DẠY VÀ HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG VỚI SỰ TRỢ GIÚP PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLE

Mục tiêu của bài báo này là viết chương trình toán học bằng phần mềm MAPLE để phân tích quá trình áp dụng phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Điều quan trọng hơn hết là phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán, các tình huống cụ thể. Từ đó áp dụng giải một số bài toán phương trình vi phân dạng nâng cao hơn. Như vậy mới gọi là nắm vững và hiểu thấu đáo môn học, đồng thời đưa những thành tựu nổi bật của công nghệ thông tin để hỗ trợ việc đổi mới phương pháp dạy và học theo chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Từ khóa - Phần mềm toán học Maple, phương trình vi phân, điều kiện ban đầu.

ĐẠI HỌC ĐÔNG Á 2014 33 DẠY VÀ HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG VỚI SỰ TRỢ GIÚP PHẦN MỀM TỐN HỌC MAPLE  ThS. Trần Ngọc Việt Khoa Cơ bản - Trường CĐ - GTVT II TĨM TẮT Mục tiêu của bài báo này là viết chương trình tốn học bằng phần mềm MAPLE để phân tích q trình áp dụng phương trình vi phân tuyến tính cp 1. Điều quan trọng hơn hết là phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài tốn, các tình huống cụ thể. Từ đó áp dụng giải một số bài tốn phương trình vi phân dạng nâng cao hơn. Như vậy mới gọi là nắm vững và hiểu thu đáo mơn học, đồng thời đưa những thành tựu nổi bật của cơng nghệ thơng tin để hỗ trợ việc đổi mới phương pháp dạy và học theo chủ trương của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Từ khóa - Phần mềm tốn học Maple, phương trình vi phân, điều kiện ban đầu. ABSTRACT This paper presents a new approach to linear differential equations of the first order constant factor with the help of a program written in the Maple math software. It is important that we should know how to apply such knowledge to solving mathematical problems and dealing with practical situations. Accordingly, this can be applied to the solution to solve differential equations. In this way, the subjects are thoroughly mastered so that great IT achievements in support of the teaching and learning innovation issued by the Ministry of Education and Training can be recorded. Key word - Maple math software, differential equations, initial conditions. 1. Đặt vấn đề Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ sở phát triển của khoa học, kĩ thuật và những u cầu đòi hỏi thực tế. Đã có những tài liệu, giáo trình đề cập đến những bài tốn cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu các phương trình vi phân tương ứng [4]. ẹAẽI HOẽC ẹONG A 2014 34 Cựng vi nhng thnh tu tuyt vi trong lnh vc cụng ngh thụng tin, ngi ta ó xõy dng c nhng phn mm cú tớnh u vit m nh nú vic gii toỏn c thc hin d dng bng nhng cõu lnh tht n gin, ch khụng phi lp trỡnh phc tp nh trc. Nhiu phn mm h tr tớnh toỏn nh: Maple, Mathematica, Matlab, S dng phn mm toỏn hc trong dy v hc phng trỡnh vi phõn c hỡnh thnh vi mc ớch tỡm hiu v phng phỏp, phõn tớch quỏ trỡnh gii bi toỏn phng trỡnh vi phõn bng chng trỡnh toỏn hc. Bc u tỡm hiu mt s phn mm toỏn hc cú kh nng h tr ging dy v gii toỏn. Bi vit i sõu tỡm hiu v phn mm Maple v s dng nú trong vic dy v hc phng trỡnh vi phõn bc i hc - cao ng. 2. Phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 1 2.1. nh ngha Phng trỡnh vi phõn cp 1 cú dng: y'+ p(x).y = q(x) (2.1) Vi p(x), q(x) l cỏc hm liờn tc, c gi l phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 1. Nu q(x) = 0 thỡ (2.1) gi l phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 1 thun nht. Nu q(x) 0 thỡ (2.1) gi l phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 1 khụng thun nht. 2.2. Nghim tng quỏt, nghim riờng Nghim tng quỏt ca phng trỡnh vi phõn cp 1 l hm y = f(x,C) ph thuc hng s C tựy ý v tha món cỏc iu kin: - Tha món phng trỡnh vi phõn vi mi giỏ tr c th ca C . - Nu cú iu kin u 0 0 x=x y=y thỡ cú th tỡm giỏ tr C = C 0 hm 0 (x,C ) tha món iu kin u. Rừ rng im (x 0 , y 0 ) phi nm trong min tha món cỏc iu kin tn ti v duy nht nghim. T r o n g q u ỏ t r ỡ n h t ỡ m n g h i m t n g q u ỏ t t h n g h a y g p b i u t h c d n g : (x,y,C) = 0 ( 2 . 2 ) Nu gii c y t phng trỡnh (2.2), ta nhn c nghim tng quỏt. Nu cú trng hp nghim tng quỏt dng n, biu thc ú c gi l tớch phõn tng quỏt ca phng trỡnh vi phõn. ĐẠI HỌC ĐÔNG Á 2014 35 Nghiệm riêng của phương trình vi phân cấp 1 là bất kỳ hàm φ 0 (x,C ) nhận được từ nghiệm tổng qt = φy (x,C) nếu cho C một giá trị xác định C 0 . 2.3. Định lý [4] Nếu y là nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất tương ứng và Y là một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất thì nghiệm tổng qt của phương trình đã cho là y=y+Y . 2.4. Định lý [3] Cho phương trình vi phân cấp 1. y'= f(x,y) Hàm liên tục f(x,y) trong một miền D nào đó của mặt phẳng Oxy và giả sử (x 0 , y 0 ) là một điểm nào đó của D. Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = x 0 , tồn tại ít nhất một nghiệm y = y(x) của phương trình, lấy giá trị y 0 khi x = x 0 . Nếu ngồi ra ∂ ∂ f (x,y) y , cũng liên tục trong miền D thì nghiệm ấy là duy nhất. Điều kiện y = y 0 khi x = x 0 được gọi là điều kiện ban đầu và thường được viết là: 0 0 x=x y=y Bài tốn tìm nghiệm của phương trình trên thỏa mãn điều kiện ban đầu đó được gọi là bài tốn Cauchy của phương trình. 2.5. Cách giải Giải phương trình (2.1) bằng cách thực hiện các bước như sau: Bước 1: Tìm nghiệm y tổng qt của phương trình thuần nhất tương ứng. Bước 2: Tìm nghiệm riêng Y nào đó của phương trình khơng thuần nhất bằng cách biến đổi nghiệm tổng qt y ở trên về dạng y = C.u(x) với C là hằng số tùy ý, lúc đó ta lấy nghiệm riêng Y của phương trình khơng thuần nhất dưới dạng Y = C(x).u(x) với C(x) là hàm theo x chưa biết. Để tìm C(x) ta tìm Y', rồi thay Y, Y' vào phương trình khơng thuần nhất, tìm được C (x) Bước 3: Lập nghiệm tổng qt của phương trình đã cho là y=y+Y . 3. Chương trình tốn học - phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 điều kiện đầu 3.1. Lệnh nhập xut dữ liệu và vẽ đồ thị Hàm readstat("<prompt>"): Hiện dấu nhắc <prompt> trả về dữ liệu nhập từ bàn phím. ÑAÏI HOÏC ÑOÂNG AÙ 2014 36 Hàm print(data1, data2,… ): Hiển thị dữ liệu ra màn hình. Lưu ý: Xâu ký tự đặt trong dấu ` `. Hàm plot(f,x=a b, y=c d): Vẽ đồ thị trong không gian 2 chiều của hàm số 1 biến y = f(x). Hàm plot3d(expr,x=a b, y=c d): Vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều của các mặt 2 chiều. Hàm DEplot của thư viện plots cho phép vẽ họ đường cong tích phân, vẽ đồ thị nghiệm của phương trình vi phân. 3.2. Xây dựng thủ tục trong Maple Maple là một ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục (procedure). Chế độ thủ tục được thực hiện bằng cách đóng gói một dãy các lệnh xử lí cùng một công việc vào một thủ tục duy nhất, sau đó chỉ cần gọi thủ tục này và Maple tự động thực hiện các lệnh trong thủ tục đó và trả lại kết quả cuối cùng. Khai báo thủ tục như sau: Procedure_name:=proc(parameter_sequence) [local local_sequence] [global global_sequence] [options options_sequence] statements_sequence end; restrart proc_eqttcap1:=proc()#Thu tuc giai pt tuyen tinh cap 1 co DK localp,q,init_con,pt,ptthuannhat,ptthuannhat1,thuannhat,ketqua nktt: globalglobal_pt; p:=readstat("p(x)="); q:=readstat("q(x)="); init_con:=readstar("DK_dau="); global_pt:=pt; ÑAÏI HOÏC ÑOÂNG AÙ 2014 37 print( Bài giải ); pt:=diff(y(x),x)+p*y(x)=q:pt; print( phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: ); print( pt ); ptthuannhat:=diff(y(x),x)+p*y(x)=0:pttrinhthuannhat; print( phương trình thuần nhất là: ); print( ptthuannhat ); ptthuannhat1:=(dy/y)+p*dx=0:pttrinhthuannhat1; print( 'suy ra:' ); print( ptthuannhat1 ); thuannhat:=dsolve(ptthuannhat): thuannhat: print( Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: ); print( thuannhat); nktt := dsolve(pt): nktt; print( Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là: ); print( nktt); print( Điều kiện ban đầu là: ); print( init_con ); ketqua := dsolve({pt, init_con}, {y(x)}): ketqua: print( Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ); print( ketqua); with(DEtools) ; DEplot(pt,y(x),x=-2 15,{[init_con]},scene = [x,y],stepsize=0.1,arrows = None, y=-2 6, linecolor = blue, title = VẼ ĐỒ THỊ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN); end; #ket thuc chương trinh ÑAÏI HOÏC ÑOÂNG AÙ 2014 38 3.3. Lưu và nạp chương trình Maple cho phép lưu chương trình để sử dụng một cách thuận tiện như sau: >save proc_eqttcap1 "\\ptvpcap1.m": Trong file có sử dụng chương trình thực hiện lệnh read fileproc, trong đó fileproc là tên file (có cả đường dẫn) chứa chương trình biên dịch, được tạo bởi lệnh save: >restart; >read "\\ptvpcap1.m"; >proc_eqttcap1(1, cos(x), y(0)=2); 3.4. S dụng chương trình Giải và vẽ đồ thị nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 dạng: y'+ p(x).y = q(x) , điều kiện đầu y(x 0 ) = y 0 Ví dụ: Giải phương trình vi phân y'+y = cos(x), điều kiện đầu y(0) = 2 Nhập các tham số cho chương trình phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 như sau: >proc_eqttcap1(); #khai bao chu trinh PTVP Tuyen Tinh Cap 1 dieu kien ban dau p(x)=1; #khai bao ham p(x) q(x)=cos(x); #khai bao ham q(x) DK_dau=y(0)=2; #khai bao Dieu Kien Dau Bài giải chi tiết như sau: Bài giải Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: d y(x)+ y(x) = cos(x) dx Phương trình thuần nhất là: d y(x)+ y(x) = 0 dx Suy ra: dy +dx = 0 y ĐẠI HỌC ĐÔNG Á 2014 39 Nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất là: x− y(x) = _Cle Nghiệm tổng qt của phương trình khơng thuần nhất là: 11 cos(x) sin( ) _ 22 x− ++y(x) = x Cle Điều kiện ban đầu là: y(0) = 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 1 13 cos(x) sin( ) 2 22 x− ++y(x) = x e 4. Kết luận Bài viết đã trình bày các bước cơ bản giải bài tốn phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 điều kiện ban đầu và đặc biệt chương trình dễ dàng biểu diễn vẽ đồ thị nghiệm của phương trình vi phân so với phương pháp giải tự luận thường gặp bằng một thủ tục của Maple 12. Kinh nghiệm cho thấy là nếu viết một chương trình phức tạp thì trước hết ta viết và chạy từng lệnh một để xem kết quả thế nào, khi thấy kết quả tốt ta nhóm các lệnh trên thành một chương trình hồn chỉnh. Hy vọng qua chương trình tốn học trên sẽ giúp cho người học có thêm phương pháp và tư duy mới về các dạng phương trình vi phân cấp 1 và 2. ẹAẽI HOẽC ẹONG A 2014 40 TI LIU THAM KHO [1]. Trn Quc Chin (2008), Giỏo trỡnh Phn mm toỏn hc, i hc Nng. [2]. Phm Huy in, inh Th Lc, T Duy Phng (1998), Hng dn thc hnh tớnh toỏn trờn chng trỡnh MAPLE V, NXB Giỏo dc, H Ni. [3]. Nguyn ỡnh Trớ, T Vn nh, Nguyn H Qunh (2001), Toỏn cao cp, NXB Giỏo dc, H Ni. [4]. Trn Bỡnh (2005), Gii tớch II+III, NXB Khoa hc v K thut, H Ni. [5]. K.Von Bulow supervised by E.S. Cheb-Terrab (2000), "Equivalence Methods for Second Order Linear Differential Equations" Master's thesis, Faculty of Mathematics, University of Waterloo. [6]. E.S. Cheb-Terrab and T. Kolokolnikov (2003), "First-order ordinary differential equations, symmetries and linear transformations", European Journal of Applied Mathematics , 14:231-246. [7]. J.A. Weil, "Recent Algorithms for Solving Second-Order Differential Equations" (2002), available at http://pauillac.inria.fr/algo/seminars/sem01-02/weil.pdf . ordinary differential equations, symmetries and linear transformations", European Journal of Applied Mathematics , 14:231-246. [7] . J.A. Weil, "Recent Algorithms for Solving Second-Order. DK localp,q,init_con,pt,ptthuannhat,ptthuannhat1,thuannhat,ketqua nktt: globalglobal_pt; p:=readstat("p(x)="); q:=readstat("q(x)="); init_con:=readstar("DK_dau="); global_pt:=pt; ÑAÏI HOÏC ÑOÂNG AÙ 2014 37 print( Bài giải ); pt:=diff(y(x),x)+p*y(x)=q:pt; print( phương trình vi phân tuyến tính cấp 1