Bài toán biên cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY LINH BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY LINH BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN THÁI NGUYÊN, 2014 Mục lục KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị l 1.2 Không gian Wp (Ω) 1.2.1 Không gian Lp (Ω); (1 ≤ p ≤ +∞) 1.2.2 Đạo hàm suy rộng l 1.2.3 Không gian Wp (Ω) 1.2.4 Không gian C k,γ (Ω) 1.3 Định lý nhúng 1.4 Vết hàm số mặt cong 0,1 1.5 Không gian W2 (Ω) 2 3 4 5 NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI 2.1 Khái niệm nghiệm suy rộng 2.1.1 Bài toán Dirichlet 2.1.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng W2 (Ω) 2.2 Bất đẳng thức thứ 2.3 Bất đẳng thức thứ hai 11 2.4 Tính giải toán biên Dirichlet 17 2.4.1 Tính giải tốn biên Dirichlet khơng gian W2 (Ω) 17 2.4.2 Tính giải tốn biên Dirichlet không gian W2 (Ω) 22 2.5 Tính trơn nghiệm suy rộng phương trình Eliptic tuyến tính cấp hai 28 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Cơng trình hồn thành tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Vào hồi ngày tháng năm 2014 Có thể tìm hiểu luận văn trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Mở đầu Dựa chương II tài liệu tham khảo [1], luận văn nghiên cứu toán biên phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, luận văn gồm có hai chương: Chương I trình bày lý thuyết khơng gian Sobolev, phát biểu định lý Riesz, định lý Lax-Milgram, định lý Fredholm Nêu định nghĩa không l gian Lp (Ω), định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng không gian Wp (Ω) Phát biểu định lý nhúng vết hàm số mặt cong (n − 1) chiều Chương II nghiên cứu nghiệm suy rộng phương trình elliptic dạng bảo tồn bao gồm định nghĩa nghiệm suy rộng, chứng minh bất đẳng thức thứ nhất, bất đẳng thức thứ hai, tính giải tốn biên Dirichlet không gian W2 (Ω); W2 (Ω) xét tính trơn nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Chương KHƠNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định lí 1.1 (Định lý Riesz) Với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F không gian Hilbert H tồn phần tử xác định f ∈ H cho F (x) = (x, f ) với x ∈ H F = f đồng thời ta có: (x, f ) = F (x) f F (f ) |(x, f )| x x=0 F = sup f = (f, f ) = F (f ) Định lí 1.2 (Định lý Lax-Milgram) Giả sử B dạng song tuyến tính bức, bị chặn khơng gian Hilbert, tức (i) ∃M > : |B(x, y)| ≤ M x y , (ii) ∃λ > : B(x, x) ≥ λ||x||2 , ∀x, y ∈ H x ∈ H Khi đó, với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F ∈ H ∗ , tồn phần tử f ∈ H cho: B(x, f ) = F (x) với x ∈ H Định lí 1.3 (Định lý Fredholm) Giả sử H khơng gian Hilbert T tốn tử compact từ H vào nó, T ∗ tốn tử liên hợp T Khi đó, tồn tập đếm Λ ⊂ R khơng có điểm giới hạn trừ λ = cho Nếu λ = 0, λ ∈ Λ phương trình / λx − T ∗ x = y λx − T x = y, (1.1) có nghiệm xác định x ∈ H với y ∈ H toán tử ngược (λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 bị chặn Nếu λ ∈ Λ, không gian không ánh xạ λI − T, λI − Y ∗ có số chiều dương hữu hạn, cịn phương trình (1.1) giải y trực giao với không gian không λI − T ∗ trường hợp thứ λI − T trường hợp lại 1.2 1.2.1 l Không gian Wp (Ω) Không gian Lp (Ω); (1 ≤ p ≤ +∞) Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn x = (x1 , x2 , , xn ) Lp (Ω) không gian Banach cổ điển gồm hàm u(x) đo Ω ||u(x)||p khả tích, tức là: |u(x)|p dx < +∞ (1.2) Ω Chuẩn Lp (Ω) định nghĩa bởi: u p Lp (Ω) |u(x)|p dx, = (1.3) Ω |u(x)| giá trị tuyệt đối, mođun hàm u(x) Không gian L2 (Ω) Hilbert với tích vơ hướng (u, v)Lp (Ω) = u(x)v(x)dx (1.4) Ω 1.2.2 Đạo hàm suy rộng ∞ Giả sử C0 (Ω) không gian hàm khả vi vơ hướng có giá suppu compact Ω, sup u = {x ∈ Ω, u(x) = 0} (1.5) Giả sử u(x) ∈ Lp (Ω) Hàm số w(x) ∈ Lp (Ω) gọi đạo hàm riêng suy rộng theo biến xj hàm u(x), Kí hiệu là: ∂u(x) = Dj u = w(x) ∂xj (1.6) ∞ Nếu với v(x) ∈ C0 (Ω) ta có: w(x)v(x)dx = − Ω u(x) ∂v(x) dx ∂xj (1.7) Ω Giả sử α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Nn đa số với αj ∈ N, |α| = α1 + α2 + + αn α α α Dα = D1 D2 Dn n Giả sử u(x) ∈ Lp (Ω) Hàm số wα (x) ∈ Lp (Ω) gọi đạo hàm riêng suy rộng, kí hiệu là: Dα u = wα ∞ Nếu với v(x) ∈ C0 (Ω) ta có v(x)wα (x)dx = (−1)|α| Ω 1.2.3 u(x) ∂v(x) dx ∂xj (1.8) Ω l Không gian Wp (Ω) l Ta định nghĩa không gian Wp (Ω) tất cá tập hợp Lp (Ω) cho đạo hàm suy rộng thuộc Lp (Ω), tức là: l Wp (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| ≤ l} (1.9) l Ta đưa vào Wp (Ω) chuẩn sau: u p l W2 (Ω) |Dα u(x)|p dx = (1.10) Ω |α|≤l l Không gian W2 (Ω) khơng gian Hilbert với tích vơ hướng Dα u(x)Dα v(x)dx (u, v)W2l (Ω) = (1.11) Ω |α|≤l 1.2.4 Không gian C k,γ (Ω) Không gian C k (Ω) tập hợp hàm khả vi liên tục đến cấp k Đây không gian Banach với chuẩn: ||u(x)||C k (Ω) = sup Ω |α|≤k |Dα u(x)|, (1.12) với ≤ α ≤ ta xét nửa chuẩn [u]γ,Ω = sup Ω |u(x) − u(y)| |x − y|α (1.13) Không gian C k,γ (Ω) tập hợp hàm u(x) ∈ C k (Ω) cho [Dα u]λ,Ω < +∞, ∀|α| = k Không gian C k,γ (Ω) không gian Banach với chuẩn [Dα u]γ,Ω ||u(x)||C k,γ (Ω) = ||u(x)||C k (Ω) + (1.14) |α|≤k 1.3 Định lý nhúng l Định lí 1.4 Không gian Wm (Ω) nhúng compact (i) vào không gian Lmn/(n−lm) (Ω) lm < n (ii) vào C k (Ω) ≤ k < l − n m Tức ta có phép nhúng: l Wm (Ω) ⊂ Lnm/(n−lm) (Ω), lm < n, n C k (Ω), ≤ k < l − m (1.15) l Điều có nghĩa tồn C(Ω) > cho với u(x) ∈ Wm (Ω) ta có: ≤ C(Ω) u l Wm (Ω) , (1.16) max |u| ≤ c(Ω) u l Wm (Ω) (1.17) u với p = p,Ω mn n−m Ω 1.4 Vết hàm số mặt cong l Giả sử lm < n Khi đó, hàm số u(x) ∈ Wm (Ω) có vết mặt cong (n − 1) chiều Γ chứa Ω thuộc không gian Lq (Γ), tức tồn c > cho: u q = Lq (Γ) ≤c u l Wm (Ω) , ∀u m(n − 1) n − lm l ∈ Wm (Ω), (1.18) 1.5 0,1 Không gian W2 (Ω) 0,l l Không gian W2 (Ω) gồm hàm u(x) ∈ Wp (Ω) cho đạo hàm suy rộng đến cấp (l − 1) có vết ∂Ω 0,1 Khơng gian Hilbert W2 (Ω) có vai trị chủ yếu việc nghiên cứu tốn Dirichlet phương trình elliptic cấp hai Giải sử Ω miền bị chặn, tích 0,1 vơ hướng không gian W2 (Ω) định nghĩa công thức W2 (Ω) sau: (u, v)W 0,1 (Ω) = (uv + ux vx )dx (1.19) Ω 0,1 Trong khơng gian W2 (Ω) đưa vào tích vơ hướng sau: [u, v] = ux vx dx (1.20) Ω Thật vậy, ta có bất đẳng thức Poincase sau đây: tồn cΩ > cho với 0,1 u(x) ∈ W2 (Ω) ta có: u2 dx ≤ cΩ Ω u2 dx x Ω (1.21) cho Ω lồi 3v (Lu)2 dx + c3 ( u u2 dx ≤ xx Tích phân (2.46) Ω Ω (∂u/∂n)2 (1) 2,Ω ) tách với ε > 0: S ∂u ∂n u2 ds ≤ c4 x dx = S S (u2 + | u2 |)dx x x Ω (u2 + 2|ux ||uxx |)dx x ≤ c4 Ω εu2 + + xx ≤ c4 u dx ε x (2.47) Ω −1 , µ (n − 1)c4 K Từ (2.46), (2.47) với ε = (v /4) v2 u2 dx ≤ xx Ω (Lu)2 dx + c5 ( u ta có: (1] 2,Ω ) , (2.48) Ω bất đẳng thức (2.27) Từ (2.28), cho miền lồi suy từ (2.34), cho L = δ , có dạng: (δu)2 dx = Ω u2 dx + xx s Ω I(s) = −(∂u/∂n)2 n−1 (2.49) I(s)ds, 2 ∂ ω/∂yp thực tế ∂ ω/∂yp < để miền lồi, p=1 nghĩa I(s) ≥ Hơn nữa, cho u ∈ C (Ω) u|s = 0, ta có: u2 dx = − x Ω uδudx ≤ u · δu ≤ cΩ δu ux , Ω suy u (1) 2,Ω + c2 δu Ω ≤ cΩ (2.50) Từ (2.49) (2.50) cho Ω lồi, ta thu được: u (2) 2,Ω ≤ [1 + c2 (1 + c2 )]1/2 δu , Ω Ω (2.51) cho Ω tùy ý với S C , suy từ (2.48) (2.50) là: u (2) 2,Ω ≤ c δu , (2.52) với số c xác định giá trị gần (giống số cΩ ) mà cịn thuộc tính trơn S 16 2.4 2.4.1 Tính giải tốn biên Dirichlet Tính giải tốn biên Dirichlet không gian W2 (Ω) Ta công thức (2.5), (2.6) giải không gian W2 (Ω) Trong không gian W2 (Ω) , ta xét tích có hướng [u, v] = (2.53) aij uxi vxj dx Ω Bởi (2.7) chuẩn u = [u, u] tương đương với chuẩn ux chuẩn 0,1 nguyên u (1) không gian W2 (Ω) Ta viết (2.10) dạng 2,Ω [u, η] + l(u, η) = −(f, η) + (fi , ηxi ), (2.54) đó: l(u, η) ≡ (ai uηxi − bi uxi η − auη)dx (2.55) Ω Giả sử: |l(u, η)| = µ1 u ηx + µ1 ux η + max(|µ3 |; |µ4 |) u ≤ c u η , η (2.56) 0,1 tức là, cho phần tử cố định u ∈ W2 (Ω), l(u, η), ngun hàm tuyến 0,1 tính η khơng gian W2 (Ω) Do định lý Riesz ta biểu diễn l(u, η) tính tích vơ hướng l(u, η) = [Au, η], (2.57) 0,1 0,1 với η ∈ W2 (Ω), A tốn tử tuyến tính bị chặn W2 (Ω) với chuẩn khơng trội c Phép tốn −(f, η) + (fi , ηxi ) xác định phiếm 0,1 hàm tuyến tính W2 (Ω) η , định lý Riesz, tồn 0,1 phần tử F ∈ W2 (Ω) cho −(f, η) + (fi , ηxi ) = [F, η], (2.58) 0,1 với η ∈ W2 (Ω) Vì (2.57), (2.58) (2.54) tương đương với [u, η] + [Au, η] = [F, η], (2.59) 0,1 với η ∈ W2 (Ω), (2.59) tương đương với phương trình tốn tử u + Au = F 17 (2.60) 0,1 Trong không gian W2 (Ω), ta A tốn tử hồn tồn liên tục 0,1 W2 (Ω) Ta chứng minh chuỗi hội tụ yếu {uk }(k = 1, 2, ) 0,1 W2 (Ω) chuyển đổi A chuỗi hội tụ mạnh {Auk } Vì toán tử A buộc chuỗi {Auk } hội tụ yếu đến Au, u(x) giới hạn yếu {uk } Chuỗi {uk } {Auk } hội tụ mạnh đến u Au L2 (Ω) Nếu ta sử dụng (2.57) toán tử A bất đẳng thức (2.58), ta có [A(uk − um ), A(uk − um )] = l(uk − um ), A(uk − um ) ≤ µ1 uk − um (Auk ) − (Aum ) + µ1 ukx − umx Auk − Aum + max(|µ3 |; |µ4 |) uk − um Auk − Aum , từ điều kiện , ta cho vế trái tiến dần đến k ,m → ∞, {uk } thật 0,1 dãy số hội tụ mạnh W2 (Ω) Điều chứng tỏ liên tục hoàn toàn A Do , định lý Ferdholm coi phương trình 0,1 (2.60) : nghiệm (2.60) với F ∈ W2 (Ω) kết (2.60) 0,1 Vì (2.60) tương đương với đồng thức (2.10) với η ∈ W2 (Ω) với u(x) 0,1 W2 (Ω) Định lí 2.2 (Bất đẳng thức thứ nhất) Nếu toán (2.5) (2.6) khơng 0,1 có nhiều nghiệm suy rộng W2 (Ω), giải 0,1 W2 (Ω) với f f L2 (Ω) Điều kiện đủ tính giải toán (2.5) (2.6) đưa Định lý 2.2 Lu = λu + f + ∂fi , ∂xi (2.61) với tham số phức λ Như trên, hệ số L đưa thực, nghiệm (2.61) dạng tổng quát hệ số với biến phức u(x) = u (x) + iu (x) 0,1 Bởi vì, ta giới thiệu khơng gian phức L2 (Ω) W2 (Ω), phần tử không gian hệ số với biến phức biến số x ∈ Ω, tích vơ hướng xác định (u, v) = uvdx, Ω (1) (u, v)2,Ω = (uv + ux v x )dx tương đương Ω Ta định nghĩa nghiệm suy rộng toán (2.38) (2.6) W2 (Ω) 0,1 phần tử W2 (Ω) thỏa mãn đồng thức L(u, η) ≡ aij uxi η xj + uη)dx Ω = −λ uηdx + Ω (−f η + fi η xi )dx, Ω 18 (2.62) với η ∈ W2 (Ω) Để tìm nghiệm, ta biến đổi (2.62) thành phương trình đồng dạng với (2.60) 0,1 Ta giới thiệu tích vơ hướng W2 (Ω) aij uxi v xj dx, [u, v] = Ω 0,1 làm phát sinh trường hợp thực, chuẩn u = [u, u] W2 (Ω) tương đương với chuẩn cũ u (1) Hơn nữa, ta chứng tỏ phương 2,Ω pháp giống ta chứng minh trường hợp thực ta đến phương trình hàm số u + Au = λBu + F (2.63) 0,1 Trong khơng gian W2 (Ω) Tốn tử A B xác định toàn 0,1 W2 (Ω) song tuyến tính có dạng (ai uη xi − bi uxi η − auη)dx, [Au, η] = (2.64) Ω [Bu, η] = − (2.65) uηdx, Ω phần tử F xác định bởi: (2.66) (−f η + fi η xi )dx [F, η] = Ω 0,1 Mối quan hệ (2.64)-(2.66) thỏa mãn với η ∈ W2 (Ω) Giống phương pháp trên, chứng minh toán tử A B tuyến tính hồn tồn liên tục Trong phép cộng tốn tử A B đối xứng giá trị âm, tức 0,1 là, [Bu, η] = [u, Bη] với u, η W2 (Ω) [Bu, u] < 0, u = Vì vậy, B nghịch đảo khoảng R(B) Nhưng nghịch đảo không bị chặn Ta viết (2.62) dạng: u + Au − λ0 Bu = (λ − λ0 )Bu + F, (2.67) thử lại, cho λ0 thực đủ lớn, toán tử (E + A − λ0 B) ≡ D toán tử bị chặn Có nghĩa Dv ≡ w Theo (2.64)-(2.66) đẳng thức tương đương (2.65) với u = v, λ = λ0 , [w, η] thay cho tích phân cuối Từ đồng thức với η = v , song song với (2.12) ta được: v ReL(v, v) ≥ vx 2 − 19 µ2 µ4 + 2v v 2, v |v|2 dx v = |v|2 dx ta xuất phát từ bất đẳng thức = Ω Ω Re[w, v] = Re[(E + A − λ0 B)v, v] v = ReL(v, v) + λ0 v ≥ vx 2 + (λ0 − µ4 − µ2 ) v 2, 2v (2.68) với λ0 ≥ µ4 + µ2 /2v suy từ (2.68) ||v||1 ≤ v||||1 = c||Du||1 , (2.69) tức tốn tử D thực có nghịch đảo bị chặn xác định toàn W2 (Ω) λ0 chọn λ0 = µ4 + µ2 /2v viết lại (2.67) sau: u = (λ − λ0 )D−1 Bu + D−1 F, (2.70) toán tử D−1 B tích số tốn tử bị chặn, tốn tử hồn tồn liên tục 0,1 Bài toán (2.70) tương đương với toán (2.62) với η ∈ W2 (Ω) , định lý bảo toàn tồn nghiệm suy rộng u(x) W2 (Ω) toán tử (2.61), (2.6) với f, f L2 (Ω) biết tồn khơng thể có hai nghiệm khác W2 (Ω) Giá trị đặc biệt λ coi giá trị phổ toán (2.61), (2.6) Ta biểu thị {λk }, (k = 1, 2, 3, ) |λ1 | ≤ |λ2 | ≤ Mỗi λ với nghiệm khơng tầm thường u(x) tốn u = (λ − λ0 )D−1 Bu, (2.71) hoặc, u(x) ∈ W2 (Ω) thỏa mãn đẳng thức: L(u, η) = −λ(u, η), (2.72) 0,1 với η ∈ W2 (Ω) Định lý thứ hai toán khẳng định giá trị phổ λk bội hữu hạn liên hợp phức λk λk giá trị phổ phương trình ν = (λ − λ0 )BD−1 ν, (2.73) bội λk (2.73) giống bội λk (2.71) Với w = D∗−1 ν D∗ w = (λ − λ0 )Bw, (2.74) tương đương, (2.64) (2.66) ta có đẳng thức L∗ (w, η) ≡ (aij wxi η xj + wxi η − bi wη xi − awη Ω ≡ −λ wηdx, Ω 20 (2.75) 0,1 với n ∈ W2 (Ω) Đồng thức (2.74) thực chất có u(x) hàm riêng suy rộng W2 (Ω) toán Lu = λu, u|s = 0, (2.76) λ giá trị phổ tương ứng giá trị riêng Đồng thức (2.75) xác định hàm riêng w(x) ∈ W2 (Ω) toán Lw ≡ ∂ (aij wxi − bi w) − wxi + aw = λw, ∂x1 (2.77) Định lý thứ hai Fredholm (2.71) bảo đảm toán (2.76) có nghiệm khơng tầm thường u(x) W2 (Ω) λk bội hữu hạn; tương tự, tốn (2.77) có nghiệm khơng tầm thường w W2 (Ω) giá trị λk (k = 1, 2, ) Giờ ta đến định lý thứ ba Fredholm, định lý cho ta điều kiện cần đủ nghiệm toán (2.70) giá trị phổ λ Tức là, λ = λk tốn (2.70) nghiệm số hạng tự D−1 F trực giao với nghiệm νk toán (2.73) tương đương với λ = λk Nghĩa là, D−1 F thỏa mãn điều kiện [D−1 F, νk ] = 0, (2.78) ta (2.78) tương đương với (−f wk + fi wkxi )dx = 0, (2.79) Ω wk = D∗−1 νk nghiệm suy rộng toán (2.77) với λ = λk Cho f ≡ 0, (2.79)với f (x) trực giao L2 (Ω) với λ = λk Quả thực, (2.66) = [D−1 F, νk ] = [F, D−1 νk ] = [F, wk ] = (−f wk + fi wkxi )dx, Ω tức (2.79) tương đương (2.78) Như ta chứng minh ba định lý Fredholm Định lí 2.3 Bài tốn (2.72)-(2.6) giải không gian W2 (Ω) f f L2 (Ω) với λ = λ +iλ , trừ tập hợp {λk }(k = 1, 2, ) giá trị λ mà nhiều tập đếm tạo nên phổ toán (2.61), (2.6) Mỗi λk bội hữu hạn có điểm tập hợp {λk } 21 điểm λ = ∞ Ở số {λ} số λk bội chúng trùng Tập hợp {λk } hình thành nên phổ toán (2.77) liên hợp toán (2.61), (2.6) nghĩa toán (2.76) Các bội λk λk trùng toán (2.76), (2.77) Trong cấp toán (2.61), (2.6) giải λ = λk , điều kiện cần đủ để f fi thỏa mãn điều kiện (2.79) , wk nghiệm suy rộng (2.77) với λ = λk ; nghiệm toán (2.61), (2.6) khơng trường hợp Nk (m) Nghiệm tổng số nghiệm riêng Cm υk (x), m=1 cm số với λ = λk 2.4.2 (m) υk (x) hàm riêng tốn (2.76) tương ứng Tính giải tốn biên Dirichlet không gian W2 (Ω) Trong phần ta chứng minh rằng, điều kiện (2.7), (2.8), (2.25) (2.26) thỏa mãn phương trình (2.24) biên S "đủ trơn", nghiệm suy rộng W2 (Ω) (2.24), (2.26) phần tử W2 (Ω) Giả sử, L S thỏa mãn tính đơn điệu sử dụng chứng minh bất đẳng thức thứ hai Khi đó, λ0 đủ lớn L1 ≡ L − λ0 E , ta có: L1 (u, u) ≥ δ1 u , δ = conts > (2.80) với u ∈ W2 (Ω) Như trên, (2.80) (2.30) suy (2.31): u (2) 2,Ω ≤ c L1 u , (2.81) u phần tử tùy ý W2 (Ω) Định lí 2.4 Cho L1 L0 có dạng L thỏa mãn (2.7), (2.8), (2.25) (2.52), cho biên S thỏa mãn giả thiết mà bất đẳng thức thứ hai giải Hơn nữa, giả sử toán L0 u = f, u|S = 0, (2.82) có nghiệm u(x) W2 (Ω) với tập hợp M phần tử f (x) trù mật L2 (Ω), toán Lτ u = f, u|S = 0, Lτ = L0 + τ (L1 − L0 ) với τ ∈ [0, 1] nghiệm W2 (Ω) với f ∈ L2 (Ω) 22 (2.83) Chứng minh: Từ giả thiết Định lý (2.4) (2.81) giá trị L0 , ta có: L0 (u, u) ≥ δ1 u , δ1 > 0, (2.84) u (2) 2,Ω ≤ c L0 u , (2.85) 2 với u ∈ W2 (Ω) Do (2.85), (2.82) giải W2 (Ω) với f ∈ L2 (Ω) Thật vậy, cho f M giải đưa giả thiết định lý suy từ (2.85) Nếu f ∈ L2 (Ω) L ∈ M , ta dãy số / fm (m = 1, 2, ), R hội tụ f chuẩn L2 (Ω) Với fm tồn nghiệm um ∈ W2 (Ω) (2.82) với f = fk − fm Do tuyến tính tốn, hiệu uk − um nghiệm (2.82) với f = fk − fm Khi đó, từ (2.85) ta có: uk − um (2) 2,Ω ≤ c fk − fm 2 từ đó, dẫn đến uk hội tụ W2 (Ω) số phần tử u ∈ W2 (Ω) Từ hệ số L0 bị chặn, hàm số L0 uk hội tụ L2 (Ω) L0 u, tức L0 u = f Thật vậy, ta với f L2 (Ω), (2.85) nghiệm 2 W2 (Ω) Tính W2 (Ω) suy từ (2.85) Cứ thế, ta chứng minh toán tử L0 thiết lập phép tương ứng - không gian W2 (Ω) không gian L2 (Ω) Ta xét họ toán tử Lτ = L0 + τ (L1 − L0 ) τ ∈ [0, 1], hiển nhiên, Lτ trùng với L0 cho τ = với L1 cho τ = Ta được, với τ ∈ [0, 1], Lτ thiết lập phép tương ứng - không gian W2,0 (Ω) khơng gian L2 (Ω) Từ đó, tốn tử L0 thuộc tính tốn: Lτ u = f, (2.86) u|s = 0, tương đương với toán [E + τ L−1 (L1 − L0 )]u = L−1 f, 0 (2.87) 0 không gian W2 (α) Toán tử L−1 (L1 − L0 ) biên W2 (α) hệ số bị chặn L L0 với (2.59) ta L1 (L1 − L0 )u (2) 2,Ω ≤ c (L1 − L0 )u ≤ c1 u (2) 2,Ω (2.88) Tức là, chuẩn L−1 (L1 −L0 )u (2) W2 (Ω) khơng trội c1 Do đó, (2.88) nghiệm với τ < 1/c1 , tức là, cho τ < 1/c1 toán tử Lτ thiết lập phép 23 thương ứng - W2 (Ω) L2 (Ω) Nếu 1/c1 ≤ 1, ta cho τ1 = 1/(2c1 ) áp dụng toán tử (2.86) Bởi Lτ = Lτ1 + (τ − τ1 )(L1 − L0 ) ta [E + (τ − τ1 )L−1 (L1 − L0 )]u = L−1 f, τ1 τ1 (2.89) tương đương với (2.86) Để kiểm tra nghiệm (2.89), ta quy định chuẩn toán tử L−1 (L1 − L0 ) W2 (α) Từ (2.80) (2.84) ta có: τ1 Lτ (u, u) = (1 − τ )L0 (u, u) + τ L1 (u, u) ≥ δ1 u (2.90) từ điều kiện (2.7), (2.8) (2.25) với L0 L1 ta có hồn chỉnh điều kiện với số với Lτ , τ ∈ [0, 1] Với u ∈ W2 (Ω) toán tử Lτ với τ ∈ [0, 1], từ (2.85), ta có: u (2) 2,Ω ≤ c Lτ u (2.91) với số c (2.85) Biên chuẩn, L−1 (L1 − L0 ) (2) ≤ c1 τ 2,Ω suy từ (2.90) (2.91) Với điều kiện tồn L−1 Ta kết luận (2.89) giải τ với τ − τ1 ≤ , đặc biệt τ − 2τ1 Vì thế, ta chứng minh tòn c1 nghịch đảo L2τ1 Nếu ta tiếp tục q trình này, sau bước, ta chứng minh tồn L−1 , τ ∈ [0, 1] Điều phải chứng minh τ Để áp dụng Định lý 2.4, ta phải giải W2 (Ω) Định lý 2.4 tốn tử L0 có đặc tính Định lý 2.4 Nếu Ω hình cầu Kp , vỏ hình cầu Kp,pt = {x : p < |x| < p1 }, trục vỹ tuyến Π, ta cho L0 tóa tử Laplace Thật vậy, hệ thống đầy đủ hàm riêng {uk , (x)} toán tử Laplace cuả điều kiện biên thứ miền xác định, uk (x) khả vy vô hạn Ω Vì thực tế, nghiệm tốn: N ∆u = ck uk (x), u|s = k=1 với số ck với N ≥ là: N u= k=1 ck uk (x) ∈ W2 (Ω), λk ∆uk = λk uk tổng N ck uk (x) dày đặc L2 (Ω) Mọi giả k=1 thuyết lại Định lý 2.4 hiển nhiên chứng minh, ta cho số phù hợp v µi với L0 L1 Do đó, vai trị L0 miền 24 mơ tả dùng Đối số giống làm cho miền biến đổi thành miền xác định phương pháp không suy biến nhân tố khả biến y = y(x) với y(c) ∈ C (Ω) Thật vậy, ta thể phương trình Lu − λ0 u = f số hạng y , ta có phương trình Lu − λ0 u = f , ∂ (bij uyi ) + bi uyi + bu, ∂yi ∂yi ∂yi = akl ∂xk ∂xl ∂yi ∂yk ∂yi ∂ = ak − aij ∂xk ∂xj ∂yk ∂xj u ≡ bij bi b = a Ω y Các hệ số L thỏa mãn điều kiện (2.9), (2.10) (2.25) Thật vậy, cho λ0 đủ lớn, ta có bất đẳng thức (2.80) (2.81) với L1 ≡ L − λ0 E để Định lý 2.4 cố định với L1 Như L0 , ta cho tốn tử n 2 i=1 ∂ /∂yi − λ0 E Khi Định lý 2.4 đảm bảo để giải cách W2 (Ω) toán (L − λ0 E)u = f, u|∂Ω = (2.92) Nếu ta trở lại biến số x, cho thấy toán (L − λ0 E)u = f, u|s = 0, (2.93) nghiệm W2 (Ω) Vì vậy, ta chứng minh định lý sau: Định lí 2.5 Nếu hệ số L (2.24) thỏa mãn (2.9), (2.10) (2.25) f ∈ L2 (Ω) Ω hình cầu, vỏ hình cầu, vĩ tuyến miền biến đổi thành miền ánh xạ y = y(x) ∈ C (Ω) , (2.93) nghiệm W2 λ0 Ta cho nghiệm suy rộng u(x) W2 toán (L − λE)u = f, u|s = 0, (2.94) với f ∈ L2 (Ω) Xét nghiệm suy rộng W2 (Ω) toán (2.94) với số hạng tự f + (λ − λ0 )u ∈ L2 (Ω) Bởi Định lý 2.5 Định lý 2.1 nghiệm W2 (Ω) Thật vậy, ta chứng minh định lý sau: Định lí 2.6 Giả thiết Định lý 2.3 L, f Ω, với nghiệm suy rộng W2 (Ω) toán (2.94) phần tử W2 (Ω) 25 Từ định lý ta tính tốn Lu = λu + f, (2.95) u|s = Trong W2 (Ω) giả thuyết Định lý 2.4 đầy đủ, toán nghiệm Fredholm W2 (Ω) Phổ {λk }(k = 1, 2, ) không phụ thuộc vào khơng gian mà ta xét tốn Nếu λ = λk , (k = 1, 2, ), tốn tử L − λE bị chặn ngược, giả thiết Định lý 2.6, đảm bảo tồn biên (2) u 2,Ω ≤ cλ (L − λE)u (2.96) Trong trường hợp tổng quát, ta viết số cλ , rõ ràng giới hạn L − λE S , ta đưa (2.32), tồn ck , bảo đảm định lý Ferdholm Chú ý 2.1: Định lý 2.4 gia tăng tính trơn hệ số L f S bảo đảm gia tăng tính trơn tất nghiệm suy rộng W2 (Ω) (2.94) Nó cho thấy cải thiện thuộc tính nghiệm có đặc tính địa phương, hệ số L thỏa mãn giả thiết Định lý 2.6 miền Ω1 Ω, nghiệm suy rộng u(x) ∈ W2 (Ω) có W2 (Ω1 ) với Ω1 ⊂ Ω, khoảng dương từ phần biên Ω1 không phụ thuộc S Nếu từ kết Định lý 2.5 Định lý 2.6 coi lớp mở rộng miền Ω, miền biểu diễn hợp ∪N (Ωi ) miền Ωi cho lân i=1 cận Ωε ⊃ Ωi , giao Ωε ∩ Ω thỏa mãn điều kiện Định lý 2.5 i i Mặt khác, Định lý 2.5 Định lý 2.6 không miền biên có biên với góc mặt lớn π Vì vậy, mặt phẳng Ω = {x : x = ρeiθ , < θ < π + ε} với ε > 0, toán δu = f, u|s = 0, f ∈ L2 (Ω) có nghiệm suy rộng W2 (Ω) không phụ thuộc vào W2 (Ω) Đặc tính địa phương gia tăng tính trơn nghiệm suy rộng (2.94) dựa thưc tế ngồi tính bị chặn (2.93) cịn có tính bị chặn địa phương u2 ζ dx ≤ xx v2 Ω (Lu)2 ζ dx + c Ω u2 (ζ + ζx + ζ ζxx )dx (∗) Ω với u(x) ∈ W2 (Ω) hàm số ζ(x) ∈ C (Ω) với ζ|s = 0; có giới hạn không giống u(x) ∈ C (Ω) miền Ω1 tiếp giáp với vài phần trơn S1 ∂Ω Trong trường hợp sau u(x) bị triệt tiêu S1 , mặt khác, hỗ trợ ζ(x) giao với biên Ω1 , phép giao thuộc S1 Trong trường hợp tính trơn biên khơng cần thiết Các bất đẳng thức suy từ cân nhắc tích phân (Lu)2 ζ dx tương tự điều Ω mà ta chứng minh 26 Chú ý 2.2: Định lý 2.5 Định lý 2.6 bất đẳng thức (2.96) giá trị phức tạp λ, u(x) f (x) Nếu toán tử L đối xứng, xem giống dạng Lu = ∂ (aij uxj ) + au, ∂xi (2.97) giả thuyết Định lý 2.5 thỏa mãn L Ω, hàm riêng toán Lu = λu, u|s = (2.98) 2 W2 (Ω) Tuy nhiên, hàm f W2 (Ω) mở rộng chuỗi Fourier giới hạn hàm riêng uk (x), ∞ (2.99) (f, uk )uk (x) f (x) = k=1 hội tụ f (x) chuẩn W2 (Ω) nói cách khác, chuỗi (2.99) chuỗi có từ số hạng phân biệt với ý tới xi hội tụ L2 (Ω) Thật vậy, hội tụ (2.99) đến f chuẩn W2 (Ω), (2.87) coi tốn tử L−λ0 E với λ0 ≥ maxx a(x), chuẩn · W2 (Ω) tương đương với chuẩn 2,Ω u ≡ Lu−λ0 u Chuẩn u ứng với tích vô hướng {u, v}2 ≡ (Lu−λ0 u, Lv−λ0 v) hàm riêng uk toán (2.98) trực giao với tích vơ hướng, cho −1 {uk , ul } = (λk − λ0 )(λl − λ0 )(uk , ul ) = (λk − λ0 )2 δk , để ∞ (f, uk )uk k=1 ∞ (f, uk )2 (λk − λ0 )2 = (2.100) k=1 Chứng minh hội tụ chuẩn W2 (Ω) đủ để hội tụ chuỗi số (2.100) ta viết (f, uk ) dạng (f, uk ) = αk (f, Luk ) = (Lf, uk ) ≡ λk λk λk λk = 0; điều thực W2 (Ω) Chuỗi (2.101) ∞ hội tụ với k=1 Nhưng sau chuỗi (2.73) hội tụ ta xem xét thực tế có số hữu hạn hàm riêng ứng với trị số đặc trưng λ = Lf Định lí 2.7 Nếu Ω hệ số toán tử L thỏa mãn giả thuyết Định lý 2.5, hàm số f ∈ W2 (Ω) khai triển thành chuỗi (2.99) hội tụ tới f chuẩn W2 (Ω) 27 2.5 Tính trơn nghiệm suy rộng phương trình Eliptic tuyến tính cấp hai Ta có định lý sau độ trơn nghiệm suy rộng bên miền Định lí 2.8 Cho hàm u ∈ W2 (Ω) nghiệm suy rộng tốn Lu = f Ω, L elliptic ngặt Ω, hệ số aij , bi , i, j = 1, , n điều kiện liên tục Lípchitz Ω, hệ số ci , d, i = 1, , n bị chặn Ω hàm f L2 (Ω) Khi đó, miền Ω ⊂⊂ Ω ta có u ∈ W2 (Ω ) u W2 (Ω ) ≤ C( u W2 (Ω)+ f L2 (Ω) (2.102) ), với C = C(n, λ, K, d ), aij , bi K = max C1 (Ω) , ci , d L∞ (Ω) , d = dist(Ω , ∂Ω) Khi hệ số vế phải phương trình (2.102) có độ trơn tăng lên tính trơn nghiệm suy rộng tăng lên Định lí 2.9 Cho hàm u ∈ W2 (Ω) nghiệm suy rộng toán Lu = f Ω, Ω L elliptic ngặt Ω, hệ số aij , bi ∈ C k,1 (Ω), hệ k số ci , d ∈ C k−1,1 (Ω) hàm f ∈ W2 (Ω), k ≥ Khi đó, miền Ω ⊂⊂ Ω ta có k+2 u ∈ W2 (Ω ) u W k+2 (Ω ) ≤ C( u W21 (Ω) + f W2k (Ω) ) (2.103) với C = C(n, λ, K, d , k), K = max{ aij , bi C k,1 (Ω) , ci , d C k−1,1 (Ω) } Hệ 2.1 Cho hàm u ∈ W2 (Ω) nghiệm suy rộng elliptic ngặt toán Lu = f Ω, giả sử hàm aij , bi , ci , d, f C ∞ (Ω) Khi đó, hàm u ∈ C ∞ (Ω) 28 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau đây: - Phát biểu định lý Riez, định lý Lax-Milgram, định lý Fredholm Nêu l định nghĩa không gian Lp (Ω), đạo hàm riêng suy rộng, không gian Wp (Ω) Phát biểu định lý nhúng vết hàm số mặt cong (n − 1) chiều - Chứng minh bất đẳng thức thứ nhất, bất đẳng thức thứ hai, phát biểu định lý tồm nghiệm suy rộng phương trình elliptic tính giải tốn biên Dirichlet khơng gian W2 (Ω); W2 (Ω) 29 Tài liệu tham khảo [1] O.A.Ladyzhenskaya (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Applied Mathematical Sciences 49, Springer – Verlag, New York, Berlin, Heidelberg Tokyo [2] David Gilbarg.Neil, S trudinger (2001), Elliptic Pastial Differen Equations of Second Order, Springer - Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 30 ... NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÙY LINH BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 01 12 Người hướng dẫn... chương II tài liệu tham khảo [1], luận văn nghiên cứu tốn biên phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, luận văn gồm có hai chương: Chương I trình bày lý thuyết khơng gian Sobolev, phát biểu định... tính trơn nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định lí 1.1 (Định lý Riesz) Với phiếm hàm tuyến tính bị chặn F khơng gian