Bài giảng đại số tuyến tính chương 4 (cấu trúc không gian véctơ) lê xuân đại

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực +:R×R→R (x, y ) → x + y •:R→R (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực +:R×R→R (x, y ) → x + y •:R→R (λ, x) → λ.x Số phức +:C×C→C (x, y ) → x + y •:C→C (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực +:R×R→R (x, y ) → x + y •:R→R (λ, x) → λ.x Số phức +:C×C→C (x, y ) → x + y •:C→C (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Số thực Định nghĩa không gian véctơ Đa thức có bậc không lớn n +:R×R→R (x, y ) → x + y + : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) •:R→R (λ, x) → λ.x • : R × Pn (x) → Pn (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức +:C×C→C (x, y ) → x + y •:C→C (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Số thực Định nghĩa không gian véctơ Đa thức có bậc không lớn n +:R×R→R (x, y ) → x + y + : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) •:R→R (λ, x) → λ.x • : R × Pn (x) → Pn (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức +:C×C→C (x, y ) → x + y •:C→C (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Số thực Định nghĩa không gian véctơ Đa thức có bậc không lớn n +:R×R→R (x, y ) → x + y + : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) •:R→R (λ, x) → λ.x • : R × Pn (x) → Pn (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức +:C×C→C (x, y ) → x + y •:C→C (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Số thực Định nghĩa không gian véctơ Đa thức có bậc không lớn n +:R×R→R (x, y ) → x + y + : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) •:R→R (λ, x) → λ.x • : R × Pn (x) → Pn (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức +:C×C→C (x, y ) → x + y •:C→C (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Số thực Định nghĩa không gian véctơ Đa thức có bậc không lớn n +:R×R→R (x, y ) → x + y + : Pn (x) × Pn (x) → Pn (x) (p(x), q(x)) → p(x) + q(x) •:R→R (λ, x) → λ.x • : R × Pn (x) → Pn (x) (λ, p(x)) → λ.p(x) Số phức +:C×C→C (x, y ) → x + y •:C→C (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ trường K (thực phức) với hai phép toán TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Hạng hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1 , x2 , , xp } ⊂ E K − kgv Tập N = {xi1 , xi2 , , xir } gọi tập độc lập tuyến tính tối đại M N độc lập tuyến tính véctơ M tổ hợp tuyến tính véctơ N TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 47 / 52 Hạng hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1 , x2 , , xp } ⊂ E K − kgv Tập N = {xi1 , xi2 , , xir } gọi tập độc lập tuyến tính tối đại M N độc lập tuyến tính véctơ M tổ hợp tuyến tính véctơ N Định nghĩa Hạng hệ véctơ K -kgv E số véctơ độc lập tuyến tính tối đại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 47 / 52 Hạng hệ véctơ Định nghĩa Định nghĩa Cho tập M = {x1 , x2 , , xp } ⊂ E K − kgv Tập N = {xi1 , xi2 , , xir } gọi tập độc lập tuyến tính tối đại M N độc lập tuyến tính véctơ M tổ hợp tuyến tính véctơ N Định nghĩa Hạng hệ véctơ K -kgv E số véctơ độc lập tuyến tính tối đại Nếu M = {0} coi hạng M TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 47 / 52 Hạng hệ véctơ Định nghĩa Định lý Giả sử M = {x1 , x2 , , xp } ⊂ E K -kgv có hạng r W =< M > không gian véctơ sinh M Khi dim(W ) = r TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 48 / 52 Hạng hệ véctơ Định nghĩa Định lý Giả sử M = {x1 , x2 , , xp } ⊂ E K -kgv có hạng r W =< M > không gian véctơ sinh M Khi dim(W ) = r Định lý Cho ma trận A ∈ Mm×n (K ) Khi gọi rh rc tương ứng hạng véctơ hàng véctơ cột tương ứng A rank(A) = rh = rc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 48 / 52 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ Giả sử B = {e1 , e2 , , en } n sở E Như ∀x ∈ E , ∃x1 , x2 , , xn ∈ K : x = xi ei Các số i=1 xi , (i = 1, 2, , n) xác định  vàđược gọi tọa độ x1  x2    véctơ x sở B Kí hiệu [x]B =     xn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 49 / 52 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ Giả sử B = {e1 , e2 , , en } n sở E Như ∀x ∈ E , ∃x1 , x2 , , xn ∈ K : x = xi ei Các số i=1 xi , (i = 1, 2, , n) xác định  vàđược gọi tọa độ x1  x2    véctơ x sở B Kí hiệu [x]B =     xn Định lý Với ∀x ∈ E , B sở E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 49 / 52 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ Giả sử B = {e1 , e2 , , en } n sở E Như ∀x ∈ E , ∃x1 , x2 , , xn ∈ K : x = xi ei Các số i=1 xi , (i = 1, 2, , n) xác định  vàđược gọi tọa độ x1  x2    véctơ x sở B Kí hiệu [x]B =     xn Định lý Với ∀x ∈ E , B sở E [αx]B = α[x]B , TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∀α ∈ K CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 49 / 52 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ Giả sử B = {e1 , e2 , , en } n sở E Như ∀x ∈ E , ∃x1 , x2 , , xn ∈ K : x = xi ei Các số i=1 xi , (i = 1, 2, , n) xác định  vàđược gọi tọa độ x1  x2    véctơ x sở B Kí hiệu [x]B =     xn Định lý Với ∀x ∈ E , B sở E ∀α ∈ K [αx]B = α[x]B , [x + y ]B = [x]B + [y ]B , TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∀x, y ∈ E CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 49 / 52 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ Giả sử B = {e1 , e2 , , en } n sở E Như ∀x ∈ E , ∃x1 , x2 , , xn ∈ K : x = xi ei Các số i=1 xi , (i = 1, 2, , n) xác định  vàđược gọi tọa độ x1  x2    véctơ x sở B Kí hiệu [x]B =     xn Định lý Với ∀x ∈ E , B sở E ∀α ∈ K [αx]B = α[x]B , [x + y ]B = [x]B + [y ]B , TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∀x, y ∈ E CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 49 / 52 Tọa độ véctơ, chuyển sở Chuyển sở Định nghĩa Cho K -kgv E , B = {e1 , e2 , , en } B = {e1 , e2 , , en } sở E Giả sử B B có mối liên hệ n ei = ski ek , i = 1, 2, n k=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 50 / 52 Tọa độ véctơ, chuyển sở Chuyển sở Định nghĩa Cho K -kgv E , B = {e1 , e2 , , en } B = {e1 , e2 , , en } sở E Giả sử B B có mối liên hệ n ei = ski ek , i = 1, 2, n k=1   s11 s12 s1n  s21 s22 s2n   Ta gọi ma trận S =    gọi ma trận chuyển sn1 sn2 snn từ sở B sang B Ký hiệu S = Pass(B, B ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 50 / 52 Hệ phương trình tuyến tính Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn Am×n Xn×1 = 0m×1 Khi nghiệm hệ phương trình tạo thành không gian véctơ không gian K n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 51 / 52 Hệ phương trình tuyến tính Định lý Cho hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình n ẩn Am×n Xn×1 = 0m×1 Khi nghiệm hệ phương trình tạo thành không gian véctơ không gian K n Định lý Không gian véctơ nghiệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát có số chiều n − r r = rank(A) n số ẩn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 51 / 52 Hệ phương trình tuyến tính THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 52 / 52 [...]... (λaij ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 4 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục trên đoạn [a, b] + : C[a,b] × C[a,b] → C[a,b] , • : K × C[a,b] → C[a,b] (f , g ) → f + g = f (x) + g (x), (λ, f ) → λf = λf (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 5 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ C[a,b] những hàm số liên tục... Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y ) −→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) −→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho... K -không gian véctơ.(K-kgv) Nếu K = R thì ta có không gian véctơ thực, nếu K = C thì ta có không gian véctơ phức TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ Rn = {x = (x1 , , xn ), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn , • : R × Rn → Rn (x, y ) → x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ) (λ, x) → (λx1 , , λxn ) TS Lê Xuân. ..Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y ) −→ x + y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y ) −→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) −→ λ.x TS Lê Xuân Đại. .. TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y ) −→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) −→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E 2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN. .. Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y ) −→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) −→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E 2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 52 Cấu trúc không. .. ∈ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y ) −→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) −→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E 2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈... ∈ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y ) −→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) −→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E 2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈... ∈ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Cho E = ∅ và trường K (thực hoặc phức) với hai phép toán 1 + : E × E → E (x, y ) −→ x + y 2 • : K × E → E (λ, x) −→ λ.x sao cho thỏa mãn 8 tiên đề sau: 1 x + y = y + x, ∀x, y ∈ E 2 x + (y + z) = (x + y ) + z, ∀x, y , z ∈ E 3 ∃0 ∈ E : x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ E 4 ∀x ∈... (x1 , , xn ), xi ∈ C, i = 1, n} + : Cn × Cn → Cn , • : C × Cn → Cn (x, y ) → x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ) (λ, x) → (λx1 , , λxn ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 4 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Ví dụ Ví dụ không gian véctơ Rn = {x = (x1 , , xn ), xi ∈ R, i = 1, n} + : Rn × Rn → Rn , • : R × Rn → Rn (x, y ) → x + y = (x1 + y1 , , xn + yn ) (λ, x) → ...Cấu trúc không gian véctơ Định nghĩa không gian véctơ Số thực +:R×R→R (x, y ) → x + y •:R→R (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian. .. (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Số thực Định nghĩa không gian véctơ Đa thức có bậc không lớn n +:R×R→R... (λ, x) → λ.x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN VÉCTƠ CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 52 Cấu trúc không gian véctơ Số thực Định nghĩa không gian véctơ Đa thức có bậc không lớn n +:R×R→R