Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ XUÂN ĐÔNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ XUÂN ĐÔNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Định Hà Nội, 2017 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Định giảng viên khoa Toán Trường Đại học KHTN-ĐHQGHN tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, thầy cô phòng Sau đại học thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Trường Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Lê Xuân Đông Lời cam đoan Dưới hướng dẫn TS Lê Đình Định luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ứng dụng" hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu viết luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Lê Xuân Đông Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm Sai phân 1.2 Tính chất sai phân 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính 10 1.4 Phương trình sai phân phi tuyến tính 19 Chương Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 22 2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 22 2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 23 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không 24 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên 37 Chương Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 39 3.1 Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp 39 3.2 Giải phương trình phân thức 41 3.3 Bài toán bờ sai phân cấp 43 Kết luận 49 Các kí hiệu N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Z+ tập số nguyên dương ∆k xn sai phân cấp k hàm xn Gn hàm Grin δ0n hàm Krônecke Phần mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình sai phân ứng dụng rộng rãi lĩnh vực như: Vật lý, tự động hóa, điều khiển học, y học , dạng toán thường mô tả dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Với lý nêu trên, hướng dẫn TS Lê Đình Định, chọn đề tài: "Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ứng dụng" để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu vài ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai để giải toán: hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một, phương trình phân thức, toán bờ sai phân cấp hai Nhiệm vụ nghiên cứu Chương 1: Tìm hiểu khái niệm sai phân phương trình sai phân Chương 2: Trình bày phương trình sai phân tuyến tính cấp hai gồm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên Chương 3: Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào việc giải: hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một, phương trình phân thức, toán bờ sai phân cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu: Sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai * Phạm vi nghiên cứu: sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên ứng dụng sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào giải toán cụ thể Phương pháp nghiên cứu * Sưu tầm nghiên cứu tài liệu chuyên khảo * Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Dự kiến đóng góp luận văn * Hệ thống hóa vấn đề nghiên cứu * Áp dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào việc giải toán bờ sai phân cấp hai * Làm tài liệu tham khảo phục vụ giảng dạy cho đồng nghiệp tài liệu học tập cho em sinh viên Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm Sai phân Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp hàm số x (n) = xn với n ∈ Z (hoặc n ∈ Z+ , n ∈ N ) hiệu: ∆xn = xn+1 − xn Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi sai phân cấp hàm xn sai phân sai phân cấp xn , nói chung sai phân cấp k hàm xn sai phân sai phân cấp k − hàm số Như vậy: - Sai phân cấp hàm xn là: ∆2 xn = ∆ (∆xn ) = xn+2 − 2xn+1 + xn - Sai phân cấp hàm xn là: ∆3 xn = ∆ ∆2 xn = xn+3 − 3xn+2 + 3xn+1 − xn - Nói chung sai phân cấp k hàm xn là: ∆k xn = ∆ ∆k−1 xn = ∆k−1 xn+1 − ∆k−1 xn k (−1)i Cki xn+k−i = i=0 Cik = k! i! (k − i)! (1.1) Ví dụ 2.3.11 Tìm nghiệm riêng x∗n phương trình sai phân xn+2 − xn+1 + xn = 3.2n phương pháp biến thiên số Lời giải Xét phương trình đặc trưng √ π π ± i = cos ± i sin λ2 − λ + = ⇒ λ = 3 ⇒ r = 1, ϕ = π nπ nπ ; = sin 3 √ π Wn = − sin = − ; q = −1 un = cos Khi ta có π 3.2n sin (n + 1) = −√3.2n+1 sin (n + 1) π +)∆An = √ 3 (−1) − nπ π nπ √ n − sin = ∆2n+1 cos (n + 1) = ∆ cos 3 π ⇒ A = 2n+1 cos (n + 1) π 3.2n cos (n + 1) = −√3.2n+1 cos (n + 1) π +)∆Bn = √ 3 (−1) − √ nπ nπ π = ∆ 2n cos + sin = ∆2n+1 sin (n + 1) 3 π ⇒ B = 2n+1 sin (n + 1) 36 Vậy nghiệm x∗n = An un + Bn = 2n+1 cos (n + 1) = 2n+1 cos π π nπ π nπ cos + sin (n + 1) sin 3 3 = 2n 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên Là phương trình có dạng: xn+2 = pn xn+1 + qn xn + fn (2.8) với n=0, 1, 2, x0 = a, x1 = b pn , qn , fn hàm số n Định lý 2.4.1 Nghiệm tổng quát phương trình (2.8) có dạng: xn = x˜n + x∗n x˜n nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính tương ứng: xn+2 = pn xn+1 + qn xn (2.9) x∗n nghiệm riêng tùy ý phương trình (2.8) Định lý 2.4.2 Nếu un hai nghiệm độc lập tuyến tính (2.9) nghiệm tổng quát (2.9) là: x˜n = Aun + Bvn A, B số tùy ý 37 Nghiệm x∗n tìm phương pháp biến thiên số Ví dụ 2.4.1 Tìm nghiệm riêng phương trình sai phân 1 1+ − 2n 2n 1 xn+1 − 2xn + − − 2n 2n xn−1 4n2 − n = 2n2 (2.10) Lời giải Phương trình tương ứng với (2.10) có hai nghiệm B độc lập tuyến tính là: un = n = − , nên x˜n = An − Ta tìm 2n 2n Bn nghiệm riêng x∗n = An n − Ta có: 2n Wn = un = un−1 vn−1 n − 2n n − − 2n−1 = −2n + 2n (n − 1) fn 2n2 4n2 − n 3n n 2n ∆An−1 = = = = ∆ cn Wn 4n − 2n2 ⇒ An = 3n −n.fn 4n4 4n2 − n ∆Bn−1 = = = 2n2 3n cn Wn 4n − 2n − ⇒ Bn = n2 − n + 3n+1 3n+1 3n+1 n − Nên ta có nghiệm: x∗n = n.3n − n2 − n + = 2n 2n n n+1 B n − Vậy xn = x˜n + x∗n = An − + A, B 2n n số tùy ý 38 Chương Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Các ví dụ chương lấy tài liệu [6] 3.1 Giải hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp Xét hệ xn+1 = pxn + qyn (3.1) yn+1 = rxn + syn (3.2) x0 = a, y0 = b Ta giải hệ (3.1) - (3.2) cách đưa phương trình sai phân tuyến tính cấp Từ (3.1) ⇒ xn+2 = pxn+1 + qyn+1 qyn = xn+1 − pxn Từ (3.2) ⇒ qyn+1 = rqxn + sqyn ⇒ xn+2 = pxn+1 + rqxn + sqyn = pxn+1 + rqxn + s (xn+1 − pxn ) = (p + s) xn+1 − (ps − rq) xn 39 Định thức hệ (3.1) - (3.2) D = (3.1) - (3.2) dạng: xn+2 p q = ps − rq , nên ta viết r s =(p + s) xn+1 − Dxn , x0 = a; x1 = pa + qb Khi hệ (3.1) - (3.2) đưa dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai   xn+1 = 4xn − 2yn Ví dụ 3.1.1 Giải hệ phương trình x0 = 1, y0 = y =x +y n+1 n n Lời giải Hệ cho tương đương với xn+2 =5xn+1 − 6xn , x0 = 1, x1 = Xét phương trình đặc trưng:  λ2 − 5λ + = ⇒  λ1 = λ2 = n n Do nghiệm  xn = A2 + B3  x0 = = A + B A=1 Theo  ⇒ ⇒ xn = 2n x1 = = 2A + 3B B=0 Từ phương trình đầu ta có: 2yn = 4xn − xn+1 = 4.2n − 2n+1 = 2n (4 − 2) = 2.2n ⇒ yn = 2n Vậy hệ có nghiệm: xn = 2n yn = 2n   xn+1 = 2xn − yn x0 = 2, y0 = Ví dụ 3.1.2 Giải hệ phương trình y n+1 = xn + 4yn Lời giải Hệ cho tương đương với xn+2 =6xn+1 − 9xn , x0 = 2, x1 = Xét phương trình đặc trưng: λ2 − 6λ + = ⇒ λ1 = λ2 = 40 n Do nghiệm  xn = (A + Bn )  x0 = A = A=2 Theo  ⇒ ⇒ xn = (2 − n) 3n x1 = (2 + B) = B = −1 Từ phương trình đầu ta có: yn = 2xn − xn+1 = (1 + n) 3n Vậy hệ có nghiệm: xn = (2 − n) 3n yn = (1 + n) 3n    xn+1 = xn − yn Ví dụ 3.1.3 Giải hệ phương trình x0 = 2, y0 =   yn+1 = xn + yn Lời giải Hệ cho tương đương với xn+2 =xn+1 − xn , x0 = 2, x1 = Xét phương trình đặc trưng: √ ± i π π λ2 − λ + = ⇒ λ = ⇒ λ = cos + i sin 3 π π ⇒ xn = A cos + B sin 3   x0 = A =  A=2 √  Theo  ⇒  x1 = + B =1 B=0 √ nπ nπ nπ ⇒ xn = cos yn = xn − xn+1 = sin ⇒ yn = √ sin 3 nπ nπ Vậy hệ có nghiệm: xn = cos yn = √ sin 3 3.2 Giải phương trình phân thức Xét phương trình phân thức: xn+1 = pxn + q , xo = a rxn + s p, q, r, s số; a cho trước 41 (3.3)   yn+1 = pyn + qzn Giả sử yn , zn nghiệm hệ phương trình sai phân z = ry + sz n+1 n y0 = a, z0 = yn nghiệm phương trình cho Thật vậy, Khi xn = zn y0 a yn+1 pyn + qzn pxn + q x0 = = = a xn+1 = = = z0 zn+1 ryn + szn rxn + s Ví dụ 3.2.1 Giải phương trình xn+1 = xn − , xo = xn +   yn+1 = yn − 2zn Lời giải Xét hệ y0 = 0, z0 = z = y + 4z n+1 n n ⇒ yn+2 = 5yn+1 − 6yn , y0 = 0, y1 = −2 có phương trình đặc trưng:  λ1 = λ2 − 5λ + = ⇒  λ2 = n ⇒ yn = A2n + B3   y0 = = A + B A=2 ⇒ yn = 2.2n − 2.3n ⇒ Mà ta có:  y = −2 = 2A + 3B B = −2 Mặt khác 2zn = yn − yn+1 = 4.3n − 2n+1 ⇒ xn = Ví dụ 3.2.2 Giải phương trình xn+1 = yn 2.2n − 2.3n = zn −2n + 2.3n xn − , xo = xn +   yn+1 = yn − 2zn Lời giải Xét hệ y0 = 1, z0 = z = y + 3z n+1 n n ⇒ yn+2 = 4yn+1 − 4yn , y0 = 1, y1 = 42 n Phương trình đặc trưng: λ2 − 4λ  + = có nghiệm képλ =  y0 = = A A=1 n ⇒ ⇒ yn = (A + Bn) mà ta có:  y = = (1 + B)2 B = −1 yn 1−n ⇒ yn = 2n − n.2n ⇒ zn = 2n + n.2n xn = = zn 1+n Ví dụ 3.2.3 Giải phương trình xn+1 = xn − , xo = xn +   yn+1 = yn − 3zn Lời giải Xét hệ y0 = 0, z0 = z =y +z n+1 n n ⇒ yn+2 = 2yn+1 − 4yn , y0 = 0, y1 = Phương trình đặc trưng: λ2 − 2λ + = ⇒ λ = ± 3i có √ π π λ = + i = cos + i sin 3 nπ nπ + B sin ; ⇒ yn = 2n A cos 3 √ y0 = ⇒ A = 0; y1 = −3 ⇒ B = − √ nπ ⇒ yn = − 3.2n sin √ nπ nπ yn zn = (yn − yn+1 ) = 2n cos ⇒ xn = = − 3tg 3 zn 3.3 Bài toán bờ sai phân cấp 3.3.1 Đặt toán Bài toán bờ sai phân đơn giản tìm hàm lưới {un } , n = 0, 1, , N 43 thỏa mãn phương trình sai phân: an un−1 + bn un + cn un+1 = fn (3.4) điểm lưới < n < N thỏa mãn giá trị cho trước điểm lưới biên u0 = ϕ, uN = ψ (3.5) Khi nghiên cứu phương trình sai phân (3.4) với an = 0, cn = ta thấy toán có nghiệm cho hai giá trị kề ví dụ cho u0 u1 Tuy nhiên với toán bờ điều có khác Ví dụ, xét toán bờ sai phân: un−1 − un + un+1 = 0, n = 1, 2, , 299 (3.6) u0 = 0, u300 = (3.7) nπ nπ + B sin 3 = ⇒ = sin 100π = (vô lý) Nghiệm tổng quát (3.4) un = A cos Từ u0 = ⇒ A = 0; u300 Hay toán (3.6)-(3.7) vô nghiệm Bài toán (3.6)-(3.7) có nghiệm u0 = u300 = Bài toán bờ sai phân hay gặp thực tế có lớp rộng toán bờ sai phân có nghiệm mà có tính ổn định tốt 3.3.2 Định nghĩa ổn định tốt Ta nói toán bờ sai phân (3.4)-(3.5) với hệ số an , bn , cn bị chặn ∀n ổn định tốt, với ∀n đủ lớn toán có 44 nghiệm {un } với vế phải ϕ, ψ, {fn } tùy ý Và u0 , u1 , , uN nghiệm thỏa mãn ước lượng |un | ≤ M max |ϕ| , |ψ| , max |fm | m (3.8) M số không phụ thuộc vào N 3.3.3 Điều kiện đủ ổn định tốt Nếu hệ số an , bn , cn thỏa mãn điều kiện |bn | ≥ |an | + |cn | + δ, δ > (3.9) toán (3.4)-(3.5) ổn định tốt, đồng thời nghiệm {un }thỏa mãn ước lượng |un | ≤ max |ϕ| , |ψ| , max |fm | δ m 3.3.4 Tiêu chuẩn ổn định tốt toán bờ với hệ số không đổi Để toán bờ với hệ số không đổi   an un−1 + bn un + cn un+1 = fn (3.10)  u0 = ϕ, uN = ψ ổn định tốt, điều kiện cần đủ nghiệm λ1 λ2 phương trình đặc trưng: cλ2 + bλ + a = theo môđun có nghiệm bé nghiệm lớn 1, tức là: θ θ |λ1 | ≤ − , λ−1 ≤1− 2 với θ số dương bé 45 (3.11) Trong trường hợp hệ số a, b, c số thực, tiêu chuẩn |b| − |a + c| đủ (3.11) thuận tiện viết dạng ≥θ>0 |b| + |a| + |c| 3.3.5 Tiêu chuẩn ổn định tốt toán có hệ số thay đổi Giả sử an un−1 + bn u + cn un+1 = fn , < n < N (3.12) u0 = ϕ, uN = ψ, < n < N (3.13) |an | < M, |bn | < M, |cn | < M với ∀n dn = max {|an | , |bn | , |cn |} ≥ B > M, B không phụ thuộc vào N n Định lý 3.3.1 Giả sử hệ số toán (3.12)- (3.13) thỏa mãn điều kiện ω ω k−l k−l k−l , |bk − bl | ≤ D , |ck − cl | ≤ D |ak − al | ≤ D N N N ω (3.14) D > 0, ω > Khi để toán (3.12)-(3.13) ổn định tốt điều kiện cần đủ nghiệm λ1 , λ2 phương trình đặc trưng: an + bn λ + cn λ2 = 0, < n < N (3.15) θ θ |λ1 | < − , λ−1 0, |bn | + |an | + |cn | θ không phụ thuộc vào N n yi+1 − 2yi + yi−1 − qi yi , qi ≥ với ∀i h2 Giả sử cho dãy số tùy ý y0 , y1 , , yn l (yi ) ≥ với ∀i = 0, 1, 2, , n Định lý 3.3.2 Ký hiệu l (yi ) = số yi > lớn y0 yn Định lý 3.3.3 Nếu l (yi ) ≤ 0, ∀i số yi âm bé y0 yn Định lý 3.3.4 Cho hai số y0 , y1 , , yn Y0 , Y1 , Yn Nếu l (Yi ) ≤ |l (yi )| , i = 1, 2, , n − Y0 ≥ |y0 | , Yn ≥ |yn | Yi ≥ |yn | , ∀i Ví dụ 3.3.1 Cho a0 , a1 , , an , an+1 dãy hữu hạn số thực thỏa mãn điều kiện a0 = an+1 = 0; |ak−1 − 2ak + ak+1 | ≤ 1, k = 1, 2, , n k (n + − k) Chứng minh rằng: |ak | ≤ , k = 0, 1, , n + 47 Lời giải Đặt ak = yk , l (Yk ) = k (n + − k) = Yk , (k − 1) (n + − k) k (n + − k) (k + 1) (n − k) −2 + = −1 2 |l (Yk )| = |ak − 2ak−1 + ak+1 | ≤ ⇒ − |l (Yk )| ≥ −1 = l (Yk ) Y0 = = a0 = yo , Y0 = = an+1 = yn+1 Áp dụng Định lý 3.3.4 ta được: k (n + − k) , ∀k Yk ≥ |yk | = |ak | , ∀k hay |ak | ≤ 48 Kết luận Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ứng dụng của Các kết luận văn bao gồm: Giải phương trình sai phân tuyến tính cấp hai trường hợp tổng quát với vế phải Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai vào giải toán: hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một, phương trình phân thức toán bờ sai phân 49 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Thịnh, Nguyễn Công Thúy, (1990), Giáo trình sở phương pháp tính, NXB ĐHTH Hà Nội [2] Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Thịnh, (1996), Phương pháp tính (Phần tập), NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Phan Văn Hạp, Hoàng Đức Nguyên, Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, (1997), Đại số tuyến tính (Phần tập), NXB KH KT, Hà Nội [4] Matruc G.L, (1984), Các phương pháp toán học tính toán, Phan Văn Hạp Lê Đình Thịnh dịch, NXB Đại học THCN, Hà Nội [5] Lê Đình Thịnh, (1995), Phương pháp tính (Phần lý thuyết), NXB KH KT, Hà Nội [6] Lê Đình Định, (2011), Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục Việt Nam 50 ... bày phương trình sai phân tuyến tính cấp hai gồm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với... Sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai * Phạm vi nghiên cứu: sai phân, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất, phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không nhất, phương trình. .. tuyến tính cấp hai 23 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không 24 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số biến thiên 37 Chương Ứng dụng phương trình sai phân tuyến