giải tích 2 lê xuân đại chuỗi so chuỗi lũy thừa sinhvienzone com

C o e on nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 1/1 C o Điều kiện cần để chuỗi hội tụ e Điều kiện cần để chuỗi hội tụ on Định lý +∞ n=1 nZ un hội tụ un → 0, n → +∞ Nếu chuỗi ie Hệ Nếu un khơng có giới hạn có giới hạn khác hV +∞ un phân kỳ chuỗi n=1 in m Khái niệm chuỗi số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 2/1 on e C o Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Ví dụ Khảo sát hội tụ chuỗi 3n+2 +∞ 2n + n5 2n + n=1 3n+2 nZ 2n + 2n + = ie an = n 2n+1 2(3n+2) 2n+1 n→∞ −−−→ ∞ 2n + Đáp số Phân kỳ theo điều kiện cần hV n5 + in m Khái niệm chuỗi số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 3/1 C o on e Một số chuỗi thường dùng +∞ +∞ nZ hội tụ α > phân kỳ α α n=1 n q n hội tụ |q| < phân kỳ n=1 hV |q| ie in m Chuỗi không âm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 4/1 C o Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn so sánh +∞ an , Hai chuỗi n=1 nZ bn , ∀n hV an hội tụ n=1 +∞ an phân kỳ Nếu n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n0 +∞ bn hội tụ Nếu n=1 +∞ an ie +∞ bn thỏa điều kiện n=1 on +∞ e Định lý in m Chuỗi không âm bn phân kỳ n=1 https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 5/1 C o Tiêu chuẩn so sánh Ví dụ + (−1)n Khảo sát hội tụ chuỗi n+3 n=1 on e +∞ hV +∞ ie nZ + (−1)n an = = = bn , 2n+3 2n+3 2n ∀n +∞ +∞ 1/2 Mặt khác, = = nên bn hội n − 1/2 n=1 n=1 an hội tụ tụ Vậy n=1 Đáp số Hội tụhttps://fb.com/sinhvienzonevn in m Chuỗi không âm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 6/1 C o Tiêu chuẩn so sánh Định lý +∞ an , n=1 n=1 +∞ K = Nếu +∞ bn hội tụ nZ n=1 +∞ K hữu hạn Chuỗi ie an n→+∞ bn bn khơng âm Tính K = lim on Cho e +∞ n=1 +∞ an n=1 an hội tụ bn hội tụ n=1 hV phân kỳ +∞ K = +∞ Nếu in m Chuỗi không âm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) +∞ an hội tụ n=1 bn hội tụ n=1 https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 7/1 C o Tiêu chuẩn so sánh e Ví dụ e n + n3 Khảo sát hội tụ chuỗi n n=1 + ln n on +∞ nZ Ta có +∞ n=1 n = bn , n → ∞ Mặt +∞ bn phân kỳ nên hV khác ie e e n + n3 en ∼ = an = n 2n 2 + ln3 n an phân kỳ n=1 Đáp số Phân kỳ in m Chuỗi không âm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 8/1 C o Tiêu chuẩn so sánh ln(1 + sin n1 ) e Ví dụ +∞ on Khảo sát hội tụ chuỗi Ta có ln(1 + sin n1 ) n + ln2 n +∞ +∞ bn hội tụ nên hV Mặt khác sin n1 ∼ ∼ = bn , n → ∞ n n ie an = n + ln2 n nZ n=1 n=1 an hội tụ n=1 Đáp số Hội tụ in m Chuỗi không âm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 9/1 C o Tiêu chuẩn so sánh Ví dụ +∞ √ e Khảo sát hội tụ chuỗi n3(cosh πn − 1) ∼ n nZ Ta có an = √ on n=1 ie π2 = bn , n → ∞ Mặt khác n1/2 +∞ n3(cosh πn − 1) 3/2 +∞ π n ∼ bn phân kỳ nên n=1 n=1 hV an phân kỳ Đáp số Phân kỳ in m Chuỗi không âm TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 10 / C o Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibnitz Ví dụ +∞ ln n (−1)n+1 √ n n=1 on e Khảo sát hội tụ chuỗi hV n→+∞ ie nZ ln x ln n an = √ , f (x) = √ n x − ln x √ < 0, ∀x > e ⇒ f (x) = 2x x lim an = Dãy (an )+∞ n=8 dãy giảm +∞ Vậy (−1)n+1an hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz in m Chuỗi có dấu tùy ý n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 19 / C o Miền hội tụ e Miền hội tụ on Định nghĩa +∞ Chuỗi lũy thừa chuỗi an (x − x0)n , an ∈ R nZ n=1 hV ie Định nghĩa Tập hợp tất giá trị x cho thay x vào chuỗi lũy thừa ta chuỗi hội tụ, gọi miền hội tụ chuỗi lũy thừa in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 20 / C o Bán kính hội tụ e Bán kính hội tụ Cho chuỗi an x n , an ∈ R Khi tồn n=1 nZ +∞ on Định lý hV ie số R ∈ [0, +∞) gọi bán kính hội tụ thỏa Chuỗi hội tụ ∀x, |x| < R Chuỗi phân kỳ ∀x, |x| > R in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 21 / C o Dấu hiệu D’ Alembert e Dấu hiệu D’ Alembert +∞ Cho chuỗi on Định lý an x n , an ∈ R Giả sử n=1 n0 : an = nZ ∃n0, ∀n hV ie ρ = lim n→+∞ Khi bán kính hội tụ R = in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) an+1 an ρ https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 22 / C o Dấu hiệu Cauchy e Dấu hiệu Cauchy Cho chuỗi an x n , an ∈ R Giả sử n=1 nZ +∞ on Định lý hV ie ρ = lim TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n |an | n→+∞ Khi bán kính hội tụ R = in m Chuỗi lũy thừa ρ https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 23 / C o Bài tập on e Ví dụ Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi +∞ (−1)n x n 2n + n=1 hV ie nZ (−1)n an = 2n + an+1 2n + ρ = lim = lim = Bán kính n→+∞ an n→+∞ 2n + hội tụ R = = ρ in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 24 / C o Bài tập (−1)n Tại x = ta có hội tụ theo Leibnitz n=1 2n + 1 n→∞ dãy −−−→ dãy giảm 2n + +∞ phân kỳ Tại x = −1 ta có 2n + n=1 +∞ 1 ∼ , n → ∞ chuỗi phân kỳ 2n + 2n 2n n=1 hV ie nZ on e +∞ Đáp số Bán kính hội tụ R = 1, MHT (−1, 1] in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 25 / C o Bài tập on e Ví dụ Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi +∞ 5n + (−2)n x n n+1 n=1 hV ie nZ 5n + (−2)n an+1 an = ρ = lim = n→+∞ an n+1 n+1 5n+1 + (−2)n+1 n = lim n→+∞ n+2 + (−2)n 1 Bán kính hội tụ R = = ρ in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 26 / C o Bài tập hV ie nZ on e +∞ 5n + (−2)n 1 Tại x = ta có n phân kỳ n + n=1 +∞ 5n + (−2)n 1 ∼ , n → ∞ chuỗi n + 5n n n=1 n phân kỳ +∞ 5n + (−2)n (−1)n Tại x = − ta có n hội n + n=1 n n + (−2) n→∞ tụ theo Leibnitz dãy n −−−→ n+1 dãy giảm Đáp số Bán kính R = , MHT [− 15 , 15 ) https://fb.com/sinhvienzonevn in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 27 / C o e Tổng chuỗi lũy thừa hàm liên tục miền hội tụ Trong khoảng tụ, đạo hàm tổng tổng đạo hàm +∞ an x n n=1 +∞ = n +∞ (an x ) = n=1 nan x n−1 n=1 Trong khoảng hôi tụ, tích phân tổng ie on Tính chất chuỗi lũy thừa nZ x +∞ hV tổng tích phân +∞ x n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) an t n dt = n=1 n+1 +∞ x n+1 n=1 https://fb.com/sinhvienzonevn (an t n )dt = in m Chuỗi lũy thừa an CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 28 / C o Chuỗi Maclaurint xn e = với MHT R n! n=0 +∞ (−1)n+1 x n ln(1 + x) = với MHT (−1, 1] n n=1 +∞ (−1)n x 2n+1 với MHT R sin(x) = (2n + 1)! n=0 +∞ (−1)n x 2n cos(x) = với MHT R (2n)! n=0 +∞ α(α − 1) (α − (n − 1))x n α (1 + x) = n! n=0 với MHT (−1, 1) https://fb.com/sinhvienzonevn +∞ hV ie nZ on e x in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 29 / C o Chuỗi Maclaurint hV ie nZ on e +∞ = x n với MHT (−1, 1) − x n=0 +∞ = (−1)n x n với MHT (−1, 1) + x n=0 +∞ (−1)n x 2n+1 arctan(x) = với MHT R 2n + n=0 +∞ x 2n cosh(x) = với MHT R (2n)! n=0 +∞ x 2n+1 với MHT R sinh(x) = (2n + 1)! n=0 in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 30 / C o Bài tập Ví dụ +∞ e n n.2 n=1 on Tính tổng +∞ n x n n=1 +∞ ⇒ S (x) = x n−1 = , với |x| < 1 − x n=1 x dt = − ln |1 − x| Thay Vậy S(x) = − t 1 x = ta S = ln Đáp số ln 2 https://fb.com/sinhvienzonevn hV ie nZ Xét chuỗi S(x) = in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 31 / C o Bài tập Ví dụ 2n Tính tổng n n=1 n(n + 1).3 on e +∞ +∞ xn = n=1 n(n + 1) +∞ +∞ 1 n +∞ n +∞ n n x − x = x − x = n n + n x n n=1 n=1 n=2 n=1 − ln |1 − x| − (− ln |1 − x| − x) , với |x| < x 2 − ln Thay x = ta S = https://fb.com/sinhvienzonevn hV ie nZ Xét chuỗi S(x) = in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 32 / on e C o Bài tập hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 2013 33 / ... x vào chuỗi lũy thừa ta chuỗi hội tụ, gọi miền hội tụ chuỗi lũy thừa in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 20 13 20 / C... kỳ 2n + 2n 2n n=1 hV ie nZ on e +∞ Đáp số Bán kính hội tụ R = 1, MHT (−1, 1] in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 20 13 25 ... x 2n cosh(x) = với MHT R (2n)! n=0 +∞ x 2n+1 với MHT R sinh(x) = (2n + 1)! n=0 in m Chuỗi lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn CHUỖI SỐ, CHUỖI LŨY THỪA TP HCM — 20 13