giải tích 2 lê xuân đại giới hạn lien tuc sinhvienzone com

C o e on nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng in m CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2011 https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 / 18 C o Miền xác định hàm nhiều biến e Định nghĩa nZ on Cho tập M ⊂ Rm Một qui luật f đặt tương ứng điểm x = (x1 , x2 , , xm ) ∈ M với số thực u = f (x1 , x2 , , xm ) ∈ R gọi hàm m biến có miền xác định tập M Hàm số kí hiệu f : M ⊂ Rm → R u = f (x) = f (x1 , x2 , , xm ) Định nghĩa hV Ví dụ ie Đối với hàm f : M ⊂ Rm → R, tập hợp M gọi miền xác định hàm số kí hiệu D(f ) Hàm u = arcsin f (x, y ) xác định −1 in m Hàm nhiều biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y ) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 / 18 e C o Miền xác định hàm nhiều biến on Ví dụ y x hV ie nZ y Tìm miền xác định hàm số f (x, y ) = arcsin x y Hàm số xác định ta có −1 x = 0, tức −x x x > x y −x x < in m Hàm nhiều biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 / 18 C o e Cho hàm số f (x, y ) = on Ví dụ 2x − 3y Tính f (2, 1), f (1, 2)f (a, a), f (y , x) 3x − 2y 2.1 − 3.2 = 3.1 − 2.2 2y − 3x f (y , x) = 3y − 2x nZ 2.2 − 3.1 = , 3.2 − 2.1 2.a − 3.a f (a, a) = = −1, 3.a − 2.a f (1, 2) = hV ie Ta có f (2, 1) = in m Tính giá trị hàm số Hàm nhiều biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 / 18 C o Tìm giới hạn theo định nghĩa Định nghĩa on e Số A ∈ R gọi giới hạn hàm số f (x, y ) (x, y ) → (x0 , y0 ), ∀{(xn ), (yn )} ⊂ M\(x0 , y0 ) : xn → x0 , yn → y0 ln có bất đẳng thức f (xn , yn ) → A Ví dụ x→0 y →1 x +y x2 + y2 nZ Tính lim ie Ta lấy dãy (xn , yn ) → (0, 1) bất kỳ, tức xn → yn → Khi hV f (xn , yn ) = xn + yn 0+1 = → 2 xn + yn + 12 x +y = x→0 x + y Vậy theo định nghĩa lim in m Giới hạn hàm nhiều biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y →1 https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 / 18 Nếu g (x, y ) C o Sử dụng phép so sánh hàm Định lý lim h(x, y ) = a h(x, y ), ∀x, y x→x lim g (x, y ) = x→x f (x, y ) e y →y0 x→x lim f (x, y ) = a 0 y →y0 on y →y0 Ví dụ nZ xy Tính lim (x + y ) sin x→0 y →0 ie x + y Hơn xy lim (x + y ) = nên lim (x + y ) sin = x→0 x→0 xy y →0 hV Ta có bất đẳng thức (x + y ) sin y →0 Từ suy lim (x + y ) sin in m Giới hạn hàm nhiều biến x→0 y →0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = xy https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 / 18 C o Giới hạn lặp nZ on e Trong giải tích với giới hạn hàm nhiều biến hay gọi giới hạn kép, người ta dùng giới hạn lặp hàm nhiều biến Giới hạn lặp hàm nhiều biến giới hạn thu cách lấy giới hạn biến riêng lẻ Cho hàm số f (x, y ) xác định tập M ⊂ R2 điểm (a, b) ∈ R2 điểm tụ tập hợp M Cố định biến y ta thu hàm số biến số ϕ(x) = f (x, y ) Lấy giới hạn lim ϕ(x) = lim f (x, y ) Nếu giới hạn x→a x→a x→a ie tồn với ∀y ta thu hàm số biến số ψ(y ) = lim f (x, y ) Tiếp tục lấy giới hạn lim ψ(y ) = lim lim f (x, y ) Nếu y →b y →b x→a hV giới hạn tồn ta thu giới hạn lặp hàm số f (x, y ) điểm (a, b) Lập luận tương tự ta thu giới hạn lặp lim lim f (x, y ) in m Giới hạn hàm nhiều biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x→a y →b https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 / 18 C o Giới hạn lặp Ví dụ x x +y y →0 x→0 y2 on f (x, y ) = x→0 y →0 − y + x2 + e Tìm giới hạn lim lim f (x, y ) lim lim f (x, y ), với x→0 ie x→0 nZ Lấy x = cố định, xét giới hạn x − y + x2 + y2 lim f (x, y ) = lim = + x = ϕ(x) Tiếp tục lấy giới hạn y →0 y →0 x +y lim ϕ(x) = lim (1 + x) = Vậy lim lim f (x, y ) = x→0 y →0 y →0 hV Tương tự, lấy y = cố định, xét giới hạn x − y + x2 + y2 lim f (x, y ) = lim = y − = ψ(y ) Tiếp tục lấy giới hạn x→0 x→0 x +y lim ψ(y ) = lim (y − 1) = −1 Vậy lim lim f (x, y ) = −1 y →0 in m Giới hạn hàm nhiều biến TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y →0 x→0 https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 / 18 C o Chứng minh hàm liên tục theo định nghĩa Định nghĩa on e Hàm số f (x, y ) gọi liên tục điểm (x0 , y0 ), ∀{(xn ), (yn )} ⊂ M\(x0 , y0 ) : xn → x0 , yn → y0 ln có bất đẳng thức f (xn , yn ) → f (x0 , y0 ) Ví dụ xy , x +y nZ Cho hàm số f (x, y ) = a, (x, y ) = (0, 0), (x, y ) = (0, 0) ie Tìm a để hàm số f (x, y ) liên tục điểm (0, 0) hV xy Xét giới hạn lim Ta có x→0 x + y y →0 xy x2 + y2 2 y x +y |y | = Do x2 + y2 xy = Như vậy, cần lấy a = hàm số x→0 x + y y → lim in mx, Hàm liên tục y →0 https://fb.com/sinhvienzonevn y ) liên tục (0, 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 / 18 C o Tính liên tục hàm hợp e Định lý nZ on Cho hàm số u = ϕ(x, y ) liên tục điểm (x0 , y0 ), hàm số f = g (u) liên tục điểm tương ứng (u0 ), u0 = ϕ(x0 , y0 ) Khi hàm hợp f (x0 , y0 ) = g (ϕ(x0 , y0 )) liên tục điểm (x0 , y0 ) Ví dụ ie Chứng minh hàm số f (x, y ) = sin(x + xy − y ) liên tục R2 hV Vì u(x, y ) = x + xy − y liên tục R2 g (u) = sin u hàm liên tục R nên hợp hai hàm liên tục f (x, y ) = g (u) = sin u = sin(x + xy − y ) liên tục R2 in m Hàm liên tục TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 10 / 18 C o Mặt Paraboloid elliptic x2 y2 + a2 b hV ie nZ on Vẽ mặt Paraboloid elliptic z = e Mặt Paraboloid elliptic in m Các mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 11 / 18 C o Mặt ellipsoid Mặt ellipsoid hV ie nZ on e x2 y2 z2 + + =1 a2 b c in m Các mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 12 / 18 e x2 y2 − a2 b hV ie nZ on Vẽ mặt Hyperbolic Paraboloid z = C o Mặt Hyperbolic Paraboloid Mặt Hyperbolic Paraboloid in m Các mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 13 / 18 C o Mặt Hyperboloid Mặt Hyperboloid e hV ie nZ x2 y2 z2 + − =1 a2 b c 2 x y z2 Vẽ mặt Hyperboloid tầng + − = −1 a b c Vẽ mặt Hyperboloid tầng on in m Các mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 14 / 18 C o Mặt trụ hV ie nZ x2 y2 + = 1, z ∈ R a2 b Vẽ mặt trụ parabol y = 2px, z ∈ R Vẽ mặt trụ ellipse on e Mặt trụ in m Các mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 15 / 18 hV ie nZ on e x2 y2 z2 + = a2 b2 c2 C o Mặt nón phía Mặt nón phía in m Các mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 16 / 18 e C o Bài tập on Bài nZ Nhận dạng mặt bậc xác định phương trình hV ie 4x + 4y − 8z − 10xy + 4yz + 4xz − 16x − 16y − 8z + 72 = in m Các mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 17 / 18 on e C o Bài tập hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Các mặt bậc hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 2011 18 / 18 ... (a, a), f (y , x) 3x − 2y 2. 1 − 3 .2 = 3.1 − 2. 2 2y − 3x f (y , x) = 3y − 2x nZ 2. 2 − 3.1 = , 3 .2 − 2. 1 2. a − 3.a f (a, a) = = −1, 3.a − 2. a f (1, 2) = hV ie Ta có f (2, 1) = in m Tính giá trị... m Giới hạn hàm nhiều biến x→0 y →0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = xy https://fb .com/ sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 20 11 / 18 C o Giới hạn lặp nZ on e Trong giải tích với giới. .. hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC TP HCM — 20 11 13 / 18 C o Mặt Hyperboloid Mặt Hyperboloid e hV ie nZ x2 y2 z2 + − =1 a2 b c 2 x y z2 Vẽ