giải tích 1 lê xuân đại 8 hệ phương trình vi phân tuyến tính sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Sự phân rã chất C o Bài toán thực tế Sự phân rã chất in hV ie nZ on e Ví dụ Một số chất A phân rã thành chất P Q Tốc độ hình thành chất P Q tỉ lệ với khối lượng chất không bị phân rã Cho x, y khối lượng chất P Q hình thành thời điểm t Hãy xác định quy luật phân rã chất A biết thời điểm ban đầu t = x = 0, y = 0, sau 1min x = c, y = c, 8 c khối lượng ban đầu chất A ới m https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 C o Sự phân rã chất hV ie nZ on e Tại thời điểm t tốc độ hình thành chất P Q    dx = k1(c − x − y ) dt dy   = k2(c − x − y ) dt Nghiệm hệ   x = C1 + C2e −(k1+k2)t k2  y = c + C2e −(k1+k2)t − C1 k1 in m Bài toán thực tế TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 C o Sự phân rã chất ie nZ on e Tìm C1, C2 dựa vào điều kiện đầu t = x = 0, y =   k1 c   C1 + C2 =  C1 = k1 + k2 k2 ⇒ k1 c  C1 − C2 = c   C = − k1 k +k hV Tìm k1, k2 dựa vào điều kiện t = ln ln x = c, y = c ta k1 = , k2 = 8 4 in m Bài toán thực tế TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 e C o Sự phân rã chất hV ie nZ on Vậy quy luật phân rã chất A thành chất P, Q với số lượng x, y xác định sau:  3c   1− t x = c   1− t y = in m Bài toán thực tế TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 C o Hệ với hệ số e Hệ với hệ số hằng-Phương pháp Euler Xét hệ nZ on dX = AX (1) dt với phần tử aij ma trận A số Nội dung phương pháp Euler sau: Tìm nghiệm ie (1) dạng X (t) = e λt P, với P véc-tơ Thế X (t) hV vào (1) ta λe λt P = APe λt ⇔ AP = λP Vậy hàm véc-tơ X (t) = e λt P nghiệm hệ (1) λ trị riêng P véc-tơ riêng ma trận A in m Hệ phương trình TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Tìm đa thức đặc trưng e Định lý   nZ on a11 a12 a13 Cho A =  a21 a22 a23  ∈ M3(K ), a31 a32 a33 ie χA(λ) = |A − λI | = −λ3 + tr (A)λ2− in hV (a11a22 −a12a21 +a22a33 −a23a32 +a11a33 −a13a31)λ m Hệ với hệ số C o Hệ phương trình +det(A) tr (A) = ahttps://fb.com/sinhvienzonevn 11 + a22 + a33 −vết ma trận A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 C o Hệ với hệ số ie nZ on e Định lý Nếu ma trận A có n véc-tơ riêng độc lập tuyến tính P1, P2, , Pn ứng với trị riêng λ1, λ2, , λn nghiệm e λ1t P1, e λ2t P2, , e λn t Pn tạo thành hệ nghiệm Khi nghiệm tổng quát (1) có dạng X (t) = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 + + Cn e λn t Pn hV Chú ý Định lý khơng đòi hỏi trị riêng phải phân biệt, véc-tơ riêng phải độc lập tuyến tính https://fb.com/sinhvienzonevn in m Hệ phương trình TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 Trường hợp: trị riêng phân biệt on e Nếu A có n trị riêng phân biệt n véc-tơ riêng tương ứng độc lập tuyến tính ta có hệ sau: hV ie nZ Hệ Nếu ma trận A có n trị riêng phân biệt λ1, λ2, , λn với véc-tơ riêng tương ứng P1, P2, , Pn nghiệm tổng quát (1) có dạng in X m Hệ với hệ số C o Hệ phương trình t P 1+ C 2e λ2tP 2+ + Cn e λn t Pn (t) = C 1e λ1https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 / 41 on e C o Hệ với hệ số Trường hợp: trị riêng thực bội m hV ie nZ Ứng với λ0 trị riêng thực bội m nghiệm tương ứng hệ (1) x1 = P1(t)e λ0t , x2 = P2(t)e λ0t , , xm = Pm (t)e λ0t , P1(t), P2(t), Pm (t) đa thức có bậc khơng lớn m − in m Hệ phương trình TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 10 / 41 Hệ phương trình Ví dụ e C o x X (t) =  y  = C1 e λ1 t P1 + C2 e αt [U cos βt − V sin βt]+ z hV ie nZ on +C3 e αt [U sin βt + V cos βt] =        1 = C1 e t   + C2 e 0t   cos t −  −1  sin t  + −1      +C3 e 0t   sin t +  −1  cos t  −1   C1 e t + C2 cos t + C3 sin t  = C1 e t + C2 sin t − C3 cos t + sin t) + C 3(sin t − cos t) C2 (cost https://fb.com/sinhvienzonevn in m  TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 27 / 41 C o Định nghĩa e Định nghĩa Hệ hV ie nZ on dX = AX + F (t) (2) dt với phần tửaij của ma trận A f1(t)    f2(t)  số, F (t) =   gọi hệ phương   fn (t) trình tuyến tính khơng với hệ số in m Hệ không TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 28 / 41 C o Phương pháp khử on e Phương pháp khử hV ie nZ Từ phương trình hệ không ta dùng phương pháp khử để đưa phương trình vi phân cấp cao in m Hệ không TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 29 / 41 C o Ví dụ hV ie nZ on e Ví dụ Giải  hệ phương trình   dx = 4x − 3y + e −t (1) dt dy   = 2x − y (2) dt y +y y +y Từ (2) ta có x = ⇒x = Thay 2 x, x vào phương trình (1) ta y +y y +y = − 3y + e −t 2 − 3y + 2y = 2e −t (3) ⇒ y https://fb.com/sinhvienzonevn in m Hệ không TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 30 / 41 C o Ví dụ hV ie nZ on e Phương trình đặc trưng k − 3k + = ⇒ k1 = 1, k2 = Nghiệm phương trình (3) ytn = C1e t + C2e 2t Tìm nghiệm riêng (3) yr = A.e −t ⇒ (yr ) = −A.e −t , (yr ) = Ae −t ⇒ A = −t Vậy yr = e Nghiệm tổng quát y = C1e t + C2e 2t + e −t ⇒ y +y x= = C1e t + C2e 2t 2 https://fb.com/sinhvienzonevn in m Hệ không TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 31 / 41 e C o Phương pháp biến thiên số Phương pháp biến thiên số hV ie nZ on Giả sử X1(t), X2(t), , Xn (t) hệ nghiệm hệ (1) ta ký hiệu φ(t) = X1(t) X2(t) Xn (t) nghiệm tổng  quát  (1) viết dạng X0 = φ(t)C với C1    C2  C =     Cn in m Hệ không TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 32 / 41 C o Phương pháp biến thiên số ie nZ on e Hệ khơng (2) có nghiệm   C1(t)    C2(t)  Xtq = φ(t)C (t), C (t) =     Cn (t) hV Dùng phương pháp biến thiên số ta tìm C1(t), C2(t), , Cn (t) in m Hệ không TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 33 / 41 C o Ví dụ Ví dụ e 4x − 3y + e −t 2x − y on    dx = dt Giải hệ phương trình dy   = dt    Hệ tương ứng   (1) (2) hV ie nZ dx = 4x − 3y dt Phương dy = 2x − y dt trình đặc trưng hệ 4−λ −3 = ⇔ λ2 − 3λ + = −1 − λ in ⇔ m Hệ không λ1 = 1, λ = 2.https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 34 / 41 e ie Ứng với λ2 = ta xét hệ hV ⇒ P2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 3p1 − 3p2 = 2p1 − 2p2 = on 1 nZ ⇒ P1 = C o Ví dụ Ứng với λ1 = ta xét hệ in m Hệ không 2p1 − 3p2 = 2p1 − 3p2 = https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 35 / 41 C o Ví dụ nZ on e Nghiệm hệ X1(t) = e λ1t P1 = e t , X2(t) = e λ2t P2 = e 2t Vậy nghiệm tổng quát hệ x y = C1e λ1t P1 + C2e λ2t P2 ie hV X0(t) = = C1e t in m Hệ không 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) +C2e 2t = https://fb.com/sinhvienzonevn C1e t + 3C2e 2t C1e t + 2C2e 2t HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 36 / 41 C o Ví dụ x y = C1 (t)e t + C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t + 6C2 (t)e 2t = C1 (t)e t + C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t + 4C2 (t)e 2t on ⇒ e Nghiệm hệ khơng có dạng x = C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t y = C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t nZ Thay vào hệ phương trình cho ta (1) ⇒ C1 (t)e t + C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t + 6C2 (t)e 2t = ie 4(C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t ) − 3(C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t ) + e −t hV ⇒ C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t = e −t (3) (2) ⇒ C1 (t)e t + C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t + 4C2 (t)e 2t = 2(C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t ) − (C1 (t)e t + 2C2 (t)e 2t ) in m ⇒ Hệ không 2t https://fb.com/sinhvienzonevn C1 (t)e t + 2C2 (t)e = (4) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 37 / 41 C o Ví dụ Giải (3) (4) ta e nZ Vậy   C1(t) = e −2t + C1 ⇒  C2(t) = − e −3t + C2 on C1(t) = −2e −2t C2(t) = e −3t hV ie  x = C1 (t)e t + 3C2 (t)e 2t =       = (e −2t + C1 )e t + − e −3t + C2 e 2t  t 2t y = C1 (t)e + 2C2 (t)e =       = (e −2t + C1 )e t + − e −3t + C2 e 2t  in m Hệ không TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 38 / 41 e C o Ví dụ hV ie nZ on Nghiệm hệ phương trình cho   x(t) = C1e t + 3C2e 2t  y (t) = C1e t + 2C2e 2t + e −t in m Hệ không TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 39 / 41 C o Hệ phương trình Tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình on e 2x + 3y 2x + y −x + 3y −3x + 5y 6x − y 5x + 2y 2x + y + z x + 2y + z −2x − 2y − z nZ = = = = = = = = = ie x (t) y (t) x (t) y (t) x (t) y (t)   x (t) y (t)  z (t) hV in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 40 / 41 C o Hệ phương trình khơng on e Tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình không x (t) = −3x + y + 3t y (t) = 2x − 4y + e −t x (t) = x + 2y + e t y (t) = −x + 3y hV ie nZ in m Bài tập TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2013 41 / 41 ... λ2 − 11 λ + 10 = 4−λ ⇔ 1 = 1, λ2 = 10 in m Hệ phương trình TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2 013 13 / 41 e ie Ứng với λ2 = 10 ... cos βt] in m Hệ phương trình TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2 013 11 / 41 C o Hệ với hệ số on e Khi phương trình (1) có nghiệm... ta  3p1 − 12 p2 − p3 p1 − 6p2 − p3  −4p1 + 12 p2 in m Hệ phương trình TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TP HCM — 2 013 18 / 41 C o Ví dụ