi, nghiên cứu ứng dụng phương pháp sai phân vào giải phương trình vi phân tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương pháp sai phân vào giải phương trình vi phân tuyến tính Tìm nghiệm phương trình với độ xác cần thiết Áp dụng phần mềm Maple vào giải số tốn Đối tƣợng nghiên cứu Phương trình vi phân tuyến tính Cách giải theo phương pháp sai phân tập áp dụng Giải toán Maple Phƣơng pháp nghiên cứu Tìm tài liệu, phân tích, tổng hợp xin ý kiến định hướng thầy hướng dẫn Cấu trúc khóa luận Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính Chương Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình vi phân thường Phạm Thu Thủy – K36C Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội NỘI DUNG CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Không gian Banach 1.1 Định nghĩa Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ 1.2 Định lí Định lí 1.1 Không gian định chuẩn X không gian Banach không gian X chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ Chứng minh Điều kiện cần  Giả sử X không gian Banach chuỗi  xn hội tụ n 1  *  * Khi     n0  Suy     n0   n  n  p   *   n  n0  p  *  p  j 1 p xn  j    xn  j j 1 p   xn  j   j 1 Theo tiêu chuẩn Cauchy hội tụ chuỗi suy chuỗi   xn hội tụ không gian X n 1 Do khơng gian Banach chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ Điều kiện đủ Giả sử không gian định chuẩn X chuỗi hội tụ tuyệt đối hội tụ dãy ( xn ) dãy tùy ý không gian X Theo định nghĩa ta có Phạm Thu Thủy – K36C Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội    0  n0  *  n, m  n  xn  xm     Với số  phần tử dãy số  k  ta tìm số nk cho 2  xnk 1  xnk  ,  k  1,2,  với nk  nk 1 2k Từ suy chuỗi xn1  xn2  xn1   xnk 1  xnk  hội tụ Mà     theo giả thiết, chuỗi xn1  xn2  xn1   xnk 1  xnk  hội tụ không gian X, kí hiệu tổng chuỗi s Khi s  lim[ xn1  ( xn2  xn1 )   ( xnk 1  xnk )  lim xnk 1 k  k  suy xn  s  xn  xnk 1  xnk 1  s   k , n    (1) Theo chứng minh từ hệ thức (1) suy s  lim xn khơng k  gian định chuẩn X Do X không gian Banach ■ 1.3 Một số không gian hàm 1.3.1 Không gian C[a, b] Cho   a  b   Khi đó, khơng gian X  C[a, b] không gian tất hàm x  x(t ) xác định liên tục [a, b] X  C[a, b] không gian Banach thực với chuẩn x  max x  t  a t b Sự hội tụ xn  x n   X tương đương với hội tụ xn  x  max xn (t )  x(t )  n   a t b Nghĩa dãy ( xn ), n  1, 2, hàm số liên tục xn : [a, b]  liên tục đoạn [a, b] đến hàm số liên tục x : [a, b]  , n  1,2, Phạm Thu Thủy – K36C Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1.3.2 Không gian C m[a, b] Cho   a  b   Khi đó, khơng gian X  C m[a, b] (m  *) không gian tất hàm x  x(t ) xác định có đạo hàm liên tục đến cấp m [a, b] X  C m[a, b] không gian Banach với chuẩn m x   max x( k ) (t ) k 0 a t b Phƣơng trình vi phân thƣờng 2.1 Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1 Phương trình vi phân phương trình mà hàm phải tìm nằm dấu đạo hàm hay vi phân Định nghĩa 1.2 Phương trình vi phân thường phương trình vi phân mà hàm phải tìm phụ thuộc vào biến độc lập Định nghĩa 1.3 Phương trình vi phân thường bậc n hệ thức có dạng   f x, y( x), y( x), y( x), , y ( n) ( x)  (2) x biến số độc lập, y hàm cần tìm thiết phải có mặt y ( n ) , f hàm xác định miền G khơng gian n Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm hàm phải tìm có mặt phương trình Xét phương trình vi phân cấp n đạo hàm cấp cao biểu diễn dạng   y ( n)  f x, y, y, , y ( n 1) (3) Bài tốn Cauchy phương trình (3) tìm hàm y  y( x) thỏa mãn phương trình (3) điều kiện ban đầu y( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 , , y ( n 1) ( x0 )  y0( n 1) x0 , y0 , y0 , , y0( n 1) số cho trước Phạm Thu Thủy – K36C Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội y(6)  84 y(5)  3040 y(4)  53676 y(3)  411845 y  107016 y  811538 y  [>dsolve(diff(y(x),x$6)-84*diff(y(x),x$5)+3040*d iff(y(x),x$4)-53676*diff(y(x),x$3)+411845*diff(y (x),x$2)-107016*diff(y(x),x)+811538*y(x)=0,y(x), type=numeric); y ( x)  _ C1cos( x)  _ C2 sin( x)  _ C3e(21x ) sin(14 x)  _ C4e(21x ) cos(14 x)  _ C5e(21x ) sin(14 x) x  _ C6 e(21x ) cos(14 x) x Giải phƣơng trình vi phân tuyến tính khơng Ví dụ 3.2 Giải phương trình vi phân sau ( x2  1) y  xy  y  x [>dsolve((x^2-1)*diff(y(x),x$2)+4*x*diff(y(x),x) +2*y(x)=6*x,y(x)); x3 _ C1 _ C2x y ( x)    x  ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) x3 y  x y  xy  y  x8  10x [>dsolve(x^3*diff(y(x),x$3)-x^2*diff(y(x),x$2)+2 *x*diff(y(x),x)-2*y(x)=x^8+10*x,y(x)); y ( x)  x  x ln( x)2  10 x ln( x)  10 x  _ C1x  _ C2x  _ C3x ln( x) 294 y (4)  y  y  y  y  99x5  100x [>dsolve(diff(y(x),x$4)+2*diff(y(x),x$3)+3*diff( y(x),x$2)+2*diff(y(x),x)+y(x)=99*x^5-100*x^3,y(x ); Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 49 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội y ( x)  22560  48120 x  12480 x  1880 x3  990 x  99 x5      x 1 _ C1e  cos     x 1 _ C3e  cos    x    sin  x  x  _ C2e     2  2     x    sin  x  x x x  _ C4e     2  2  Phƣơng trình vi phân với điều kiện ban đầu Ví dụ 3.3 Bằng việc sử dụng phần mềm Maple, giải phương trình vi phân sau 15x3 y  10 y  99 x2 y  với điều kiện đầu y(0)  2, y(0)  [>diff_eq1:=15*x^3*D(D(y))(x)+10*D(y)(x)-99*x^2* y(x)=0; diff _ eq1 : 15x3 ( D(2) )( y)( x)  10D( y)( x)  99 x y( x)  [>init_con:=y(0)=2,D(y)(0)=0; init _ : y(0)  2, D( y)(0)  [>dsolve({diff_eq1,init_con},{y(x)},series); y ( x)   33 297 x  x  O( x6 ) 25 5x2 y  y  x y  với điều kiện ban đầu y(0)  0, y(0)  10  3x [>diff_eq1:=3*D(D(y))(x)+8*D(y)(x)+x^4*y(x)=5*x^ 2/(10-3*x); diff _ eq1: 3( D (2) x2 )( y)( x)  8D( y)( x)  x y( x)  10  3x [>init_con:=y(0)=0,D(y)(0)=1; init _ : y(0)  0, D( y)(0)  [>dsolve({diff_eq1,init_con},{y(x)},series); Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 50 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 32 503 40483 y ( x)  x  x  x3  x  x  O( x6 ) 27 648 97200 Phƣơng trình vi phân chứa điều kiện biên Ở chương trước tìm hiểu phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính việc quy giải hệ phương trình nhiều ẩn Bước h nhỏ số điểm chia lớn, tức ta lập hệ phương trình nhiều ẩn Khi đó, việc giải hệ phương trình trở lên khó khăn Phần mềm Maple giúp ta giải hệ phương trình cách đơn giản xác Sau số ví dụ minh họa để thấy làm việc Maple Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm xấp xỉ phương trình sau theo phương pháp sai phân y( x)  2(3x  5) y( x)  xy( x)   x  x3 ,  x  với điều kiện biên sau  y (0)  y(0)    y(1)  Lời giải Sử dụng công thức yi  yi 1  yi  y y 1 yi 1  yi 1 , yi  thay vào 2h h2 phương trình biến đổi ta [1  h(3xi  5)] yi 1  2(1  xi h2 ) yi  [1  (3xi  5)h] yi 1  (6  xi  xi3 )h2 Chọn bước h  0,1 có nút bên xi  0,1i ; i  1,9 Khi đó, ta lập hệ 11 phương trình 11 ẩn sử dụng phần mềm Maple ta giải hệ phương trình tìm ẩn hệ [>eqn1:=0.53*y2-2.008*y1+1.47*y0=0.06698; eqn1 : 53 y2  2.008 y1  1.47 y0  06698 [>eqn2:=0.56*y3-2.016*y2+1.44*y1=0.07384; Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 51 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội eqn2 : 56 y3  2.016 y2  1.44 y1  07384 [>eqn3:=0.59*y4-2.024*y3+1.41*y2=0.08046; eqn3 : 59 y4  2.024 y3  1.41y2  08046 [>eqn4:=0.62*y5-2.032*y4+1.38*y3=0.08672; eqn4 : 62 y5  2.032 y4  1.38 y3  08672 [>eqn5:=0.65*y6-2.04*y5+1.35*y4=0.0925; eqn5 : 65 y6  2.04 y5  1.35 y4  0925 [>eqn6:=0.68*y7-2.048*y6+1.32*y5=0.09768; eqn6 : 68 y7  2.048 y6  1.32 y5  09768 [>eqn7:=0.71*y8-2.056*y7+1.29*y6=0.10214; eqn7 : 71y8  2.056 y7  1.29 y6  10214 [>eqn8:=0.74*y9-2.064*y8+1.26*y7=0.10576; eqn8 : 74 y9  2.064 y8  1.26 y7  10576 [>eqn9:=0.77*y10-2.072*y9+1.23*y8=0.10842; eqn9 : 77 y10  2.072 y9  1.23 y8  10842 [>eqn10:=4.1*y0-4*y1=0; eqn10 : 4.1y0  y1  [>eqn11:=y10-y9=0.2; eqn11 : y10  y9  [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8 ,eqn9,eqn10,eqn11},{y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y 9,y10}); {y  1.950143105, y10  1.547123669, y  2.076026586, y  1.980161770, y3  2.064611547, y5  2.068713043, y8  1.886451233, y  2.038521104, y  2.037913536, y9  1.747123669, y1  1.998896682} Vậy nghiệm xấp xỉ toán cho bảng sau Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 52 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội x y -1,950143105 x 0,4 y 2.076026586 x 0,8 y 1,886451233 0,1 -1,998896682 0,5 2.068713043 0,9 1,747123669 0,2 -2,037913536 0,6 2,76026586 1,547123669 0,3 2,064611547 0,7 1,980161770 y( x)  y( x)  ( x  1) y( x)  1,  x  x 1   y (0,5)  với điều kiện biên  2 y (1)  y(1)  0,75 Lời giải Sử dụng công thức yi  yi 1  yi  y y 1 yi 1  yi 1 , yi  thay vào 2h h2 phương trình biến đổi ta ( xi   h) yi 1  [2( xi  1)  ( xi  1)2 h2 ] yi  ( xi   h) yi 1  ( xi  1)h2 Chọn bước h  0,1 có nút bên xi  0,1.i, i  1,9 Tương tự, ta lập hệ 11 phương trình 11 ẩn sử dụng phần mềm Maple ta tìm ẩn [>eqn1:=1.2*y2-2.2121*y1+y0=-0.011; eqn1 : 1.2 y2  2.2121y1  y0  .011 [>eqn2:=1.3*y3-2.4144*y2+1.1*y1=-0.012; eqn2 : 1.3 y3  2.4144 y2  1.1y1  .012 [>eqn3:=1.4*y4-2.6169*y3+1.2*y2=-0.013; eqn3 : 1.4 y4  2.6169 y3  1.2 y2  .013 [>eqn4:=1.5*y5-2.8196*y4+1.3*y3=-0.014; Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 53 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội eqn4 : 1.5 y5  2.8196 y4  1.3 y3  .014 [>eqn5:=1.6*y6-3.0225*y5+1.4*y4=-0.015; eqn5 : 1.6 y6  3.0225 y5  1.4 y4  .015 [>eqn6:=1.7*y7-3.2256*y6+1.5*y5=-0.016; eqn6 : 1.7 y7  3.2256 y6  1.5 y5  .016 [>eqn7:=1.8*y8-3.4289*y7+1.6*y6=-0.017; eqn7 : 1.8 y8  3.4289 y7  1.6 y6  .017 [>eqn8:=1.9*y9-3.6324*y8+1.7*y7=-0.018; eqn8 : 1.9 y9  3.6324 y8  1.7 y7  .018 [>eqn9:=2*y10-3.8361*y9+1.8*y8=-0.019; eqn9 : y10  3.8361y9  1.8 y8  .019 [>eqn10:=y0=2/3; eqn10 : y0  [>eqn11:=1.2*y10-y9=0.075; eqn11 : 1.2 y10  y9  075 [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8 ,eqn9,eqn10,eqn11},{y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y 9,y10}); {y  66666666667, y1  6403539298, y10  4579941013, y  5293546815, y  5102409502, y3  5924596332, y8  4919987244, y5  54938456635, y  6157168845, y  5703909662, y9  4745929216} Phạm Thu Thủy – K36C Toán 54 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Vậy nghiệm xấp xỉ toán cho bảng sau x y x y x y 0,66666666667 0,4 0,5703909662 0,8 0,4919987244 0,1 0,6403539298 0,5 0,54938456635 0,9 0,4745929216 0,2 0,6157168845 0,6 0,5293546815 0,4579941013 0,3 0,5924596332 0,7 0,5102409502 x4 x y( x)  (3x  2) y( x)  xy ( x)  ,  x   y (0)  y(0)   với điều kiện biên  y (1)   y(1)   Lời giải Sử dụng công thức yi  yi  yi yi 1  yi 1 , 2h yi 1  yi  y y 1 h2 , yi   yi 1  yi  yi 1 h3 thay vào phương trình biến đổi ta 10 xi3 yi   [30 xi3  h2 (3xi2  2)] yi 1  (30 xi3  xi h3 ) yi   [10 xi3  h2 (3xi2  2)] yi 1  xi4h3 Chọn bước h  0,1 có nút bên xi  0,1.i; i  1,9 Khi đó, ta lập hệ 12 phương trình 12 ẩn sử dụng phần mềm Maple ta tìm ẩn [>eqn1:=0.01*y3-0.0097*y2+0.0308*y1-0.0303*y0=10 Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 55 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội ^(-7); eqn1 : 01y3  0097 y2  0308 y1  0303 y0  10000000 [>eqn2:=0.08*y4-0.2188*y3+0.2416*y2-0.1012*y1=1 6*10^(-6); eqn2 : 08 y4  2188 y3  2416 y2  1012 y1  1600000000 105 [>eqn3:=0.27*y5-0.7873*y4+0.8124*y3-0.2927*y2=8 1*10^(-6); eqn3 : 27 y5  7873 y4  8124 y3  2927 y2  8100000000 105 [>eqn4:=0.64*y6-1.8952*y5+1.9232*y4-0.6648*y3=2 56*10^(-5); eqn4 : 64 y6  1.8952 y5  1.9232 y4  6648 y3  00002560000000 [>eqn5:=1.25*y7-3.7225*y6+3.754*y5-1.2775*y4=6.2 5*10^(-5); eqn5 : 1.25 y7  3.7225 y6  3.754 y5  1.2775 y4  00006250000000 [>eqn6:=2.16*y8-6.4492*y7+6.4848*y6-2.1908*y5=1 296*10^(-4); eqn6 : 2.16 y8  6.4492 y7  6.4848 y6  2.1908 y5  0001296000000 [>eqn7:=3.43*y9-10.2553*y8+10.2956*y7-3.4647*y6= 2.401*10^(-4); eqn7 : 3.43 y9  10.2553 y8  10.2956 y7  3.4647 y6  0002401000000 [>eqn8:=5.12*y10-15.3208*y9+15.3664*y8-5.1592*y7 =4.096*10^(-4); eqn8 : 5.12 y10  15.3208 y9  15.3664 y8  5.1592 y7  0004096000000 [>eqn9:=7.29*y11-21.8257*y10+21.8772*y9-7.3343*y 8=6.561*10^(-4); eqn9 : 7.29 y11  7.12071y10  7.42622 y9  2.56851y8  005184000000 [>eqn10:=-4.8*y0+5*y1=0.2; Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 56 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội eqn10 : 4.8 y0  y1  [>eqn11:=y10=9; eqn11 : y10  [>eqn12:=y11+y9=18.03; eqn12 : y11  y9  18.03 [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8 ,eqn9,eqn10,eqn11,eqn12},{y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y 7,y8,y9,y10,y11}); {y10  9., y2  3.227847260, y3  3.270645768, y6  4.930336276, y7  5.819647261, y4  3.608029475, y11  10.14917556, y5  4.178992505, y8  6.812634636, y1  3.486871165, y9  7.880824443, y0  3.590490797} Vậy nghiệm xấp xỉ toán cho bảng sau x y x y x y 3,590490797 0,4 3,608029475 0,8 6,812634636 0,1 3,486871165 0,5 4,178992505 0,9 7,880824443 0,2 3,227847260 0,6 4,930336276 0,3 3,270645768 0,7 5,819647261 (2 x  1) y  ( x  3) y  y  y  6x  ,  x  x 1  y (0)   với điều kiện biên  y (2)  y(2)  3 y(2)  y(2)  10  Lời giải Sử dụng công thức yi  yi Phạm Thu Thủy – K36C Toán yi 1  yi  y y 1 yi 1  yi 1 , yi  , 2h h2 yi   yi 1  yi  yi 1 h3 57 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội thay vào phương trình biến đổi ta (2 xi  1)( xi2  1) yi   [3(2 xi  1)( xi2  1)  ( xi2  3)( xi2  1)h   h2 ( xi2  1)] yi 1  yi [3(2 xi  1)( xi2  1)  2h( xi2  3)( xi2  1)  5h3 ] [(2 xi  1)( xi2  1)  h( xi2  3)( xi2  1)  h ( xi2  1)] yi 1  (6 xi  1)( xi2  1)h3 Chọn bước h  0,1 có 19 nút bên xi  0,1.i; i  1,19 Khi đó, ta lập hệ 22 phương trình 22 ẩn sử dụng phần mềm Maple, ta tìm ẩn [>eqn1:=1.212*y3-3.95011*y2+4.24902*y1-1.50591*y 0=1.616*10^(-3); eqn1: 1.212 y3  3.95011y  4.24902 y1  1.50591y0  001616000000 [>eqn2:=1.456*y4-4.69456*y3+5.00532*y2-1.76176*y 1=2.288*10^(-3); eqn2 : 1.456 y  4.69456 y3  5.00532 y  1.76176 y1  002288000000 [>eqn3:=1.744*y5-5.57971*y4+5.91062*y3-2.06991*y 2=3.052*10^(-3); eqn3: 1.744 y5  5.57971y  5.91062 y3  2.06991y  003052000000 [>eqn4:=2.088*y6-6.64216*y5+7.00212*y4-2.44296*y 3=3.944*10^(-3); eqn4 : 2.088 y6  6.64216 y5  7.00212 y  2.44292 y3  003944000000 [>eqn5:=2.5*y7-7.91875*y6+8.3175*y5-2.89375*y4=5 *10^(-3); eqn5: 2.7 y7  7.91875 y6  8.3175 y5  2.89375 y  200 [>eqn6:=2.992*y8-9.44656*y7+9.89492*y6-3.43536*y 5=6.256*10^(-3); Phạm Thu Thủy – K36C Toán 58 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội eqn6 : 2.992 y8  9.44656 y7  9.89492 y6  3.43536 y5  006256000000 [>eqn7:=3.576*y9-11.26291*y8+11.77302*y7-4.08111 4.08111*y6=7.748*10^(-3); eqn7 : 3.576 y9  11.26291y8  11.77302 y7  4.08111y6  007748000000 [>eqn8:=4.264*y10-13.40536*y9+13.99092*y8-4.8445 6*y7=9.512*10^(-3); eqn8 : 4.264 y10  13.40536 y6  13.99092 y8  4.84456 y7  009512000000 [>eqn9:=5.068*y11-15.91171*y10+16.58822*y9-5.739 51*y8=0.011584; eqn9 : 5.068 y11  15.91171y10  16.58822 y9  5.73951y8  011584 [>eqn10:=6*y12-18.82*y11+19.605*y10-6.78*Y9=0.01 4; eqn10 : y12  18.82 y11  19.605 y10  6.78 y9  0.014 [>eqn11:=7.072*y13-22.16851*y12+23.08182*y11-7.9 8031*y10=0.016796; eqn11 : 7.072 y13  22.16851y12  23.08182 y11  7.98031y10  016796 [>eqn12:=8.296*y14-25.99576*y13+27.05972*y12-9.3 5496*y11=0.020008; eqn12 : 8.296 y14  25.99576 y13  27.05972 y12  9.35496 y11  020008 [>eqn13:=9.684*y15-30.34051*y14+31.58022*y13-10 91871*y12=0.023672; eqn13 : 9.684 y15  30.34051y14  31.58022 y13  10.91871y12  023672 [>eqn14:=11.248*y16-35.24176*y15+36.68532*y14-12 68656*y13=0.027824; eqn14 : 11.248 y16  35.24176 y15  36.68532 y14  12.68656 y13  027824 [>eqn15:=13*y17-40.73875*y16+42.4175*y15-14.6737 5*y14=0.0325; eqn15 : 13 y17  40.73875 y16  42.4175 y15  14.67375 y14  0325 [>eqn16:=14.952*y18-46.87096*y17+48.81972*y16-16 Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 59 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 89576*y15=0.037736; eqn16 : 14.952 y18  46.87096 y17  48.81972 y16  16.89576 y15  037736 [>eqn17:=17.116*y19-53.67811*y18+55.93542*y17-19 36831*y16=0.032368; eqn17 : 17.116 y19  53.67811y18  55.93542 y17  19.36831y16  032368 [>eqn18:=19.504*y20-61.20016*y19+63.80852*y18-22 10736*y17=0.050032; eqn18 : 19.504 y20  61.20016 y19  63.80852 y18  22.10736 y17  050032 [>eqn19:=22.128*y21-69.47731*y20+72.48342*y19-25 12911*y18=0.057164; eqn19 : 22.128 y21  69.47731y20  72.48342 y19  25.12911y18  057164 [>eqn20:=y0=0; eqn20 : y0  [>eqn21:=y21+0.1*y20-y19=0.5; eqn21 : y21  1y20  y19  [>eqn22:=5.9*y21-12*y20+6.1*y19=0.1; eqn22 : 5.9 y21  12 y20  6.1y19  [>solve({eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5,eqn6,eqn7,eqn8 ,eqn9,eqn10,eqn11,eqn12,eqn13,eqn14,eqn15,eqn16, eqn17,eqn18,eqn19,eqn20,eqn21,eqn22},{y0,y1,y2,y 3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10,y11,y12,y13,y14,y15,y16, y17,y18,y19,y20,y21,y22}); {y0 =0,y21  .9894304290, y10  2.671877357, y14  2.834886240, y8  2.288997015, y9  2.497990446, y20  1.318978503, y2  .6285349001, y15  2.685185048, y4  1.229851689, y17  2.171457468, y12  2.880538653, y16  2.430342617, y13  2.895377439, y5  1.517724635, y6  1.793190708, y11  2.802497996, y18  1.903434735,, y19  1.621328279, y1  .31787223454, y3  .9327723114, y7  2.052015037} Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 60 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Vậy nghiệm xấp xỉ toán cho bảng sau x y x y x y 0 0,7 2,052015037 1,4 2,834886240 0,1 0,31787223454 0,8 2,288997015 1,5 2,685185048 0,2 0,6285349001 0,9 2,497990446 1,6 2,430342617 0,3 0.9327723114 1,0 2,671877357 1,7 2,171457468 0,4 1,229851689 1,1 2,802497996 1,8 1,903434735 0,5 1,517724635 1,2 2,880538653 1,9 1,621328279 0,6 1,793190708 1,3 2,895377439 1,318978503 Phạm Thu Thủy – K36C Tốn 61 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận tốt nghiệp Những nội dung khóa luận là: Trước hết, hệ thống hóa số kiến thức khơng gian Banach, phương trình vi phân thường, sai phân tỷ sai phân Đó vấn đề cần thiết cho việc trình bày nội dung khóa luận Kết nghiên cứu khóa luận trình bày phương trình sai phân, sử dụng phương pháp sai phân vào giải toán ban đầu toán biên phương trình vi phân thường đặc biệt nghiên cứu ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình vi phân Do lần đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên khóa luận em khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn sinh viên để em hồn thiện khóa luận cách tốt Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thu Thủy – K36C Toán 62 Khóa luận tốt nghiệp đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kỳ Anh (1996), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội Dự án phát triển giáo viên THPT & TCCN (2013), Giáo trình giải tích số, NXB Đại học Cần Thơ Hoàng Hữu Đường, Nguyễn Thế Hoàn, Võ Đức Tơn (1970), Phương trình vi phân, NXB Đại học trung cấp chuyên nghiệp Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (1979), Bài tập Phương trình vi phân, NXB Đại học trung cấp chuyên nghiệp Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy tốn học Maple, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội Phạm Thu Thủy – K36C Toán 63 ... “Phƣơng pháp sai phân giải phƣơng trình vi phân tuyến tính Áp dụng phần mềm Maple tính tốn” Cụ thể, em nghiên cứu vấn đề sau Phương trình sai phân Phương trình vi phân tuyến tính Phương pháp sai phân. .. ứng dụng phương pháp sai phân vào giải phương trình vi phân tuyến tính Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương pháp sai phân vào giải phương trình vi phân tuyến tính Tìm nghiệm phương trình. .. Phƣơng trình sai phân phi tuyến Phƣơng pháp giải Các phương trình sai phân mà khơng phương trình sai phân tuyến tính gọi phương trình sai phân phi tuyến Để giải phương trình sai phân phi tuyến