Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình sai phân tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau.. Một trong những ứn

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình, chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo Phòng Sau đại học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, bạn

bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình và chu đáo của TS Nguyễn Văn Hùng

Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn

Luận văn với đề tài “Phương pháp sai phân giải phương trình vi

phân tuyến tính” không có sự trùng lặp

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

MỞ ĐẦU 5

NỘI DUNG 7

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Sai số 7

1.2 Số gần đúng 11

1.3 Một số tính chất của phương trình vi phân 11

1.4 Sai phân và tính chất 14

Chương 2: Lược đồ sai phân 19

2.1.Bài toán vi phân 19

2.2 Lưới sai phân 19

2.3 Hàm lưới 20

2.4 Đạo hàm lưới 20

2.5 Qui ước viết vô cùng bé 21

2.6 Công thức Taylor 21

2.7 Liên hệ giữa đạo hàm và hàm lưới 22

2.8 Phương pháp sai phân 23

2.9 Giải bài toán sai phân bằng phương pháp truy đuổi 23

2.10 Sự ổn định của bài toán vi phân 27

2.11 Sự xấp xỉ 27

2.12 Sự hội tụ 29

2.13 Trường hợp điều kiện biên loại ba 30

Chương 3: Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

3.1 Bài toán vi phân 35

3.2 Đạo hàm lưới 36

3.3 Phương pháp sai phân 37

3.4 Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính 46

3.5 Sự xấp xỉ 58

3.6 Sự ổn định của bài toán sai phân 58

3.7 Bài toán sai phân đối với sai số 75

3.8 Sự hội tụ và sai số 76

KẾT LUẬN 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp sai phân (hay còn gọi là phương pháp lưới) là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật Nội dung của nó là dẫn đối tượng cần xét về việc giải phương trình sai phân (tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau) Một trong những ứng dụng quan trọng của phương pháp sai phân là giải các phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng

Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã có rất nhiều phần mềm và chương trình có thể giúp chúng ta tìm nghiệm của các phương trình vi phân thường với độ chính xác cao trong một thời gian rất ngắn

Một lớp phương trình vi phân thường rất quan trọng đó là phương trình

vi phân tuyến tính Trong một số ít trường hợp của lớp phương trình vi phân tuyến tính ta có thể tìm được nghiệm tường minh Chẳng hạn, đó là các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng và hàm vế phải có một số dạng đặc biệt Tuy nhiên, trong những trường hợp tổng quát hơn việc tìm ra nghiệm tường minh cho các phương trình vi phân tuyến tính là một vấn đề rất khó

Chính vì lí do đó người ta phải đưa ra các phương pháp để giải số các phương trình vi phân này Được sự định hướng của TS Nguyễn Văn Hùng em

đã chọn đề tài: “Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính” để hoàn thành luận văn đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán gải tích

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về phương trình vi phân và phương pháp sai phân ứng dụng vào giải phương trình vi phân tuyến tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Phương trình vi phân

- Phương pháp sai phân

- Phương pháp sai phân giải phuơng trình vi phân tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước

liên quan đến phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập tài liệu và các bài báo viết về phương pháp sai phân và các ứng dụng của nó

- Phân tích, tổng hợp kiến thức

- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn

6 Những đóng góp của luận văn

Trình bày một cách có hệ thống về phương pháp sai phân giải phương

trình vi phân tuyến tính Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho một số

một số lĩnh vực khác

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Sai số

1.1.1 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số

Xét một số thập phân dạng tổng quát

a   p.10p   i.10i   p s 10p s  (1.1) Trong đó   j , j a, p 0, 0a j 9

Nếu ps0 thì a là số nguyên

Nếu p  s k k 0 thì a có phần lẻ gồm kchữ số

Nếu s   thì a là số thập phân vô hạn

Làm tròn số a là bỏ đi 1 số các chữ số bên phải của số a để được số a gọn hơn và gần đúng với số a

Quy tắc làm tròn : Xét số a ở dạng (1.1) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i ,

Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là  , như vậy a aa  a, rõ ràng 1

Xét số a ở dạng (1.1) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó

chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai số khác

0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại

  là tham số cho trước

Tham số  sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi làm tròn vẫn là chắc, rõ ràng a là chữ số chắc thì i a i1 cũng là chữ số chắc

n i i

phép tính sẽ kém chính xác Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến hiệu quả của hai số gần nhau

b Sai số của phép toán nhân, chia

Giả sử 1

1

n i i n

p i i

x y

Nếu  1 thì độ chính xác là giảm đi

Nếu  1 thì độ chính xác tăng lên

Nếu   1( phép nghịch đảo ) thì độ chính xác là không đổi

Nếu 1, k *

k

    ( phép khai căn ) thì độ chính xác tăng lên

d Sai số của phép tính logarit

Xét y lnx, ta có  y  x

1.1.4 Bài toán ngược của sai số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức : y f x x 1, 2, ,x n Yêu cầu đặt ra là cần tính  như thế nào để y x i   , với  là cho trước

Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có :

Ta nói rằng a là một số gần đúng của a nếu như a không sai khác * a *

nhiều, hiệu số  a a*  là sai số thực sự của a , nếu a  a 0 thì a là giá trị

gần đúng thiếu, còn nếu  a 0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a Vì rằng *

*

a nói chung không biết nên cũng không biết  , tuy nhiên có thể thấy tồn tại

0

a

  thoả mãn điều kiện : a*a   a

Khi đó : a được gọi là sai số tuyệt đối của a

a

a

   là sai số tương đối của a

Rõ ràng a,  a càng nhỏ càng tốt

1.3 Một số khái niệm về phương trình vi phân

1.3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng

y a x y  b x  (1.4) Nếu b x  là hàm hằng 0, thì gọi (1.4) là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất

y b x e  a x dx  dxC e a x dx 

  (1.8)

1.3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao

1.3.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng

y n a x y1  n1 a2 x y n2 a n x y b x  (1.9) Nếu b x  là hàm hằng 0, thì gọi (1.9) là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất, ngược lại thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất Phương trình thuần nhất có vế trái trùng với vế trái của phương trình không thuần nhất (1.9) gọi là phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình không thuần nhất (1.9)

1.3.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

Để giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

ta tìm nghiệm dưới dạng ye  x Đạo hàm e  x các cấp 0,1,2,…,n và thay vào phương trình ta được

e  x e  x e  là knghiệm riêng độc lập tuyến tính của (1.10)

- Nếu  i là nghiệm phức bội k của phương trình (1.11) thì

i

   cũng là nghiệm bội k của phương trình (1.11) Khi đó theo công thức Euler :

1 2

Điều đó có nghĩa là bằng cách giải phương trình đặc trưng tìm được đủ

n nghiệm thì ta có được ngay hệ thống n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân (1.10) và do đó có nghiệm tổng quát

1.4 Sai phân và tính chất

1.4.1 Các khái niệm cơ bản

Xét dãy số  x n , dạng khai triển của nó là: x x x0, ,1 2, ,x n, 

Ví dụ, dãy số tự nhiên ký hiệu là N có dạng   n  0,1,2, , , n  ;

Dãy số nguyên dương Z có dạng   n  1,2, , , n ;

Dãy số điều hòa 1 1, , , , 1 1

Định nghĩa 2: Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm x là sai phân của sai phân cấp n

1 của x và nói chung, sai phân cấp n kcủa hàm x là sai phân của sai phân n





Từ công thức (1.4) suy ra một số tính chất của phương trình sai phân sau đây:

1.4.1.2 Tính chất của sai phân

Tính chất 1 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số

Chứng minh Để chứng minh tính chất 1, ta chứng minh công thức (1.4) Thật vậy, với k 1, ta có x n x n1x n C x10 n1C x11 n

Giả sử (1.4) đúng với k, có nghĩa là  

1 1

Theo quy luật quy nạp, công thức (1.4) đúng với mọi giá trị n nguyên dương

Tính chất 2 Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính

Chứng minh Ta phải chứng minh

Chứng minh Theo tính chất 2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính, nên ta

chỉ việc chứng minh cho đơn thức   m

CHƯƠNG II: LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

2.1 Bài toán vi phân

Cho hai số a và b với ab Tìm hàm y  y x  xác định tại axb

thỏa mãn :

Ly pyqy f x  (2.1)

y a ,y b  (2.2) trong đó p p x , qq x , f x  là những hàm cho trước đủ trơn thỏa mãn:

0c0  p x c1, c1cons ,t q x 0

còn  , là những số cho trước

Giả sử bài toán (2.1) - (2.2) có nghiệm duy nhất y đủ trơn trên a b, 

2.2 Lưới sai phân

Ta chia đoạn a b,  thành N đoạn con bằng nhau, mỗi đoạn con dài

 /

h ba N bởi các điểm x i aih i, 0,1, , N Mỗi điểm x gọi là nút i

lưới, h gọi là bước lưới

2.5 Qui ước viết vô cùng bé

Khái niệm “xấp xỉ” liên quan đến khái niệm vô cùng bé Để viết các vô

cùng bé một cách đơn giản ta sẽ áp dụng các qui ước sau đây:

Giả sử đại lượng  h là một vô cùng bé khi h 0 Nếu tồn tại số a 0 và

hằng số M 0 không phụ thuộc h sao cho:

Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được sử

dụng để giải xấp xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân

Giả sử F x  là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m 1 trong một

khoảng  ,  chứa x và x x, x có thể dương hay âm Khi đó theo

trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ x đến x x

Có thể viết: c  x  x với 0 1

Ta giả thiết thêm:

 là một vô cùng bé khi  x 0 Tức là tồn tại hằng

số K 0 không phụ thuộc vào x sao cho:

1 !

m

m m

2.7 Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới

Giả sử hàm y x  đủ trơn Theo công thức Taylor (2.4) ta có:

2.8 Phương pháp sai phân

Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng y x i tại các nút

2.9 Giải bài toán sai phân bằng phương pháp truy đuổi

Viết cụ thể bài toán (2.9) - (2.10) ta có:

Khi đã biết các  i và  i thì (2.17) cho phép tính các y lùi từ phải sang trái i

Vì lẽ đó phương pháp mang tên phương pháp truy đuổi từ phải

Để tính các  i,  i ta viết (2.17) trong đó thay i bởi i 1: y i1  i i y  i

Thay y i1 này vào (2.13) ta được: C i A i  iy i B y i i1A i  i F i (2.18)

Do C i A i  i  (2.19) 0

Điều kiện này được thỏa mãn nhờ giả thiết (2.15) – (2.16) Vì ta có:

Theo giả thiết (2.16) ta có 0m1 nên 1 01 Do đó: 1

 

1 2

Đối chiếu với công thức thứ nhất của (2.14) ta suy ra: 1m1,1n1 (2.21) Sau đó từ (2.20) cho phép tính tất cả các  i,  i

Bây giờ công thức (2.17) tại iN 1 viết: y N1 N y N  N

Kết hợp với công thức thứ hai của (2.14), ta được:

1m2 Ny N n2 m2 N (2.22)

Do giả thiết (1.16) và các 0 i 1, i2, ,N011 đã được chỉ ra ở

trên nên ta luôn có 1m2 N  Suy ra (2.22) cho: 0 2 2

2

1

N N

Vậy có thuật toán:

2.10 Sự ổn định của bài toán sai phân

Trước hết để đo độ lớn của hàm lưới   1

Định nghĩa : Nói bài toán sai phân (2.9) – (2.10) là bài toán ổn định nếu nó có

nghiệm duy nhất với mọi vế phải và điều kiện biên, đồng thời nghiệm thỏa mãn:

  K f     , K const (2.25)

Ý nghĩa của bài toán ổn định là:

Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phương trình sai phân và điều kiện biên thay đổi thì ít nhất nghiệm cũng thay đổi ít Bất đẳng thức (2.25) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi đó là bất đẳng thức ổn định của bài toán (2.9)- (2.10)

2 1

Hơn nữa, vì 0 y0    và 0  N y N    nên ta cũng nói: Bài 0

toán sai phân (2.9) – (2.10) xấp xỉ bài toán vi phân (2.1) –(2.2)

2 1

Như vậy, ta thấy nếu thay p a y a    a y1 x1 thì sai số địa phương tại biên chỉ

đạt cấp O h  do đó sẽ ảnh hưởng đến sai số trên toàn lưới Để đạt được sai số

O h và thay hàm cần tìm y bởi  , ta nhận được đẳng thức xấp xỉ

của điều kiện biên tại x , đạt sai số a O h 2 :

Sau khi giải ra ta được kết quả:

Suy ra nghiệm riêng tương ứng của phương trình là:

i

v

Nghiệm đúng

) (x i y

CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 3.1 Bài toán vi phân

Cho 2 số a và b với ab Tìm hàm y  y x  xác định tại ax b thỏa mãn:

p p x  liên tục và các đạo hàm p p,  liên tục

qq x  liên tục và các đạo hàm q liên tục

y a, y b, y a, y b là những hàm số liên tục cho trước

Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

liên tục trong một miền D nào đó trong R và nếu 5 x y y y y0, 0, 0, 0, 0 là một

điểm thuộc D thì trong một lân cận nào đó của điểm x x0, tồn tại một nghiệm duy nhất y  y x  của phương trình (2.3) thỏa mãn các điều kiện:

3.3 Phương pháp sai phân

Giả sử bài toán vi phân (3.1) – (3.2) thỏa mãn định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng y x i tại các nút x  i h

Gọi các giá trị gần đúng đó là  i Muốn có  i ta thay bài toán vi phân (3.1) –(3.2) bởi bài toán sai phân tương ứng

   (3.13) Thay (3.13) vào (3.11) ta được

thiết IV  

 Đặt v i  y x i , coi v là nghiệm gần đúng của i y x i và bỏ qua các vô

cùng bé của h ta được phương trình sau: