đại số tuyến tính lê xuân đại khong gian vecto con tong va giao cua các khong gian vecto con sinhvienzone com

C o e on nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP KHÔNG HCM GIAN — 2013 VÉCTƠ1CON / 52 C o e on hV nZ Khơng gian véc-tơ con: bao tuyến tính, khơng gian nghiệm hệ Hạng hệ véc-tơ Tổng giao không gian véc-tơ ie in m Nội dung TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP KHÔNG HCM GIAN — 2013 VÉCTƠ2CON / 52 C o e on nZ ∀ tập có số véctơ lớn n PTTT tập ĐLTT số véctơ n tập tập sinh E số véctơ n hV ie ∀ tập có số véctơ nhỏ n không tập sinh E in m Số véctơ sở nhau= n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP KHÔNG HCM GIAN — 2013 VÉCTƠ3CON / 52 C o e nZ on tập gồm n véctơ sinh E sở E ie M = {x1 , x2 , , xk } (k n) ĐLTT, x không THTT k véctơ M M ∪ {x} ĐLTT hV Nếu M = {x1 , x2 , , xm } (m n) tập sinh E , xi THTT véctơ lại M bỏ xi ta M = M\{xi } tập sinh E in m tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính sở E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP KHÔNG HCM GIAN — 2013 VÉCTƠ4CON / 52 C o Định nghĩa không gian véctơ on e Định nghĩa Giả sử E K −kgv, F ⊂ E Ta nói F khơng gian véctơ E F =∅ ∀x, y ∈ F , x + y ∈ F ∀λ ∈ K , ∀x ∈ F , λx ∈ F Ký hiệu F K -kgvc E nZ ie hV in m Cơ sở số chiều không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP KHÔNG HCM GIAN — 2013 VÉCTƠ5CON / 52 C o Định nghĩa không gian véctơ on e Định lý Giả sử E K -kgv, F ⊂ E Nếu F K -kgvc E F K −kgv với luật +:F ×F →F (x, y ) −→ x + y :K ìF F (, x) .x cm sinh luật E nZ hV ie in m Cơ sở số chiều không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP KHÔNG HCM GIAN — 2013 VÉCTƠ6CON / 52 C o Ví dụ on e Ví dụ F = R × {0} = {(x1, x2)\x1 ∈ R, x2 = 0} không gian véctơ R−kgv R2 ie nZ Ta có F ⊂ R2, (0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅ Với x = (x1, 0), y = (y1, 0) ∈ F hV x+y = (x1+y1, 0) ∈ F , ∀λ ∈ R, λx = (λx1, 0) ∈ F Vậy F không gian véctơ R2 in m Cơ sở số chiều không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP KHÔNG HCM GIAN — 2013 VÉCTƠ7CON / 52 C o Ví dụ on e Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, 2x1 −2x2 +x3 = 0} không gian véctơ R−kgv R3 hV ie nZ Ta có F ⊂ R3, (0, 0, 0) ∈ F ⇒ F = ∅ ∀x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F ⇒ 2x1 − 2x2 + x3 = 2y1 − 2y2 + y3 = Từ đó, suy x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3), 2(x1 + y1) − 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (2x1 −2x2 +x3)+(2y1 −2y2 +y3) = ⇒ x +y ∈ F , in m Cơ sở số chiều không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP KHÔNG HCM GIAN — 2013 VÉCTƠ8CON / 52 e C o Ví dụ hV ie nZ on ∀λ ∈ R, λx = (λx1, λx2, λx3), 2λx1 − 2λx2 + λx3 = λ(2x1 − 2x2 + x3) = ⇒ λx ∈ F Vậy F không gian véctơ R3 in m Cơ sở số chiều không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁCTP KHÔNG HCM GIAN — 2013 VÉCTƠ9CON / 52 C o Ví dụ on e Ví dụ F = {(x1, x2, x3)\x1, x2, x3 ∈ R, x1 + 2x2 + x3 = 1} không không gian véctơ R−kgv R3 hV ie nZ Thật vậy, với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) ∈ F x + y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) (x1 + y1) + 2(x2 + y2) + (x3 + y3) = (x1 + 2x2 + x3) + (y1 + 2y2 + y3) = + = Do x + y ∈ / F in m Cơ sở số chiều không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 10CON / 52 C o Phần bù không gian e Sô chiều phần bù không gian ie nZ on Định lý Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F không gian véctơ E , dim(F ) = p(p n) Khi F có phần bù E Mọi phần bù F E có số chiều n − p hV in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 39CON / 52 C o Phần bù không gian nZ on e Hệ Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, F G khơng gian véctơ E có tổng trực tiếp Khi dim(F ⊕ G ) = dim(F ) + dim(G ) hV ie Ta có F G không gian véctơ E nên H = F ⊕ G không gian véctơ E ⇒ dim(H) = p n Mặt khác H = F ⊕ G nên G phần bù F H ⇒ dim(G ) = p − dim(F ), ⇒ dim(F ) + dim(G ) = p = dim(F ⊕ G ) https://fb.com/sinhvienzonevn in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 40CON / 52 C o Phần bù không gian nZ on e Hệ Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, , Fm khơng gian véctơ E có tổng trực tiếp Khi m hV ie dim(F1 ⊕ F2 ⊕ ⊕ Fm ) = in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dim(Fi ) i=1 https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 41CON / 52 C o Phần bù không gian on e Hệ Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, F G không gian véctơ E Nếu nZ F ⊂G ⇒ F = G dim(F ) = dim(G ) hV ie Vì F ⊂ G nên F có phần bù H G dim(H) = dim(G ) − dim(F ) ⇒ dim(H) = ⇒ H = {0} Vậy G = F + H = F in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 42CON / 52 C o Cơ sở số chiều tổng không gian on e Mối liên hệ số chiều tổng giao không gian ie nZ Định lý Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, F G không gian véctơ E Khi hV dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G ) in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 43CON / 52 C o Ví dụ hV ie nZ on e Ví dụ Trong R−kgv R4 cho véctơ u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8), u4 = (8, 16, 12, 16) v1 = (1, 3, 3, 3), v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9), v4 = (6, 16, 16, 18) Đặt U =< u1, u2, u3, u4 > V =< v1, v2, v3, v4 > Tìm sở chiều khơng gian U + V U ∩ V in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 44CON / 52 C o Ví dụ 0 0   4  0 ie nZ on e Tìmcơ sở U   1    3  0  → 4 8  0 16 12 16 hV Vậy dim(U) = sở U {(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4)} in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 45CON / 52 −1 0 −1 0   0  0 ie nZ on e C o Ví dụ Tìm  sở V   3    2  0  → 3 8  0 16 16 18 hV Vậy dim(V ) = sở V {(1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)} in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 46CON / 52 Ví dụ C o Tổng giao không gian hV ie nZ on e Không gian U + V không gian sinh véctơ {(1, 2, 1, 1), (0, 0, 2, 4), (1, 3, 3, 3), (0, −1, −1, 0)} Tìm sở U + V     1 1     0 4 0 2 A= →  1 3 3 0 4 −1 −1 0 0 in ⇒ r (A) = Vậy dim(U + V ) = sở + V {(1, 2, 1, 1), (0, 1, 2, 2), (0, 0, 2, 4)} m https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 47CON / 52 C o Ví dụ hV ie nZ on e Tìm sở số chiều U ∩ V u ∈ U ∩ V ⇔ u = α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) ⇔u= u = α3(1, 3, 3, 3) + α4(0, −1, −1, 0) α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4), α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) = α3(1, 3, 3, 3)+α4(0, −1, −1, 0) ⇔ u = α1(1, 2, 1, 1) + α2(0, 0, 2, 4) α1 = α3 = α4 = 2α2 ⇒ u = α2(2, 4, 4, 6) Vậy dim(U ∩ V ) = sở U ∩ V (2, 4, 4, 6) in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 48CON / 52 e C o Ví dụ hV ie nZ on Ví dụ Trong R−kgv R4 cho U = {(x1, x2, x3, x4)\x1 + x2 − 2x3 = ∧ x1 − x2 − 2x4 = 0} V = {(x1, x2, x3, x4)\x1 = x2 = x3} Tìm sở chiều không gian U + V U ∩ V in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 49CON / 52 C o Ví dụ → on 1 −2 −1 −2 e Tìm sở U 1 −2 0 −2 −2 hV ie nZ Vậy dim(U) = sở U {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)} Tìm sở V Với ∀v ∈ V ⇒ v = α(1, 1, 1, 0) + β(0, 0, 0, 1) Vậy dim(V ) = sở V {(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 50CON / 52 C o Ví dụ ie nZ on e Không gian U + V không gian sinh véctơ {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)} Tìm sở U + V     1 1 1 A =  −1  →  −2 −1  0 0 hV ⇒ r (A) = Vậy dim(U + V ) = sở U + V {(1, 1, 1, 0), (0, −2, −1, 1), (0, 0, 0, 1)} in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 51CON / 52 e C o Ví dụ hV ie nZ on Tìm  sở số chiều U ∩ V x ∈ U ∩ V ⇔  x1 + x2 − 2x3 = x1 = x2 = x3 = α x1 − x2 − 2x4 = ⇔ x4 =  x1 = x2 = x3 ⇒ x = α(1, 1, 1, 0) Vậy dim(U ∩ V ) = sở U ∩ V (1, 1, 1, 0) in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 52CON / 52 on e C o Ví dụ hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Tổng giao không gian TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 53CON / 52 ... Cơ sở số chiều không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 1 0CON / 52 C o Bao tuyến tính e... Bao tuyến tính C o Cơ sở số chiều không gian véctơ https://fb .com/ sinhvienzonevn W không gian véctơ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN. .. véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ CON TỔNG VÀ GIAO CỦA CÁC TP KHÔNG HCM — GIAN 2013 VÉCTƠ 2 7CON / 52 C o Cơ sở số chiều bao tuyến tính e Tìm sở số chiều