Phương pháp tựa tuyến tính hoá giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến

Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến.. Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán biên đối với phương trình vi phân thư

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ giải tích, khoa toán trường ĐHSPHN 2, gia đình, bạn bè, các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt 2, những người đã động viên tôi trong suốt quá trình học

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh Tôi xin cam đoan các tài liệu nghiên cứu trong luận văn là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Các thông tin trích dẫn các tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Luận văn chưa được công bố trên bất kì tạp chí nào

MỤC LỤC

Trang

1.2 Phương pháp tuyến tính hóa

1.3 Phương pháp Newton

1.4 Trong không gian n

1.5 Phương pháp Newton – Katorovich

1.6 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính

1.7 Phương pháp Galerkin

1.8 Môt số kiến thức cơ bản về giải tích hàm

1.9 Đạo hàm Frechét trong không gian định chuẩn

1.10 Phương trình Sturm – Liouville

Chương 2 Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ bài toán

biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến

2.1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán biên đối với phương

trình vi phân thường phi tuyến

2.1.1.Tính chất đơn điệu

2.1.2 Phương pháp tiếp cận cơ bản

2.1.3 Mối quan hệ giữa nghiệm và các hệ số

2.1.4 Phép nhân tử hóa đối với toán tử vi phân tuyến tính cấp 2

2.1.5 Tính chất dương của nghiệm của phương trình vi phân

2.1.6 Xét quan hệ với phương trình đạo hàm riêng parabolic

2.1.8 Sự hoàn thiện của việc đánh giá sự hội tụ

2.2 Sự hội tụ của dãy nghiệm xấp xỉ

2.2.1 Áp dụng tuyến tính hóa đối với hệ

2.2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính

2.2.3 Một số ví dụ

2.2.4 Tính toán đồng thời các xấp xỉ

2.2.5 Thảo luận

2.2.6 Tính chất đơn điệu đối với hệ

2.2.7 Tính chất đơn điệu đối với phương trình vi phân tuyến

Chương 3 Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa giải một

số bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi

Nhà toán học L Kantorovich đã khái quát phương pháp Newton giải

phương trình vô hướng f(x) = 0 trong không gian để giải phương trình (1)

Trong đó tư tưởng tuyến tính hoá đã được ông phát triển và khái quát rất thành công cho phương trình toán tử

Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến Phương pháp nghiên cứu ở đây là áp dụng sự tuyến tính hóa và bất đẳng thức vi phân Thông qua bất đẳng thức vi

phân để xây dựng một dãy nghiệm xấp xỉ (x n ) đơn điệu tăng hội tụ tới

nghiệm u *

của (1) Đề tài chúng tôi nghiên cứu là “Phương pháp tựa tuyến

tính hóa giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tựa tuyến tính hóa và bất đẳng thức vi phân vào giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi

phân thường phi tuyến Nêu một số ví dụ về giải số bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phương pháp tựa tuyến tính hóa, nghiên cứu về bất đẳng thức vi phân

Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ đơn điệu tới nghiệm của của bài toán biên

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ một lớp bài toán biên đối với

hệ phương trình vi phân thường phi tuyến

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một

số vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập

6 Những đóng góp mới của đề tài

Luận văn trình bầy một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương pháp tựa tuyến tính hóa

Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp tựa tuyến tính trong việc giải xấp

xỉ một lớp bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân thường phi tuyến

Chương 1 Kiến thức bổ trợ

1.1 Phương trình vi phân Riccati

Phương trình vi phân Riccati là phương trình vi phân phi tuyến bậc 1 dạng

2

v  v p t vq t  (1.1) Nói chung phương trình Riccati không giải được bằng cầu phương và các

hàm cơ bản của giải tích với các hệ số tùy ý p(t) và q(t)

Phương trình (1.1) có mối quan hệ với phương trình vi phân tuyến tính cấp 2

Ta bắt đầu với phương trình

v p t vq t v , (1.2)

ta đặt : uevdt, khi đó, u vevdt, vdt 2 vdt

uv e  v e ,

thay u , u, u vào phương trình (1.2) thì ta đưa (1.2) về dạng (1.1)

1.2 Phương pháp tuyến tính hóa

Khi x gần x0 thì

Từ (1.4) ta nhận thấy vế trái của (1.4) là biểu thức phi tuyến và vế phải là

biểu thức bậc nhất đối với x

Dựa vào (1.4) người ta thay thế biểu thức phi tuyến bởi biểu thức bậc nhất

Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm x  (x1 ,x2 , ,x n ) U Khi đó:

điều kiện sau:

i) Phương trình ( )f x 0có nghiệm duy nhất  trên [a,b]

[a,b]

f C và f x( ), f( )x không đổi dấu trên [a,b]

Định nghĩa: Điểm x[ , ]a b được gọi là điểm Fourier, nếu f( ) ( )x f x 0 Không giảm tính tổng quát ta giả sử ( )f x có đạo hàm f( )x 0, nếu không ta xét phương trình ( ) 0g x  với g: f

Chọn xấp xỉ ban đầu x là điểm Fourier, nếu 0 f( ) ( )x f x0 0 0 Phương trình tiếp tuyến của đường cong y f x( ) tại điểm M( , ( ))x0 f x0

y f x xx  f x

Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là:

1

( )( )

( n )

n

f x x

1.4 Trong không gian n

Cho hệ phương trình phi tuyến :

1 1 2,

2 1 2,

1 2,

( , , ) 0( , , ) 0( , , ) 0

Giả sử cho trước xấp xỉ đầu tiên (0)

x , thay vì giải hệ phương trình (1.11)

ta giải hệ phương trình sau:

det (J x )0 thì (1.13) có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu là x Để (1)

thuận lợi, ta giải (1.13) đối với ẩn (0) (0)

x x x

   , sau đó tính

x x  x Như vậy ta đã thay hệ phương trình ( ) 0f x i  , (i1,n) bởi

hệ phương trình (1.13) đơn giản hơn nhiều, vì (1.13) tuyến tính đối với x Nếu x (m) tìm được thì x (m+1) tính theo công thức: x(m1) x(m)  x(m), véctơ

Phương pháp Newton sẽ hội tụ nếu các xấp xỉ ban đầu được chọn tốt và

ma trận J(x) không suy biến, hơn thế nữa tốc độ hội tụ là tốc độ bình phương

Người ta chứng minh được rằng phép lặp chỉ dừng tại khi thỏa mãn bất đẳng thức

( )

P x  , với mọi xS x r( , )0Tương tự như phương pháp Newtơn, các xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau

Thay thế phương trình (1.16) bởi phương trình tương đương sau:

P x P x  P x , gọi x* là nghiệm đúng của phương trình (1.16), giá trị P x( )P x( )0 được thay bởi giá trị gần đúng P x'( )(0 xx0) Có thể suy luận rằng nghiệm của phương trình:

( ) ( )n ( )n

P x P x  P x , bởi phương trình :

'( )(n n) ( )n

P x xx  P x , n1,2, , (1.17) Giả sử x n1 là nghiệm của phương trình (1.17), khi đó:

Nếu dãy{xn} hội tụ đến x*

và x0 được chọn gần nghiệm x* thì các toán tử '( )n

P x và P x sẽ gần nhau hơn, điều đó làm cơ sở cho việc thay thế công '( )0thức (1.18) bằng công thức sau , đơn giản hơn:

1.6 Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính :

a Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất là hệ phương trình

có dạng:

2

n n n n n n n nn n dy p y p y p y dx dy p y p y p y dx dy p y p y p y dx                       (1.19) Ta giả thiết các hàm p , ij n1,2, ,, liên tục trên khoảng (a,b) Khi đó, với mỗi x0(a,b),  0 0 0 1, 2, , n y y y  n , thì tồn tại duy nghiệm 1 2 ( ) ( ( ), ( ), , n( )) y x  y x y x y x của hệ (1.19) xác định trên khoảng (a, b) và thỏa mãn điều kiện ban đầu: 0 0 0 1( )0 1, 2( )0 2, , n( )0 n y x  y y x  y y x  y *> Hệ (1.19) có thể viết dưới dạng véctơ như sau: Đặt:

1 2

n y y y y              , 1 2 n dy dx dy dY dx dx dy dx                      , ( )p x = 11 12 1 21 22 2 1 2 p ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

n

n

Khi đó, hệ (1.19) tương đương với phương trình: dY p x Y( )

*> Toán tử vi phân tuyến tính của hệ (1.19)

Để đơn giản cách viết và thuận lợi cho nghiên cứu ta đưa ra toán tử vi phân tuyến tính sau:

dx

Khi đó hệ (1.19) viết được dưới dạng: [ ]L y  0

b Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

*> Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có dạng:

dy

p y p y p y f x dx

dy

p y p y p y f x dx

hoặc viết dưới dạng toán tử L như sau: [ ] L y  F x( )

Ta giả thiết các hàm p , ij f x , , i( ) i j1,2, ,n, liên tục trên khoảng (a, b) Khi đó, bằng cách lý luận tương tự như đối với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với mỗi x0( , )a b ,  0 0 0

1, 2, , n

y y y  n, thì tồn tại duy nhất

( ) ( ( ), ( ), , n( ))

y x  y x y x y x của hệ (1.20) xác định trên khoảng (a, b) và thỏa

1( )0 1, 2( )0 2, , n( )0 n

y x  y y x  y y x  y

c Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số

Hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số là hệ có dạng:

a y a y a y f x dx

dy

a y a y a y f x dx

liên tục trên khoảng (a, b) nào đấy

Nếu ta dùng kí hiệu như các phần trước thì hệ (1.21) viết được dưới dạng:

,

a b

C  Giả sử trên đoạn [a,b] cho dãy hàm n( )t n 1, thỏa mãn điều kiện:

1 i( )t và j( )t trực giao với nhau, i ≠ j,

y t  t c t



  là nghiệm duy nhất của bài toán

1.8 Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm

Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định

chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ( P hoặc P ) cùng

với một ánh xạ từ X vào tập số thực kí hiệu là , thỏa mãn các tiên đề: i) x   0, x X ,

tới điểm xX , nếu

h

h h

Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu

mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

1.9 Đạo hàm Frechét trong không gian định chuẩn

Định lý 1.1 Một toán tử được định nghĩa trên một tập con mở của một

không gian Banch là khả vi Frechét tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó Chứng minh

Cho A là một tập mở trong không gian banch X, toán tử f A: Y Lấy

Định lý 1.2 (Tính duy nhất của đạo hàm Frechét) Đạo hàm Frechét của

một toán tử nếu có là duy nhất

1.10 Phương trình Sturm – Liouville

Phương trình Sturm-Liouville là phương trình có dạng:

Theo điều kiện của định lý thì bất đẳng thức (1.26) đúng với xx0 Cho nên nhờ tính chất liên tục của ( )y x và ( ) z x thì bất đẳng thức đó cũng đúng

trong lân cận nào đó ở phía phải x Giải sử rằng 0 x1x X0,  Là điểm gần nhất đối với x sao cho bất đẳng thức (1.26) không đúng nghĩa là 0

z x  y x các đường cong ( )z x và ( ) y x chúng cắt nhau hoặc tiếp xúc với

nhau tạixx1 nhưng khi đó dz( )x1 f x y x( , ( )1 1

đẳng thức (1.25)

Định lý được chứng minh

Chương 2 Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp xỉ bài toán biên đối với hệ phương trình vi phân

thường phi tuyến

2.1 Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ của bài toán biên đối với phương trình

vi phân thường phi tuyến

2.1.1 Tính chất đơn điệu

Bây giờ chúng ta hãy nghiên cứu các tính chất đơn điệu của dãy các xấp

xỉ thu được bằng cách sử dụng tuyến tính hóa Việc nghiên cứu này rất có ý

nghĩa, vì vài lý do sau:

Thứ nhất, theo quan điểm giải tích là quan trọng, vì chúng cho ta những

phương pháp mới cho việc thiết lập tính bị chặn và hội tụ của dãy các xấp xỉ

Thứ hai, đối với tính toán thì việc hội tụ đơn điệu thì khá hữu hiệu trong tính toán vì nó cho phép chứng minh sự chặn trên của nghiệm và kiểm soát kết quả tính toán

Việc nghiên cứu tính chất đơn điệu của các xấp xỉ đối với phương trình vi phân phi tuyến cấp 2 thì tương đương với việc nghiên cứu bất đẳng thức vi phân dạng

u p t uq t u  (2.1)

Ta sẽ nghiên cứu các điều kiện để từ đó suy ra được u ≥ 0 hoặc u ≤ 0

Trong quá trình áp dụng tuyến tính hóa đối với phương trình Riccati chúng ta đã áp dụng nhiều lần giả thiết sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

( ) ( )

u a t ub t (2.2)

Nghiệm này được biểu thị qua tích phân và hàm mũ chúng ta thu được đầy đủ các thông tin mà ta mong muốn liên quan đến bất đẳng thức vi phân

u a t u( ) b t( )  0 (2.3) Trong phần này, chúng ta trình bầy một số mẹo, thủ thuật, kĩ xảo, của phép toán biến phân tới phương trình vi phân đạo hàm riêng

Để bắt đầu chúng ta chỉ cần nghiên cứu bất đẳng thức:

u  q t u( )  0,

vì với cách đặt:

2

p dt

2.1.2 Phương pháp tiếp cận cơ bản

Trước khi đưa vào phương pháp nghiên cứu hữu hiệu hơn, thì ta hãy trình bầy một phương pháp cơ bản đối với việc nghiên cứu bất đẳng thức

u a t u( )  0 , 0  t b, (2.5)

mà có thể áp dụng để nghiên cứu phương trình vi phân phi tuyến, phương trình đạo hàm riêng eliptic, phương trình parabolic và các dạng khác của các phương trình hàm

0  t b

Thật vậy, giả sử kết quả này là không đúng khi đó có một giá trị t = t1 gần gốc tọa độ nhất để ( ) 0u t  , như đã chỉ ra trong hình 2.1 Có được điều

này thì suy ra rằng tồn tại một giá trị trung gian t 2 để u(t) cực đại tương đối

Tuy nhiên, ở tại điểm này thì

u t  a t u  ,

trái với giả thiết rằng u(t) có một cực đại địaphương t = t 2

Như vậy, nếu (0)u 0, (0)u  0 thì suy ra rằng ( )u t  0 với 0  t b

2.1.3 Mối quan hệ giữa nghiệm và các hệ số

Để nghiên cứu bất đẳng thức vi phân (2.1) được sâu rộng hơn, chúng ta

sẽ xét vài mối quan hệ giữa nghiệm và các hệ số tương tự như mối quan hệ giữa nghiệm và các hệ số của phương trình đa thức

Cho u1 và u2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình

u p t u q t u  , (2.6)

Ta đưa vào kí hiệu

Điều này tương đương với phương trình trong (2.10) Từ đây, ta suy ra

rằng sự độc lập tuyến tính của u1 và u2 ở tại môt điểm, t = 0, kéo theo sự độc

lập tuyến tính ở mọi nơi

Nếu chọn u1 và u2 là 2 nghiệm cơ bản thỏa mãn u1(0) 1 , u1(0)0,

2.1.4 Phép nhân tử hóa đối với toán tử vi phân tuyến tính cấp 2

Bây giờ ta thực hiện vài biến đổi đơn giản mà giúp ích cho việc nghiên cứu phương trình :

''

2.1.5 Tính chất dương của nghiệm của phương trình vi phân

Từ kết quả cuối cùng đã nói trong phần trước (2.23) , chúng ta dễ dàng chứng minh rằng điều kiện đủ để hệ thức

là nghiệm dương trong [0, b]

Gọi nghiệm dương này là u1(t) và u2(t) là một nghiệm khác sao cho

Ta thấy rằng hằng số của tích phân bằng 0 vì '(0) = '(0)u v

Lại thấy hằng số của tích phân bằng 0, vì u(0) = v(0), từ đây ta thấy rằng

u ≥ v, ta được điều mong muốn, hơn nữa ta có chặn dưới của biểu thức u – v

mà biểu thị qua L(u) - L(v), với L là toán tử tuyến tính cấp 2

Cuối cùng ta lưu ý rằng, sự tồn tại của u1(t) gắn với điều kiên về các giá

trị riêng

2.1.6 Xét quan hệ với phương trình đạo hàm riêng parabolic

Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu tính dương, hay chính xác hơn là tính không âm của nghiệm của phương trình

'' + ( ) + ( ) = 0 , 0 < < u q t u f t x b , (2.30)

với các điều kiện biên u(0) = u(b) = 0, thông qua tính chất nghiệm của

phương trình truyền nhiệt

( ) + ( )

u  u q t u f t , (2.31) với các điều kiện ban đầu

Ta chứng minh rằng giới hạn của nghiệm của phương trình (2.31) khi

t  là nghiệm của phương trình (2.30)