phương pháp toán tử đơn điệu và ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bải toán biến đổi với phương trình elliptic không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUYÊN PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ DUYÊN PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội - Năm 2012 KÍ HIỆU R n là không gian thực n chiều. Ω là miền bị chặn có biên trơn trong R n . ∂Ω là biên của Ω. α = (α 1 . . . . , α n ), α i ∈ N(i = 1, . . . , n) được gọi là đa chỉ số. |α| = α 1 + . . . + α n được gọi là cấp của đa chỉ số α. u X chuẩn của u ∈ X, X là không gian Hilbert. u, v: tích trong của u và v trong không gian Hilbert. D α u = ∂ |α| u ∂x α 1 1 ∂x α 2 2 . . . ∂x α n n . D k u = {D α u : |α| = k}. ∇u =  ∂u ∂x 1 ; ∂u ∂x 2 ; . . . ; ∂u ∂x n  . ∆u = ∂ 2 u ∂x 2 1 + ∂ 2 u ∂x 2 2 + . . . + ∂ 2 u ∂x 2 n . Các không gian hàm: C k (Ω) = {u : Ω → R khả vi liên tục đến cấp k}. C ∞ (Ω) = ∞  k=0 C k (Ω) : các hàm khả vi vô hạn trong Ω. C k 0 (Ω), C ∞ 0 (Ω) kí hiệu các hàm trong C k (Ω), C ∞ (Ω)với giá compact. W 1,p (Ω) = {u ∈ L p (Ω)|Du ∈ L p (Ω)}với chuẩn u W 1,p = u L p (Ω) + ∇u L p (Ω) . W 1,p 0 (Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω)|u = 0 trên ∂Ω} với chuẩn u W 1,p 0 = ∇u L p (Ω) . W −1;q (Ω)không gian đối ngẫu của W 1,p 0 (Ω), 1 p + 1 q = 1. H 1 0 (Ω) : không gian hàm W 1,p 0 (Ω) với p = 2. H −1 (Ω) : không gian W −1,q (Ω) với p = q = 2. Mục lục Lời nói đầu 3 1 Phương pháp toán tử đơn điệu. 5 1.1 Giới thiệu chung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bài toán xuất phát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Toán tử trên R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Toán tử trên không gian Hilbert thực tách được . . . . . . . . 24 2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính. 27 2.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Toán tử −∆. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.4 Một số định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Mục lục 2.2.2 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . 42 2.2.3 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient 45 2.2.4 Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic cấp 2 phụ thuộc tham số với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính phụ thuộc tham số. . . . . . . . . . . . 50 2.3.2 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient. 54 2.3.3 Bài toán Neumann đối với phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính phụ thuộc tham số với số hạng phi tuyến phụ thuộc gradient. . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 62 -2- Lời nói đầu Các phương pháp của giải tích phi tuyến có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính. Trong luận văn này, tác giả trình bày về phương pháp toán tử đơn điệu và ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 bao gồm các kiến thức cơ bản về toán tử đơn điệu trên R n , trên không gian Hilbert thực, không gian Hilbert thực tách được. Chương 2 của luận văn xét việc áp dụng phương pháp toán tử đơn điệu nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán Dirichlet và Neumann với những lớp các phương trình elliptic cấp 2 nửa tuyến tính với phần chính là toán tử Laplace − ∆u = g(x, u) hoặc − ∆u = h(x, u, ∇u) trong miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω trong R n . Trong quá trình viết luận văn, tác giả đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS. Hoàng Quốc Toàn. Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Giải tích của khoa Toán-Cơ-Tin học đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tác giả bảo vệ luận văn đúng thời hạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ 3 Mục lục vũ, ủng hộ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn. Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của quý bạn đọc. Tác giả Nguyễn Thị Duyên. -4- Chương 1 Phương pháp toán tử đơn điệu. 1.1 Giới thiệu chung. Giải tích phi tuyến là một lĩnh vực tương đối rộng. Về một khía cạnh nào đó nó cho chúng ta những bài toán thực tế hơn so với giải tích tuyến tính. Vì thế việc giải các bài toán phi tuyến cũng khó khăn hơn và ta thường sử dụng các kết quả của bài toán tuyến tính tương ứng. Một số phương pháp truyền thống thường được sử dụng khi giải quyết các bài toán phi tuyến đó là: Phương pháp hàm Green, phương pháp biến phân, phương pháp bậc ánh xạ, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, phương pháp điểm bất động, phương pháp toán tử đơn điệu Mỗi phương pháp đều có những ưu - nhược điểm riêng mà nếu nắm rõ chúng, ta có thể lựa chọn sử dụng đối với từng bài toán cụ thể. Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp toán tử đơn điệu. 1.2 Bài toán xuất phát. Định nghĩa 1.2.1. Cho một toán tử F : R → R. Ta nói: (i) F đơn điệu tăng nếu F (x) ≤ F (y), ∀x < y. 5 1.2. Bài toán xuất phát. (ii) F đơn điệu giảm nếu F (x) ≥ F (y), ∀x < y. (iii) F đơn điệu tăng thực sự nếu F (x) < F (y), ∀x < y. (iv) F đơn điệu giảm thực sự nếu F (x) > F (y), ∀x < y. (v) F đơn điệu nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm. (vi) F đơn điệu thực sự nếu F đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm thực sự. Định lý 1.2.1. Cho một hàm số F : R → R liên tục. Khi đó điều kiện cần và đủ để phương trình F (x) = y (1.1) có nghiệm duy nhất x ∈ R với mỗi y ∈ R là: (i) F đơn điệu thực sự. (i) |F (x)| → ∞ khi |x| → ∞. Chứng minh. Điều kiện cần: (i) Giả sử ngược lại F không đơn điệu thực sự. Thế thì tồn tại u < v < x thỏa mãn F (u) < F (x) < F (v). Vì F liên tục nên tồn tại z ∈ (u, v) sao cho F (z) = F (x). Điều này mâu thuẫn với tính duy nhất nghiệm của phương trình F (x) = y. Do đó F đơn điệu thực sự. (ii) Hiển nhiên. Điều kiện đủ: giả sử F liên tục và đơn điệu thực sự trên R suy ra F là song ánh trên R. Từ đó ta có điều phải chứng minh. -6- 1.3. Toán tử trên R n 1.3 Toán tử trên R n Định nghĩa 1.3.1. Cho toán tử F : R n → R n . Ta nói: (i) F đơn điệu nếu (F (x) −F (y)).(x −y) ≥ 0, ∀x, y ∈ R n . (ii) F đơn điệu chặt nếu (F (x) −F (y)).(x −y) > 0, ∀x, y ∈ R n : x = y. (iii) F đơn điệu mạnh nếu tồn tại c > 0 (F (x) −F (y)).(x −y) ≥ c|x −y| 2 , ∀x, y ∈ R n . Bổ đề 1.3.1. (Bổ đề cơ bản). Giả sử F : R n → R n liên tục và tồn tại r > 0 thỏa mãn F (x).x > 0 ∀x ∈ R n : |x| = r. Khi đó tồn tại nghiệm của phương trình F (x) = 0 trong hình cầu đóng B r = {x ∈ R n : |x| ≤ r}. Chứng minh. Giả sử ngược lại F (x) = 0 ∀x ∈ B r . Khi đó ánh xạ g : B r → B r , g(x) = − r |F (x)| F (x) được xác định và do F(x) liên tục nên g(x) liên tục trên hình cầu đóng B r . Áp dụng định lý điểm bất động Brouwer tồn tại x ∗ ∈ B r sao cho g(x ∗ ) = x ∗ . Từ đó suy ra |x ∗ | = |g(x ∗ )| =     − r |F (x ∗ )| F (x ∗ )     = r. Suy ra F (x ∗ ).x ∗ > 0. Do đó r 2 = x ∗ .x ∗ = g(x ∗ ).x ∗ = − r |F (x ∗ )| F (x ∗ ).x ∗ < 0 (vô lý). Vậy tồn tại x ∈ B r sao cho F (x) = 0. -7- [...]... một không gian Hilbert thực, T : H → H là toán tử đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, tức là tồn tại L > 0 T (u) − T (v) H ≤L u−v H, ∀u, v ∈ H Khi đó phương trình T (u) = h có nghiệm duy nhất u ∈ H với mỗi h ∈ H Chứng minh Xét ánh xạ G : H → H, G(u) = u − t(T (u) − h) với t > 0 đủ nhỏ được cố định Dễ thấy nghiệm của phương trình T (u) = h là điểm bất động của G và ngược lại Mặt khác từ tính đơn điệu. .. đơn điệu chặt thì với mỗi h ∈ H phương trình T (u) = h (1.8) có nghiệm duy nhất Chứng minh Dễ thấy tính duy nhất nghiệm được suy ra từ tính đơn điệu chặt của T Thật vậy, giả sử u1 , u2 là hai nghiệm của (1.8) và u1 = u2 ta có T (u1 ) − T (u2 ), u1 − u2 H > 0 Nhưng vì T (u1 ) = T (u2 ) = h nên suy ra vô lý Vì vậy u1 = u2 Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của (1.8) với mỗi h ∈ H ta chứng minh theo hai... lớn Theo Bổ đề 1.3.1 tồn tại x ∈ Br sao cho G(x) = 0 hay F (x) = y Hơn nữa nếu F đơn điệu chặt, giả sử phương trình có hai nghiệm x1 , x2 ∈ Rn phân biệt thì (F (x1 ) − F (x2 )).(x1 − x2 ) = 0, mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của F Vậy phương trình F (x) = 0 có nghiệm duy nhất 1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.4.1 Cho H là không gian Hilbert thực Một toán tử T :H→H sao cho lim... h2 c H với c > 0 (chỉ phụ thuộc vào T ) Cụ thể, nếu T (un ) = hn , T (u0 ) = h0 và hn → h0 thì un → u0 Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 1.4.1 ta suy ra sự tồn tại nghiệm của phương trình T (u) = h với mỗi h ∈ H Xét tính duy nhất nghiệm, giả sử phương trình T (u) = h có hai nghiệm u1 = u2 Khi đó ta có (u1 − u2 , T (u1 ) − T (u2 ))H ≥ c u1 − u2 2 H 0 ≥ c u1 − u2 2 H -23- (vô lý) 1.5 Toán tử trên không gian... (1.11) Khi đó phương trình F (x) = y có nghiệm x ∈ X với mỗi y ∈ X Hơn nữa, nếu F đơn điệu chặt thì phương trình có nghiệm duy nhất Chứng minh Vì X là không gian Hilbert tách được nên tồn tại một cơ sở trực chuẩn {ek }+∞ trong X Đặt Xn = span{ek }n Xét họ các phép chiếu k=1 k=1 n Pn : X → X n , Pn x = x, ek X ek k=1 và toán tử Fn : Xn → Xn , Fn (xn ) = Pn F (xn ) -24- 1.5 Toán tử trên không gian Hilbert... đóng trong không gian Hilbert H nên tồn tại u0 ∈ D sao cho: un → u0 Mặt khác S là toán tử liên tục, ta có S(un ) → S(u0 ) nên h = S(u0 ) ∈ S(D) (do tính duy nhất của giới hạn) Vậy S(D) là tập đóng trong H Để chứng minh S(H) mở, ta cần chứng minh bổ đề sau về sự mở rộng của toán tử liên tục Lipschitz Bổ đề 1.4.3 Cho D là một tập con của không gian Hilbert thực H , V :D→H -13- 1.4 Toán tử trên không gian... − Fn (zn ), xn − zn X ≥ 0 Cho n → ∞ ta có zn → z và xn x0 trong X suy ra y − F (z), x0 − z X ≥ 0 ∀z ∈ X Áp dụng Bổ đề 1.4.1 ta suy ra F (x0 ) = y -26- (1.12) Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính 2.1 2.1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Phương trình đạo hàm riêng Định nghĩa 2.1.1 Cho U là một tập con mở của Rn , k ≥ 1 là một số nguyên Một biểu thức có... → 0+ và từ tính liên tục của T và của tích vô hướng trong H ta có ω, h − T (u0 ) H ≤ 0, ∀ω ∈ H (1.10) Vì (1.10) đúng cho cả ω và −ω do đó (ω, h − T (u0 )) = 0 ∀ω ∈ H Suy ra h = T (u0 ) Hệ quả 1.4.1 (Pavel Drábek, Jaroslav Milota [7]) Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là toán tử liên tục và đơn điệu mạnh Khi đó với mỗi h ∈ H phương trình T (u) = h có nghiệm duy nhất Cho T (u1 ) = h1 và T (u2... = ∅ với mỗi tập hữu hạn B ∈ DomW Mặt khác AB và An là các tập compact yếu (bị chặn và đóng yếu) nên An = ∅ với mỗi n ∈ N Áp dụng quá trình trên một lần nữa ta thu được A = ∅ Bây giờ ta chứng minh S(H) là tập mở trong H Bổ đề 1.4.4 Cho D ⊂ H là một tập mở; S : D → H là một toán tử liên tục và đơn điệu mạnh Khi đó S(D) là một tập mở của H Chứng minh Để chứng minh bổ đề này ta chỉ cần chứng minh với. ..1.4 Toán tử trên không gian Hilbert thực Định lý 1.3.1 Cho một toán tử F : Rn → Rn liên tục và thỏa mãn F (x).x = ∞ |x|→∞ |x| lim (1.2) Khi đó phương trình F (x) = y có nghiệm x ∈ Rn với mỗi y ∈ Rn Hơn nữa nếu F đơn điệu chặt thì phương trình có nghiệm duy nhất Chứng minh Xét ánh xạ G : Rn → Rn , G(x) = F (x) − y Vì F (x) liên tục nên G(x) liên tục Mặt khác từ (1.2) suy ra với mỗi y ∈ Rn . NHIÊN NGUYỄN THỊ DUYÊN PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội. NHIÊN NGUYỄN THỊ DUYÊN PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số. điệu và ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính. Luận văn gồm hai chương: Chương 1 bao gồm các kiến thức cơ bản về toán tử đơn điệu