Phương pháp giảm cơ sở giải phương trình elliptic bức tuyến tính phụ thuộc tham số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THÙY NHUNG PHƯƠNG PHÁP GIẢM CƠ SỞ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC BỨC TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ THÙY NHUNG PHƯƠNG PHÁP GIẢM CƠ SỞ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC BỨC TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THAM SỐ Chun ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Tóm tắt nội dung iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 0.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 0.5 Phương pháp nghiên cứu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian tích vơ hướng 1.2 Dạng tuyến tính dạng song tuyến tính 1.2.1 Dạng tuyến tính 1.2.2 Dạng song tuyến tính Dạng tuyến tính dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số 1.3.1 Sự phụ thuộc affine vào tham số 1.3.2 Tính phụ thuộc tham số 1.3 Phương pháp giảm sở 11 2.1 Khơng gian hàm dạng yếu phương trình elliptic 11 2.1.1 11 Dạng yếu phụ thuộc tham số ii 2.1.2 Tích vô hướng chuẩn khác 12 Không gian sở xấp xỉ hữu hạn chiều 13 2.2.1 Rời rạc hóa tốn 13 2.2.2 Phép chiếu Galerkin 14 2.2.3 Phương trình đại số 15 Giảm sở 17 2.3.1 Không gian sở 17 2.3.2 Phép chiếu lên không gian số chiều nhỏ 18 2.3.3 Phương trình đại số 19 2.4 Thủ tục tính tốn Online- Offline 20 2.5 Thuật toán Greedy 21 2.6 Ước lượng sai số hậu nghiệm 23 2.6.1 Cận số liên tục 24 2.6.2 Cận số liên tục 25 2.6.3 Những kiến thức cần thiết khác 27 2.6.4 Ước lượng sai số 28 2.6.5 Cận sai số tương ứng với chuẩn X 30 2.2 2.3 Ví dụ số 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii TĨM TẮT NỘI DUNG Luận văn viết có nội dung phương pháp giảm sở cho phương trình elliptic phụ thuộc tham số Chúng tơi trình bày đầy đủ nguyên liệu để người đọc hiểu cách chi tiết việc xây dựng phương pháp, cụ thể phép chiếu Galerkin, thuật toán Greedy cận số phụ thuộc tham số sử dụng phép cách tiếp cận −θ iv Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo tận tình giảng dạy, bồi dưỡng kiến thức suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện trường Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thanh Sơn tận tình hướng dẫn suốt trình viết luận văn Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, 2015 Phạm Thị Thùy Nhung Học viên Cao học Toán K7A, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài Để bắt đầu, ta xét Bài tốn Dirichlet cho phương trình Poisson −∆y = f, Ω, (1) y = 0, Γ, Ω miền bị chặn Rk , k ≥ có biên Γ thỏa mãn điều kiện Lipschitz ¯ f ∈ L2 (Ω) Với liệu Bài tốn (1) khơng thể có nghiệm cổ điển y ∈ C (Ω)∩C(Ω) mà thay vào đó, người ta xét nghiệm suy rộng Bài toán (1) Nhắc lại rằng, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng f (x)g(x)dx H01 (Ω) = {g ∈ L2 (Ω) : ∃ f, g = L2 (Ω) ∂g ∈ L2Ω g|Γ = 0} ∂xi không gian hàm suy rộng Ω Bài toán (1) đưa dạng đẳng thức biến phân sau: Tìm y ∈ H01 (Ω) y f (x)v(x)dx, ∀y ∈ H vdx = Ω Ω Bây ta định nghĩa dạng tuyến tính f : H01 (Ω) → R đó, f (v) với v ∈ H01 (Ω), f (v) = Ω f (x)v(x)dx dạng song tuyến tính a : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R (2) với a(w, v) = Ω y vdx Theo Bài tốn (2) viết lại sau a(y, v) = f (v), ∀v ∈ H01 (Ω) Lưu ý rằng, H01 (Ω) không gian không gian H (Ω) với tích vơ hướng w, v = (wv + w v)dx Ω chuẩn tương ứng 1/2 ||v||H (Ω) = (v + v )dx (3) Ω Theo Bất đẳng thức Friedrichs v d(x) ≤ C(Ω) Ω v dx, Ω với C(Ω) số phụ thuộc vào Ω, ta suy a(v, v) ≥ ||v||2H (Ω) + C(Ω) (4) Bất đẳng thức (4) gọi tính chất Thêm vào đó, từ Bất đẳng thức CauchySchwarz ta suy |a(w, v)| ≤ ||w||H (Ω) ||v||H (Ω) , (5) gọi tính liên tục a Trong xét Bài tốn (1) ta ngầm định phương trình không phụ thuộc tham số Trong thực tế, sử dụng Bài tốn (1) mơ hình toán học cho tượng truyền nhiệt dừng, người ta muốn giữ lại số dẫn nhiệt tham số Việc cho phép sử dụng mơ hình cho nhiều chất dẫn nhiệt có số dẫn nhiệt khác Tương tự thế, hàm nguồn f phụ thuộc vào tham số Tổng qt, người ta xét tốn phụ thuộc tham số a(y, v; µ) = f (v; µ), ∀v ∈ V, µ ∈ D ⊂ Rk (6) Và cuối cùng, nhiều trường hợp, người ta không quan tâm đến toàn trạng thái y mà phần thông tin trạng thái biểu diễn s(µ) = (y; µ), (7) đó, g dạng tuyến tính phụ thuộc tham số Bài toán đặt là: với µ ∈ D, tính s(µ) Đối với tốn thực tế yêu cầu cao tính xác, cỡ tốn thường lớn, hàng nghìn hàng triệu Với đặc thù cần phải tính nghiệm, thông tin liên quan đến nghiệm nhiều lần (many-query context), máy tính phải nhiều thời gian để giải mơ hình cỡ lớn với nhiều giá trị khác tham số Yêu cầu đặt tìm thuật tốn để cho, việc tính tốn nghiệm nhanh đảm bảo kiểm soát sai số Do vậy, phương pháp giảm sở đặc biệt cần thiết để xử lý toán dạng Với lí trên, chúng tơi chọn "Phương pháp giảm sở giải phương trình elliptic tuyến tính phụ thuộc tham số" làm đề tài cho luận văn thạc sĩ Luận văn gồm chương • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại lý thuyết cần thiết cho việc trình bày phương pháp chương sau Chúng bao gồm phép chiếu Galerkin, rời rạc hóa phương trình, tính bị chặn, tính bức, tính phụ thuộc affine • Chương 2: Phương pháp giảm sở Trong chương này, trước tiên chúng tơi trình bày sơ lược cách rời rạc hóa tốn (6) - (7) phương pháp phần tử hữu hạn Sau đó, phép chiếu Galerkin sử dụng để giảm kích cỡ sở đồng thời giảm kích cỡ tốn Cuối cùng, chúng tơi tập trung trình bày "ngun liệu" kết phục vụ cho việc xây dựng, sở giảm • Chương 3: Ví dụ số Chương đưa ví dụ minh họa lập trình MATLAP với liệu lấy từ mơ hình thực tế khoa học kĩ thuật 0.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết phương pháp giảm sở áp dụng để giải phương trình elliptic tuyến tính phụ thuộc tham số 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung làm rõ số vấn đề sau đây, trình bày ý tưởng phương pháp giảm sở giải phương trình elliptic tuyến tính phụ thuộc tham số, khái niệm tính chất liên quan đến phương pháp, nội dung phương pháp cuối áp dụng phương pháp cho số ví dụ thực tế 0.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giảm sở • Phạm vi nghiên cứu: Bài tốn elliptic tuyến tính phụ thuộc affine vào tham số 0.5 Phương pháp nghiên cứu • Đọc nghiên cứu số tài liệu liên quan sách, báo, tạp chí, luận văn thạc sĩ, tiến sĩ • Sử dụng nhiều kiến thức đại số tuyến tính ứng dụng, giải tích hàm • Kiểm chứng kết lý thuyết ví dụ số lập trình MATLAP 21 tương ứng Phân tích Online-Offline suy từ (2.20) (2.21) sau Giai đoạn Offline: Tính ma trận khơng phụ thuộc tham số AqN ∈ RN ×N , ≤ q ≤ Qa , AqN nm = aq (ζ n , ζ m ), ≤ n, m ≤ N, ≤ q ≤ Qa , véc tơ không phụ thuộc tham số FqN ∈ Rn , ≤ q ≤ Qf FqN n = f q (ζ n ), ≤ n ≤ N, ≤ q ≤ Qf Độ phức tạp tính tốn bước phụ thuộc N tốn Giai đoạn Online: với µ ∈ D bất kì, ta thu ma trận độ cứng cỡ RB véc tơ tải Qa θaq (µ)AqN , AN (µ) = q=1 Qf θfq (µ)FqN F N (µ) = q=1 Độ phức tạp tính tốn lưu giữ không phụ thuộc vào N khơng tốn 2.5 Thuật tốn Greedy Trước tiên, ta cần cận hiệu quả, xác chặt chẽ ∆XN (µ) sai số giảm sở ||u(µ) − uXN (µ)||X , với uXN xấp xỉ giảm sở tương ứng liên kết không gian XN Để ước lượng tính xác chặt chẽ, chúng tơi giới thiệu tính hiệu lực ηN (µ) ≡ ∆XN (µ) ; ||u(µ) − uXN (µ)|| yêu cầu ≤ ηN (µ) ≤ ηmax,U B , ∀µ ∈ D, ≤ n ≤ Nmax , 22 đây, ηmax,U B hữu hạn không phụ thuộc vào N Vế trái bất đẳng thức nhấn mạnh ∆XN (µ) khơng nhỏ sai số - tính xác, vế phải bất đẳng thức ∆XN (µ) khơng lớn q nhiều sai số - tính chặt chẽ Để ước lượng tính hiệu "efficient", địi hỏi chi phí ước lượng µ → ∆XN khơng phụ thuộc vào N Thuật toán Greedy liên hệ mật thiết với không gian xấp xỉ giảm sở Lagrange WN (= XN ) Chúng tơi biểu thị ∗ ≡ {µ1∗ , · · · , µN ∗ }, ≤ N ≤ Nmax , SN không gian chọn thuật toán Greedy sau ∗ XN (≡ WN∗ ) = span{u(µ1∗ ), · · · , u(µN ∗ )}, ≤ N ≤ Nmax , Xấp xỉ giảm sở tương ứng kí hiệu uXX∗ (µ) N Chúng tơi gọi N0 ∈ [1, · · · , N¯max ], N¯max chặn Nmax ; từ ta ∗ = {µ1∗ , · · · , µN0 ∗ } kết hợp với không gian Lagrange X ∗ = W ∗ = có SN N0 N0 span{u(µn∗ ), ≤ n ≤ N0 } Cuối cùng, ta định rõ dãy mẫu Ξtrain vốn lưới D thay cho D độ sai cho phép εtol,min ∗ ,Ξ Chúng tơi kí hiệu thuật tốn tương ứng Greedy (N0 , SN train , εtol,min ) 23 Algorithm Thuật toán Greedy Input: N0 , SN∗ , Ξtrain , εtol,min Output: XN∗ ¯max for N = N0 + : N 1: µN ∗ = arg max ∆XN∗ −1 (µ); 2: µ∈Ξtrain ∗ εN −1 = ∆XN∗ −1 (µN ∗ ) if ε∗N −1 ≤ εtol,min then 3: 4: 5: Nmax = N − 6: exist; 7: end if 8: SN∗ = SN∗ −1 ∪ µN ∗ ; 9: XN∗ = XN∗ −1 + span{u(µN ∗ )} end for 10: 2.6 Ước lượng sai số hậu nghiệm Chúng nhắc lại thuật tốn Greedy ta phải tìm điểm µN , tập rời rạc thay Ξtrain miền tham số D mà ước lượng sai số ∆N −1 (µ) lớn Để khơng bỏ sót giá trị tốt miền liên tục D, mặt trực quan Ξtrain gần "trù mật" D Do đó, số lượng phần tử Ξtrain cực lớn Điều có nghĩa bước lặp thuật tốn Greedy ta phải tính ∆N −1 (µ) nhiều lần Và rõ ràng, ta khơng có chiến lược hữu hiệu để tính ∆N −1 (µ) thời gian tính tốn giai đoạn Offline lâu Ngoài ra, thực tế ra, thay tính ước lượng sai số, ý tưởng tính trực tiếp sai số với µ ∈ Ξtrain không khả thi Yêu cầu thứ hai liên quan đến tính ước lượng sai số quan hệ với sai số Trong phương pháp giải xấp xỉ nào, người dùng muốn có đảm bảo sai số xấp xỉ không vượt ngưỡng cho trước Nếu ta đảm 24 bảo ước lượng sai số cận sai số thì ta cần dừng thuật tốn ∆N −1 (µ)εtol Khi đó, tính bắc cầu sai số nhỏ εtol,min Cuối cận không nên cách xa sai số thực Trong phần sau thấy cận gần hay xa sai số phụ thuộc nhiều vào đặc điểm tốn khơng có tính chặt mà tính chất biến thiên sai số thực hay tính xác đóng vai trị quan trọng thành cơng thuật tốn Greedy Để phục vụ việc tìm ước lượng đạt ba yêu cầu trên, ta cần đến hai khái niệm kết liên quan đến cận số số liên tục 2.6.1 Cận số liên tục Các phần tính mục áp dụng cho tốn (2.10) - (2.11) với a không thiết đối xứng Tuy nhiên, xét dạng đối xứng b : X × X × D → R Vì dạng song tuyến tính ta giả sử b liên tục Nghĩa < (αN (µ) ≡)α(µ) = inf w∈X b(w, w; µ) , ∀µ ∈ D ||w||2X sup sup w∈X v∈X |b(w, w; µ)| ||v||X = γ(µ)(≡ γ N ) < ∞, ∀µ ∈ D ||w||X Ta chọn tích vơ hướng chuẩn sau q trình lập luận (w, v)X ≡ b(w, v; µ), w, v ∈ X, nên ||w||X = b1/2 (w, w; µ ¯), w ∈ X, (2.22) với µ¯ giá trị chọn trước Lưu ý tính b đảm bào định nghĩa (2.22) chuẩn Vì b giả sử tham số, kết hợp với giả thiết b phụ thuộc affine vào tham số nên b có dạng Qb θba (µ)bq (w, v), b(w, v; µ) = q=1 25 với θba (µ) > 0, ∀µ ∈ D, ba (w, v) đối xứng nửa xác định dương, ∀q = 1, · · · , Qb Tiếp theo, mục đích tìm < αLB (µ) ≤ αN (µ), ∀µ ∈ D Ta định nghĩa hàm θbmin,¯µ : D → R+ θbmin,¯µ (µ) = θbq (µ) q µ) q∈{1,··· ,Qb } θb (¯ (2.23) Bổ đề 2.1 Nếu b tham số < θbmin,¯µ (µ) ≤ αN (µ), ∀µ ∈ D Chứng minh Ta có Qb θbq (µ)bq (w, w) b(w, w; µ) = q=1 Qb = q=1 θbq (µ) q θb (¯ µ)bq (w, w) q µ) θb (¯ θbq (µ) ≥ ( )b(w, w; µ ¯) q µ) q∈{1,··· ,Qb } θb (¯ = θbmin,¯µ (µ)||w||2X , ∀w ∈ X, ∀µ ∈ D Từ điều kiện tính dương chọn chuẩn Nên α(µ) ≡ inf w∈X b(w, w; µ) ≥ θbmin,¯µ (µ), ∀µ ∈ D, ||w||X theo ta cần chọn αLB (µ) = θbmin,¯µ (µ) Phương pháp gọi cách tiếp cận − θ 2.6.2 Cận số liên tục Tương tự phần 2.6.1 ta xác định cận số liên tục γU B (µ) Nhắc lại rằng, số liên tục định nghĩa 26 sup v,w∈X |b(w, v; µ)| = γ(µ)(≡ γ N (µ)) < ∞ ||w||.||v|| Đặt θbmax,¯µ (µ) θbq (µ) = max q µ) q∈{1,··· ,Qb } θb (¯ để dùng cho mục đích ước lượng sau, đặt θµ¯ (µ) ≡ θbmax,¯µ (µ) θbmin,¯µ (µ) (2.24) Khi ta có Bổ đề 2.2 Nếu b tham số γ N (µ) ≤ θbmax,¯µ (µ) < ∞, ∀µ ∈ D Chứng minh Ta kí hiệu Qb θbq (µ)aq (w, v) b(w, v; µ) = q=1 Qb = q=1 ≤ θbq (µ) q θ (¯ µ)bq (w, v) θbq (¯ µ) b θbq (µ) max q µ) q∈{1,··· ,Qb } θb (¯ Qb θbq (¯ µ)|bq (w, v)| q=1 Qb ≤ θbmin,¯µ (µ) (θbq (¯ µ)bq (w, w))1/2 (θbq (¯ µ)bq (v, v)) q=1 ≤ θbmin,¯µ (µ)||w||X ||v||X , w, v ∈ X Từ kết Bổ đề 2.2 ta chọn γU B (µ) ≡ θbmax,¯µ (µ) (2.25) 27 2.6.3 Những kiến thức cần thiết khác Như giới thiệu ta coi uN (µ) nghiệm tốn uN (µ) xấp xỉ không gian N chiều nghiệm Ta kí hiệu sai số e(µ) ≡ uN (µ) − uN (µ) ∈ X N , thặng dư r(v; µ) = f (v; µ) − a(uN , v; µ), ∀v ∈ X Lưu ý rằng, r dạng tuyến tính X phụ thuộc tham số Khi đó, dễ thấy sai số thặng dư quan hệ với a(e(µ), v; µ) = r(v; µ), ∀v ∈ X N (2.26) Áp dụng định lý biểu diễn Riesz cho dạng tuyến tính r(v; µ) ∈ X N tồn eˆ(µ) ∈ X N cho (ˆ e(µ), v)X = r(v; µ), ∀v ∈ X N (2.27) Từ (2.26) (2.27) ta viết a(e(µ), v; µ) = (ˆ e(µ), v)X , ∀v ∈ X (2.28) Cũng từ (2.28) cách chọn chuẩn (2.22) ta suy eˆ(¯ µ) = e(¯ µ) Nhắc lại chuẩn dạng song tuyến tính tính sau ||r(.; µ)||X = sup v∈X r(v; µ) = ||ˆ e(µ)||X ||v||X (2.29) 28 2.6.4 Ước lượng sai số Đặt ước lượng sai số sau ∆en N (µ) ≡ ∆sN (µ) ||ˆ e(µ)||X 1/2 (2.30) , αLB (µ) ||ˆ e(µ)||2X ≡ , (= (∆en N (µ)) ), αLB (µ) (2.31) ∆s,rel N (µ) ≡ ||ˆ e(µ)||X 1/2 αLB (µ) , (= ∆sN (µ) ), sN (µ) ước lượng sai số cho lượng đầu sai số tương đối Tiếp theo, ta định nghĩa tính hiệu (effictivities) tương ứng với ước lượng sai số ∆en N (µ) , |||e(µ)|||µ ∆sN (µ) s ηN , (= (∆en (µ) ≡ N (µ)) ), s(µ) − sN (µ) en ηN (µ) ≡ s,rel ηN (µ) ∆s,rel N (µ) ≡ (s(µ) − sN (µ))/s(µ) Từ định nghĩa, ước lượng sai số cận sai số số hiệu ≥ 1; ước lượng chặt số hiệu gần Định lý 2.2 Cho N bất kì, tính hiệu định nghĩa Khi en ≤ ηN (µ) ≤ θµ (µ), ∀µ ∈ D, s ≤ ηN (µ) ≤ θµ¯ (µ), ∀µ ∈ D, (2.32) (2.33) Hơn nữa, với ∆s,rel N (µ) ≤ 1, ta cịn có s,rel ≤ ηN (µ) ≤ 2θµ¯ (µ), θµ¯ = θmax,¯µ θmin,¯µ (µ) (2.34) 29 Chứng minh Từ (2.28) cho v = e(µ) sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có e(µ)||X ||e(µ)||X |||e(µ)|||2µ ≤ ||ˆ (2.35) Nhưng từ tính Bổ đề 2.1, ta có 1/2 αLB (µ)||e(µ)||X ≤ a1/2 (e(µ), e(µ); µ) ≡ |||e(µ)|||µ , từ (2.35), (2.30) ta thu |||e(µ)|||µ ≤ ∆en N (µ) hay en (µ) ≤ ηN Từ (2.29), thay v = eˆ(µ) áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu ||ˆ e(µ)||2X ≤ |||ˆ e(µ)|||µ |||e(µ)|||µ Do tính liên tục Định lí 2.3, 1/2 |||ˆ e(µ)|||µ ≤ γU B (µ)||ˆ e(µ)||X −1/2 −1/2 1/2 ∆en e(µ)||X ≤ αLB γU B (µ)|||e(µ)|||µ N (µ) ≡ αLB (µ)||ˆ hay en (µ) ≤ ηN γU B (µ)/αLB (µ) Do đó, kết hợp với (2.24) (2.25), (2.32) chứng minh Tiếp theo từ Định lí 2.1 s(µ) − sN (µ) = |||e(µ)|||2µ từ ∆sN (µ) = (∆en N (µ)) , 30 ta suy s (µ) ηN (∆en en N (µ)) ≡ (µ))2 = (ηN |||e(µ)|||µ (2.36) Bất đẳng thức (2.33) suy từ ((2.32)) ((2.36)) Cuối cùng, từ s ∆s,rel N (µ) = (∆N (µ))/sN (µ), ta suy n,rel ηN (µ) = ( s(µ) s )η (µ) sN (µ) N (2.37) Nhưng từ Định lí 2.1, sN (µ) ≤ s(µ) Điều với (2.33) cho ta bất đẳng thức bên trái (2.34) với ∀µ ∈ D, ∀N Tiếp theo ta khai triển s(µ) s(µ) − sN (µ) =1+( ) ≤ + ∆s,rel N (µ) sN (µ) sN (µ) Từ (2.37), (2.33) giả thiết ∆s,rel N (µ) ≤ 1, ta suy bất đẳng thức bên phải (2.34) 2.6.5 Cận sai số tương ứng với chuẩn X Mục đích mục thiết lập tính chất tương tự Định lí 2.2 với chuẩn không gian X độc lập với µ Ta định nghĩa ước lượng sai số ||ˆ e(µ)||X , αLB (µ) ||ˆ e(µ)||X , ∆rel N (µ) ≡ αLB (µ)||uN (µ)||X ∆N (µ) ≡ số hiệu tương ứng ∆N (µ) , ||e(µ)||X ∆rel rel N (µ) ηN (µ) ≡ (||e(µ)||X )/||u(µ)||X ηN (µ) ≡ Định lý 2.3 Với N, ta có ≤ ηN (µ) ≤ θµ¯ (µ), ∀µ ∈ D (2.38) 31 Nếu ngồi ra, ∆rel N (µ) ≤ 1, (2.39) rel (µ) ≤ 3θµ¯ (µ) ≤ ηN Chứng minh Bất đẳng thức bên trái (2.38) suy trực tiếp từ (2.32) Định lí 2.3, quan hệ |||e(µ)|||2µ ≥ αLB (µ)||e(µ)||2X , định nghĩa ∆N (µ) Bất đẳng thức bên phải (2.38) suy từ (2.32) Định lí 2.3, quan hệ |||e(µ)|||µ ≡ 1/2 γU B (µ)||e(µ)||X , định nghĩa ∆N (µ)và (2.24) Để chứng minh (2.39), trước tiên ta có rel (µ) = ηN ||u(µ)||X ||u(µ)||X − ||uN (µ)||X ηN (µ) = + ||uN (µ)||X ||uN (µ)||X ηN (µ) (2.40) Chú ý rằng, từ (µ), ||u(µ)||X − ||uN (µ)||X /||uN (µ)||X ≤ ||u(µ) − uN (µ)||X /|uN (µ)|| ≤ ∆rel N ta suy ||u(µ)||X − ||uN (µ)||X ≤ ≤ ||uN (µ)||X Bất đẳng thức (2.39) suy từ (2.38), (2.40), (2.41) (2.41) 32 Chương Ví dụ số Trong chương này, thay xét ví dụ thực tế mà xuất phát miêu ta phần mở đầu, xét phương trình hồn tồn khác Tuy nhiên, tính chất thỏa mãn tính chất đòi hỏi áp dụng phương pháp giảm sở Cụ thể, xét phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số sau A(µ1 , µ2 )X + XA(µ1 , µ2 )T = −BB T , (3.1) A(µ1 , µ2 ) = ( (µ1 − 5)2 + 2(µ2 − 5)2 + 1)A1 + sin(0.1 + 20 µ1 /2)A2 , µ1 , µ2 ∈ [0, 10], với  −808.02 404.01   404.01 −808.02   A1 =              ∈ R200×200 ,    404.01   404.01 −808.02 A2 = −diag(1, 1.5, 2, 2.5, 0, 3.5, · · · , 47, 47.5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 51, 51.5, · · · , 99.5, 100), B T = −[0.2 · · · 0.2 · · · −1 · · · 0] 10 67 Sử dụng công thức tích Kronecker ( [1]) phương trình 3.1 đưa phương trình tuyến tính phụ thuộc tham số dạng A(µ)x(µ) = b, (3.2) 33 A(µ) = A ⊗ I + I ⊗ A ∈ R200 ×2002 , x = mat(X) véc-tơ tạo từ ma trận X cách xếp chồng véc-tơ cột b = mat(−BB T ) Dễ dàng kiểm tra A1 A2 đối xứng , A1 xác định dương A2 nửa xác định dương Các hệ số tương ứng chúng hàm dương Từ tính chất tích Kronecker [1], ta suy phương trình (3.2) thỏa mãn tính chất phương trình tuyến tính (2.10) sinh từ phương trình elliptic bức, tuyến tính phụ thuộc affine vào tham số µ −4 10 sai so thuc su uoc luong sai so uoc luong hieu qua sai so sau xu ly sai so cho phep −5 10 −6 10 −7 10 −8 10 −9 10 −10 10 tap cac diem thu 10 Hình 3.1: Sai số, ước lượng sai số với sai số cho phép tol = 10−6 Sử dụng ký hiệu MATLAB, ta chọn µ1 = : 0.1 : 10, µ2 = : 0.1 : 10 tập thay Ξtrain cho miền tham số Với tol = 10−6 , sau bước thuật toán Greedy, ta thu sở gồm phần tử Sai số nghiệm tính 50 giá trị tham số chọn ngẫu nhiên cho Hình 3.1 34 Kết luận Phương pháp giảm sở thực công cụ đắc lực hữu hiệu cho việc giải toán phụ thuộc tham số Ý tưởng phương pháp không áp dụng cho lớp hẹp phương trình elliptic tuyến tính, mà sử dụng để giải toán phụ thuộc tham số khơng bức, phi tuyến phương trình khác phương trình Burgers, phương trình Navier-Stokes, phương trình Lyapunov 35 Tài liệu tham khảo [1] Horn R.A., Johnson C.R (1991), Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press [2] Patera A T., Huynh D.B.P (2007), "Reduced-basis approximation and a posteriori error estimation for stress intensity factors", Int J Numer Meth Engng, 72(10), pp 1219–1259 [3] Patera A T., Oliveira I B (2007), "Reduced-basis techniques for rapid reliable optimization of systems described by affinely parametrized coercive elliptic partial differential equations", Journal of Optimization and Engineering, 8(01), pp 43-65 [4] Patera A T., Rozza G (2007), Reduced Basis Approximation and A Posteriori Error Estimation for Parametrized Partial Differential Equations, MIT [5] Troeltzsch F (2010), Optimal Control of Partial Differential Equations Theory, Methods and Applications, AMS ... cho lớp hẹp phương trình elliptic tuyến tính, mà sử dụng để giải tốn phụ thuộc tham số khơng bức, phi tuyến phương trình khác phương trình Burgers, phương trình Navier-Stokes, phương trình Lyapunov... phương pháp giảm sở giải phương trình elliptic tuyến tính phụ thuộc tham số, khái niệm tính chất liên quan đến phương pháp, nội dung phương pháp cuối áp dụng phương pháp cho số ví dụ thực tế... thuyết phương pháp giảm sở áp dụng để giải phương trình elliptic tuyến tính phụ thuộc tham số 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung làm rõ số vấn đề sau đây, trình bày ý tưởng phương pháp giảm