đại số tuyến tính lê xuân đại 8 tri riêng vecto riêng sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 / 71 C o on e nZ ie Trị riêng, véc-tơ riêng ma trận Chéo hóa ma trận, chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực Trị riêng, véc-tơ riêng ánh xạ tuyến tính Chéo hóa ánh xạ tuyến tính hV in m Nội dung TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 / 71 C o Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng ma trận nZ on e Định nghĩa Cho ma trận vng A ∈ Mn×n (K ) Nếu tồn X ∈ K n , X = cho AX = λ.X , λ ∈ K λ gọi trị riêng ma trận A X gọi véctơ riêng ma trận A ứng với trị riêng λ hV ie Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng ma trận A= in m Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 / 71 C o Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng ma trận ie nZ on e Biểu thức AX = λX có dạng x1 λx1 = ⇔ x2 λx2 1−λ x1 = Hệ phương 3−λ x2 trình phải có nghiệm X = nên hV 1−λ = ⇔ λ2 − 4λ − = 3−λ ⇔ λ1 = −1, λ2 = in m Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 / 71 C o Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng ma trận e Ứng với λ1 = −1 Ta có on 2x1 + 4x2 = ⇔ x1 = −2α, x2 = α 2x1 + 4x2 = ie nZ Vậy véctơ riêng có dạng α(−2, 1), α = Ứng với λ2 = Ta có hV −4x1 + 4x2 = ⇔ x1 = β, x2 = β 2x1 − 2x2 = Vậy véctơ riêng có dạng β(1, 1), β = in m Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 / 71 e C o Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng ma trận hV ie nZ on Ví dụ Tìm trị riêng, véctơ riêng ma trận A= −2 in m Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 / 71 C o Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng ma trận ie nZ on e Biểu thức AX = λX có dạng x1 λx1 = ⇔ −2 x2 λx2 1−λ x1 = Hệ phương −2 − λ x2 trình phải có nghiệm X = nên hV 1−λ = ⇔ (1 − λ)2 + = −2 − λ ⇔ λ1,2 = ± 2i in m Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 / 71 e C o Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng ma trận Ứng với λ1 = + 2i Ta có on −2ix1 + 2x2 = ⇔ x1 = α, x2 = αi −2x1 − 2ix2 = ie nZ Vậy véctơ riêng có dạng α(1, i), α = Ứng với λ2 = − 2i Ta có hV 2ix1 + 2x2 = ⇔ x1 = β, x2 = −βi −2x1 + 2ix2 = Vậy véctơ riêng có dạng β(1, −i), β = in m Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 / 71 Đa thức đặc trưng C o Trị riêng, véctơ riêng ma trận nZ on e Giả sử λ trị riêng ma trận vuông A ⇔ ∃X = : AX = λ.X ⇔ AX − λX = ⇔ (A − λI ).X = Hệ có nghiệm khơng tầm thường X = ⇒ det(A − λI ) = in hV ie Định nghĩa Cho A ∈ Mn×n (K ), I ma trận đơn vị cấp n Khi χA(λ) = det(A − λI ) gọi đa thức đặc trưng ma trận A.Phương trình det(A − λI ) = gọi phương trình đặc mưng ma trận https://fb.com/sinhvienzonevn A TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 / 71 C o Đa thức đặc trưng e Tìm trị riêng-véc tơ riêng ma trận vuông hV ie nZ on Bước Lập phương trình đặc trưng det(A − λI ) = Bước Giải phương trình đặc trưng tìm trị riêng Bước Với trị riêng λi , giải hệ (A − λi I )X = 0: Tìm véc tơ riêng X ứng với trị riêng λi in m Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 10 / 71 C o Ví dụ hV ie nZ on e Bước Tìm trị riêng, véc-tơ riêng ma trận A Phương trình đặc trưng −λ3 + 25λ2 − 200λ + 500 = ⇔ −(λ − 5)(λ − 10)2 = ⇔ λ1 = 5, λ2 = 10 (kép) Với λ1 = giải hệ phương trình    −10 −5 x1 (A−λ1I )X = ⇔    x2  = x3 −4 −8   ⇔ X = α  −2  https://fb.com/sinhvienzonevn in m Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 57 / 71 C o Ví dụ ie nZ on e Bước Kết luận: Véc-tơ riêng A ứng với λ1 X1 cho   5α [X1]B =  −2α  , α = 4α hV ⇒ X1 = (5α, −2α, 4α) B sở tắc in m Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 58 / 71 C o Ví dụ hV ie nZ on e Bước Với λ2 = 10 giải hệ phương trình    −5 −10 −5 x1 (A−λ2I )X = ⇔    x2  = −4 −8 −4 x3   −2α − β  , (α2 + β = 0) ⇔X = α β in m Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 59 / 71 C o Ví dụ ie nZ on e Bước Kết luận: Véc-tơ riêng A ứng với λ2 X2 cho   −2α − β  , (α2 + β = 0) [X2]B =  α β hV ⇒ X2 = (−2α − β, α, β) B sở tắc in m Trị riêng, véctơ riêng ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 60 / 71 C o Đặt vấn đề on e Chéo hóa ánh xạ tuyến tính hV ie nZ Bài tốn Tìm sở B (nếu có) kgv E cho ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B ma trận chéo in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 61 / 71 C o Định nghĩa Định nghĩa hV ie nZ on e Ánh xạ tuyến tính f : E → E gọi chéo hóa tồn sở B kgv E , cho ma trận ánh xạ tuyến tính f sở ma trận chéo D in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 62 / 71 C o Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính e Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính nZ on Bước Chọn sở B kgv E Tìm ma trận A f sở B Bước Chéo hóa ma trận A (nếu được) Bước Kết luận Nếu A chéo hóa f chéo hóa Nếu A khơng chéo hóa f khơng chéo hóa hV ie in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 63 / 71 e C o Các bước chéo hóa ánh xạ tuyến tính hV ie nZ on Kết luận Giả sử A chéo hóa ma trận S ma trận chéo D Khi sở B cần tìm có tọa độ véctơ B sở B cột ma trận S ⇒ ma trận f sở B cần tìm ma trận chéo D in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 64 / 71 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3, biết f (1, 1, 1) = (1, −7, 9); f (1, 0, 1) = (−7, 4, −15); f (1, 1, 0) = (−7, 1, −12) Tìm sở B (nếu có) R3 cho ma trận f B ma trận chéo D Tìm ma trận D hV ie Bước Tìm ma trận f B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)} −4 −4 A =  −11 −8  −8 8https://fb.com/sinhvienzonevn in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 65 / 71 C o Ví dụ hV ie nZ on e Bước Chéo hóa ma trận A (nếu được) Phương trình đặc trưng −λ3 − 5λ2 − 3λ + = ⇔ −(λ − 1)(λ + 3)2 = Với λ1 = giải hệ phương trình    −4 −4 x1 (A−λ1I )X = ⇔  −12 −8   x2  = x3 −8   ⇔ X = α  −2 in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 66 / 71 C o Ví dụ nZ on e Véc-tơ riêng A ứng với λ1 X1 cho   α [X1]B =  2α  , α = −2α hV ie ⇒ X1 = α(1, 1, 1) + 2α(1, 0, 1) − 2α(1, 1, 0) = (α, −α, 3α) Chọn véc-tơ riêng ánh xạ tuyến tính f ứng với λ1 = (1, −1, 3) in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 67 / 71 C o Ví dụ hV ie nZ on e Với λ2 = −3 giải hệ phương trình    −4 −4 x1 (A−λ2I )X = ⇔  −8 −8   x2  = −8 8 x3   α+β ⇔ X =  α  , (α2 + β = 0) β in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 68 / 71 C o Ví dụ nZ on e Véc-tơ riêng A ứng với λ2 X2 cho   α+β [X2]B =  α  , (α2 + β = 0) β ie ⇒ X2 = (α + β)(1, 1, 1) + α(1, 0, 1) + β(1, 1, 0) = hV = (2α+2β, α+2β, 2α+β) = α(2, 1, 2)+β(2, 2, 1) Chọn véc-tơ riêng độc lập tuyến tính f ứng với trị riêng λ2 = −3 (2, 1, 2), (2, 2, 1) in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 69 / 71 C o Ví dụ hV ie nZ on e Bước Vậy sở cần tìm B = {(1, −1, 3), (2, 1, 2), (2, 2, 1)} Ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B   0 D =  −3  0 −3 in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 70 / 71 on e C o Ví dụ hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Chéo hóa ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 71 / 71 ... Bội đại số λ1 = Bội hình học λ1 = in m Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 14 / 71 C o Tính chất véctơ riêng. .. m Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 12 / 71 C o Tính chất véctơ riêng nZ on e Ví dụ Tìm trị  riêng, ... Trị riêng, véctơ riêng ma trận TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG TP HCM — 2013 11 / 71 C o Tính chất véctơ riêng nZ on e Định nghĩa Các véctơ riêng