giải tích 1 lê xuân đại 2 tích phân bất định sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 C o Bài toán thực tế Bài toán điều tra dân số nZ on e Theo mơ hình điều tra dân số tăng trưởng dân số giới, tốc độ tăng trưởng dân số giới từ năm 1950 p(t) = −0, 012.t + 48.t − 47925, với t năm theo lịch, p(t) (triệu người/năm) Theo kết điều tra dân số năm 2000 tổng dân số 6000 triệu người Hãy tìm hàm tổng dân số P(t) theo năm Từ hàm tổng dân số P(t) dự đoán dân số https://fb.com/sinhvienzonevn giới năm 2050 hV ie in m Nguyên hàm tích phân bất định TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 C o Bài toán thực tế e P(t) hàm ngược lại đạo hàm (nguyên hàm) - antiderivative nZ on t3 t2 P(t) = −0, 012 + 48 − 47925.t + C hV ie Để tìm C ta thay t = 2000 P(2000) = 6000 Khi ta thu C = 31856000 P(t) = −0, 004.t + 24.t − 47925.t + 31856000 Thay t = 2050 ta dự đoán tổng dân số năm 2050 P(2050) = 9250 triệu người in m Nguyên hàm tích phân bất định TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 e C o Nguyên hàm hV ie nZ on Định nghĩa Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X , F (x) liên tục khả vi X với ∀x ∈ X ln có đẳng thức F (x) = f (x), dF (x) = f (x)dx in m Nguyên hàm tích phân bất định TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 C o Nguyên hàm hV ie nZ on e Định lý Nếu hàm số F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R hàm số Φ(x) = F (x) + C , với C số, nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R Ngược lại, hàm số F (x) Φ(x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R tồn số C ∈ R cho Φ(x) = F (x) + C in m Nguyên hàm tích phân bất định TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Tích phân bất định C o Nguyên hàm tích phân bất định nZ on e Định nghĩa Cho hàm số F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R, biểu thức Φ(x) = F (x) + C , với C số bất kỳ, gọi tích phân bất định hàm số f (x) khoảng X in hV ie Tích phân bất định kí hiệu f (x)dx Như tích phân bất định f (x) f (x)dx = F (x) + C , với F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X , C https://fb.com/sinhvienzonevn ốm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 C o Tích phân bất định hV ie nZ on e Bảng cơng thức tích phân bất định 0dx = C 1.dx = x + C µ+1 x µdx = xµ+1 + C , µ = −1 dxx = ln |x| + C x ax dx = lna a + C , a > 0, a = e x dx = e x + C √dx = arcsin x + C , x = ±1 1−x dx = 1+x in m Nguyên hàm tích phân bất định arctan x + C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 C o Tích phân bất định hV ie nZ on e sin xdx = − cos x + C 10 cos xdx = sin x + C 11 cosdx2 x = tan x + C 12 sindx2 x = − cot x + C 13 sinh xdx = cosh x + C 13 cosh xdx = sinh x + C dx 14 cosh x = x + C dx 15 sinh x = − coth x + C x−a 16 x 2dx = ln | + C 2a x+a |√ −a 17 √ dx2 = ln |x + x ± a2| + C in m Nguyên hàm tích phân bất định x ±a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 e C o Tích phân bất định hV ie nZ on Những tính chất tính phân bất định Từ định nghĩa tích phân bất định ta trực tiếp suy đẳng thức sau: d f (x)dx = f (x)dx dF (x) = F (x) + C in m Nguyên hàm tích phân bất định TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 C o Tích phân bất định hV ie nZ on e Quy tắc tính tích phân bất định Quy tắc I Nếu số a = ln có đẳng thức sau af (x)dx = a f (x)dx Quy tắc II Luôn có đẳng thức sau (f (x) ± g (x))dx = f (x)dx ± g (x)dx Quy tắc III Nếu ta có đẳng thức f (t)dt = F (t) + C ta ln có đẳng thức f (ax + b)dx = F (ax + b) + C , (a = 0) a in m Nguyên hàm tích phân bất định TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 10 / 66 C o Tích phân dạng Ví dụ dx sin x + cos x + e Tính tích phân I = nZ on x Đặt t = tan Khi − t2 2dt 2t , cos x = , dx = sin x = + t2 + t2 + t2 ie 2dt 1+t 2t 1−t 1+t + 1+t hV I = = +5 =2 dt = 2t + 8t + dt 1 = − + C = − + C x (t + 2)2 t +2 tan + in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 54 / 66 C o Tích phân dạng Một số trường hợp đặc biệt e on hV nZ Nếu R(sin x, cos x) hàm lẻ theo sin x, có nghĩa R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) ta đặt t = cos x Nếu R(sin x, cos x) hàm lẻ theo cos x, có nghĩa R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) ta đặt t = sin x Nếu R(sin x, cos x) hàm chẵn theo sin x, cos x, có nghĩa R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) ta đặt t = tan x https://fb.com/sinhvienzonevn ie in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 55 / 66 C o Tích phân dạng Ví dụ e (sin x + sin3 x)dx cos 2x on Tính tích phân I = nZ Vì hàm số dấu tích phân hàm lẻ theo sin x nên đặt t = cos x Từ ta có dt = − sin xdx, sin2 x = − t , cos 2x = 2t − (2 − t )(−dt) (t − 2)dt dt = = dt − = 2 2t − 2t − 2 2t − √ √ t t 2−1 cos x − = − √ ln √ + C = cos x − √ ln √ +C 2 2 t 2+1 2 cos x + hV ie I = in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 56 / 66 C o Tích phân dạng Ví dụ e (cos3 x + cos5 x)dx sin2 x + sin4 x on Tính tích phân I = ie = cos2 x(1 + cos2 x) cos xdx (1 − t )(2 − t )dt = = t2 + t4 sin2 x + sin4 x 2 1+ − dt = t − − arctan t + C = t + t2 t = sin x − − arctan(sin x) + C sin x hV I = nZ Biểu thức dấu tích phân hàm lẻ theo cos x nên đặt t = sin x Khi dt = cos xdx, cos2 x = − t in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 57 / 66 C o on dx sin2 x + sin x cos x − cos2 x nZ I = Tích phân dạng e Ví dụ Tính tích phân hV ie Biểu thức dấu tích phân hàm chẵn theo sin x, cos x nên đặt t = tan x Khi t , cos x = √ , sin x = √ + t2 + t2 dt x = arctan t, dx = + t2 in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 58 / 66 C o e + √2t √ 1+t 1+t − 1+t = on t2 1+t dt = t + 2t − d (t + 1) = (t + 1)2 − √ t +1− √ +C = = √ ln 2 t +1+ √ tan x + − √ +C = √ ln 2 tan x + + hV ie nZ = Tích phân dạng dt 1+t I = in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 59 / 66 C o Nếu n số lẻ khơng âm đặt t = sin x Nếu m số lẻ không âm đặt t = cos x Nếu m, n số chẵn khơng âm biến đổi biểu thức dấu tích phân nZ sinm x cosn xdx on Tích phân dạng e Tích phân dạng ie sin 2x, 1 sin2 x = (1 − cos 2x), cos2 x = (1 + cos 2x) 2 hV sin x cos x = in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 60 / 66 C o Tích phân dạng sin4 x cos5 xdx e Ví dụ Tính tích phân I = on Đặt t = sin x Khi dt = cos xdx nZ t 4(1 − t 2)2dt = I = (t − 2t + t 8)dt = hV ie = t5 − t7 + t9 + C = 1 = sin5 x − sin7 x + sin9 x + C in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 61 / 66 C o Tích phân dạng Ví dụ e sin3 xdx √ cos x cos x on Tính tích phân I = = 3t (1−t 2)t −4/3dt = − t −4/3dt+ t 2/3dt = hV =− (1 − cos2 x) cos−4/3 x sin xdx = ie I = nZ Đặt t = cos x, dt = − sin xdx −1/3 in m Tích phân hàm lượng giác √ 3 5/3 + cos x cos2 x+C + t +C = √ cos x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 62 / 66 e C o Tích phân dạng sin2 x cos2 xdx on Ví dụ Tính tích phân I = nZ dx − hV = sin 2x = (1 − cos 4x)dx = ie I = in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 cos 4xdx = x − sin 4x + C 32 https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 63 / 66 C o Tích phân dạng e Tích phân dạng sin mx cos nxdx, cos mx cos nxdx, sin mx sin nxdx on Sử dụng công thức lượng giác sau hV ie nZ sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)] cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α − β)] sin α sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)] in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 64 / 66 C o Tích phân dạng Ví dụ x x cos x cos cos dx on e Tính tích phân I = x 3x x + cos cos dx = 2 3x x x x = cos cos cos dx = cos dx + 2 2 1 7x 5x 3x x = cos + cos dx+ cos + cos 4 4 4 7x 5x 3x x = sin + sin + sin + sin + C 4 cos nZ hV ie I = in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dx = https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 65 / 66 Tích phân dạng C o a1 sin x + b1 cos x dx a2 sin x + b2 cos x e Tích phân dạng on Cách giải Phân tích a1 sin x + b1 cos x = A(a2 sin x + b2 cos x) + B(a2 sin x + b2 cos x) nZ ⇔ a1 sin x + b1 cos x = A(a2 cos x − b2 sin x)+ +B(a2 sin x + b2 cos x) ie ⇔ a1 sin x +b1 cos x = (Ba2 −Ab2 ) sin x +(Aa2 +Bb2 ) cos x a1 = Ba2 − Ab2 ⇒ Giải hệ tìm A, B b1 = Aa2 + Bb2 hV ⇒ Vậy I = A ln |a2 sin x + b2 cos x| + Bx + C in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 66 / 66 C o Tích phân dạng Ví dụ e sin x + cos x dx sin x + cos x on Tính tích phân I = nZ sin x + cos x = A(sin x + cos x) + B(sin x + cos x) ie ⇔ sin x + cos x = A(cos x − sin x) + B(sin x + cos x) ⇔ sin x + cos x = (B − 3A) sin x + (A + 3B) cos x hV A = − 10 ⇒ B = 11 10 11 Vậy I = − ln | sin x + cos x| + x + C https://fb.com/sinhvienzonevn 10 10 in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = B − 3A ⇔ = A + 3B TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 67 / 66 on e C o Tích phân dạng hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Tích phân hàm lượng giác TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 68 / 66 ... Nguyên hàm tích phân bất định TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2 013 / 66 Tích phân bất định C o Nguyên hàm tích phân bất định nZ on e Định nghĩa... tích phân bất định x ±a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2 013 / 66 e C o Tích phân bất định hV ie nZ on Những tính chất tính phân bất định Từ định. .. (2x + 1) ta I = (2x +1) 1/3 +3(2x +1) 1/6 +3 ln |(2x +1) 1/6 ? ?1| +C https://fb .com/ sinhvienzonevn in m Tính tích phân hàm vơ tỉ TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2 013 37 / 66 dx ax