phương pháp hàm grin cho phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN CHO PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2 Nhóm 8 - Lớp PP Toán sơ cấp K24... Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phươ

PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN CHO PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN

TÍNH CẤP 2

Nhóm 8 - Lớp PP Toán sơ cấp K24

Mục lục

1.1 Hàm Grin 3

1.1.1 Các nhóm phương trình ẩn hàm Grin 3

1.1.2 Các trường hợp 4

1.2 Xây dựng công thức hàm Grin cho các trường hợp 4

1.2.1 Trường hợp 1 4

1.2.2 Trường hợp 2 5

1.2.3 Trường hợp 3 5

1.2.4 Trường hợp 4 5

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG 7 2.1 Bài tập 1 7

2.2 Bài tập 2 9

2.3 Bài tập 3 9

2.4 Bài tập 4 11

2.5 Bài tập 5 12

1

Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân, tức là hệ thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau như những hàm số của đối số nguyên Nhiều bài toán thực tiễn dẫn đến việc giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Về nguyên tắc, ta có thể đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp hai về phương trình sai phân tuyến tính cấp một, với ẩn là vectơ gồm hai thành phần, nhưng do đặc thù của nó, người ta thường xét và giải trực tiếp

Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là tổng của nghiệm phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất và một nghiệm riêng tùy ý của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Phương pháp hàm Grin là một trong những phương pháp quan trọng để tìm nghiệm riêng

Đối với các hàm thông thường, nghiệm là một giá trị số (thực, phức ) Còn trong phương trình sai phân, mục tiêu là tìm ra công thức của hàm chưa được biết nhằm thỏa mãn mối quan hệ đề ra Thông thường, nó sẽ là một họ các phương trình, sai lệch bằng một hằng số C nào đó Hàm này sẽ được xác định chính xác khi có thêm điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên Trong các ứng dụng thực tế, việc tìm ra công thức của hàm đôi lúc nhiều lúc khó khăn Thực tiễn người ta cũng chỉ quan tâm tới giá trị của hàm tại các giá trị cụ thể của các biến độc lập Các phương pháp nhằm tìm ra giá trị chính xác của hàm được gọi là phân tích định lượng Tuy nhiên, có những ứng dụng mà ngay cả giá trị thực cũng khó tìm ra, lúc này người ta lại quan tâm đến giá trị xấp xỉ (có một độ chính xác nhất định) với giá trị thực Việc giải các giá trị này thường được thực hiện bằng các phương pháp số và công cụ là máy tính Với thành tựu của máy tính hiện nay, thời gian giải các bài toán vi phân có thể tính bằng giây

Qua quá trình tìm hiểu các nội dung trên, nhóm chúng tôi chọn đề tài “Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai”, trong đó các bài tập được giải nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Maple, một phần mềm hữu ích trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học hiện nay

Nhóm chúng tôi gồm năm thành viên với nhiệm vụ cụ thể sau:

STT Họ và tên Nhiệm vụ

1 Nguyễn Hữu Lộc Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình sai phân

2 Nguyễn Thị Duy Trình bày lý thuyết và bài tập bằng Latex, giải bài tập

3 Nguyễn Thị Nở Trình bày lý thuyết và bài tập bằng Latex, giải bài tập

4 Lê Thị Thanh Lam Nghiên cứu lý thuyết về phương pháp hàm Grin

5 Lưu Danh Cường Ứng dụng phần mềm Maple giải phương trình sai phân

Trong thời gian nghiên cứu, thực hiện đề tài, nhóm chúng tôi đã nhận được sự quan tâm, giảng dạy nhiệt tình của thầy giáo, TS Lê Hải Trung Xin gởi đến thầy lời cám ơn chân thành nhất Mặc dù các thành viên trong nhóm đã có nhiều cố gắng, nhưng chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót Mong được thầy cô và các bạn chân thành góp ý để đề tài chúng tôi được hoàn thiện hơn

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP HÀM GRIN

1.1 Hàm Grin

Xét phương trình sai phân

axn−1+ bxn+ cn+1= fn (1.1.1) hoặc

xn+1= pxn+ qxn−1+ fn (1.1.2) Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng

a + bλ + cλ2= 0 (1.1.3)

có môđun khác 1, tức là |λ1| 6= 1, |λ2| 6= 1, ta tìm nghiệm của (1.1.1) với vế phải fn = δn

0, trong đó

δn0 =

(

1, n = 0

0, n 6= 0 là ký hiệu Krônecke Nghiệm của (1.1.1) với vế phải fn = δ0n, được gọi là nghiệm cơ bản hay hàm Grin và ký hiệu là Gn

1.1.1 Các nhóm phương trình ẩn hàm Grin

Ta tìm được nghiệm cơ bản bị chặn, tức là nghiệm bị chặn của các nhóm phương trình sau:

I aGn−1+ bGn+ cGn+1= 0khi n ≤ −1

II aG−1+ bG0+ cG1= 1

III aGn−1+ bGn+ cGn+1= 0khi n ≥ 1

Bắt đầu từ trường hợp λ1 6= λ2 Trong trường hợp này nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng

xn = αλn1+ βλn2 Bởi vậy, mỗi nghiệm riêng Gncủa phương trình thuần nhất nhóm 1 có dạng

Gn= α0λn1+ β0λn2 khi n ≤ 0 trong đó α0và β0là các hằng số thích hợp

Cũng như vậy, nghiệm riêng của phương trình thuần nhất nhóm III có dạng

Gn= α00λn1+ β00λn2 khi n ≥ 0 với α00và β00là các hằng số thích hợp

3

1.1.2 Các trường hợp

Vì λ16= λ2, |λ1| 6= 1, |λ2| 6= 1 nên có thể xảy ra các trường hợp sau:

1 |λ1| < 1, |λ2| > 1

2 |λ1| < 1, |λ2| < 1

3 |λ1| > 1, |λ2| < 1

4 |λ1| > 1, |λ2| > 1

1.2 Xây dựng công thức hàm Grin cho các trường hợp

1.2.1 Trường hợp 1

Ta tìm nghiệm cơ bản bị chặn trong trường hợp 1: Do Gnbị chặn khi n → −∞, nên suy ra α0= 0; Gn

bị chặn khi n → +∞, suy ra β00= 0

Bởi vậy

Gn=

(

β0λn2, khi n ≤ 0

α00λn

1, khi n ≥ 0 Khi n = 0 cả hai công thức cuối phải cho cùng một giá trị G0 Từ đây suy ra β0 = α00 Chọn β0từ điều kiện thỏa mãn nhóm II :

aβ0α−12 + bβ0+ cβ0λ1= 1 suy ra

β0= 1

aλ−12 + b + cλ1

Mẫu số của β0khác 0 vì

aλ−12 + b + cλ1= aλ−12 + b + cλ2+ c(λ1− λ2) = c(λ1− λ2) 6= 0 Vậy

Gn =







1

aλ−12 + b + cλ1λ

n

2, n ≤ 0 1

aλ−12 + b + cλ1

λn1, n ≥ 0 Nhận xét rằng, nếu thỏa mãn các điều kiện

max{|a|, |b|, |c|} ≥ B > 0 (1.2.1)

|λ1| < 1 −θ

2, |λ

−1

2 < 1 − θ

2 với các hằng số tùy ý B > 0, 2 > θ > 0, thì

|Gn| ≤ 4 Bθ



1 − θ 2

|n|

(1.2.2)

Thật vậy, từ điều kiện đầu suy ra nhất thiết phải có: hoặc |a| > B

4, hoặc |c| > B

4, hoặcpb2− 4ac >B

2, vì nếu trái lại, |a| ≤ B

4, |c| ≤ B

4,pb2− 4ac ≤ B

2, thì

B2

4 ≥ b2− 4ac ≥ b2−B

2

4 =⇒ b

2≤B

2

2 =⇒ b ≤

B

√ 2

và max {|a|, |b|, |c|} = max B

4,

B2

√ 2



= B

2

√

2 < Btrái với giả thiết

Ta lại có

aλ−12 + b + cλ1= c(λ1− λ2) = a(λ−12 − λ−11 ) = −pb2− 4ac

Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

|λ1− λ2| ≥ |λ2| − |λ1| ≥ 1

1 −θ 2

−



1 − θ 2



= θ

2 − θ 2

2 − θ > θ

|λ−12 − λ−11 | > θ

Từ các bất đẳng thức trên suy ra

|aλ−12 + b + cλ1| ≥ Bθ

4

và do đó

|Gn| ≤ 4 Bθ



1 − θ 2

|n|

1.2.2 Trường hợp 2

Trong trường hợp 2, từ điều kiện bị chặn của Gnkhi n → −∞ suy ra α0= β0 = 0,do đó

Gn =



0, khi n ≤ 0

α00λn

1+ β00λn

2, khi n ≥ 0

Từ điều kiện G0= 0 =⇒ α00= −β00 Hệ số α00được chọn từ nhóm II:

α00= 1 c(λ1− λ2) Vậy nghiệm cơ bản trong trường hợp 2 có dạng

Gn=







0, khi n ≤ 0 1

c(λ1− λ2)(λ

n

1 − λn

2), khi n ≥ 0

1.2.3 Trường hợp 3

Trường hợp 3 tương tự 1 Hàm Gncó dạng

Gn =







1

aλ−11 + b + cλ2

λn1, khi n ≤ 0 1

aλ−11 + b + cλ2

λn2, khi n ≥ 0

1.2.4 Trường hợp 4

Trường hợp 4 tương tự trường hợp 2 Ta có

Gn=







1 a(λ−11 − λ1)(λ

n

1− λn

2), khi n ≤ 0

0, khi n ≥ 0

Chú ý

a(λ−11 − λ−12 ) = aλ2− λ1

λ1λ2

= aλ2− λ1 a c

= c(λ2− λ1)

ta cũng có công thức

Gn=







1 c(λ2− λ1)(λ

n

1 − λn2), khi n ≤ 0

0, khi n ≥ 0

Nếu λ1= λ2= λ, thì xn= (α + βn)λn

Trong trường hợp |λ| < 1, ta có

Gn=

( 0, khi n ≤ 0 1

cnλ

n−1, khi n ≥ 0

Trong trường hợp |λ| > 1, ta có

Gn=

(

−1

anλ

n+1, khi n ≤ 0

0, khi n ≥ 0

Do λ1λ2= λ2= a

c, nên ta cũng có

Gn=

(

−1

cnλ

n−1, khi n ≤ 0

0, khi n ≥ 0

Từ các công thức trên ta thấy Gngiảm theo quy luật hàm mũ khi n → ∞:

|Gn| < Gρ|n|, trong đó G > 0 và 0 < ρ < 1 là các hằng số nào đó, đồng thời có thể lấy ρ là một số bất kỳ thỏa mãn bất đẳng thức

ρ > max

 min



|λ1|, 1

|λ1|

 , min



|λ2|, 1

|λ2|



Trong trường hợp vế phải fnbất kỳ, thì nghiệm riêng

x∗n=

∞

X

k=−∞

Gn−kfk (1.2.3)

nếu chuỗi hội tụ Chuỗi (1.2.3) sẽ hội tụ, nếu |fk| ≤ F

Thật vậy, thay x∗

nvào (1.1.1) và chú ý chuỗi hội tụ, ta có:

axn−1+ bxn+ cxn+1= a

∞

X

k=−∞

Gn−1−kfk+ b

∞

X

k=−∞

Gn−kfk+ c

∞

X

k=−∞

Gn+1−kfk

=

∞

X

k=−∞

(aGn−1−k+ bGn−k+ cGn+1−k)fk

= δknfk= fn

Khi đó

|x∗n| =

∞

X

k=−∞

Gn−kfk

≤

n

X

k=−∞

|Gn−kfk| +

∞

X

k=n+1

|Gn−kfk|

≤ GF

" n

X

k=−∞

ρn−k+

∞

X

k=n+1

ρk−n

#

≤ 2G

1 − ρF

Ở đây, ta đã sử dụng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, do 0 < ρ < 1

Đối với phương trình sai phân (1.1.1) mà |λ1| 6= 1, |λ2| 6= 1 thì nghiệm x∗

n cho bởi (1.2.3) là nghiệm

bị chặn duy nhất khi đã cho vế phải Trong trường hợp trái lại, nghiệm bị chặn thứ hai nhận được

từ nghiệm bị chặn đã dựng, cộng thêm một nghiệmxebị chặn nào đó của phương trình thuần nhất tương ứng với (1.1.1) Nhưng từ các công thức dựng nghiệm tổng quát của phương trình này, ta thấy khi |λ1| 6= 1, |λ2| 6= 1 nghiệm bị chặn duy nhất với −∞ < n < +∞ sẽ làeu ≡ 0.Đặt biệt, nghiệm cơ bản

bị chặn Gntrong trường hợp |λ1| 6= 1 và |λ2| 6= 1 cũng duy nhất

Nhận xét thêm rằng, khi thỏa mãn (1.2.1), ta sử dụng (1.2.2) thì từ (1.2.3) suy ra

|x∗n| ≤ 16

Bθ2sup

m

|fm| Thật vậy

|x∗

n| ≤ 2

∞

X

k=0

|Gn−k||fk| ≤ 2

∞

X

k=0

4

Bθρ

ksup |fk|

= 8 Bθ

1

1 − ρsup |fk| = 16

Bθ2sup

k

|fk|

Ở đây, ta đã sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn, do 0 < ρ < 1 và ρ = 1 −θ

2

Chương 2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

2.1 Bài tập 1.

Tìm nghiệm riêng x∗

ncủa phương trình sai phân sau đây bằng phương pháp hàm Grin:

xn+1+5

2xn−3

2xn−1=

5 2

 cosnπ

2 + sin

nπ 2



Giải Phương trình đặc trưng λ2+5

2π −

3

2 = 0có nghiệm λ1= 1

2, λ2= −3 =⇒ |λ1| < λ2 Hàm Grin

Gn−k=







1

λ1− λ2

λn−k2 , n − k ≤ 0 1

λ1− λ2

λn−k1 , n − k ≥ 0 hay

Gn−k=







2

7(−3)

n−k, k ≤ n 2

7

 1 2

n−k

, k ≥ n Vậy:

7

∞

X

k=−∞

Gn−kfk

=

n

X

k=−∞

2 7

 1 2

n−k

5 2

 coskπ

2 + sin

kπ 2

 +

∞

X

k=n+1

2

7(−3)

n−k5 2

 coskπ

2 + sin

kπ 2



= 5

7.

1

2n

n

X

k=−∞

2k

 coskπ

2 + sin

kπ 2

 +5

7.(−3)

n

∞

X

k=n+1

1 (−3)n

 coskπ

2 + sin

kπ 2



Ta có

2k



coskπ

2 + sin

kπ 2



= ∆2k



a coskπ

2 + b sin

kπ 2



= 2k+1a cos(k + 1)π

2 + b sin(k + 1)

π 2



− 2k



a coskπ

2 + b sin

kπ 2



= 2k



−2a sinkπ

2 + 2b cos

kπ

2 − a coskπ

2 − b sinkπ

2



=⇒

(

−2a − b = 1

−a + 2b = 1 =⇒ −5a = 3, a =

−3

5 , b =

1 5

=⇒ 2k



coskπ

2 + sin

kπ 2



= ∆2k



−3

5cos

kπ

2 +

1

5sin

kπ 2



Tương tự:

1 (−3)k

 coskπ

2 + sin

kπ 2



= ∆ 1 (−3)k



−3

5cos

kπ

2 −6

5sin

kπ 2



Vậy

n

X

k=−∞

2k

 coskπ

2 + sin

kπ 2



=

n

X

k=−∞

∆



2k−3 5

 coskπ

2 +

1

5sin

kπ 2



= 2n+1



−3

5cos(n + 1)

π

2 +

1

5sin(n + 1)

π 2



− lim

k→−∞2k



−3

5cos

kπ

2 +

1

5sin

kπ 2



= 2n



−6

5sin

nπ

2 +

2

5cos

nπ 2

 Tương tự

∞

X

k=−n+1

1

(−3)k

 coskπ

2 + sin

kπ 2



=

∞

X

k=−n+1

∆ 1

(−3)k



−3

5cos

kπ

2 −6

5sin

kπ 2



= − 1

(−3)n+1



−3

5cos(n + 1)

π

2 −6

5sin(n + 1)

π 2

 + lim

k→∞

1 (−3)k



−3

5cos

kπ

2 −6

5sin

kπ 2



= 1

(−3)n+1



−3

5sin

nπ

2 +

6

5cos

nπ 2



= 1

(−3)n

 1

5sin

nπ

2 −2

5cos

nπ 2



Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Thế thì

x∗n=5

7.

1

2n.2n 6

5sin

nπ

2 +

2

5cos

nπ 2

 +5

7(−3)

n 1 (−3)n

 1

5sin

nπ

2 −2

5cos

nπ 2



= sinnπ 2

2.2 Bài tập 2.

Tìm nghiệm riêng x∗ncủa phương trình sai phân

xn+1− 4xn+ 4xn−1= n2− 6n + 5 bằng phương pháp hàm Grin

Giải

Phương trình đặc trưng λ2− 4λxn+ 4 = 0có nghiệm kép λ1= λ2= λ = 2

Vậy

Gn−k =

(

−1

4(n − k)2

n−k+1, khi k ≤ n

0, khi k ≥ n và

x∗

n= −1

4

∞

X

k=n+1

(n − k)2n−k+1.(k2− 6k + 5)

=−1

4n2

n+1

∞

X

k=n+1

(k2− 6k + 5)2−k+1

42

n+1

∞

X

k=n+1

(k3− 6k2+ 5)2−k

=−1

4n2

n+1

∞

X

k=n+1

∆2−k(−2k2+ 8k − 4) +1

42

n+1

∞

X

k=n+1

∆2k(−2k3+ 6k2− 4k)

=−1

4n2

n+1 lim

k→+∞2−k(−2k2+ 8k − 4) +1

4n2

n+1+ 1

2n+1[−2(n + 1)2+ 8(n + 1) − 4]

+1

42

n+1 lim

k→+∞2−k(−2k3+ 6k2− 4k) −1

42

n+1+ 1

2n+1[−2(n + 1)3+ 6(n + 1)2− 4(n + 1)]

= n2

2.3 Bài tập 3.

Viết công thức hàm Grin Gn, rồi tìm nghiệm riêng x∗ncủa phương trình sai phân sau đây:

xn+1−5

2xn+ xn−1= −

5

2cos

nπ 2 Giải

Phương trình đặc trưng λ2−5

2λ + 1 = 0có nghiệm λ1= 2, λ2= 12 Suy ra |λ1| > |λ2|, |λ1| > 1, |λ2| < 1 Hàm Grin

Gn−k=







1 C(λ2− λ1

)λn−k1 , n − k ≤ 0 1

C(λ2− λ1)λ

n−k

2 , n − k ≥ 0

Gn−k=







1

λ2− λ1

λn−k1 , k ≥ n 1

λ2− λ1λ

n−k

2 , k ≤ n

Gn−k=







−2

3 (2)

n−k, k ≥ n

−2 3

 1 2

n−k

, k ≤ n Vậy:

x∗n =

∞

X

k=−∞

Gn−kfk =

n

X

k=−∞

−2 3

 1 2

n−k

−5 2

 coskπ

2 +

∞

X

k=n+1

−2

3(2)

n−k



−5 2

 coskπ 2

=5

3.

 1

2

n n

X

k=−∞

2kcoskπ

2 +

5

3.(2)

n

∞

X

k=n+1

 1 2

k

coskπ 2

Ta có

2kcoskπ

2 = ∆2

k



a coskπ

2 + b sin

kπ 2



= 2k+1a cos(k + 1)π

2 + b sin(k + 1)

π 2



− 2k



a coskπ

2 + b sin

kπ 2



= 2k



−2a sinkπ

2 + 2b cos

kπ

2 − a coskπ

2 − b sinkπ

2



=⇒

(

−2a − b = 0

−a + 2b = 1 =⇒ a = −

1

5, b =

2 5

=⇒ 2kcoskπ

2 = ∆2

k



−1

5cos

kπ

2 +

2

5sin

kπ 2

 Tương tự

 1 2

k

coskπ

2 = ∆

 1 2

k

−4

5cos

kπ

2 +

2

5sin

kπ 2



Vậy

n

X

k=−∞

2kcoskπ

2 =

n

X

k=−∞

∆



2k



−1

5cos

kπ

2 +

2

5sin

kπ 2



= 2n+1



−1

5cos(n + 1)

π

2 +

1

5sin(n + 1)

π 2



− lim

k→−∞2k



−1

5cos

kπ

2 +

2

5sin

kπ 2



= 2n 2

5sin

nπ

2 +

4

5cos

nπ 2

 Tương tự

∞

X

k=−n+1

1

2k coskπ

2

=

∞

X

k=−n+1

∆ 1

2k



−4

5cos

kπ

2 +

2

5sin

kπ 2



= − 1

2n+1



−4

5cos(n + 1)

π

2 +

2

5sin(n + 1)

π 2

 + lim

k→∞

1

2k



−4

5cos

kπ

2 +

2

5sin

kπ 2



= − 1

2n

 2

5sin

nπ

2 +

1

5cos

nπ 2



= − 1

2n

 2

5sin

nπ

2 +

1

5cos

nπ 2



Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2

Thế thì

x∗n= 5

3.

1

2n.2n 2

5sin

nπ

2 +

4

5cos

nπ 2



−5

32

n 1

2n

 2

5sin

nπ

2 +

1

5cos

nπ 2



Vậy nghiệm cần tìm là

x∗n= cosnπ

2

2.4 Bài tập 4.

Viết công thức hàm Grin Gn, rồi tìm nghiệm riêng x∗

ncủa phương trình sai phân sau đây

xn+1− xn+1

4xn−1=

3

4cos

nπ

2 − sinnπ

2 Giải

Phương trình đặc trưng λ2− λ +1

4 = 0có nghiệm bội 2, λ1= 12= λ2= λ

Ta có |λ| < 1

Hàm Grin

Gn−k=

( 0 khi n − k ≤ 0 1

C(n − k)λ

n−k−1 khi n − k ≥ 0

Gn−k=







0 khi k ≥ n (n − k)1

2

n−k−1

khi k ≤ n Vậy:

x∗n =

∞

X

k=−∞

Gn−kfk =

n

X

k=−∞

(n − k) 1

2

n−k−1

 3

4cos

kπ

2 − sinkπ

2



=2 1

2nn

n

X

k=−∞

2k 3

4cos

kπ

2 − sinkπ

2



− 2 1

2nn

n

X

k=−∞

2k 3

4k cos

kπ

2 − k sinkπ

2



Ta có

2k 3

4k cos

kπ

2 − k sinkπ

2



= ∆2k



a coskπ

2 + b sin

kπ 2



= 2k+1ha cos(k + 1)π

2 + b sin(k + 1)

π 2

i

− 2k



a coskπ

2 + b sin

kπ 2



= 2k



−2a sinkπ

2 − b sinkπ

2 + 2b cos

kπ

2 − a coskπ

2



=⇒

(

−2a − b = −1

−a + 2b = 34 =⇒ a =

1

4, b =

1 2

=⇒ 2k 3

4cos

kπ

2 − sinkπ

2



= ∆2k 1

4cos

kπ

2 +

1

2sin

kπ 2



Ta có

2k



3

4k coskπ

2 − k sinkπ

2



= ∆2k



(a1k + b1) coskπ

2 + (a2k + b2) sin

kπ 2



= 2k+1h(a1(k + 1) + b1) cos(k+1)2 π

2 + (a2(k + 1) + b2) sin

(k+1) 2

π 2 i



(a1k + b1) coskπ

2 + (a2k + b2) sin

kπ 2



=2kh(2a1k + 2a1+ 2b1) cos(k+1)π2 + (2a2k + 2a2+ 2b2) sin(k+1)π2 i

−2k



(a1k + b1) coskπ

2 + (a2k + b2) sin

kπ 2



= 2k



(2a1k + 2a1+ 2b1) cos(k + 1)π

2 + (2a2k + 2a2+ 2b2) sin

(k + 1)π 2



−2k



(a1k + b1) coskπ

2 + (a2k + b2) sin

kπ 2



=2k



−[(2a1k + 2a1+ 2b1) sinkπ

2 + (2a2k + 2a2+ 2b2) cos

kπ

2 − (a1k + b1) coskπ

2 − (a2k + b2) sinkπ

2



=⇒

(

(−2a1− a2)k − 2a1− 2b1− b2 = −k

(2a2− a1)k + 2a2+ 2b2− b1 =34k =⇒ a =

1

4, a2=

1

2, b1= 0, b2= −

1 2 Suy ra

2k 3

4k cos

kπ

2 − k sinkπ

2



= ∆2k 1

4k cos

kπ

2 +

 k

2 −1 2

 sinkπ 2



Mặt khác

n

X

k=−∞

∆



2k 1

4cos

kπ

2 +

1

2sin

kπ 2



= 2n+1 1

4cos (n + 1)

π

2 +

1

2sin (n + 1)

π 2



− lim

k→−∞2k 1

4cos

kπ

2 +

1

2sin

kπ 2



= 2n 1

2sin

π

2 + cos

nπ 2



Và

n

X

k=−∞

∆



2k k

4cos

kπ

2 +

 k

2 −1 2

 sinkπ 2



= 2n+1 n + 1

4 cos (n + 1)

π

2 +

 n + 1

2 −1 2

 sin (n + 1)π

2 − lim

k→−∞2k k

4cos

kπ

2 +

 k

2 −1 2

 sinkπ 2



=

2n −(n + 1)

2 sin

nπ

2 + n cos

nπ 2

 Vậy

x∗n= 2 1

2n.n.2n



−1

2sin

nπ

2 + cos

nπ 2



− 2 1

2n2n −(n + 1)

2 sin

nπ

2 + n cos

nπ 2



= −n sinnπ

2 + 2n cos

nπ

2 + (n + 1) sin

nπ

2 − 2n cosnπ

2 = sin

nπ 2

2.5 Bài tập 5.

Viết công thức hàm Grin Gn, rồi tìm nghiệm riêng x∗

ncủa phương trình sai phân sau đây

xn+1− 6xn+ 9xn−1= 4n2− 16n + 10 Giải

Phương trình đặc trưng λ2− 6λ + 9 = 0 có nghiệm λ1= λ2= λ = 3

Ta có |λ| > 1

Hàm Grin

Gn−k=

( 0 khi n − k ≤ 0 1

C(n − k)λ

n−k−1 khi n − k ≥ 0

Gn−k=



−1

9(n − k).3n−k+1 khi n ≤ k

0 khi n ≤ k

Suy ra

x∗n=

∞

X

k=n+1



−1

9

 (n − k).3n−k+1(4k2− 16k + 10)

... data-page=" 12" >

Phương pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2< /b>

Thế

x∗n= 5

3.

1

2< small>n .2< sup>n... pháp hàm Grin giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 2< /b>

Thế

x∗n=5

7.

1

2< small>n .2< sup>n

5sin... phương trình sai phân

xn+1− 4xn+ 4xn−1= n2< /sup>− 6n + phương pháp hàm Grin

Giải

Phương trình đặc trưng λ2< /small>−