đại số tuyến tính lê xuân đại 1 số phức sinhvienzone com

C o e on nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m SỐ PHỨC TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 C o Những khái niệm on e Định nghĩa Số i, gọi đơn vị ảo, số cho i = −1 hV ie nZ Định nghĩa Dạng đại số số phức z = a + bi; (a, b) ∈ R2 a gọi phần thực số phức z, ký hiệu Re (z), b gọi phần ảo số phức z, ký hiệu Im (z) in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 C o Những khái niệm on e Tập hợp số phức ta ký hiệu C Tập số thực tập tập số phức với a ∈ R ta ln có a = a + 0i Vậy R ⊂ C nZ Ví dụ Số phức −1 + i, + 3i, hV ie Định nghĩa Tất số phức có dạng + bi, b = gọi số ảo Số phức i, 3i, −i, số ảo in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 C o Những khái niệm nZ on e Mỗi số phức biểu diễn điểm mặt phẳng xOy hV ie Định nghĩa Khoảng cách từ z đến O gọi môđun số phức z ký hiệu |z| mod (z) √ |z| = a + b2 https://fb.com/sinhvienzonevn in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 e C o Những khái niệm hV ie nZ on Ví dụ √ Mơđun số phức + i √ |z| = 12 + = in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 C o Các phép toán nZ on e Định nghĩa số phức Hai số phức gọi chúng có phần thực phần ảo tương ứng z1 = a1 + b1i = z2 = a2 + b2i hV ie ⇐⇒ a1 = a2 b1 = b2 in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 on e C o Các phép tốn Ví dụ Tìm số thực x, y thỏa (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = − i nZ Giải (1 + 2i)x + (3 − 5i)y = − 3i hV ie ⇔ (x + 3y ) + (2x − 5y )i = − i ⇔ in m Dạng đại số số phức x + 3y = ⇔ 2x − 5y = −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x =2 y =1 https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 e C o Các phép toán nZ on Định nghĩa phép cộng phép trừ số phức Cho z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i số phức Khi z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i, hV ie z1 − z2 = (a1 − a2) + (b1 − b2)i in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 C o Các phép tốn on e Ví dụ Tìm phần thực phần ảo số phức z = (2 + 3i) + (−3 + 4i) − (6 − 5i) nZ Giải hV ie z = (2 − − 6) + (3 + − 5)i = −7 + 2i ⇒ Re (z) = −7, Im (z) = in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 e C o Các phép toán nZ on Định nghĩa phép nhân số phức Cho z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i số phức Khi hV ie z1.z2 = (a1.a2 − b1.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 10 / 34 C o Các phép tốn on e Ví dụ Tìm mod (z) = r√và argument Arg (z) = ϕ số phức z = (1 + i 3)(2 − 2i) Giải hV ie nZ π √ π π π z = 2(cos +i sin ).2 2(cos(− )+i sin(− )) = 3 4 √ π π π π = 2(cos( − ) + i sin( − )) = 4 √ π π = 2(cos + i sin ) 12 12 √ π Vậy mod (z) = r = ϕ = https://fb.com/sinhvienzonevn 12 in m Dạng lượng giác số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 19 / 34 C o Các phép toán Ví dụ on e √ 1+i Tìm argument ϕ số phức z = 1+i Giải hV ie nZ 2(cos π3 + i sin π3 ) z=√ = π π 2(cos + i sin ) √ π π π π = 2(cos( − ) + i sin( − )) = √ 4π π = 2(cos + i sin ) 12 12 π Vậy ϕ = https://fb.com/sinhvienzonevn 12 in m Dạng lượng giác số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 20 / 34 C o Công thức Euler e Định lý on e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ hV ie nZ Nếu z = e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ |z| = = z −1 = cos ϕ + i sin ϕ cos ϕ − i sin ϕ = cos ϕ − i sin ϕ (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ − i sin ϕ) Vậy z −1 = z in m Dạng mũ số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 21 / 34 C o Dạng mũ số phức Dạng mũ số phức z = re iϕ e Ví dụ nZ on Tìm dạng mũ số phức z = Giải √ √ −1 + i 1−i 2π hV ie √ i 2π −i −π −1 + i 2e i z= = √ −π = 2e = 1−i 2e i √ 11π = 2e i 12 in m Dạng mũ số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 22 / 34 C o Dạng mũ số phức on e Ví dụ Biểu diễn số phức có dạng z = e 2+iy , y ∈ R lên mặt phẳng phức nZ Giải ie z = e 2+iy = e 2.e iy = e 2(cos y + i sin y ) hV Vì y số thực nên tập hợp tất số phức có dạng z = e 2+iy , y ∈ R đường tròn tâm O bán kính r = e in m Dạng mũ số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 23 / 34 Lũy thừa số phức i C o Nâng số phức lên lũy thừa e Lũy thừa số phức i on i = i, i = −1, i = i 2.i = −i, i = (i 2)2 = 1, hV ie nZ i = i 4.i = i, i = i 4.i = −1, i = i 4.i = −i, i = (i 4)2 = in Định lý Giả sử n số tự nhiên, i n = i r , với r nhttps://fb.com/sinhvienzonevn ốm dư chia cho TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 24 / 34 e C o Lũy thừa số phức i nZ on Ví dụ Tính i 2011 hV ie Giải Ta có 2011 = 4.502 + Vậy i 2011 = i = −i in m Nâng số phức lên lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 25 / 34 C o Công thức Moivre e Công thức Moivre on Định lý Cho r > n số tự nhiên Khi nZ (r (cos ϕ + i sin ϕ))n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) hV ie Định lý Cho n số tự nhiên Khi (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ, in m Nâng số phức lên lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 26 / 34 C o Công thức Moivre hV ie nZ on e Ví dụ Tìm số √ nguyên dương n nhỏ để số z = (− + i)n số ảo √ 5π n Giải z = (− + i)n = (2(cos 5π + i sin )) = 5nπ = 2n (cos 5nπ + i sin ) Như vậy, để z số ảo 5nπ 5nπ π + 6k cos =0⇔ = + kπ ⇔ n = 6 Số k nhỏ để + 6k chia hết cho k = ⇒ n = in m Nâng số phức lên lũy thừa TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 27 / 34 C o on e Định nghĩa Căn bậc n số phức z số phức w cho w n = z, n số tự nhiên ie √ n z = wk = hV √ n nZ Định lý Cho z = a + bi = r (cos ϕ + i sin ϕ) Khi r (cos ϕ + k2π ϕ + k2π + i sin ) n n với k = 0, 1, 2, , n − in m Khai số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 28 / 34 C o on e Định lý Căn bậc n số phức z có n nghiệm phân biệt nZ Ví dụ √ Cho z = − i Tìm z ie ⇒ hV z =1−i = √ z= in km Khai số phức √ 2(cos = 0, 1, 2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) √ −π −π + i sin ) 4 −π + k2π + k2π + i sin ), 3 2(cos −π https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 29 / 34 C o e on Định lý Phương trình bậc n, n ∈ N∗, nZ an x n + an−1x n−1 + + a1x + a0 = hV ie (an = 0, ∈ C, i = 1, n) có n nghiệm kể nghiệm thực, phức bội in m Định lý đại số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 30 / 34 C o e Định lý Cho phương trình bậc n, n ∈ N∗ on an x n + an−1x n−1 + + a1x + a0 = 0, ie nZ (an = 0, ∈ R, i = 1, 2, , n) Nếu x = α nghiệm phương trình x = α nghiệm hV Hệ Phương trình bậc n với hệ số thực có nghiệm phức có cặp nghiệm phức liên hợp https://fb.com/sinhvienzonevn in m Định lý đại số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 31 / 34 C o on e Ví dụ Giải phương trình z + z + 3z + z + = C biết z = i nghiệm phương trình nZ Giải Vì z = i nghiệm phương trình nên z = −i nghiệm phương trình Do hV ie z +z +3z +z +2 = ⇔ (z +1)(z +z +2) =  z = ±i √  ⇔ −1 ± i z = https://fb.com/sinhvienzonevn in m Định lý đại số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 32 / 34 C o e on hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Định lý đại số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 33 / 34 ... bi gọi số phức liên hợp số phức z = a + bi in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC TP HCM — 2013 12 / 34 C o Số phức liên hợp Tính chất số phức. .. Số phức −1 + i, + 3i, hV ie Định nghĩa Tất số phức có dạng + bi, b = gọi số ảo Số phức i, 3i, −i, số ảo in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn SỐ PHỨC... đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) SỐ PHỨC TP HCM — 2013 / 34 e C o Những khái niệm hV ie nZ on Ví dụ √ Môđun số phức + i √ |z| = 12 + = in m Dạng đại số số phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM)