Áp dụng định lý điểm bất động brouwer – schauder nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình elliptic không tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Hữu Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Hữu Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Hoàng Quốc Toàn Khoa Toán - Cơ - Tin, Đại học KHTN, ĐHQG Hà Nội Hà Nội - 2014 Lời nói đầu Các phương pháp giải tích phi tuyến có vai trò quan trọng việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng không tuyến tính Trong luận văn này, tác giả trình bày số áp dụng định lý điểm bất động vào toán biên lớp phương trình elliptic không tuyến tính Luận văn gồm hai chương: Nội dung chủ yếu chương trình bày định lý điểm bất động không gian Banach, bao gồm: Định lý ánh xạ co Banach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer - Schauder, Định lý điểm bất động Leray - Schauder - Schaefer Trong chương trình bày số áp dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder để nghiên cứu tồn nghiệm yếu không tầm thường toán Dirichlet toán Neumann lớp phương trình elliptic cấp nửa tuyến tính, với phần toán tử Laplace, dạng: −∆u = g(x, u) miền bị chặn Ω với biên trơn ∂Ω Rn Trong trình viết luận văn, tác giả nhận hướng dẫn, bảo tận tình PGS TS Hoàng Quốc Toàn Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại i học Quốc gia Hà Nội, dạy bảo, giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn thời hạn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới người thân, gia đình, ban bè đồng nghiệp, động viên, ủng hộ, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, năm 2014 Học viên Vũ Hữu Đạt ii Bảng ký hiệu Rn không gian thực n chiều Ω miền bị chặn có biên trơn Rn ∂Ω biên Ω α = (α1 , , αn ), αi ∈ N(i = 1, , n) gọi đa số |α| = α1 + + αn gọi cấp đa số α u X chuẩn u ∈ X, X không gian Hilbert u, v : tích u v không gian Hilbert ∂ |α| u Dα u = α1 α2 ∂x1 ∂x2 ∂xαnn Dk u = {Dα u : |α| = k} ∂u ∂u ∂u ; ; ; ∇u = ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∆u = + + + ∂x1 ∂x2 ∂xn Các không gian hàm: C k (Ω) = {u : Ω → R khả vi liên tục đến cấp k} ∞ C (Ω) = ∞ C k (Ω) : hàm khả vi vô hạn Ω k=0 k ∞ C0 (Ω), C0 (Ω) 1,p kí hiệu hàm C k (Ω), C ∞ (Ω) với giá compact W (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)|Du ∈ Lp (Ω)}với chuẩn u W 1,p = u Lp (Ω) + ∇u Lp (Ω) W01,p (Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω)|u = ∂Ω} với chuẩn u W01,p = ∇u Lp (Ω) 1 W −1;q (Ω)không gian đối ngẫu W01,p (Ω), + = p q 1,p H0 (Ω) : không gian hàm W0 (Ω) với p = H −1 (Ω) : không gian W −1,q (Ω) với p = q = iii Mục lục Cơ 1.1 1.2 1.3 sở toán học Sự hội tụ yếu không gian Banach Sự hội tụ đơn điệu hội tụ trội Không gian Holder Không gian Sobolev 1.3.1 Không gian Holder 1.3.2 Không gian Sobolev 1.3.3 Bất đẳng thức Poincare 1.4 Toán tử −∆ 1.5 Một số định lý điểm bất động 1.5.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 1.5.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng yếu 1.5.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng mạnh 1.5.4 Định lý điểm bất động Schauder 1.5.5 Định lý điểm bất động Leray-Schauder-Schaefer Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng 2.1 Ứng dụng định lý điểm bất động Banach toán Dirichlet cho lớp phương trình elliptic cấp phi tuyến 2.2 Ứng dụng định lý Leray-Schaefer để giải toán giá trị biên lớp phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính 2.3 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho toán Dirichlet lớp phương trình elliptic cấp phi tuyến iv 1 3 12 13 15 16 18 21 23 23 28 32 MỤC LỤC 2.4 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho toán Neumann lớp phương trình elliptic cấp phi tuyến Tài liệu tham khảo 38 45 v Chương Cơ sở toán học 1.1 Sự hội tụ yếu không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X không gian Banach, {un } ⊂ X Dãy {un } gọi hội tụ yếu đến u ∈ X lim (u∗ , un ) = (u∗ , u), ∀u∗ ∈ X ∗ n→∞ Kí hiệu un (1.1) u Nhận xét 1.1.2 i) Nếu un → u un u; ii) Một dãy hội tụ yếu bị chặn iii) Nếu un u ||u|| ≤ lim inf ||un || n→∞ Định lý 1.1.3 Cho X không gian Banach phản xạ dãy {un } bị chặn X Khi tồn dãy {unk } {un } u ∈ X cho dãy {unk } hội tụ yếu đến u X Nhận xét 1.1.4 Chương Cơ sở toán học Mọi dãy bị chặn không gian Hilbert chứa dãy hội tụ yếu 1 + = Một phiếm hàm p q tuyến tính f Lp (Ω) biểu diễn dạng Xét X = Lp (Ω), ta có X ∗ = Lq (Ω) với f gdx, ∀g ∈ Lq (Ω) f −→ Ω Từ fn f ∈ Lp (Ω) có nghĩa f gdx, ∀g ∈ Lq (Ω) fn gdx −→ Ω (1.2) Ω Vì Lp (Ω) không gian đối ngẫu Lq (Ω) nên Lp (Ω) không gian phản xạ < q < +∞ Vậy từ dãy bị chặn Lp (Ω) tách dãy hội tụ yếu thỏa mãn 1.2 Khẳng định quan trọng tính compact Định lý 1.1.5 Giả sử dãy hàm {fn } Lp (Ω) thỏa mãn ||fn − f ||Lp (Ω) −→ 0(n → ∞) Khi tồn dãy {fnk } dãy {fn } cho: i) fnk −→ f h.k.n Ω ii) |fnk (x)| ≤ h(x), ∀k h.k.n Ω, h ∈ Lp (Ω) 1.2 Sự hội tụ đơn điệu hội tụ trội Định lý 1.2.1 Bổ đề Fatou Giả sử {fm } khả tổng, không âm fm −→ f h.k.n Khi f dx ≤ lim inf fm dx m→∞ Rn Rn Chương Cơ sở toán học Định lý 1.2.2 Định lý hội tụ đơn điệu Giả sử dãy hàm {fm } đo không giảm Khi f1 ≥ f1 khả tổng fm dx lim fm dx = lim m→∞ m→∞ Rn Rn Định lý 1.2.3 Định lý hội tụ trội Giả sử {fm } khả tích, |fm | ≤ g fm −→ f h.k.n với g hàm khả tổng Khi fm dx f dx = lim m→∞ Rn Rn Sau ta xét không gian Holder không gian Sobolev không gian thường đề cập nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng 1.3 1.3.1 Không gian Holder Không gian Sobolev Không gian Holder Định nghĩa 1.3.1 i) Hàm số u : Ω −→ R gọi liên tục Holder bậc γ tồn số C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , ∀x, y ∈ Ω Khi γ = u liên tục Lipschitz ii) Nếu u : Ω −→ R liên tục bị chặn Ω ta định nghĩa ||u||C(Ω) = sup |u(x)| Ω iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ u : Ω −→ R [u]C0γ (Ω) = |u(x) − u(y)| |x − y|γ x,y∈Ω,x=y sup Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng nghĩa ||u||H01 (Ω) ≤ C Theo định lý Leray-Schauder-Schaefer suy A có điểm bất động u ∈ C (Ω) ∩ H01 (Ω), thỏa mãn toán 2.6 Thật vậy, lấy u0 ∈ H01 (Ω), tồn u1 nghiệm toán   −∆u1 + µu1 = −b(D(u0 )) Ω  u1 = ∂Ω tồn nghiệm u2 toán   −∆u2 + µu2 = −b(D(u1 )) Ω  u2 = ∂Ω trình tiếp tục, ta tồn nghiệm un toán   −∆un + µun = −b(D(un−1 )) Ω  un = ∂Ω Ta có (Dun+1 , Dϕ) = −µ(un+1 , ϕ) − (b(Du), ϕ) với ϕ ∈ C0∞ (Ω.) Cho n → ∞ ta có (Du, Dϕ) = −µ(u, ϕ) − (b(Du), ϕ) với ϕ ∈ C0∞ (Ω.) Vậy u nghiệm suy rộng toán 2.6 31 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng 2.3 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho toán Dirichlet lớp phương trình elliptic cấp phi tuyến Trong mục trình bày ứng dụng định lý điểm bất động cho toán Dirichlet Trước hết ta nhắc lại toán: Xét phương trình   −∆u(x) = g(x, u(x)) Ω (2.12) u = ∂Ω u ∈ H01 (Ω) Giả sử i) g(x, s) hàm Cratheodory, x ∈ Ω, s ∈ R, kí hiệu g ∈ CAR(Ω×R) g(x, 0) = ii) g(x, s) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến s, tức |g(x, s1 ) − g(x, s2 )| ≤ C|s1 − s2 |, ∀x ∈ Ω, s1 , s2 ∈ R C số Lipschitz iii) Tồn r(x) ∈ L2 (Ω) cho |g(x, s)| ≤ r(x), ∀x ∈ Ω, s ∈ R Định nghĩa 2.3.1 Hàm u ∈ H01 (Ω) gọi nghiệm yếu toán 2.12 u(x) Ω g(x, u)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) ϕ(x)dx = Ω Nhận xét 2.3.2 Nếu nghiệm suy rộng toán Dirichlet 2.12 thỏa mãn điều kiện u ∈ H01 (Ω) ∩ C (Ω) ta có: 32 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng i) u ∈ H01 (Ω) suy u(x) g(x, u)v(x)dx, ∀v ∈ C0∞ (Ω) v(x)dx = Ω Ω ii) u ∈ C (Ω) suy ∆u(x)v(x)dx, ∀v ∈ C0∞ (Ω) v(x)dx = − u(x) Ω Ω Do g(x, u)v(x)dx, ∀v ∈ C0∞ (Ω) ∆u(x)v(x)dx, ∀v ∈ C0∞ (Ω) = − Ω Ω Từ −∆u(x) = g(x, u(x)) Ω, u nghiệm thông thường toán 2.12 Xét không gian H01 (Ω) với tích vô hướng (u, v) = v(x)dx, ∀u, v ∈ H01 (Ω) u(x) Ω chuẩn sinh tích vô hướng  1/2 | ||u||H01 (Ω) =  u(x)|2 dx Ω Với u ∈ H01 (Ω) ta xét phiếm hàm tuyến tính Su : H01 (Ω) −→ R xác định sau g(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ H01 (Ω) Su (v) = Ω Su phiếm hàm tuyến tính liên tục H01 (Ω) Thật vậy, giả sử {vn } dãy H01 (Ω) hội tụ đến v ∈ H01 (Ω), tức ||vn − v||H01 (Ω) → 0, n → ∞ 33 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng Khi |Su (vn − v)| = | g(x, u(x))(vn (x) − v(x))dx| Ω ≤ |g(x, u(x))(vn (x) − v(x))|dx Ω ≤ ||u||L2 (Ω) ||vn − v||H01 (Ω) λ1 ||vn − v||H01 (Ω) → 0, n → ∞ nên Su (vn ) → Su (v), n → ∞ Suy Su phiếm hàm tuyến tính liên tục H01 (Ω) Vì Không gian H01 (Ω) không gian Hillbert nên theo định lý Riesz tồn phần tử S(u) ∈ H01 (Ω) cho ∀v ∈ H01 (Ω) ta có: (S(u), v)H01 (Ω) = Su (v) (2.13) Như ta có toán tử tuyến tính S xác định không gian H01 (Ω) S : H01 (Ω) −→ H01 (Ω) u −→ S(u) mà g(x, u(x))v(x)dx, ∀u, v ∈ H01 (Ω) (S(u), v) = (2.14) Ω Bài toán 2.12 có nghiệm yếu u ∈ H01 (Ω) (u, v) = (S(u), v), ∀v ∈ H01 (Ω) Từ suy S(u) = u ∈ H01 (Ω) Vậy việc chứng minh toán 2.12 đưa chứng minh toán tử S có điểm bất động Định lý 2.3.3 −2 Giả sử g(x, u) thỏa mãn giả thiết i), ii) với số C > 0, C < Cemb với Cemb số phép nhúng không gian H01 (Ω) vào L2 (Ω) Khi tồn điểm cố định u ∈ H01 (Ω) toán tử S nghiệm yếu 2.12 Chứng minh Trước hết ta chứng minh S toán tử liên tục Thật vây: Giả sử {un } dãy hội tụ đến u H01 (Ω) Vì H01 (Ω) nhúng 34 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng compact L2 (Ω) nên un → u L2 (Ω) Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có |(S(un ) − S(u), v)| = | (g(x, un (x)) − g(x, u(x))) v(x)dx| Ω ≤ | (g(x, un (x)) − g(x, u(x))) v(x)|dx Ω ≤ || (g(., un ) − g(., u)) ||L2 (Ω) ||v||L2 (Ω) ≤ √ || (g(., un ) − g(., u)) ||L2 (Ω) ||v||H01 (Ω) λ1 Từ suy ra: ||S(un ) − S(u)||H01 (Ω) ≤ || (g(., un ) − g(., u)) ||L2 (Ω) λ1 Từ giả thiết ii) ta có || (g(., un ) − g(., u)) ||L2 (Ω) ≤ C||un − u||L2 (Ω) Mà un → u L2 (Ω), tức ||un − u||L2 (Ω) → 0, n → ∞ Suy || (g(., un ) − g(., u)) ||L2 (Ω) → n → ∞ Do S(un ) → S(u), n → ∞ Vậy S toán tử liên tục Giả sử g(x, s) thỏa mãn giả thiết i), iii) với số Lipschitz C < −2 Cemb Cemb số phép nhúng H01 (Ω) vào L2 (Ω) Khi ∀u ∈ H01 (Ω) ta có: 1 ||S(u)||H10 (Ω) ≤ sup ( |g(x, u(x))|2 dx) ( |v(x)|2 dx) ||v||≤1 Ω Ω ≤ Cemb ( |r(x) + C|u(x)||2 dx) Ω 1 ≤ Cemb [( |r(x)|2 dx) + C( |u(x)||2 dx) ] Ω Ω ≤ Cemb ||r||L2 (Ω) + C.Cemb ||u||L2 (Ω) 35 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng Với r ∈ L2 (Ω) cố định, ∀u ∈ H01 (Ω) ta có ||S(u)||H01 (Ω) = sup |(S(u), v)| ||v||≤1 = sup | g(x, u(x))v(x)dx| ||v||≤1 Ω (2.15) ≤ sup ( |g(x, u(x))|2 dx) ( |v(x)|2 dx) ||v||≤1 Ω Ω ≤ Cemb ||r||L2 (Ω) Từ đánh giá 2.15 ta có: S : B[0, R] ⊂ H01 (Ω) → B[0, R] với R = Cemb ||r||L2 (Ω) Ta chứng minh S toán tử compact Thật vậy, ∀M ⊂ H01 (Ω) tập hợp bị chặn {ωn }∞ n=1 ⊂ S(M) ∞ dãy tùy ý Cho {un }n=1 ⊂ M cho S(un ) = ωn Do H01 (Ω) không gian phản xạ, mà dãy {un } bị chặn H01 (Ω) nên tồn dãy {unk } hội tụ yếu đến u H01 (Ω) Không giảm tính tổng quát ta giả thiết {un } hội tụ yếu đến u H01 (Ω) Vì H01 (Ω) nhúng compact L2 (Ω) nên {un } hội tụ đến u L2 (Ω) Từ giả thiết ii) cách thay s1 un s2 u ta ||S(un ) − S(u)||H01 (Ω) ≤ Cemb ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) (2.16) Do g(x, u) liên tục Lipschitz theo biến u nên ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) ≤ C.||un − u||L2 (Ω) Cho n → ∞ ta ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) → Từ 2.16 suy S(un ) → S(u) H01 (Ω) Như ta chứng minh ∀{ωn } ⊂ S(M), tồn dãy ωnk = S(unk ) → S(u) S(M) 36 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng Vậy S toán tử compact Áp dụng định lý điểm bất động Schauder, tồn điểm bất động u0 ∈ H01 (Ω) toán tử S, tức u0 = S(u0 ) Do (u0 , v) = (S(u0 ), v), ∀v ∈ C0∞ (Ω) Suy u0 nghiệm yếu toán 2.12 Ta có kết sau rộng định lý 2.3.3 Định lý 2.3.4 Cho g thỏa mãn giả thiết i) giả thiết iv) sau: |g(x, s)| ≤ r(x) + C.|s|σ iv) r(x) ∈ L2 (Ω), C > 0, σ ∈ (0, 1) Khi tồn nghiệm yếu u ∈ H01 (Ω) toán 2.12 Chứng minh Từ giả thiết hàm g(x, s) tăng tuyến tính theo s, tức tồn r(x) ∈ L2 (Ω), C > 0, σ ∈ (0, 1) cho |g(x, s)| ≤ r(x) + C.|s|σ Khi ∀u ∈ H01 (Ω) ta có: 1 ||S(u)||H01 (Ω) ≤ sup ( |g(x, u(x))|2 dx) ( |v(x)|2 dx) ||v||≤1 Ω Ω 1/2 σ ≤ Cemb (r(x) + C|u(x)| ) dx Ω ≤ Cemb |r(x)| dx 1/2 2σ |u(x)| dx /2 + C Ω Ω (2.17) Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có 1/2 2σ |u(x)| dx 1/2 ≤ Ω ≤ |u(x)| dx (measΩ) 1−σ Ω 1−σ σ Cemb (measΩ) ||u||σL2 (Ω) (2.18) Từ công thức 2.17 2.18 ta có 1+σ ||S(u)||H01 (Ω) ≤ Cemb ||r||L2 (Ω) + C.Cemb (measΩ) 37 1−σ ||u||σL2 (Ω) (2.19) Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng Đặt K = Cemb ||r||L2 (Ω) , 1−σ 1+σ (measΩ) D = C.Cemb Từ 2.19 suy với u ∈ B(0, R) ta có: ||S(u)||H01 (Ω) < R R > K + D.Rσ (2.20) Khi S : B(0, R) → B(0, R) với R đủ lớn toán tử compact Áp dụng định lý điểm bất động Schauder, tồn điểm bất động u0 ∈ H01 (Ω) toán tử S Tức u0 = S(u0 ) Do (u0 , v) = (S(u0 ), v), ∀v ∈ C0∞ (Ω) Suy u0 nghiệm yếu toán 2.12 2.4 Ứng dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder cho toán Neumann lớp phương trình elliptic cấp phi tuyến Giả sử Ω miền bị chặn có biên trơn ∂Ω Rn Trong Ω ta xét toán Neumann   −∆u(x) = g(x, u(x)) Ω (2.21)   ∂u = ∂Ω ∂n Trong u ∈ H (Ω) Với giả thiết tương tự toán 2.12, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.4.1 Hàm u(x) ∈ H (Ω) gọi nghiệm suy rộng toán 2.21 38 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng u(x) thỏa mãn điều kiện u(x) g(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ C ∞ (Ω) v(x)dx = Ω Ω Nhận xét 2.4.2 i) Nếu nghiệm suy rộng toán Neumann 2.21 thỏa mãn điều kiện u ∈ H (Ω) ∩ C (Ω) áp dụng Công thức Green ta có: u(x) g(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ C ∞ (Ω) v(x)dx = Ω Ω ii) Vì u ∈ C (Ω) nên áp dụng Công thức Green ta có u(x) v(x)dx = − Ω ∆u(x)v(x)dx+ Ω v(x) ∂u(x) ds, ∀v ∈ C ∞ (Ω) ∂n ∂Ω Do − ∆u(x)v(x)dx+ Ω v(x) ∂u(x) ds = ∂n g(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ C ∞ (Ω) Ω ∂Ω (2.22) Vì v(x) ∂u(x) ds − ∂n Ω ∂Ω g(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ C ∞ (Ω) ∆u(x)v(x)dx = Ω (2.23) Từ 2.22, với v ∈ C0∞ (Ω) ⊂ C ∞ (Ω), − g(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ C ∞ (Ω) ∆u(x)v(x)dx = Ω ∂u(x) = suy ∂n Ω Suy −∆u(x) = g(x, u(x)) Ω Từ 2.22 ta có v(x) ∂u(x) ds = 0, ∀v ∈ C ∞ (Ω) ∂n ∂Ω 39 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng Suy ∂u(x) = ∂Ω Vậy ta có ∂n   −∆u(x) = g(x, u(x))   ∂u = ∂n Ω ∂Ω Hay u nghiệm thông thường toán Neumann 2.21 Trong không gian H (Ω) với chuẩn u H (Ω) = u L2 (Ω) + ∇u ∀u ∈ H (Ω) L2 (Ω) , (2.24) Việc chứng minh tồn nghiệm toán Neumann 2.21 làm tương tự việc chứng minh tồn nghiệm toán Dirichlet 2.12 Ta có định lý sau: Định lý 2.4.3 Giả sử hàm g(x, u) thỏa mãn giả thiết i), ii) iii) Khi tồn nghiệm u ∈ H (Ω) toán 2.21 Chứng minh Với u ∈ H (Ω) ta xét phiếm hàm Su : H (Ω) −→ R mà g(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ H (Ω) Su (v) = Ω Su phiếm hàm tuyến tính liên tục H (Ω) Thật vậy, giả sử {vn } dãy H (Ω) hội tụ đến v ∈ H (Ω), tức ||vn − v||H (Ω) −→ 0, n → ∞ g(x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω Khi |Su (vn − v)| = | g(x, u(x))(vn (x) − v(x))dx| Ω ≤ |g(x, u(x))(vn (x) − v(x))|dx Ω 1/2 ≤ |g(x, u(x)) − g(x, 0)| dx Ω 1/2 |vn (x) − v(x)| dx Ω ≤ C||vn − v||L2 (Ω) −→ 0(n → ∞) 40 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng Suy Su (vn ) −→ Su (v), n → ∞ Vậy Su phiếm hàm tuyến tính liên tục H (Ω) Vì Không gian H (Ω) không gian Hillbert nên theo định lý Riesz tồn phần tử S(u) ∈ H (Ω) cho ∀v ∈ H (Ω) ta có: (S(u), v)H (Ω) = Su (v) (2.25) Như với u ∈ H (Ω) ta có toán tử S xác định không gian H (Ω) S : H (Ω) −→ H (Ω) u −→ S(u) mà g(x, u(x))v(x)dx, ∀v ∈ H (Ω) (S(u), v) = (2.26) Ω Nghiệm u0 toán Neumann thỏa mãn phương trình: g(x, u0 (x))v(x)dx = (S(u0 ), v), ∀v ∈ H (Ω) (u0 , v) = Ω Suy u0 = S(u0 ) Vì việc chứng minh tồn nghiệm yếu toán Neumann 2.21 đưa chứng minh tồn điểm bất động toán tử S S : H (Ω) −→ H (Ω) mà S(u) = u Trước hết ta chứng minh S toán tử liên tục H (Ω) Thật vậy: Giả sử {un } dãy H (Ω) hội tụ đến u ∈ H (Ω) Vì phép nhúng từ H (Ω) vào L2 (Ω) compact nên ta có: un −→ u L2 (Ω) Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có: | S(un ) − S(u), v | = | g(x, un (x)) − g(x, u(x))v(x)dx| Ω ≤ |g(x, un (x)) − g(x, u(x))v(x)|dx Ω 1 ≤ ( |g(x, un (x)) − g(x, u(x)|2 )dx) ( |v(x)|2 dx) Ω Ω ≤ ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) ||v||H (Ω) 41 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng Suy ||S(un ) − S(u)||H (Ω) ≤ ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) Vì g(., u) thỏa mãn giả thiết i) ii) nên ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) ≤ C||un − u||L2 (Ω) Vì un −→ u L2 (Ω) nên ||un − u||L2 (Ω) → 0, n → ∞ Do ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) → (n → ∞) Do S(un ) → S(u) H (Ω) n → ∞ nên S liên tục Vì u ∈ H (Ω) nên u ∈ L2 (Ω) g(x, u) ∈ L2 (Ω) Giả sử g thỏa mãn i) iii) Khi ∀u ∈ H (Ω) ta có: |u(x)|2 dx ||S(u)||H (Ω) ≤ sup ||v||≤1 Ω |v(x)|2 dx Ω |r(x) + C.u(x)|2 dx ≤ Cemb Ω ≤ Cemb ||r||L2 (Ω) + C.Cemb ||u||L2 (Ω) Với r cố định, ∀u ∈ H (Ω) ta có: ||S(u)||H (Ω) = sup | S(u), v | ||v||≤1 = sup g(x, u(x))v(x)dx ||v||≤1 Ω |u(x)|2 dx ≤ sup |v(x)|2 dx ||v||≤1 Ω Ω ≤ Cemb ||r||L2 (Ω) Từ S : B[0, R] ⊂ H (Ω) → B[0, R] với R = Cemb ||r||L2 (Ω) Ta chứng minh toán tử S compact Thật vậy: ∀M ⊂ H (Ω) tập bị chặn {wn }∞ n=1 ⊂ S(M) dãy ∞ tùy ý Cho {un }n=1 ⊂ M cho S(un ) = wn Do H (Ω) không gian phản xạ, {un } dãy bị chặn H (Ω) nên tồn dãy {unk } hội tụ yếu đến u H (Ω) Không giảm tính tổng quát ta giả sử {un } hội tụ yếu đến u H (Ω) Vì phép 42 Chương Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng nhúng từ H (Ω) vào L2 (Ω) compact nên: un → u H (Ω) un → u L2 (Ω) nên ||S(un ) − S(u)||H (Ω) ≤ Cemb ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) Do g(x, u) liên tục Lipschitz theo biến u nên ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) ≤ Cemb ||un − u||L2 (Ω) Vì un → u L2 (Ω) nên ||un − u||L2 (Ω) → n → ∞ Suy ||g(., un ) − g(., u)||L2 (Ω) → n → ∞ ⇒ wn → S(u) n → ∞ H (Ω) Vậy S toán tử compact nên tồn u ∈ H (Ω) điểm cố định S nghiệm phương trình 2.21 cho ||u||H (Ω) ≤ Cemb ||r||L2 (Ω) Tương tự toán Dirichlet, định lý 2.4.3 mở rộng cách giả thiết g(x, s) tăng tuyến tính theo s, tức |g(x, s)| ≤ r(x) + C|s|σ , với σ ∈ (0, 1) Ta có định lý sau: Định lý 2.4.4 Cho g thỏa mãn giả thiết i), ii), iv) Khi tồn nghiệm yếu u ∈ H (Ω) toán 2.21 43 Kết luận Nội dung luận văn trình bày số áp dụng định lý điểm bất động để chứng minh tồn nghiệm yếu không tầm thường toán Drichlet toán Neumann lớp phương trình elliptic nửa tuyến tính với phần toán tử Laplace −∆, điều kiện thích hợp ấn định lên vế phải phương trình 44 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2011), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB - ĐHQG HN [2] Pavel Drábek, Jaroslav Milota (2007), Methods of nonlinear analysis, Applications to Differential equations, Birkhauser - Basel Boston - Berlin [3] Hoàng Tuỵ (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB - ĐHQG HN [4] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB - ĐHQG HN [5] Tuyển tập Seminar phương trình đạo hàm riêng, Tập 2, Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, ĐH KHTN - ĐHQG Hà Nội (2006) 45 [...]... minh của định lý 22 Chương 2 Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng 2.1 Ứng dụng định lý điểm bất động Banach đối với bài toán Dirichlet cho một lớp phương trình elliptic cấp 2 phi tuyến Giả sử Ω là một tập con mở, bị chặn trong không gian R với biên ∂Ω trơn Xét bài toán Dirichlet:   −∆u + b(Du) = f trong Ω (2.1)  u = 0 trên ∂Ω 23 Chương 2 Một số ứng dụng định lý điểm. .. ∈ H01 (Ω) 27 Chương 2 Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng Vậy u là nghiệm suy rộng của bài toán 2.1 Tính duy nhất suy từ điều kiện Lipschitz 2.2 Ứng dụng định lý Leray-Schaefer để giải bài toán giá trị biên đối với một lớp phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính Giả sử Ω là tập mở, bị chặn trong Rn , với biên trơn ∂Ω Xét bài toán biên Dirichlet   −∆u + b(Du) +... thuẫn với chứng minh ở phần 2 Định lý được chứng minh 1.5.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng mạnh Định lý 1.5.5 Cho C là một tập lồi, đóng, bị chặn trong Rn , f : C → C là ánh xạ liên tục Khi đó f có điểm bất động Định nghĩa 1.5.6 Không gian tô pô X gọi là có tính chất điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục từ X vào X đều có điểm bất động Bổ đề 1.5.7 Nếu X có tính chất điểm bất động và Y đồng phôi với. .. riêng u1 của toán tử −∆ thỏa mãn ||Du1 ||2L2 (Ω) = λ1 1.5 Một số định lý điểm bất động cơ bản Các định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng quát sau đây: Cho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào X Phải đặt những điều kiện nào trên C, X và T để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm x0 trong C mà T x0 = x0 Điểm x0 như vậy gọi là điểm bất động của ánh... việc giải một phương trình được 12 Chương 1 Cơ sở toán học quy về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp Chẳng hạn nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là một phần tử cố định của X thì nghiệm của phương trình Sx = y chính là điểm bất động của ánh xạ T xác định bởi T x = Sx + x − y, ∀x ∈ X, Sau đây ta sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động 1.5.1 Nguyên lý ánh xạ co... thì b(Du) ∈ L2 (Ω) Khi đó bài toán 2.1 tồn tại duy nhất nghiệm ω ∈ D(−∆) ⊂ H01 (Ω) xác định bởi công thức ω = (−∆ − γ)−1 [f − γu − b(Du)] ∈ D(−∆) 24 Chương 2 Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương trình đạo hàm riêng Như vậy, với mỗi u ∈ H01 (Ω) cố định, tồn tại duy nhất nghiệm ω = (−∆ − γ)−1 [f − γu − b(Du)] ∈ D(−∆) của bài toán 2.1 Điều đó có nghĩa là tồn tại một toán tử A : H01 (Ω) → D(−∆)... Cơ sở toán học là ánh xạ liên tục Hơn nữa, Mn là tập lồi, compact, và Mn ⊆ RN Chú ý rằng ta đã đồng nhất span{y1 , yN } với một không gian con của RN Theo định lý điểm bất động Brouwer, tồn tại một điểm bất động xn = Pn (xn ), với xn ∈ Mn ⊆ M Vi M là compact nên tồn tại một dãy con hội tụ, vẫn kí hiệu là (xn ) (nếu không gây nhầm lẫn) sao cho xn → x khi n → ∞ Điểm x chính là điểm bất động của ánh... P không dãn Suy ra P x = x, ∀x ∈ C Khi đó f ◦ P : Rn → C là ánh xạ liên tục Vì B ∗ có tính chất điểm bất động, nên ∃x0 ∈ B ∗ sao cho (f ◦P )(x0 ) = x0 Nhưng f (P (x0 )) ∈ C ⇒ x0 ∈ C và do đó P x0 = x0 ⇒ f (x0 ) = x0 ⇒ x0 là điểm bất động của f 17 Chương 1 Cơ sở toán học Định lý được chứng minh 1.5.4 Định lý điểm bất động Schauder Định lý 1.5.8 Định lý xấp xỉ các toán tử compact Giả sử X, Y là các không. .. r} Cho T : B → X là một ánh xạ co với hằng số α < 1 nếu d(T x0 , x0 ) < (1 − α)r thì T có một điểm bất động 14 Chương 1 Cơ sở toán học 1.5.2 Nguyên lý điểm bất động Brouwer dạng yếu Định lý 1.5.4 Định lý Brouwer về điểm bất động Giả sử u : B[0, 1] → B[0, 1] là ánh xạ liên tục, trong đó B[0, 1] là hình cầu đơn vị đóng trong Rn Khi đó u có điểm bất động, tức là tồn tại x ∈ B[0, 1] sao cho u(x) = x Chứng... 1), với hằng số C nào đó và ∀x ∈ Rn Định lý 2.2.1 Nếu µ > 0 là đủ lớn, thì tồn tại một hàm u ∈ H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) thỏa mãn bài toán biên 2.6 Chứng minh Xét bài toán biên   −∆u + b(Du) + µu = 0 trong Ω  u = 0 (2.7) trên ∂Ω Ta nói rằng hàm u ∈ H01 (Ω) là một nghiệm suy rộng của bài toán nếu: (Du, Dϕ) = −µ(u, ϕ) − (b(Du), ϕ) với mỗi ϕ ∈ C0∞ (Ω) 28 Chương 2 Một số ứng dụng định lý điểm bất động vào phương ... TỰ NHIÊN Vũ Hữu Đạt ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BROUWER SCHAUDER NGHIÊN CỨU SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã... gồm: Định lý ánh xạ co Banach, Nguyên lý điểm bất động Brouwer - Schauder, Định lý điểm bất động Leray - Schauder - Schaefer Trong chương trình bày số áp dụng định lý điểm bất động Brouwer - Schauder. .. tác giả trình bày số áp dụng định lý điểm bất động vào toán biên lớp phương trình elliptic không tuyến tính Luận văn gồm hai chương: Nội dung chủ yếu chương trình bày định lý điểm bất động không