đại số tuyến tính - chương 4 Hạng của một ma trận và ma trận nghịch đảo pdf

CHƯƠNG 4:HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO... Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A  M mxn K là phép biến đổi có một trong các dạng sau:... Cho ma trận A  MmxnKMa trận A đ

CHƯƠNG 4:

HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN

& MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A  M mxn (K) là phép biến đổi có một trong các dạng sau:

1 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt)

8

98

7

32

1

65

4

98

7

32

1

98

7

65

4

32

1

3 3

3

h

A

Cho ma trận A  Mmxn(K)

Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như:

a/ Các hàng khác không (có ít nhất một phần tử nằm trên hàng nào đó khác không) nằm trên các hàng

bằng không.

b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không

đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa

phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên.

0

41

30

0

34

01

2A

00

0

30

00

0

64

10

0

54

32

1B

Là những ma trận bậc thang

Chú ý: Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp Ta minh họa bởi ví dụ sau:

0 0

0

6 3

1 0

0

5 2

1 1

0

4 1

0 2

1

6 3

1 0

0

6 3

1 0

0

5 2

1 1

0

4 1

0 2

1

1 5

2 1

0

6 3

1 0

0

5 2

1 1

0

4 1

0 2

1

1 5

2 1

0

5 2

1 1

0

6 3

1 0

0

11 2

2 5

3

5 2

1 1

0

2 1

1 4

2

3 4

4

2 4 4 3

2

1 4

4 2 1

2

32

h h

h

h h h h

h

h h

h

A

3 ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN

a/ Định nghĩa:

Cho ma trận A  Mmxn(K) Ta nói ma trận A có hạng bằng p (ký hiệu là r(A) = p) nếu như A chứa một ma

trận con cấp p có định thức khác không, còn mọi định thức con cấp p+1 đều bằng không

Nói một cách khác, hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của nó

* Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0

c/ Định lý:

Cho A  Mmxn(K) là một ma trận bậc thang có p hàng khác không

Khi đó: r(A) = p

Nhận xét:

Từ định lý này ta thấy, để tìm hạng của một ma trận, thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đã cho để đưa nó về dạng bậc thang Khi đó ta dễ dàng suy ra hạng của ma trận

0 0

0

0 0

0

2 1

0

5 4

1

10 5

0

10 5

0

22 11

0

2 1

0

5 4

1

10 5

0

10 5

0

22 11

0

4 2

0

5 4

1

0 3

2

10 5

0

7 1

3

4 2

0

5 4

1

2 5

5

2 4

4

2 3

3 2

2

1 5

5

1 3

3

55

11 2

1

2 3

h h

h h

h

h h

h

A

 r(A) = 2

Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau theo tham số a

5 4

6 5

4 3

5 4

3 2

4 3

2 1

0 0

7 0

0 0

3 2

1 0

4 3

2 1

7 0

0 0

0 0

0 0

3 2

1 0

4 3

2 1

16 6

3 0

6 4

2 0

3 2

1 0

4 3

2 1

4

3

2 4 4

2 3

3 1

4 4

1 3 3

1 2 2

3

2 4

32

a

a a

A

h

h

h h

h h

n 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

A

A

AA

A

AA

A

AA

11

1

01

0

1

1.(-1)

A

;

11

2

1

1.(-1)

2

11

1

11

1

01

1

21

1

21

4 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)

b/ Định nghĩa ma trận nghịch đảo

Cho ma trận A  Mn(K)

* A được gọi là ma trận không suy biến nếu det(A ) ≠ 0

* A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B Є Mn(K) sao cho: A.B = B.A = In

Lúc này, B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và

được ký hiệu là B = A–1

Do vậy ta có: A.A–1 = A–1.A = In

1A

2

41

2

3

A P

2

42

1

42

3

32

7

56

8

23

4

45

2

56

3

78

A

P

56

8

23

4

Ta còn có một thuật toán khác để tìm A–1 chỉ qua các

phép biến đổi sơ cấp trên hàng như sau:

)A

|I()

I

|A

42

3

32

2

01

3

00

1

65

0

54

0

32

1

10

0

01

0

00

1

01

2

42

3

32

1

1 3

3

1 2

2

23h h

h

1 1

1

2 2

3

1 0

0

1 1

0

1 0

1

1 0

2

1 1

1

0 0

1

6 5

0

1 1

0

3 2

1

2 3

1

3 2

2

5

2

h h

h

h h

h

5 6

8

2 3

4

4 5

7

5 6

8

2 3

4

1 0

0

0 1

0

0 0

1

1

3 2

1

A

h h

h

BÀI TẬP CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN

& MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Bài 1: Tìm hạng của ma trận

2

10 5

0

7 1

3

4 2

0

5 4

3 2

1

1 1

8 1

3

1 6

2 2

1

1 0

5 1

2

1 5

1 2

2

1 2

4 0

76

5

102

54

3

75

32

2

42

11

1

/ A

c

1

1m

5m

22

a0

0

00

10

1

11

01

0

00

11

0

00

01

1A

Hãy biện luận r(A) theo tham số a

20

11

41

32

11

11

3

32

21

1

41

3

24

2

12

1

m m A

42

3

32

10

72

10

03

1

01

2

42

3

32

1

X A

Bài 8: Cho A  Mn(K), detA = 4 Hãy tính detA–1,

det(A.AT)

11

0

11

1

11

1

11

1

/ A

b

Bài 1: Tìm hạng của ma trận

a/ r(A) = 2

b/ r(A) = 3

c/ r(A) = 3

Bài 2: Để r(A) = 3 thì điều kiện là m ≠ 2 và m ≠ – 1

Bài 3: r(A) = 5, a

Hướng dẫn: Do detA ≠ 0 không phụ thuộc vào a

Bài 4: Để ma trận A khả nghịch điều kiện là

Hướng dẫn: A khả nghịch  detA ≠ 0 

7

13

m 713

m 

ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 5: Không tồn tại m để ma trận A khả nghịch

3

24

2

12

3

32

21

1

m

m C

56

8

23

7

56

8

23

7

56

8

23

4

1

A

ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 7:

3

21

2

54

6X

7

56

8

23

3

21

2

54

6B

.A

Bài 8:

Hướng dẫn: Ta có: A.A-1 = In

4detA 

4

1A

det

1detA-1  

ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG 4 (tt) Bài 9: Tìm A-1 bằng phép biến đổi sơ cấp theo hàng

0

11

0

01

1/ A 1

12

10

2

12

10

/ A 1b