giải tích 1 lê xuân đại 7 phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 C o Định nghĩa on e Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm Xét phương trình tuyến tính cấp có dạng nZ L(y ) = a0(x)y (x) + a1(x)y (x) + a2(x)y = F (x), hV ie a0(x), a1(x), a2(x) hàm liên tục đoạn [a, b] a0(x) = khoảng [a, b] in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 C o Định nghĩa hV ie on Giải phương trình L(y ) = thu tập nghiệm {y1(x), y2(x)} Nghiệm tổng quát ytn = C1y1(x) + C2y2(x), C1, C2 = const Tìm nghiệm riêng yr phương trình khơng L(y ) = F (x) Nghiệm tổng quát phương trình bậc hai cho ytq = ytn + yr nZ e Phương pháp giải in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 Điều kiện ban đầu C o Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm nZ on e Trong toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân địi hỏi phải thỏa mãn điều kiện bổ sung Số điều kiện cấp cao phương trình Ví dụ phương trình vi phân cấp có điều kiện bổ sung x = a y (a) = α, y (a) = β, với α, β = const in hV ie Định nghĩa Phương trình vi phân cấp với điều kiện bổ sung gọi toán cho trước giá trị ban đầu Bài tốn cho trước giá trị ban đầu thường có nghiệm m https://fb.com/sinhvienzonevn uy.nhất TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 C o Bài toán thực tế hV ie nZ on e Dao động tự in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 C o Bài toán thực tế e Dao động tự hV ie nZ on Tại vị trí cân bằng, trọng lực nặng với lực đàn hồi lị xo Lực có xu hướng đẩy nặng vị trí cân tỉ lệ với ly độ, có nghĩa ky , với k hệ số đàn hồi lò xo Phản lực tỉ lệ với vận tốc chuyển động dy nặng, có nghĩa lực λ , với λ hệ dt số tỉ lệ in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 C o Bài toán thực tế e Tổng lực tác động lên nặng ky + λ dy dt on Theo định luật II Newton ta có nZ dy d 2y ky + λ = −m dt dt hV ie d 2y dy ⇔ m + λ + ky = Đây phương dt dt trình vi phân cấp 2, nhất, với hệ số in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 C o Bài toán thực tế Dao động cưỡng hV ie nZ on e Trong trường hợp lực cản không tồn tại, nặng dao động theo ngoại lực có chu kỳ, theo quy luật sin ωt Trong trường hợp này, có lực có xu hướng đưa nặng vị trí cân k(y + sin ωt) Theo định luật II Newton, ta d 2y d 2y ky + k sin ωt = −m ⇔ m + ky = −k sin ωt dt dt in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 C o Định nghĩa e Phương trình vi phân cấp hai với hệ số nZ on Định nghĩa Phương trình vi phân cấp hai với hệ số phương trình có dạng ie Ay + By + Cy = f (x), hV A, B, C = const in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 / 38 C o Phương trình e Bước Giải phương trình on Giải phương trình nZ Ay + By + Cy = hV ie Phương trình đặc trưng in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Ak + Bk + C = https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 10 / 38 C o Phương pháp biến thiên số Phương pháp biến thiên số nZ on e Phương pháp áp dụng để tìm nghiệm phương trình khơng tuyến tính cấp biết nghiệm phương trình y1, y2 f (x) khơng có dạng đặc biệt ie y = C1 (x).y1 (x) + C2 (x).y2 (x), hV y = C1 (x).y1 (x)+C1 (x).y1 (x)+C2 (x).y2 (x)+C2 (x).y2 (x) y = C1 (x).y1 (x)+C1 (x).y1 (x)+C1 (x).y1 (x)+C1 (x).y1 (x)+ +C2 (x).y2 (x) + C2 (x).y2 (x) + C2 (x).y2 (x) + C2 (x).y2 (x) in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 29 / 38 e C o Phương pháp biến thiên số on ⇒ [Ay1 (x) + By1 (x) + Cy1 (x)].C1 (x)+ +[Ay2 (x) + By2 (x) + Cy2 (x)].C2 (x)+ nZ +A[C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)] + +A[C1 (x)y1 (x)+C2 (x)y2 (x)]+B[C1 (x)y1 (x)+C2 (x)y2 (x)] ie = A[C1 (x)y1 (x)+C2 (x)y2 (x)] +A[C1 (x)y1 (x)+C2 (x)y2 (x)]+ hV +B[C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x)] = f (x) in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 30 / 38 C o Phương pháp biến thiên số nZ on e Từ đó, ta chọn hàm C1(x), C2(x) thỏa mãn hệ phương trình   C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) = f (x)  C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x) = ,A = A hV ie Dùng quy tắc Cramer để giải ta C1(x) = in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) D1 D2 , C2(x) = , W (x) W (x) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 31 / 38 C o Phương pháp biến thiên số y1 (x) y2 (x) , y1 (x) y2 (x) e W (x) = ie nZ on y2 (x) y1 (x) D1 = f (x) , D2 = f (x) , y2 (x) y1 (x) A A dC1 (x) −y2 (x)f (x) dC2 (x) y1 (x)f (x) = , = , dx AW (x) dx AW (x) hV ⇒ C1 (x) = − in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số C2 (x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y2 (x)f (x) dx + C1 , AW (x) y1 (x)f (x) dx + C2 AW (x) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 32 / 38 C o Phương pháp biến thiên số ie nZ on e Như vậy, nghiệm phương trình vi phân khơng y2(x)f (x) y = y1 − dx + C1 + AW (x) hV +y2 in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y1(x)f (x) dx + C2 AW (x) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 33 / 38 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Giải phương trình y + y = tan x với điều kiện π = y (0) = y hV ie Bước Giải phương trình y + y = Phương trình đặc trưng k + = có nghiệm phức liên hợp k1 = −i, k2 = i Bước Nghiệm phương trình ytn = C1 cos x + C2 sin x in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 34 / 38 C o Ví dụ nZ on e Bước Tìm nghiệm riêng phương trình y + y = tan x Nghiệm có dạng y = C1(x) cos x + C2(x) sin x, C1(x) C2(x) xác định hệ phương trình C1(x) cos x + C2(x) sin x = C1(x).(− sin x) + C2(x) cos x = tan x ie Vậy hV dC1 − sin x tan x dC2 cos x tan x = , = , dx 1.1 dx 1.1 sin2 x ⇒ C1(x) = − , C (x) = sin x https://fb.com/sinhvienzonevn cos x in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 35 / 38 C o Ví dụ e sin2 x x π dx = − ln tan + cos x − sin x +C1 on C1 (x) = − sin xdx = − cos x + C2 nZ C2 (x) = Bước Nghiệm tổng quát x π + ie hV y = − ln tan in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) + sin x + C1 cos x+ +(− cos x + C2 ) sin x https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 36 / 38 C o Ví dụ e Nghiệm phương trình thỏa điều kiện π y (0) = y = nên π + C1 cos = − ln tan π π π π + + sin + C1 cos + − ln tan  12 6  π π   + − cos + C2 sin = 6 √ ⇒ C1 = 0, C2 = ln Vậy nghiệm toán √ x π y= ln sin x − cos x ln tan + https://fb.com/sinhvienzonevn hV ie nZ on      in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 37 / 38 y + 4y = x on ĐS ytq = C1e 2x + C2e 3x + −x e 12 1 ĐS ytq = C1 cos 2x + C2 sin 2x + x − y + 2y = 3x 3 ĐS ytq = C1 + C2e −2x + x − x 4 x y − 2y + y = 2e x x x ĐS ytq = Chttps://fb.com/sinhvienzonevn e + C2 xe + x e hV ie nZ C o y − 5y + 6y = e −x e Giải phương trình vi phân cấp in m Bài tập TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 38 / 38 C o y − 4y + 3y = sin 2x ĐS ytq = C1e x + C2e 3x + cos 2x − sin 2x 65 65 y + y = cos x ĐS ytq = C1 cos x + C2 sin x + x sin x 2x y − 4y + 4y = x + e 1 ĐS ytq = C1e 2x + C2xe 2x + x + + x 2e 2x 4 hV ie nZ on e Giải phương trình vi phân cấp in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 39 / 38 e on nZ ie y − 5y + 6y = 22 cos 2x + sin 2x ĐS ytq = C1e 2x + C2e 3x + cos 2x − sin 2x y + 8y + 15y = −32e −x ĐS ytq = C1e −3x + C2e −5x − 4e −x y + y − 6y = 8e −2x ĐS ytq = C1e −3x + C2e 2x − 2e −2x y + 6y + 9y = 12e 3x (3x − 2) ĐS ytq = C1e −3x + C2xe −3x + (x − 1)e 3x y − 2y − 3y = −30 cos 3x −x ĐS ytq = Chttps://fb.com/sinhvienzonevn + C2e3x + cos 3x + sin 3x 1e hV C o Giải phương trình vi phân cấp in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 40 / 38 y + 2y − 3y = (6x + 1)e 3x e C o Giải phương trình vi phân cấp nZ y − 4y + 4y = 8e 2x ĐS ytq = C1e 2x + C2xe 2x + 4x 2e 2x y − 4y + 3y = 6e x ĐS ytq = C1e x + C2e 3x − 3xe x y − 4y + 5y = sin x + 16 cos x ĐS ytq = e 2x (C1 cos x + C2 sin x) + cos x − sin x ie 1 x− hV on ĐS ytq = C1e x + C2e −3x + e 3x in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 41 / 38 e hV ie nZ y − 7y + 6y = 6x − 20x + ĐS ytq = C1e x + C2e 6x + x − x − y − 5y + 6y = cos 2x ĐS 25 ytq = C1e 2x + C2e 3x + cos 2x − sin 2x 52 52 2x y − 4y + 3y = 4xe ĐS ytq = C1e x + C2e 3x − 4xe 2x y + 3y + 2y = 2x + + 6e x ĐS ytq = C1e −x + C2e −2x + x + e x on C o Giải phương trình vi phân cấp in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 42 / 38 C o e on hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 43 / 38 ... m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2 013 / 38 C o Định nghĩa e Phương trình vi phân. .. dx 1. 1 dx 1. 1 sin2 x ⇒ C1(x) = − , C (x) = sin x https://fb .com/ sinhvienzonevn cos x in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI. .. (C1 cos x + C2 sin x) + (x + 1) 2 in m Phương trình vi phân cấp hai với hệ số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2 013 21 /