giải tích 1 lê xuân đại phương trình tuyến tính cap 2 hệ số hang sinhvienzone com

Phương trình tuyến tính cấp hệ số an y y ( n 1) a1 y a1 y a0 y C ne an y (n) an ( n 1) Zo an y (n) om Định nghĩa: PT vp tuyến tính cấp n hệ số ptvp có dạng a0 y (1) f ( x) (2) nh Vi en Trong a1,a2 , … , an số thực PT (1) gọi pt Si PT (2) gọi pt khơng SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tuyến tính cấp hệ số C om Hệ hàm độc lập tuyến tính (a,b) Hệ {y1(x), y2(x), …, yn(x)} gọi độc lập tuyến tính (a,b) từ đẳng thức Zo ne λ1y1(x)+λ2y2(x)+…+λnyn(x)=0 Ta suy λ1= λ2 =… = λn=0 y1 y2 yn y1 y2 yn : : : : Si nh Vi en Định thức Wronski hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) (a,b) W ( y , y , , y n ) SinhVienZone.com y1 ( n 1) y2 ( n 1) yn https://fb.com/sinhvienzonevn ( n 1) Phương trình tuyến tính cấp hệ số hệ đltt (a,b) ne C Nếu W ( y , y , , y n ) om Định lý: Cho hàm y1(x), y2(x), …, yn(x) có đạo hàm đến cấp (n-1) (a,b) nh Vi en Zo Ví dụ: hàm y1(x) = ex , y2(x) = xex đltt với x Ta tính định thức Wronski hàm cho W ( y1 , y ) Si e x e e SinhVienZone.com x 2x xe x e (1 x e 2x (1 x) xe x) x https://fb.com/sinhvienzonevn 2x Phương trình tt cấp hệ số a1 y a0 y (1 1) om y ne C Cấu trúc nghiệm: Nếu y1(x), y2(x) nghiệm riêng đltt NTQ pt (1.1) Zo ytn=C1y1(x)+C2y2(x) nh Vi en Ta tìm nghiệm (1) dạng y Thay vào (1) : k e k x Si k Vậy hàm y e kx a1k a1k e kx a2 a 2e kx e kx (3) nghiệm pt (1) k nghiệm pt (3) Ta gọi pt (3) pt đặc trưng pt (1) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số a1 y a2 y a1k a2 e k1 x ne k : y1 , y2 e đltt k2 x Zo k1 (3) C TH 1: (3) có nghiệm thực om Pt : y Pt đặc trưng : k k nh Vi en TH 2: (3) có nghiệm thực k1 k : y1 e kx ,y xe kx đltt k Si TH 3: (3) có cặp nghiệm phức liên hợp i : y1 e x cos NTQ pt y SinhVienZone.com x , y1 C y1 e x s in C y2 https://fb.com/sinhvienzonevn xđltt Ví dụ: Tìm NTQ pt 5y 6y om Phương trình tt cấp hệ số 1.y 4y 4y C 2.y 5k k1 4k Si k nh Vi en k2 k k1 y k1,2 y SinhVienZone.com y y Zo k ne 3.y C 1e 2x k2 C 1e 2x C xe 2x i C1 cos x C s in x https://fb.com/sinhvienzonevn C 2e 3x om Phương trình tt cấp cao hệ số Tương tự cho pt tuyến tính cấp cao hệ số Ta làm với ví dụ sau Ví dụ: Tìm NTQ pt 2.y 3y 3y y C 1e 8y (y 4.y C 1e (4) (y e y 2x 0 C xe C 1e x C 2e x x C1 cos SinhVienZone.com 2 x cos C s in x C3x e 3x x C 2e C 3e 4x 2 x e ) C 3e Si 3.y y nh Vi en (y x 0x C 4y ne 5y Zo 1.y x s in x C cos 3x) x https://fb.com/sinhvienzonevn C s in 2 x ) Phương trình tt cấp hệ số khơng a1 y a0 y f ( x ) ( 1) om y C Cấu trúc nghiệm pt không ne Ta gọi ytn nghiệm tổng quát pt (1.1) Zo yr nghiệm riêng pt không (1.2) nh Vi en Thì NTQ pt khơng (2.1) ytq=ytn+yr Si NTQ pt (1.1) ytn ta tìm Ta cần tìm nghiệm riêng pt không yr SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số khơng x e Pn ( x ) c o s x Q m ( x ) s in x C f (x) om Trường hợp đặc biệt : f(x) viết dạng x e Trong : s x Ts ( x ) cos x R s ( x ) s in nh Vi en yr h Zo ne Ta viết yr dạng sau x m ax {m , n} , i nghiệm bội h pt đặc trưng Si Sau đó, ta tính đh cấp 1, cấp hàm yr thay vào pt ban đầu để tìm đa thức Ts(x) Rs(x) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số không PT đặc trưng: k 6y 5k xe NTQ pt nhất: y k C 1e 2,3 2x C 2e 3x ne tn om 5y C Ví dụ: Gpt y 2x xe e 2x nh Vi en f (x) 2x Zo Hàm vế phải có dạng đặc biệt : ( x cos x x s in x ) So với dạng tắc: Ta được: e i s x Pn ( x ) c o s Si f (x) 2, 1, m Q m ( x ) s in x Là nghiệm đơn (bội 1) ptđt, h=1 m ax(m , n ) SinhVienZone.com 0, n x https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số không x e h x 2x x e e 2x (ax 2x y tn Ts ( x ) cos (ax x b ) cos x C 1e 2x C 2e om y r xe R s ( x ) s in C 6y (cx 3x x d ) s in x ne 5y bx ) Zo 1.y yr e 2x (2ax (4ax 2bx (4b 2ax b) 4a)x 4ax 2a Si yr e 2x nh Vi en Ta tính đh cấp 1, cấp yr thay vào pt cho Ta được: ( a b ) x ( a b ) e Đồng hệ số vế: a=3/2, b=1 Vậy NTQ: y t q SinhVienZone.com y tn yr C 1e 2x C 2e 2b) 2x 3x (1 x e 2x https://fb.com/sinhvienzonevn ( 0)e x 2x x) Phương trình tt cấp hệ số khơng Ví dụ: Tìm dạng nghiệm riêng pt 2y y 3.y 5y 4y i 2, 2 1, 1 1, Si i SinhVienZone.com x s in x h n, m nh Vi en PT k1,k2 2e 2x om 2.y xe C 6y ne 5y Zo 1.y S cos x Yr 2x 1, yr x e 0, 0 yr x e 0, 0 yr 1x x e 0x (ax b ) cos x (a ) cos x (a ) cos1x https://fb.com/sinhvienzonevn (b ) s in x Phương trình tt cấp hệ số không om Nếu f(x) tách thành tổng hàm f1(x) f2(x) có dạng đặc biệt C Ta sử dụng nguyên lý chồng nghiệm sau: y a1 y a2 y Zo ne Nếu y1, y2 nghiệm riêng pt sau f1 ( x ) , y a1 y a2 f2 ( x) a1 y a2 y f1 ( x ) f2 (x) Si y nh Vi en Thì y1+y2 nghiệm riêng pt SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số không 3x ax b, yr y r1 a , y r1 s in x om 2x s in x y r1 yr C 2e 3x C f (x) x 2y f1 ( x ) c cos x f2 ( x) d sin x Zo C 1e 3y nh Vi en y tn y ne Ví dụ: Gpt c s in x d cos x, yr 4c cos x d s in x a Si Thay yr1, yr2 vào pt tương ứng, ta được: ,b Vậy NTQ 0,c y tq SinhVienZone.com C 1e ,d x C 2e 2x x cos x https://fb.com/sinhvienzonevn s in x Phương trình tt cấp hệ số không Trường hợp hàm f(x) viết om Ta dùng phương pháp biến thiên số cách C y1 ( x ) C y2 ( x) ne y tn C NTQ pt (1.1) Zo tìm NTQ pt khơng (2) dạng C ( x ) y1 ( x ) nh Vi en y tq Từ (*) : C ( x ) y1 ( x ) C ( x ) y1 ( x ) (*) C ( x) y2 ( x) C ( x) y2 ( x) Si y tq C ( x) y2 ( x) Để việc tính tốn đơn giản hơn, ta thêm điều kiện C ( x ) y1 ( x ) SinhVienZone.com C ( x) y2 ( x) (a) https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số khơng Khi đó: y tq C ( x ) y1 ( x ) C ( x) y2 ( x) C ( x ) y1 ( x ) C ( x ) y1 ( x ) C ( x) y2 ( x) ne y tq C om Ta tính tiếp đh cấp 2, thay y’, y’’ vào pt không t.nhất C ( x) y2 ( x) a1 y1 Ta a y1 0, y2 nh Vi en y1 Zo Lưu ý y1, y2 nghiệm pt t.nhất, tức C ( x ) y1 ( x ) a1 y a2 y2 C ( x) y2 ( x) f (x) Si Suy ra, C1’(x), C2’(x) nghiệm hpt (a), (b) C ( x ) y1 ( x ) C ( x) y2 ( x) C ( x ) y1 ( x ) C ( x) y2 ( x) f (x) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn (b) Phương trình tt cấp hệ số không a1 y a2 y (2) a1 k a2 ne Giải pt đặc trưng k f (x) C y om Phương pháp biến thiên số để giải pt Zo Viết nghiệm riêng y1(x), y2(x) pt nh Vi en Tìm NTQ dạng y t q C ( x ) y1 ( x ) C ( x) y2 ( x) Rồi tìm C1’(x), C2’(x) cách giải hpt Si C ( x ) y1 ( x ) C ( x ) y1 ( x ) C ( x) y2 ( x) C ( x) y2 ( x) f (x) Lấy tích phân C1’(x), C2’(x) thay vào ytq SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số khơng Ta giải hpt 4k C1 ( x )e Zo 2x 2x e 2x C ( x) xe C1 ( x )( )e C ( x )e nh Vi en x ln x C2 (x) ln x y1 ( x ) 2x C1 ( x ) 2x e om k 4y C Từ pt đ.tr 4y ne Ví dụ: Gpt y 2x C1 ( x ) (1 x) x y tq Si C ( x ) y1 ( x ) ln x C 1e 2x SinhVienZone.com C xe 2x e 2x x x ln x ln x 3x 2x x https://fb.com/sinhvienzonevn x ln x C ( x) y2 ( x) e Vậy nghiệm pt cho y tq xe C2 (x) ln x , y2 ( x) 2x C2 C1 Phương trình tt cấp hệ số – pt Euler-Cauchy n an x y (n) an 1x n y ( n 1) om PT Euler – Cauchy pt có dạng a0 y f (x) dt dx dt dt y d dt dy (x dy SinhVienZone.com x dy ) d dx x dt dx y xy x ) dx dx dy dx dt e ( dx dy x t nh Vi en dy dx Si d dy Zo ne C Ta đưa pt tt hệ số không đổi cách đặt x = et (x>0) x = -et (x0 nên ta đặt x=et Thay x y x (x>0) om Ví dụ: Gpt y Vậy nghiệm pt cho y tn C1x C x ln x SinhVienZone.com ln x https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số – pt Euler-Cauchy Ví dụ: Tìm nghiệm riêng pt 2y x , y (1) Đặt x=et, ta pt y a te C 2e 2t 2t yr e 2t ne yr t 2y , Zo C 1e nh Vi en y tn 3y y (1) om xy C x y ae 2t (1 t ), y r Thay vào pt trên, ta : a=1 Suy ra, NTQ pt cho y t q ae Si C1 x 2t (4 C2x 4t) x ln x Tính thêm y’tq, thay điều kiện đầu vào, tìm C1, C2 Vậy nghiệm riêng là: SinhVienZone.com y x x x ln x https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số – Bài tập Tìm NTQ nghiệm riêng pt 2.y 5y 4y (x 3.y 5y 6y xe 4y 4y 2e 5.y 4y cos x 6.y 6y 9y 7.y y 1) s i n x 2x 2x nh Vi en 4.y om x cos x C 6y ne 5y Zo 1.y 3x cos x, Si xe x s in x tg x SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Phương trình tt cấp hệ số – Bài tập 6y 1 x y 2 x y xy y xy xy 2x s i n ( ln x ) y x nh Vi en x y e om 5y x 4y C 9.y s in x s in x ne 9y Zo 8.y 2 x y 1) y 2(4 x Si ( x xy SinhVienZone.com y 1) y 8y c o s ln x https://fb.com/sinhvienzonevn ... k2 k k1 y k1 ,2 y SinhVienZone. com y y Zo k ne 3.y C 1e 2x k2 C 1e 2x C xe 2x i C1 cos x C s in x https://fb .com/ sinhvienzonevn C 2e 3x om Phương trình tt cấp cao hệ số Tương tự cho pt tuyến tính. .. SinhVienZone. com y tn yr C 1e 2x C 2e 2b) 2x 3x (1 x e 2x https://fb .com/ sinhvienzonevn ( 0)e x 2x x) Phương trình tt cấp hệ số khơng Ví dụ: Tìm dạng nghiệm riêng pt 2y y 3.y 5y 4y i 2, 2 1, 1 1, Si i SinhVienZone. com. . .Phương trình tuyến tính cấp hệ số C om Hệ hàm độc lập tuyến tính (a,b) Hệ {y1(x), y2(x), …, yn(x)} gọi độc lập tuyến tính (a,b) từ đẳng thức Zo ne λ1y1(x)+λ2y2(x)+…+λnyn(x)=0 Ta suy 1= λ2