đại số tuyến tính lê xuân đại 5 khong gian vecto sinhvienzone com

C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 / 111 C o hV on e nZ Định nghĩa khơng gian véc-tơ Sự phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính Cơ sở số chiều không gian véctơ Tọa độ véctơ, ma trận chuyển sở ie in m Nội dung TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 / 111 C o Định nghĩa không gian véctơ Đa thức có bậc khơng lớn n +:RìRR (x, y ) x + y :RR (λ, x) → λ.x + : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) : R ì Pn (x) Pn (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) on e Số thực nZ Số phức +:C×C→C (x, y ) → x + y •:C→C (λ, x) → λ.x hV ie in m Cấu trúc không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 / 111 C o Định nghĩa khơng gian véctơ + : R2 × R2 → R2 − − − − (→ x ,→ y)→→ x +→ y −−→ −−→ −−→ −−→ (OM, ON) → OM + ON : R ì R2 R2 − − (λ, → x ) → λ.→ x −−→ −−→ (λ, OM) → λ.OM nZ on e Véc-tơ mặt phẳng + : R3 × R3 → R3 − − − − (→ x ,→ y)→→ x +→ y −−→ −−→ −−→ −−→ (OM, ON) → OM + ON hV ie Véc-tơ khơng gian KHƠNG GIAN VẫCT : R ì R3 R3 − (λ, → x ) → λ.→ x −−→ −−→ (λ, OM) → λ.OM https://fb.com/sinhvienzonevn in m Cấu trúc không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 / 111 Định nghĩa không gian véctơ C o Cấu trúc không gian véctơ Cho E = ∅ trường K (R C) với phép tốn +:E ×E →E (x, y ) x + y :K ìE E (, x) −→ λ.x e hV nZ x +y =y +x x +(y +z) = (x +y )+z ∃0 ∈ E : x + = x ∃(−x) ∈ E : x + (−x) = ie on cho thỏa mãn tiên đề sau: ∀x, y , z ∈ E , ∀λ, µ ∈ K (λ + µ)x = λx + µx λ(x + y ) = λx + λy λ(µx) = (λ.µ)x 1.x = x in E gọi K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R ta có khơng gian véctơ thực, K = C ta óm khơng gian véctơ phức https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 / 111 C o Ví dụ on e Ví dụ khơng gian véctơ hV ie nZ Rn = {x = (x1, , xn ), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × R n → Rn , (x, y ) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn ) : R ì R n → Rn (λ, x) → (λx1, , λxn ) in m Cấu trúc không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 / 111 e C o Ví dụ hV ie nZ on Cn = {x = (x1, , xn ), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × C n → Cn , (x, y ) → x + y = (x1 + y1, , xn + yn ) : C ì C n Cn (λ, x) → (λx1, , λxn ) in m Cấu trúc không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 / 111 C o Ví dụ nZ on e X = ∅, E − K − kgv , E X = {f : X → E } + : EX × EX → EX, (f , g ) → (f + g )(x) = f (x) + g (x), x X : K ì EX → EX (λ, f ) → (λf )(x) = λf (x), ∀x ∈ X hV ie Mm×n (K ) + : Mm×n (K ) × Mm×n (K ) → Mm×n (K ), (A, B) → A + B = (aij + bij ) : K ì Mmìn (K ) → Mm×n (K ) (λ, A) → λA = (λaij ) in m Cấu trúc không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 / 111 e C o Ví dụ hV ie nZ on C[a,b] hàm số liên tục đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b], (f , g ) → f + g = f (x) + g (x) : K ì C[a,b] → C[a,b] (λ, f ) → λf = λf (x) in m Cấu trúc không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 / 111 C o Vớ d :RìE E λ(x1 , x2 ) → (x1λ , x2λ ) e E = R2 , + : E × E → E , ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) → (x1 y1 , x2 y2 ) on Chứng minh Rõ ràng, ∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E , ∀x ∈ E , ∀λ ∈ K ⇒ λx ∈ E Kiểm tra tiên đề x + y = (x1 y1 , x2 y2 ) = y + x, ∀x, y ∈ E x + (y + z) = (x1 y1 z1 , x2 y2 z2 ) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E ∃0 = (1, 1) ∈ E : x + = + x = (x1 , x2 ) = x, ∀x ∈ E ∀x ∈ E , ∃(−x) = ( x11 , x12 ) ∈ E : x + (−x) = (−x) + x = = (1, 1) (λ + µ)x = (x1λ+µ , x2λ+µ ) = λx + µx, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E λ(x + y ) = ((x1 y1 )λ , (x2 y2 )λ ) = λx + λy , ∀λ ∈ K , ∀x, y ∈ E λ(µx) = (x1λµ , x2λµ ) = (λ.µ)x, ∀λ, µ ∈ K , ∀x ∈ E 1.x = (x11 , x21 ) = x, ∀x ∈ E hV ie nZ in m Cấu trúc không gian véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 10 / 111 C o Ví dụ nZ Tìm x1, x2, x3 để on e Ví dụ Tìm tọa độ véctơ x = (6, 5, 4) sở B R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2) hV ie x = (6, 5, 4) = x1(1, 1, 0) + x2(2, 1, 3) + x3(1, 0, 2)   x + 2x + x =   x1 = 3 ⇔ x1 + x2 = ⇔ x =2   3x2 + 2x3 = x3 = −1 Vậy [x]B = (3, 2, −1)T https://fb.com/sinhvienzonevn in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 97 / 111 on e Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho sở p1(x) = + x, p2(x) = − x, p3(x) = x + x Tìm tọa độ véctơ p(x) = x + 7x − nZ p(x) = λ1p1(x) + λ2p2(x) + λ3p3(x) in hV ie ⇔ x +7x −2 = λ1(1+x)+λ2(1−x)+λ3(x +x)   λ3 =  λ1 =  ⇔ λ1 − λ2 + λ3 = ⇔ λ2 = −4   λ3 = λ1 + λ2 = −2 ậy m Ví dụ C o Tọa độ véctơ, chuyển sở [p(x)]B = (2, −4, 1)T https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 98 / 111 C o Ma trận chuyển sở Ma trận chuyển sở on e Cho K -kgv E , B = {e1, e2, , en } B = {e1, e2, , en } sở E Giả sử B B có mối liên hệ ski ek = s1i e1+s2i e2+ .+sni en , i = 1, 2, k=1 ie ei = nZ n hV   e1 = s11e1 + s21e2 + + sn1en ⇔  en = s1n e1 + s2n e2 + + snn en in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 99 / 111  s1i s2i sni  s1n  s2n    snn ie nZ on s11  s Ta gọi ma trận S =  21  sn1 e C o Ma trận chuyển sở Định nghĩa hV gọi ma trận chuyển từ sở B sang B Ký hiệu S = Pass(B, B ) in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 100 / 111 C o Mối liên hệ tọa độ véctơ sở khác e Mối liên hệ tọa độ véctơ sở khác x= x= xi ei hay [x]B = (x1, x2, , xn )T hV k=1 n xk ek hay [x]B = (x1, x2, , xn )T ie n nZ on Cho K -kgv E , B = {e1, e2, , en } B = {e1, e2, , en } sở E Giả sử x ∈ E , i=1 Hãy tìm mối liên hệ [x]B [x]B ? in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 101 / 111 xi ei on i=1 e x= C o Mối liên hệ tọa độ véctơ sở khác n hV ie nZ = x1e1 + x2e2 + + xn en = x1(s11e1 + s21e2 + + sn1en ) + x2(s12e1 + s22e2 + + sn2en ) + + xn (s1n e1 + s2n e2 + + snn en ) = (s11x1 + s12x2 + + s1n xn )e1 + (s21x1 + s22x2 + + s2n xn )e2 + + (sn1x1 + sn2x2 + + snn xn )en n = in m Tọa độ véctơ, chuyển sở xk ek = x1e1 + x2e2 + + xn en k=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 102 / 111 C o Mối liên hệ tọa độ véctơ sở khác hV ie nZ on e   x1 = s11x1 + s12x2 + + s1n xn    x2 = s21x1 + s22x2 + + s2n xn     x = s x + s x + + s x n n1 n2 nn n     x1 s11 s12 s1n x1      x2   s21 s22 s2n   x2    =       xn sn1 sn2 snn xn      ⇒ [x]B = S[x]Bhttps://fb.com/sinhvienzonevn , [x]B = S −1[x]B in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 103 / 111 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho sở B = {2x + x, x + 3, 1}, B = {x + 1, x − 2, x + 3} véctơ p(x) = 8x − 4x + Tìm ma trận chuyển sở S từ sở B sang B Tìm tọa độ p(x) sở B, B hV ie in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 104 / 111 C o Ví dụ hV ie nZ on e Ta có e1 = x + 1, e2 = x − 2, e3 = x + e1 = 2x + x, e2 = x + 3, e3 = Ta tìm tọa độ e1, e2, e3 theo sở B tức   e1 = s11e1 + s21e2 + s31e3 ⇔ e2 = s12e1 + s22e2 + s32e3  e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 105 / 111 e C o Ví dụ hV ie nZ on e1 = s11e1 + s21e2 + s31e3 2 ⇔ s 11 (2x + x) + s21 (x + 3) + s31 = x + =  2s11 + s21 ⇔ s =  11 3s21 + s31 = ⇔ s11 = 0, s21 = 1, s31 = −2 in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 106 / 111 e C o Ví dụ hV ie nZ on e2 = s12e1 + s22e2 + s32e3 2 ⇔ s 12 (2x + x) + s22 (x + 3) + s32 = x − =  2s12 + s22 ⇔ s =  12 3s22 + s32 = −2 ⇔ s12 = 1, s22 = −2, s32 = in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 107 / 111 e C o Ví dụ hV ie nZ on e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 2 ⇔ s 13 (2x + x) + s23 (x + 3) + s33 = x + =  2s12 + s22 ⇔ s =  12 3s22 + s32 = ⇔ s13 = 1, s23 = −2, s33 = in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 108 / 111 e C o Ví dụ hV ie nZ on Vậy ma trận chuyển sở S từ sở B sang B   1  −2 −2  −2 in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 109 / 111 C o Ví dụ hV ie nZ on e Tìm tọa độ p(x) sở B, B Tọa độ p(x) sở B λ1, λ2, λ3 thỏa p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 2 ⇔λ 1(2x + x) + λ2(x + 3) + λ3.1 = 8x − 4x + =  2λ1 + λ2 ⇔ λ = −4  3λ2 + λ3 = ⇔ λ1 = −4, λ2 = 16, λ3 = −42 ⇒ [p(x)]B = (−4, 16, −42)T Tọa độ p(x) sở B T [p(x)]B = S −1.[p(x)] = (8, −2, −2) B https://fb.com/sinhvienzonevn in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 110 / 111 on e C o Ví dụ hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Tọa độ véctơ, chuyển sở TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 111 / 111 ... độc lập tuyến tính Nếu hệ có vơ số nghiệm véctơ https://fb .com/ sinhvienzonevn x1, x2, , xm phụ thuộc tuyến tính in m Sự phụ thuộc độc lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ... x= hV tuyến tính x1, x2, , xn in m Sự phụ thuộc độc lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2013 14 / 111 C o Tổ hợp tuyến tính hV... 3, 5) có tổ hợp tuyến tính véctơ x1 = (1, 2, 5) , x2 = (1, 3, 7), x3 = (−2, 3, 4) hay không? in m Sự phụ thuộc độc lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn KHÔNG GIAN