Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2LÊ XUÂN ĐÔNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ XUÂN ĐÔNG

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ XUÂN ĐÔNG

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Định

Hà Nội, 2017

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Định giảng viên khoa Toán TrườngĐại học KHTN-ĐHQGHN đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoànthành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô củatrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốtquá trình học tập tại Trường

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Lê Xuân Đông

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của TS Lê Đình Định luận văn Thạc sĩ chuyênngành Toán giải tích với đề tài "Phương trình sai phân tuyến tínhcấp hai và ứng dụng" được hoàn thành bởi sự nhận thức của bảnthân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Khái niệm Sai phân 4

1.2 Tính chất của sai phân 5

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính 10

1.4 Phương trình sai phân phi tuyến tính 19

Chương 2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 22

2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 22

2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất 23

2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

24 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên 37 Chương 3 Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 39

3.1 Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp một 39 3.2 Giải phương trình phân thức 41

3.3 Bài toán bờ sai phân cấp 2 43

Kết luận 49

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình sai phân được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vựcnhư: Vật lý, tự động hóa, điều khiển học, y học , các dạng toán nàythường được mô tả ở dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai.Với lý do nêu trên, dưới sự hướng dẫn của TS Lê Đình Định, tôi đãchọn đề tài: "Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai và ứngdụng" để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu về một vài ứng dụng của phương trình sai phântuyến tính cấp hai để giải các bài toán: hệ phương trình sai phân tuyếntính thuần nhất cấp một, phương trình phân thức, bài toán bờ sai phâncấp hai

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Chương 1: Tìm hiểu các khái niệm cơ bản về sai phân và phương trìnhsai phân

Chương 2: Trình bày về phương trình sai phân tuyến tính cấp haigồm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, phương trìnhsai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất, phương trình sai phân

tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên.

Chương 3: Ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính cấp haivào việc giải: hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp một,phương trình phân thức, bài toán bờ sai phân cấp 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu: Sai phân, phương trình sai phân tuyến tínhcấp hai

* Phạm vi nghiên cứu: sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấphai thuần nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuầnnhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên vàứng dụng của sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vàogiải từng bài toán cụ thể

5 Phương pháp nghiên cứu

* Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu chuyên khảo

* Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới phươngtrình sai phân tuyến tính cấp hai

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

* Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu

* Áp dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào việc giải bàitoán bờ sai phân cấp hai

* Làm tài liệu tham khảo phục vụ giảng dạy cho các đồng nghiệp vàtài liệu học tập cho các em sinh viên.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Khái niệm Sai phân

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số x (n) = xn

với n ∈ Z (hoặc n ∈ Z+, hoặc n ∈ N ) là hiệu: ∆xn = xn+1− xn

Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm xn là sai phân củasai phân cấp 1 của xn, và nói chung sai phân cấp k của hàm xn là saiphân của sai phân cấp k − 1 của hàm số đó Như vậy:

- Sai phân cấp 2 của hàm xn là:

1.2 Tính chất của sai phân

Tính chất 1.2.1 Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trịcủa hàm số

Chứng minh Để chứng minh Tính chất 1.2.1, ta chứng minh công thức(1.1) Thật vậy, với k = 1 ta có: ∆xn = xn+1 − xn = C10xn+1 − C1

1xn.Giả sử (1.1) đúng với k, nghĩa là:

k

X

i=1

(−1)iCki−1xn+k+1−i+ (−1)k+1xn

Chứng minh Ta phải chứng minh

X

n=a

∆kxn = ∆k−1xN +1− ∆k−1xavới k ∈ Z+

Sn = s inx + sin 2x + + sinnx.

Cn = cos x + cos 2x + + cos nx

Lời giải Vì ∆ cos k + 1

x,nên

x

= − 1

2 sinx2

cos



n + 12

trong đó xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn; cấp lớn nhất của các saiphân (ở đây là bằng k) là cấp của phương trình sai phân tuyến tính.Định nghĩa 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn làmột biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khácnhau có dạng:

Lh(xn) = a0xn+k + a1xn+k−1 + + akxk = fn (1.2)trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn xác địnhtrên lưới có bước lưới h, còn a0, a1, , ak; a0 6= 0, ak 6= 0 là các hằng sốhoặc các hàm số của n gọi là hệ số

xn gọi là ẩn

fn là một hàm số của n được gọi là vế phải

Định nghĩa 1.3.3 - Nếu fn ≡ 0 thì (1.2) gọi là phương trình sai phântuyến tính thuần nhất

- Nếu fn 6= 0 thì (1.2) gọi là phương trình sai phân tuyến tính khôngthuần nhất

- Nếu fn ≡ 0 và a0, a1, , ak là các hằng số, a0 6= 0, ak 6= 0 thì phươngtrình (1.2) trở thành:

Lh(xn) = a0xn+k + a1xn+k−1 + + akxk = 0 (1.3)được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với hệ

số hằng

1.3.2 Nghiệm

Hàm số xn biến n, thỏa mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phươngtrình sai phân tuyến tính (1.2)

Định lý 1.3.1 Nghiệm tổng quát xn của (1.2) bằng tổng ˜xn và x∗n, với

˜

xn là nghiệm tổng quát của(1.3)

x∗n là một nghiệm riêng bất kỳ của (1.2)

Chứng minh Thật vậy, giả sử ˜xn và x∗n là 2 nghiệm của phương trình(1.2), tức là Lhxn = fn, Lhx∗n = fn Do Lh tuyến tính nên:

Lhxn− Lhx∗n = Lh(xn − x∗

n) = 0tức là xn− x∗n thỏa mãn (1.3) và do đó nghiệm tổng quát

˜

xn = xn − x∗n ⇒ xn = ˜xn + x∗n

Định lý 1.3.2 Nếu xn1, xn2, , xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của(1.3) tức là hệ thức

C1xn1 + C2xn2 + + Ckxnk = 0suy ra C1 = C2 = = Ck = 0, thì nghiệm tổng quát ˜xn của (1.2) códạng

˜

x0 = x0, ˜x1 = x1, , ˜xk−1 = xk−1

Điều này có nghĩa là hệ

C1xk−1,1+ C2xk−1,2 + + Ckxk−1,k = xk−1

có nghiệm duy nhất C1, C2, , Ck với mọi vế phải x0, x1, , xk−1

Muốn vậy, định thức ∆ =

Điều này suy ra từ tính độc lập tuyến tính của các véctơ nghiệm

xn1, xn2, , xnk

Bây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm ˜xn của (1.3) và x∗n của (1.2)

Vì phương trình thuần nhất (1.3) luôn có nghiệm xn = 0 , nên để tìmnghiệm tổng quát ta tìm xn của (1.3) dưới dạng: xn = Cλn, C 6= 0, λ 6= 0.Thay xn = Cλn vào (1.3) và ước lược cho Cλ 6= 0 ta được

Lhλ = a0λk + a1λk−1 + + ak = 0 (1.4)Phương trình (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.3) (cũngxem là phương trình đặc trưng của (1.2)) Nghiệm ˜xn của (1.3) và x∗n của((1.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của phương trình (1.4) 1.3.3 Nghiệm tổng quát ˜xn

Định lý 1.3.3 Nếu (1.4) có k nghiệm thực khác nhau là λ1, λ2, , λkthì nghiệm tổng quát ˜xn của (1.3) có dạng

trong đó Ci, i = 1, 2, , k là các hằng số tùy ý.

1.3.4 Nghiệm riêng x∗n

Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình saiphân tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin, ở đâychúng ta đề cập đến trong phương trình bậc 1 và bậc 2 Vì mọi phươngtrình sai phân tuyến tính đều có thể đưa về phương trình sai phân bậc 1

và bậc 2 Sau đây là một số trường hợp đặc biệt có thể tìm x∗n đơn giảnhơn và nhanh hơn

* Trường hợp fn là đa thức bậc m của n; m ∈ N

fn = Pm(n), m ∈ N

1 Nếu các nghiệm λ1, λ2, , λk là các nghiệm thực khác 1 của phươngtrình đặc trưng (1.4) thì: x∗n = Qm(n), m ∈ N trong đó Qm(n) là đathức cùng bậc m với fn

Ví dụ 1.3.1 Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:

xn+3 − 7xn+2+ 16xn+1 − 12xn = n + 1Lời giải Ta có phương trình đặc trưng

cả 3 nghiệm đều khác 1, và fn = n + 1 là đa thức bậc 1 nên ta đặt:

x∗n = an + b Thay nghiệm x∗n vào phương trình sai phân rồi so sánh các

hệ số của các lũy thừa 2 vế ta được:

a (n + 3) + b − 7 [a (n + 2) + b] + 16 [a (n + 1) + b] − 12 (an + b) = n + 1

Với hệ số n ta có: −2a = 1 ⇒ a = 1

2Với hệ số tự do ta có: 5a − 2b = 1 ⇒ b = −7

4Vậy x∗n = −1

2n −

7

4.

2 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm λ = 1 bội s, thì:

x∗n = nsQm(n), m ∈ N trong đó Qm(n) là đa thức cùng bậc m với fn

Ví dụ 1.3.2 Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:

a(n + 4)3 − a(n + 3)3 − 3a(n + 2)3 + 5a(n + 1)3 − 2an3 = 1

Vì hai đa thức bằng nhau khi chúng bằng nhau với mọi giá trị của đối

số, nên cho n = 0 ta được: 18a = 1 ⇒ a = 1

Ví dụ 1.3.3 Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:

xn+4 − 10xn+3+ 35xn+2 − 50xn+1+ 24xn = 48.n5Lời giải Ta có phương trình đặc trưng

λ4 − 10λ3 + 35λ2 − 50λ + 24 = 0

có các nghiệm λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3, λ4 = 4 đều khác 5 và Pm(n) là đathức bậc 0 Nên x∗ = a.5n, thay vào phương trình sai phân và ước lượchai vế cho 5n 6= 0 ta được a.54 − 10a.53 + 35a.52 − 50a.5 + 24a = 24a =

48 ⇒ a = 2 Vậy x∗n = 2.5n

2 Nếu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm λ = β bội s, thì tìm x∗dưới dạng:

x∗n = nsQm(n) βntrong đó Qm(n) là đa thức của n cùng bậc với fn

Ví dụ 1.3.4 Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:

xn+3− 7xn+2+ 16xn+1 − 12xn = 2n(24 − 24n)Lời giải Ta có phương trình đặc trưng

λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = 0

có các nghiệm λ1 = 2 (kép) và λ2 = 3, và Pm(n) = 24 − 24n là đa thứcbậc 1

Do vậy phải tìm x∗n = n2(an + b) 2n, thế vào phương trình sai phân

và ước lược cho 2n > 0 ta được:

8 [a (n + 3) + b] (n + 3)2 − 28 [a (n + 2) + b] (n + 2)2

+32 [a (n + 1) + b] (n + 1)2 − 12 [an + b] n2 = 24 − 24n

So sánh các hệ số của các lũy thừa n ở hai vế ta được:







−24a = −2424a − 8b = 24giải hệ này ta được a = 1, b = 0 Vậy x∗n = n3.2n

* Trường hợp fn = α cos nx + β sin nx, với α, β là hằng số Trongtrường hợp này nghiệm riêng x∗ được tìm dưới dạng

4 + 2 sin

nπ4Lời giải Ta tìm nghiệm x∗ dưới dạng

x∗n = a cos nπ

4 + b sin

nπ4Thay vào x∗ phương trình sai phân và rút gọn ta được:

4 +

h2a +



2 −√

2

b

isinnπ4

4 + 2 sin

nπ4

x∗n = x∗n1 + x∗n2 + + x∗ns

Ví dụ 1.3.6 Tìm nghiệm riêng x∗ của phương trình sai phân:

2 cos

nπ

3 + 10.2

n+ 2Lời giải Ta có phương trình đặc trưng:

2 cos

nπ

3 , fn2 = 10.2

n , fn3 = 2 Nghiệm riêng x∗n1ứng với fn1 có dạng: x∗n = a cos nπ

3 +

3

2b +

√3

2 a

!sinnπ

2 cos

nπ3

2 b = −

√32

√3

2 a +

3

2b =

32

Vậy nghiệm x∗n1 = sinnπ

3 Do λ2 = 2, nên nghiệm riêng x

∗ n2 ứng với fn2

có dạng: x∗n2 = an2n Thay vào phương trình sai phân ứng với fn2 tađược:

xn+4− 3xn+3 + 3xn+2− 3xn+1 + 2xn = 10.2n

sau khi ước lược cho 2n > 0 ta được

a(n + 4) 24 − 3 (n + 3) 23 + 3 (n + 2) 22 − 3 (n + 1) 2 + 2n = 10

Cho n = 0, ta được 10a = 10 ⇒ a = 1 Vậy x∗n2 = n.2n Mặt khác, do

λ = 1 nên nghiệm riêng x∗n3 ứng với fn3 phải tìm dưới dạng: x∗n3 = n.a.Thay vào:

1.4 Phương trình sai phân phi tuyến tính

Một số bài toán sai phân không tuyến tính ta có thể đổi biến để đưa

về phương trình sai phân tuyến tính được gọi là tuyến tính hóa

Một số bài toán có hệ số thay đổi nhiều khi cũng có thể biến đổi đểđưa về phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số

Điều này làm tăng hiệu quả ứng dụng của phương trình sai phân Sauđây ta lấy một số ví dụ minh họa cho ý nói trên

Ví dụ 1.4.1 Cho dãy số xn = x

2 n−1 +2

x n−2 , n = 3, 4, ; x1 = x2 = 1 ta có thểtuyến tính hóa như sau: Tìm xn = a1xn−1+ a2xn−2 + b Theo công thức

xn = 4xn−1 − xn−2 chính là dạng tuyến tính của dãy số đã cho.

xk = x

2 k−1 + 2

k−1

xk−1

= 15x

2 k−1 − 4xk−1xk−2

xk−1

= 15xk−1 − 4xk−2Lại vì, xk = 4xk−1 − xk−2 ⇒ xk−2 = 4xk−1 − xk nên

xk+1 = 15xk−1 − 4 (4xk−1 − xk) = 4xk − xk−1.Theo nguyên lý quy nạp ta được: xn+1 = 4xn − xn−1 với ∀n ≥ 3

Chương 2 Phương trình sai phân tuyến tính

cấp hai

Các ví dụ trong chương này được lấy trong tài liệu [6]

2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai

2.1.2 Nghiệm

Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:

xn = ˜xn+ x∗ntrong đó ˜xn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất(2.2) x∗n là một nghiệm riêng tùy ý của phương trình (2.1)

2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần

Xét phương trình đặc trưng:

Trường hợp 1: Nếu phương trình (2.3) có 2 nghiệm thực λ1 6= λ2thì ˜xn = Aλn1 + Bλn2 trong đó A, B là hai hằng số tùy ý

Trường hợp 2: Nếu phương trình (2.3) có nghiệm thực kép λ1 =

λ2 = λ thì ˜xn = (A + Bn) λn trong đó A, B là hai hằng số tùy ý

Trường hợp 3: Nếu phương trình (2.3) có nghiệm phức λ = x + iy =

r (cos ϕ + i sin ϕ) thì ˜xn = rn(Acosnϕ + Bsinnϕ) trong đó A, B là haihằng số tùy ý

2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không

a Phương pháp chọn (phương pháp hệ số bất định)

Trường hợp 1: fn là đa thức bậc k của n: fn = Pk(n)

+) Nếu (2.4) không có nghiệm λ = 1 thì tìm x∗n = Qk(n) trong đó

Qk(n) là đa thức bậc k của n

Ví dụ 2.3.1 Tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình sai phân

2xn+2 − 5xn+1 + 2xn = −n2 − 2n + 3Lời giải Xét phương trình đặc trưng 2λ2 − 5λ + 2 = 0 ⇔





λ = 2

λ = 12dovậy x∗n = an2 + bn + c Thay x∗n vào phương trình sai phân ta được:2

Ví dụ 2.3.2 Tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình sai phân

xn+2 = −4xn+1 + 5xn + 12n + 8Lời giải Xét phương trình đặc trưng λ2 + 4λ − 5 = 0 ⇔

Lời giải Xét phương trình đặc trưng λ2− 2λ + 1 = 0 ⇔ λ = λ1 = λ2 = 1

do vậy x∗n = an2 Thay x∗n vào phương trình sai phân ta được:

an2 + 4n + 4 − 2n2 − 2 − 4n + n2 = 2 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1

Vậy nghiệm x∗n = n2

Trường hợp 2: fn = Pk(n) βn

+ Nếu (2.4) không có nghiệm λ = β thì x∗n = Qk(n) βn

Ví dụ 2.3.4 Tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình sai phân

2xn+2 + 5xn+1 + 2xn = (35n + 51) 3n.Lời giải Xét phương trình đặc trưng 2λ2+ 5λ + 2 = 0 ⇔

ta được: 35an + 51a + 35b = 35n + 51 So sánh hệ số của n và hệ số tự

do ở 2 vế ta được a=1, b=0 Vậy nghiệm x∗n = n3n

+ Nếu (2.4) có nghiệm đơn λ = β thì x∗n = nQk(n) βn

Ví dụ 2.3.5 Tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình sai phân

xn+2− 8xn+1 + 15xn = 2.5n+1.Lời giải Xét phương trình đặc trưng λ2− 8λ + 15 = 0 ⇔





λ1 = 3

λ2 = 5 = βnên x∗n = an5n Thay x∗n vào phương trình sai phân và ước lược cho 5n+1

ta được:

a (n + 2) 5n+2 − 8a (n + 1) 5n+1+ 15an5n = 2.5n+1 ⇒ 2a = 2 ⇒ a = 1Vậy nghiệm x∗n = n5n

+ Nếu (2.4) có nghiệm kép λ = β thì x∗n = n2Qk(n) βn

Ví dụ 2.3.6 Tìm nghiệm riêng x∗n của phương trình sai phân

xn+2− 16xn+1+ 64xn = 128.8n

Lời giải Xét phương trình đặc trưng λ2 − 16λ + 64 = 0 ⇔ λ1 = λ2 =

8 = β nên x∗n = n2.a.8n Thay x∗n vào phương trình sai phân và ước lượccho 8n+2 ta được: (n + 2)2a − 2(n + 1)2a + n2a = 2 Cho n = −1,ta đượca=1 Vậy nghiệm x∗n = n28n

Trường hợp 3: fn = Pm(n) cos βn + Ql(n) sin βn

+) Nếu α = cos β ± i sin β không là nghiệm của (2.4) thì:

x∗n = Tk(n) cos βn + Rk(n) sin βn

... phương trình sai phân tuyến tính gọi tuyến tính hóa

Một số tốn có hệ số thay đổi nhiều biến đổi đểđưa phương trình sai phân tuyến tính với hệ số số

Điều làm tăng hiệu ứng dụng phương. .. data-page="28">

Chương Phương trình sai phân tuyến tính< /h3>

cấp hai< /h3>

Các ví dụ chương lấy tài liệu [6]

2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai< /h3>