Phương pháp laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Nguyễn Anh Vũ i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2013 Tác giả Nguyễn Anh Vũ ii Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Số phức và mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Các tập hợp trong mặt phẳng phức . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Thặng dư và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Tích phân vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Hàm giai thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Hàm Zeta-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức 27 2.1 Ý tưởng của phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Đa thức Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Hàm Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.1 Biểu diễn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2 Hàm Bessel kiểu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.3 Kiểu hàm thứ hai và thứ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.5 Dạng tương tự của hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 iii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính ta xác định một hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân thuần nhất cùng với việc tìm một nghiệm riêng của phương trình đó. Nghiệm tổng quát của phương trình này là tổng nghiệm riêng của phương trình với nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng. Nhưng cho đến nay, người ta cũng chỉ đưa ra được quy trình hệ thống để xây dựng hệ nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Đối với phương trình vi phân tuyến tính mà hệ số không phải là hằng số, việc tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp của một số phương trình vi phân khá khó khăn (nếu không muốn nói là không thể). Điều này cũng xảy ra ngay cả khi phương trình vi phân có dạng rất đơn giản. Chẳng hạn, như phương trình dưới đây y  − 2xy  + y = 0. Đó là phương trình vi phân cấp hai với hệ số là hàm số của một biến độc lập, nhưng ta không thể tìm được nghiệm riêng dưới dạng một hàm số sơ cấp. Tuy nhiên, việc giải các dạng phương trình như phương trình trên đây là rất quan trọng vì đây là một trong rất nhiều các bài tán nảy sinh từ các vấn đề thực tiễn, chủ yếu là các bài toán trong lĩnh vực vật lý. Điều đó, sẽ được chúng tôi đề cập trực tiếp trong luận văn về các bài toán liên quan tới hàm Hermite, hàm Bessel. . . . Một trong các phương pháp có thể giải quyết điều này là phương pháp Laplace, cho ta biểu diễn nghiệm của các phương trình này dưới dạng tích phân. Với phương trình vi phân n  k=0 (a k + b k x) y (k) (x) = 0, (1) sau khi sử dụng phương pháp Laplace, nghiệm có biểu diễn dưới dạng tích 1 2 phân như sau y(x) =  C S(p)e px dp, (2) thế (2) vào (1), chọn đường cong (C) thích hợp ta có công thức (2) là nghiệm chính xác của (1) với S(p) = A G(p) exp   p F (q) G(q) dq  (3) trong đó F (q) = n  k=0 a k q k , F (q) = n  k=0 b k q k . Từ công thức nghiệm (3) ta có thể giải quyết triệt để bài toán về hàm Hermite, hàm Bessel,. . . . Được sự định hướng của thầy hướng dẫn, em đã chọn đề tài: “Phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức và từ đó giải quyết bài toán về hàm Hermite, hàm Bessel. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp tiệm cận của Laplace trong việc giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp tổng quan của Laplace giải phương trình vi phân với hệ số đa thức và trình bày cụ thể qua một số các phương trình nổi tiếng xuất hiện từ các bài toán vật lý như phương trình Bessel, phương trình Hermite. 5. Những đóng góp của đề tài Xây dựng cách tìm nghiệm từ ý tưởng của phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số là đa thức. 3 6. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, nghiên cứu các vấn đề liên quan, từ đó suy ra các kiến thức liên quan tới mục đính cần nghiên cứu. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm biến phức 1.1.1 Số phức và mặt phẳng phức Số phức là số có dạng z = x + iy, với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà i 2 = −1. Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, được kí hiệu tương ứng bởi x = Re z, y = Im z. Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi C và được đồng nhất với mặt phẳng R 2 bởi phép tương ứng C → R 2 z = x + iy → (x, y). Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo. Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thường như các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i 2 = −1. Với z 1 = x 1 + iy 1 , z 2 = x + iy 2 , ta có z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) và z 1 .z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ). Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là giá trị |z| =  x 2 + y 2 . Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký hiệu và xác định bởi ¯z = x − iy. Không khó khăn, ta có thể kiểm tra được Re z = z + ¯z 2 , Im z = z − ¯z 2i 4 5 và |z| 2 = z.¯z, 1 z = ¯z |z| 2 , với z = 0. Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.e iθ , với r > 0, θ ∈ R được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu là arg z (argument của số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π). Argument của số phức z thỏa mãn 0 ≤ arg z < 2π được gọi là argument chính, ký hiệu là phz. Ta có e iθ = cosθ + i sin θ. Bởi vì   e iθ   = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z. Cuối cùng, ta lưu ý rằng nếu z = r.e iθ và w = s.e iϕ thì z.w = r.s.e i(θ+ϕ) . 1.1.2 Các tập hợp trong mặt phẳng phức Cho z 0 ∈ C và r > 0, ta gọi đĩa mở tâm z 0 bán kính r là tập hợp D r (z 0 ) = {z ∈ C : |z − z 0 | < r}. Đĩa đóng tâm z 0 bán kính r là tập hợp D r (z 0 ) = {z ∈ C : |z − z 0 | ≤ r}. Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn C r (z 0 ) = {z ∈ C : |z − z 0 | = r}. Đĩa có tâm z 0 = 0 và bán kính 1 gọi là đĩa đơn vị, kí hiệu là D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Cho tập Ω ⊂ C, điểm z 0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồn tại r > 0 sao cho D r (z 0 ) ⊂ Ω. Phần trong của Ω kí hiệu là int Ω gồm tất cả các điểm trong của Ω. Tập Ω là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là mở. Điểm z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãy các điểm z n ∈ C sao cho z n = z và lim n→∞ z n = z. Chúng ta có thể kiểm tra được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó. Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, ký hiệu là ¯ Ω. Biên của Ω ký hiệu là ∂Ω = ¯ Ω\int Ω. 6 Tập Ω là bị chặn nếu ∃M > 0 sao cho |z| ≤ M với mọi z ∈ Ω. Nếu tập Ω là bị chặn, thì ta xác định đường kính của nó bởi số diam(Ω) = sup {|x − y| : x, y ∈ Ω}. Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn. Tập mở Ω ⊂ C được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập mở khác rỗng Ω 1 và Ω 2 sao cho Ω = Ω 1 ∪Ω 2 . Một tập mở liên thông trong C được gọi là một miền. Tập đóng F là liên thông nếu không thể viết F = F 1 ∪F 2 ở đó F 1 và F 2 là các tập đóng rời nhau. 1.1.3 Hàm chỉnh hình Cho hàm phức f(z) xác định trên tập mở Ω. Hàm f(z) được gọi là chỉnh hình tại điểm z 0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu thức f(z 0 + h) − f(z 0 ) h (1.1) khi h → 0, ở đó h = 0 và h ∈ C với z 0 + h ∈ Ω. Giới hạn trên được ký hiệu bởi f  (z 0 ) và gọi là đạo hàm của hàm f(z) tại điểm z 0 . Như vậy, ta có f  (z 0 ) = lim h→0 f(z 0 + h) − f(z 0 ) h . Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω. Nếu M là tập đóng của C, ta nói f là chỉnh hình trên M nếu f là chỉnh hình trên một tập mở nào đó chứa M. Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên. Hàm f(z) = z là chỉnh hình trên tập con mở bất kỳ trong C và f  (z) = 1. Thật vậy, ta có f  (z 0 ) = lim h→0 f(z 0 + h) − f(z 0 ) h = lim h→0 (z + h) − z h = 1. Từ đó, ta suy ra đa thức P(z) = a 0 + a 1 z + + a n z n chỉnh hình trên mặt phẳng C và P  (z) = a 1 + 2a 2 z + + na n z n−1 . Trong khi đó, hàm f(z) = ¯z là không chỉnh hình trên toàn mặt phẳng. Thật vậy, ta thấy f(z 0 + h) − f(z 0 ) h = z + h − ¯z h = ¯z + ¯ h − ¯z h = ¯ h h không có giới hạn khi h → 0. Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f(z) là chỉnh hình tại z 0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số a sao cho f(z 0 + h) − f(z 0 ) − a.h = h.ψ(h) (1.2) 7 với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim h→0 ψ(h) = 0. Dĩ nhiên, ta có a = f  (z 0 ). Giữa khái niệm khả vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến có sự khác biệt đáng kể. Như ta đã thấy hàm f(z) = ¯z không khả vi phức, nhưng dưới dạng biến thực hàm đó tương ứng ánh xạ F : (x, y) → (x, −y) khả vi theo nghĩa của hàm hai biến thực. Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêng của các hàm tọa độ. Mối quan hệ của hai hàm khả vi đó được phản ánh qua kết quả dưới đây. Định lí 1.1.1. ( Điều kiện Cauchy-Riemann). Điều kiện cần và đủ để hàm phức f(z) = u(x, y) + iv(x, y) khả vi tại điểm z = x + iy là tại điểm đó tồn tại các đạo hàm riêng của các hàm u(x, y) và v(x, y), đồng thời các đạo hàm đó thoả mãn điều kiện Cauchy - Riemann ∂u ∂x (x, y) = ∂v ∂y (x, y), ∂u ∂y (x, y) = − ∂v ∂x (x, y). (1.3) 1.1.4 Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ∞  n=0 a n z n = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + + a n z n + (1.4) trong đó a n ∈ C; n = 0, 1, 2, Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.4) hội tụ tại điểm z 0 nào đó,thì nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| ≤ |z 0 |. Hơn nữa, ta cũng luôn biết rằng luôn tồn tại một đĩa mở mà trên đó chuỗi (1.4) hội tụ tuyệt đối. Định lí 1.1.2. (Hadamard). Cho chuỗi lũy thừa ∞  n=0 a n z n . Khi đó, tồn tại số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho (i) Nếu |z| < R thì chỗi hội tụ tuyệt đối. [...]... dụng hệ thức của hàm zeta-Riemann ta được ζ(1 − s) ∼ (2π)−s cosπ s(s-1)!; s → ∞, Re(s) > 0 Chương 2 Phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức 2.1 Ý tưởng của phương pháp Laplace Ta xét phương trình vi phân n (ak + bk x) y (k) (x) = 0, (2.1) k=0 với hệ số là các đa thức Ý tưởng của phương pháp Laplace trong vi c giải phương trình trên là giả sử rằng nghiệm của phương trình. .. công thức (2.5), ta có thể xác định được đường cong thích hợp cho lời giải bài toán Bởi vì, phương trình (2.4) là phương trình vi phân cấp một, nên đơn giản ta có thể nhận được một cách tường minh công thức (2.5) Điều này, có được do điều kiện ban đầu phương trình vi phân có hệ số là đa thức tuyến tính cấp một Nếu chúng là các đa thức bậc hai thì quá trình lấy tích phân từng phần trong phương trình. .. (2.3) sẽ dẫn đến phương trình vi phân cấp hai đối với S(p) Không có cách giải tổng quát cho trường hợp này, tuy nhiên nếu tìm được một nghiệm nào đó thì phương pháp này vẫn có thể thực hiện được 2.2 Đa thức Hermite Như một sự minh họa cho phương pháp Laplace, chúng ta xét phương trình vi phân Hermite w (x) − 2xw (x) + 2νw(x) = 0, (2.6) với ν là hằng số tùy ý Trong trường hợp này, công thức (2.5) cho... thức (1.9) Các mối quan hệ phương trình hàm Hàm giai thừa thỏa mãn một số hệ thức, trong đó có ba hệ thức quan trọng z! = z(z − 1)!, z!(−z − 1)! = −π , sin πz 1 1 z!(z + )! = π 2 2−(2z+1) (2z + 1)! 2 (1.10) (1.11) (1.12) 23 Biểu diễn tích phân Hankel Từ (1.7) ta có 0+ tz et dt = −2i sin πz.z!; Re(z) > −1 −∞ Sử dụng thác triển giải tích, bỏ đi hạn chế Re(z) > −1, áp dụng công thức (1.11), cùng với vi c... trong số hạng ex ; trừ khi ν = 0, 1, 2 , tạo ra các hàm tương ứng không 3π bị chặn bởi |arg(x)| > đã chỉ ra trong phần (2.2) 4 với công thức tương tự cho − 2.4 2.4.1 Hàm Bessel Biểu diễn tích phân Phương trình Hermite tìm hiểu ở trên là dạng đơn giản nhất của lớp phương trình bậc hai với nghiệm không tầm thường Khó hơn một chút là phương trình Bessel chúng ta xem xét sau đây Hàm Bessel thỏa mãn phương trình. .. Hν+1 (x) − 2xHν (x) + 2νHν−1 (x) = 0 Biểu diễn quan hệ lặp trên đây được gọi là quan hệ lặp ba lần bởi vì nó biểu diễn mối quan hệ của đa thức Hermite qua ba chỉ số Từ mối quan hệ đó, người ta có thể lập được bảng để tính lần lượt được đa thức Hermite, với khởi nguồn từ H0 (x) = 1 Một mối quan hệ khác có thể được hình thành từ vi c lấy đạo hàm biểu thức (2.11) theo x Từ đó đưa ra ν! H ν (x) = 2πi 2... lý thuyết đa thức Hermite Bằng cách khai triển từng số hạng, ta nhận được công thức tường minh [n/2] Hn (x) = k=0 trong đó 2.3 (−1)k n! (2x)n−2k , k!(n − 2k)! n n là số nguyên lớn nhất ≤ 2 2 Hàm Hermite Trở lại vấn đề tìm nghiệm của phương trình Hermite đối với tham biến ν tùy ý Xét tích phân ν! Hν (x) = 2πi 2 C e−p +2px dp, pν+1 (2.11) đây là nghiệm dưới dạng tích phân Laplace như công thức (2.7)... khi ν = 0, 1, 2, , khi đó một số nghiệm bị chặn Trước hết trở lại với trường hợp Hình 2.1: Chu tuyến cho (2.11) các hàm bị chặn như vậy, với nó ν phải là số nguyên, ta lấy C là đường tròn bao quanh gốc tọa độ và vi t 2 e−p +2px dp; n = 0, 1, 2, pn+1 wn (x) = A C 30 Những nghiệm này, chính là các đa thức, thường để đơn giản ta quy ước hệ số của xn là 2n ; thay thế hằng số A và được n! Hn (x) = 2πi 2... (2.3) 28 Số hạng thứ hai trong biểu thức (2.3) được đánh giá tại các điểm cuối của đường cong, thường nó là điểm vô cùng Ta chọn đường cong sao cho số hạng này triệt tiêu thì (2.2) sẽ là một nghiệm của phương trình (2.1) nếu hàm S(p) thỏa mãn phương trình vi phân F (p)S(p) − d G(p)S(p) = 0 dp (2.4) Như vậy, ta nhận được ngay  S(p) = p  F (q)  dq , G(q) A exp  G(p) (2.5) trong đó A là hằng số tùy... tích phân ở (1.16) là −1, và từ đó (−s)! có một cực Hình 1.3: Chu tuyến cho hệ thức của hàm Riemann điểm đơn với thặng dư −1 tại s = 1, ta kết luận ζ(s) có một cực điểm đơn với thặng dư là +1 tại s = 1 Ngoài ra, nó là giải tích cho tất cả s Một số giá trị đặc biệt khác là π2 ζ(2) = , 6 π4 ζ(4) = , 90 ζ (0) = − ln 2π 2 Mối quan hệ phương trình hàm của Riemann Chúng ta đi chứng minh một mối quan hệ quan . tài: Phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức . 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu về phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức. của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Đối với phương trình vi phân tuyến tính mà hệ số không phải là hằng số, vi c tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp của một số phương. . . . . . . 23 2 Phương pháp Laplace giải phương trình vi phân thường với hệ số đa thức 27 2.1 Ý tưởng của phương pháp Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Đa thức Hermite . . .