Lớp nghiệm Hölder của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên nghành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Dương Thanh Nga LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Dương Thanh Nga Mục lục Mở đầu 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Thế vị Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson . . . . . . . 7 1.2.1 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . 11 1.2.5 Đánh giá H¨older cho đạo hàm cấp hai . . . . . . . 12 1.2.6 Tính chất liên tục H¨older của nghiệm trên biên . 18 2 LỚP NGHIỆM H ¨ OLDER CỦA PHƯƠNG TRÌNH EL- LIPTIC CẤP HAI 22 2.1 Bài toán Dirichlet cho phương trình Elliptic cấp hai . . 22 2.2 Các đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Đánh giá H¨older cho phương trình hệ số hằng số . 23 2.2.2 Đánh giá tiên nghiêm bên trong miền . . . . . . 25 2.2.3 Đánh giá tiên nghiệm trên toàn miền . . . . . . . 30 2.3 Tính giải được của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . 37 iii iv 2.3.1 Phương pháp liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2 Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . 38 2.4 Độ trơn của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.1 Độ trơn của nghiệm bên trong miền . . . . . . . . 45 2.4.2 Độ trơn của nghiệm trong toàn miền . . . . . . . 47 Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 v BẢNG KÝ HIỆU R n không gian Euclid n-chiều R n + nửa không gian R n = {x ∈ R n |x n > 0} ∂S tập của các điểm trên biên ¯ S bao đóng của S, = ∂S ∩ S C 0 (Ω) tập các hàm liên tục trên Ω C 0 ( ¯ Ω) tập các hàm liên tục trên ¯ Ω C k (Ω) tập các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ≤ k trong Ω với (k ≥ 0, k ∈ Z hoặc k = ∞) C k (Ω) tập tất cả các hàm trong C k (Ω) có đạo hàm đến cấp ≤ k liên tục mở rộng đến ¯ Ω C k 0 (Ω) tập các hàm trong C k (Ω) có giá compact trong Ω B R (x 0 ) hình cầu tâm x 0 bán kính R trong R n C(∗, , ∗) hằng số C chỉ phụ thuộc vào các đại lượng bên trong dấu ngoặc đơn T là siêu phẳng x n = 0. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Phương trình đạo hàm riêng nhằm nghiên cứu tính giải được của các bài toán biên cùng các tính chất định tính của nghiệm. Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta chỉ ra rằng không thể nghiên cứu tính giải được của các bài toán chỉ thuần túy trong không gian các hàm số khả vi hai lần liên tục. Điều này có nghĩa rằng khi các hệ số và vế phải của phương trình chỉ là các hàm số liên tục thì nghiệm của nó có thể không phải là hàm khả vi hai lần liên tục. Xuất phát từ lí do nói trên chúng tôi mạnh dạn chon đề tài cho luận văn của mình là “Lớp nghiệm H¨older của bài toán Dirichlet cho phương trình tuyến tính cấp hai”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai trên không gian H¨older và độ trơn của nghiệm trong không gian H¨older. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Không gian H¨older 2. Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson 3. Bài toán Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai trên không gian H¨older 4. Phương pháp tiếp cận Schauder và các đánh giá tiên nghiệm 5. Tính giải đươc của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic 2 tuyến tính cấp hai trên không gian H¨older 6. Độ trơn của nghiệm thuộc không gian H¨older 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Không gian gian Holder, bài toán Drichlet cho phương trình Poisson, bài toán Dirichlet cho phương trình ellliptic tuyến tính cấp hai. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích , tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm Holder của phương trình elliptic tuyến tính loại hai. 6. Những đóng góp mới của đề tài Tổng quan về lớp nghiệm H¨older của phương trình tuyến tính cấp hai. Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian H ¨older 1.1.1 Thế vị Newton Phương trình Laplace trong R n có dạng ∆u := n  j=1 ∂ 2 u ∂x 2 = 0. Nghiệm của phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa. Ta biết nghiệm cơ bản của phương trình Laplace cho bởi: Γ(x − y) = Γ(|x − y|) =      1 n(2 − n)ω n |x − y| 2−n , n > 2 1 2π log |x − y| , n = 2 (1.1) trong đó ω n là thể tích của hình cầu đơn vị trong R n . Hàm số Γ(x) là hàm điều hòa tại điểm x = 0. Cho mỗi hàm f khả vi trên miền Ω, thế vị Newton của hàm f là hàm ω(x) được định nghĩa trên R n bởi ω (x) =  Ω Γ (x − y) f(y)dy (1.2) Trong biểu diễn của công thức Green ta có với mọi u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ 3 4 C( ¯ Ω) u(y) =  ∂Ω (u(x) ∂Γ ∂ν x − Γ(x − y) ∂u(x) ∂ν x )dS x +  Ω Γ(x − y)∆u(x)dx, (1.3) với mọi y ∈ Ω. Trong đó ν x là vecto pháp tuyến đơn vị ngoài tai điểm x ∈ ∂Ω. Chúng ta thấy khi ∂Ω đủ trơn, từ công thức (1.3) suy ra một hàm C 2 (Ω) có thể biểu diễn bằng tổng hàm điều hòa và thế vị Newton. 1.1.2 Không gian H¨older Nếu cho hàm f trong công thức (1.2) thuộc C ∞ 0 (Ω), chúng ta thấy bằng cách viết: ω (x) =  Ω Γ (x − y) f (y) dy =  R n Γ (x − y) f (y) dy =  R n Γ (z) f (x − z) dz ta thấy ω ∈ C ∞  ¯ Ω  . Mặt khác, nếu f liên tục thì thế vị Newton ω không nhất thiết phải khả vi hai lần. Đã chỉ được ra rằng, có một lớp các hàm f thuận lợi để làm việc. Đó là lớp hàm H¨older liên tục được giới thiệu dưới đây. Cho x 0 ∈ R n và f là một hàm xác định trên tập bị chặn D có chứa điểm x 0 . Nếu 0 < α < 1, chúng ta nói hàm f liên tục H¨older với số mũ α tai x 0 nếu [f] α,x 0 = sup D |f(x) − f(x 0 )| |x − x o | α (1.4) là hữu hạn. Ta gọi [f] α,x 0 là hệ số α-H¨older của f tại x 0 đối với D. Như vậy, f liên tục H¨older tại điểm x 0 thì f phải liên tục tại điểm x 0 . Trong công thức (1.4) xác định và α = 1 thì nói f liên tục Lipschitz tại x 0 . 5 Ví dụ: f là hàm xác định trong B 1 (0), f (x) = |x| β , 0 < β < 1 là liên tục H¨older với hệ số β tại điểm x = 0. Khi β = 1 thì f liên tục Lipschitz. Khái niệm liên tục H¨older là dễ dàng mở rộng trên toàn bộ tập D (không nhất thiết bị chặn). Hàm f là liên tục H¨older với số mũ α trong tập D nếu [f] α;D = sup x,y∈D,x=y |f(x) − f(y)| |x − y| α (1.5) (0 < α < 1) là hữu hạn. Ta nói f là liên tục H¨older địa phương với số mũ α trong D nếu hàm f liên tục H¨older với số mũ α trên mọi tập compact của D. Chú ý: Hai khái niệm trên là trùng nhau khi D là tập compact. Ta chú ý rằng liên tục địa phương H¨older là tính chất mạnh hơn liên tục H¨older theo từng điểm trong tập compact. Một hàm liên tục H¨older địa phương sẽ là liên tục H¨older theo từng điểm trong D và nó cũng bị chặn trong D. Liên tục H¨older được chứng minh là một đại lượng định tính của tính liên tục, nó đặc biệt phù hợp với việc nghiên cứu của các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Trong một nghĩa nào đó nó cũng được xem như là khả vi phân số. Điều này cho ta thấy sự mở rộng của các không gian hàm khả vi. Cho Ω là một tập mở trong R n và k là một số nguyên không âm. Không gian H¨older C k,α  ¯ Ω  (C k,α (Ω)) được định nghĩa như là các không gian con của C k  ¯ Ω  (C k (Ω)) gồm các hàm mà đạo hàm riêng thứ k đều liên tục H¨older (liên tục H¨older địa phương) với số mũ α trong Ω. Để đơn giản chúng ta viết: C 0,α  ¯ Ω  = C α  ¯ Ω  C 0,α (Ω) = C α (Ω) [...]... elliptc tuyến tính cấp hai Bài toán đi tìm hàm u(x) thỏa mãn phương trình (2.1) trong Ω với điều kiện biên u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂Ω là bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai 22 23 2.2 Các đánh giá tiên nghiệm 2.2.1 Đánh giá H¨lder cho phương trình hệ số hằng số o Trước khi xử lí phương trình (2.1) ta cần thiết lập mở rộng định lí 1.4 và 1.8 từ phương trình Poisson sang phương trình elliptic với... 2 ¨ LỚP NGHIỆM HOLDER CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC CẤP HAI 2.1 Bài toán Dirichlet cho phương trình Elliptic cấp hai Cho Ω ∈ Rn là miền bị chặn, toán tử L là elliptic nghiêm ngặt trong Ω Xét phương trình n n bj (x)uxj + c(x)u = f, x ∈ Ω; aij (x)uxi xj + Lu = i,j (2.1) j=1 n aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2 , λ − const > 0, ξ ∈ Rn (2.2) i,j=1 ¯ aij (x), bj (x), c(x), f (x) ∈ C(Ω) được gọi là phương trình elliptc tuyến. .. 2 cho u (x, y) = (sgnx) y β nếu y ≥ 0, y ≤ 0 Rõ ràng ¯ ¯ ¯ u ∈ C 1 Ω Tuy nhiên nếu 1 > α > β/2, dễ dàng thấy được u ∈ C α Ω ¯ ¯ ¯ và do đó C 1 Ω ⊂C α Ω 1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson 1.2.1 Bài toán Dirichlet Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn , còn u ∈ C 2 (Ω), hàm u(x)thỏa mãn phương trình Laplace ∆u = 0 với mọi x ∈ Ω được gọi là hàm điều hòa trong Ω Dạng không thuần nhất của phương. .. mãn phương trình Laplace ∆u = 0 với mọi x ∈ Ω được gọi là hàm điều hòa trong Ω Dạng không thuần nhất của phương trình Laplace ∆u = f (1.10) 8 được gọi là phương trình Poisson Bài toán đi tìm hàm u(x) thỏa mãn phương trình (1.10) trong Ω với điều kiện biên u = ϕ là bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson 1.2.2 Công thức tích phân từng phần •Trường hợp n = 1 b b f (x) g (x) dx = f (x) g (x) |b − a a... tịnh tiến cho một điểm bất kì của ∂B có thể thực hiện đối với gốc ta ¯ thu được u ∈ C 2,α (B) ¯ ¯ Hệ quả 1.2 Cho ϕ ∈ C 2,α B , f ∈ C α B Khi đó bài toán Dirichlet ¯ ∆u = f trong B, u = ϕ trên ∂Ω có nghiệm duy nhất u ∈ C 2,α (B) Chứng minh Đặt v = u − ω bài toán trên được đơn giản thành bài toán ¯ ∆v = f − ∆ϕ trên B, v = 0 trên ∂B nó có nghiệm v ∈ C 2 (B) ∩ C 0 B ¯ theo Định lí 1.1 và kết quả cho v ∈... một cách Đánh giá cho u thu được bằng cách kết hợp các bất đẳng thức Hệ quả 1.1 Bất kì dãy nghiệm bị chặn của phương trình Poisson ∆u = f trong miền Ω với f ∈ C α (Ω) chứa một dãy con hội tụ đều trên mọi miền con compact đến một nghiệm nào đó của phương trình này Cho x, y ∈ Ω mà có thể phù hợp với bất kì tập con mở của Rn , đặt dx = dist(x, ∂Ω) , dx,y = min(dx , dy ) Ta định nghĩa cho u ∈ C k (Ω), C... và lí thuyết về độ trơn của nghiệm Những đánh giá này dựa trên kết quả thu được ở (2.4) cho nghiệm của phương trình Lu = f Ta có bất đẳng thức nội suy sau đây: Cho u ∈ C 2,α (Ω), ở đây Ω là một tập mở của Rn thì ∀ ε, ∃ C = C(ε) sao cho: ∗ [u]∗ j,β;Ω ≤ C|u|0;Ω + ε[u]2,α;Ω (2.8) ∗ |u|∗ j,β;Ω ≤ C|u|0;Ω + ε[u]2,α;Ω , (2.9) j = 0, 1, 2; 0 ≤ α, β ≤ 1; j + β < 2 + α Định nghĩa 2.1 Cho σ ∈ Rn , k ∈ Z, k ≥... đều chính quy Định lí 1.2 Cho Ω là một miền bị chặn và giả sử mỗi điểm trên biên ∂Ω là chính quy Nếu f chặn, liên tục H¨lder địa phương trong Ω, bài o toán Dirichlet: ∆u = f trong Ω, u = ϕ trên biên ∂Ω, có nghiệm duy nhất đối với hàm biên ϕ liên tục bất kì Chứng minh Ta định nghĩa ω là thế vị Newton của f và đăt v = u − ω thì bài toán ∆u = f trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω, có duy nhất nghiệm (theo Định lí 1.1)... (b) của bổ đề sử dụng định lí 1.8 và bất đẳng thức (2.7) Nhận xét 2.1 Bổ đề 2.1 cung cấp trực tiếp mở rộng đánh giá trên mặt cầu Định lí 1.3 và Định lí 1.6 từ phương trình Poisson sang phương trình tổng quát với hệ số hằng 2.2.2 Đánh giá tiên nghiêm bên trong miền Mục tiêu trong việc nghiên cứu phương trình Lu = f là việc sử dụng đánh giá Schauder bên trong miền, thực chất là nghiên cứu một phần của. .. (1.18) Nhận xét 1.3 Nếu Ω1 , Ω2 là miền sao cho Ω1 ⊂ B1 , B2 ⊂ Ω2 , và ¯ f ∈ C α Ω2 , ω là thế vị Newton của f trên Ω2 thì Bổ đề 1.3 vẫn đúng với Ω1 , Ω2 thay thế B1 , B2 tương ứng trong (1.16) là : D2ω 0,α;Ω1 ≤ C|f | 0,α;Ω2 Từ Bổ đề này sẽ có những đánh giá H older cho nghiệm của ¨ phương trình Poisson 2 α Bổ đề 1.4 Giả sử u ∈ C0 (Rn ), f ∈ C0 (Rn ) thỏa mãn phương trình 2,α Poisson ∆u = f trong Rn Khi . Dirichlet cho phương trình tuyến tính cấp hai . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính giải được của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai trên không gian H¨older và độ trơn của. cứu tổng quan về lớp nghiệm Holder của phương trình elliptic tuyến tính loại hai. 6. Những đóng góp mới của đề tài Tổng quan về lớp nghiệm H¨older của phương trình tuyến tính cấp hai. Chương 1 KIẾN. của nghiệm trong không gian H¨older. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Không gian H¨older 2. Bài toán Dirichlet cho phương trình Poisson 3. Bài toán Dirichlet cho phương trình Elliptic tuyến tính cấp hai trên