Bài giảng đại số tuyến tính chương 4 (không gian véctơ) lê xuân đại

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định nghĩa Cho K -kgv E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ Giả sử B = {e1, e2, , en } sở E Như n ∀x ∈ E , ∃x1, x2, , xn ∈ K : x = xi ei Các số i=1 xi , (i = 1, 2, , n) xác định gọi tọa véctơ x sở B Kí  độ x1   x  hiệu [x]B =     xn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định lý Với ∀x ∈ E , B sở E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định lý Với ∀x ∈ E , B sở E Tọa độ [x]B TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định lý Với ∀x ∈ E , B sở E Tọa độ [x]B [αx]B = α[x]B , ∀α ∈ K TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định lý Với ∀x ∈ E , B sở E Tọa độ [x]B [αx]B = α[x]B , ∀α ∈ K [x + y ]B = [x]B + [y ]B , ∀x, y ∈ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Tọa độ véctơ, chuyển sở Tọa độ véctơ Định lý Với ∀x ∈ E , B sở E Tọa độ [x]B [αx]B = α[x]B , ∀α ∈ K [x + y ]B = [x]B + [y ]B , ∀x, y ∈ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Tọa độ véctơ, chuyển sở Ví dụ Ví dụ Tìm tọa độ véctơ x = (6, 5, 4) sở B R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Tọa độ véctơ, chuyển sở Ví dụ Ví dụ Tìm tọa độ véctơ x = (6, 5, 4) sở B R3: e1 = (1, 1, 0), e2 = (2, 1, 3), e3 = (1, 0, 2) Tìm x1, x2, x3 để x = (6, 5, 4) = x1(1, 1, 0) + x2(2, 1, 3) + x3(1, 0, 2)   x + 2x + x =   x1 = 3 ⇔ x1 + x2 = ⇔ x =2   3x2 + 2x3 = x3 = −1 Vậy [x]B = (3, 2, −1)T TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Tọa độ véctơ, chuyển sở Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho sở p1(x) = + x, p2(x) = − x, p3(x) = x + x Tìm tọa độ véctơ p(x) = x + 7x − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 37 Hạng hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P3(x) cho hệ H = {p1(x) = 5x, p2(x) = x + 3x 2, p3(x) = 4x − 5x 2, p4(x) = x + 6x} Tìm hạng H p1(x), p2(x) độc lập tuyến tính Vì từ λ1p1(x) + λ2p2(x) = ⇒ 3λ2x + (5λ1 + λ2)x = ⇒ λ1 = λ2 = p1(x), p2(x), p3(x), p4(x) tổ hợp tuyến tính p1(x), p2(x) Nên hạng H TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 29 / 37 Hạng hệ véctơ Cơ sở số chiều bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp } ⊂ E K -kgv có hạng r W =< M > không gian véctơ sinh M Khi dim(W ) = r TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 30 / 37 Hạng hệ véctơ Cơ sở số chiều bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp } ⊂ E K -kgv có hạng r W =< M > không gian véctơ sinh M Khi dim(W ) = r Chứng minh Giả sử Mr = {xi1 , xi2 , xir } tập độc lập tuyến tính tối đại M TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 30 / 37 Hạng hệ véctơ Cơ sở số chiều bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp } ⊂ E K -kgv có hạng r W =< M > không gian véctơ sinh M Khi dim(W ) = r Chứng minh Giả sử Mr = {xi1 , xi2 , xir } tập độc lập tuyến tính tối đại M Chứng minh Mr sinh W TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 30 / 37 Hạng hệ véctơ Cơ sở số chiều bao tuyến tính Định lý Giả sử M = {x1, x2, , xp } ⊂ E K -kgv có hạng r W =< M > không gian véctơ sinh M Khi dim(W ) = r Chứng minh Giả sử Mr = {xi1 , xi2 , xir } tập độc lập tuyến tính tối đại M Chứng minh Mr sinh W Mỗi véctơ thuộc M tổ hợp tuyến tính véctơ Mr TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 30 / 37 Hạng hệ véctơ Cơ sở số chiều bao tuyến tính ⇒ véctơ W tổ hợp tuyến tính véctơ M tổ hợp tuyến tính véctơ Mr W =< M >⇒ W =< Mr > Mr độc lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 31 / 37 Hạng hệ véctơ Cơ sở số chiều bao tuyến tính ⇒ véctơ W tổ hợp tuyến tính véctơ M tổ hợp tuyến tính véctơ Mr W =< M >⇒ W =< Mr > Mr độc lập tuyến tính ⇒ Mr sở W ⇒ dim(W ) = r = rank(M) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 31 / 37 Hạng hệ véctơ Cơ sở số chiều bao tuyến tính Tìm sở số chiều không gian M kgv E sinh m véctơ x1 , x2 , , xm Lấy sở B = {e1, e2, , en } E Tìm [x1]B , [x2]B , , [xm ]B Xét không gian cột ma trận A = ([x1]B , [x2]B , , [xm ]B ) Biến đổi A dạng bậc thang từ xác định r (A) sở M, số chiều M r (A) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 32 / 37 Hạng hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) = x + 2x + 1, p2(x) = 2x + x − 1, p3(x) = 4x + Tìm sở số chiều không gian sinh véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 33 / 37 Hạng hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho p1(x) = x + 2x + 1, p2(x) = 2x + x − 1, p3(x) = 4x + Tìm sở số chiều không gian sinh véctơ Xét sở tắc x 2,x, 1 trận cột A A =  TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −1 CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ P2 (x), ma 4 TP HCM — 2011 33 / 37 Hạng hệ véctơ Ví dụ  h3 →h3 −h2 A −−−−−−→  −3  −− −−−→ −3    −3  = B Ma trận B có cột cột 0 độc lập tuyến tính sở không gian sinh véctơ p1(x), p2(x), p3(x) Vậy p1(x), p2(x) sở số chiều không gian sinh véctơ h2 →h2 −2h1 h3 →h3 −h1  TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 34 / 37 Hạng hệ véctơ Hệ véctơ cột hệ véctơ hàng Định lý Cho ma trận A ∈ Mm×n (K ) Khi gọi rh rc tương ứng hạng véctơ hàng véctơ cột tương ứng A rank(A) = rh = rc TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 35 / 37 Hạng hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R4 tìm hạng hệ véctơ sau: x1 = (1, 2, 4, 0), x2 = (3, 2, 1, 2), x3 = (2, 0, −1, 4), x4 = (1, −2, −5, 4), x5 = (5, 2, 0, 6) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 36 / 37 Hạng hệ véctơ Ví dụ Ví dụ Trong R4 tìm hạng hệ véctơ sau: x1 = (1, 2, 4, 0), x2 = (3, 2, 1, 2), x3 = (2, 0, −1, 4), x4 = (1, −2, −5, 4), x5 = (5, 2, 0, 6)    4 3 2    BĐSC hàng  −4 −11  −1  −−−−−−−−→  0     −2 −5  0 0 rA = nên hạng hệ véctơ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ 2 0    ⇒   TP HCM — 2011 36 / 37 Hạng hệ véctơ Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 37 / 37 [...]... −2)T TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 17 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Hệ quả Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không gian véctơ con của E thì dim(F ) n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 18 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian. .. lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 22 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Vậy p(x) = c(−x 2 + 1) Do đó {−x 2 + 1} là tập sinh của F −x 2 + 1 = 0 nên luôn độc lập tuyến tính Như vậy, −x 2 + 1 là 1 cơ sở của F và số chiều dim(F ) = 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 22 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian. .. của B ⇒ B là tập sinh TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 20 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv P2(x) cho không gian con F = {p(x) ∈ P2(x)\p(1) = 0, p(−1) = 0} Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 21 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ Ví... và số chiều của không gian véctơ con Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x} độc lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 19 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x} độc lập tuyến. .. {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần tử của nó là k + 1 > k (trái với giả thiết k lớn nhất) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 20 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính và số phần tử của nó là k + 1 > k (trái với giả thiết k lớn nhất) Do đó, ∀x ∈ F đều là tổ hợp tuyến tính của những... tuyến tính Thật vậy, giả sử λ1x1 + λ2x2 + + λk xk + λk+1xk+1 = 0 Nếu λk+1 = 0 thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xk (trái với giả thiết) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 19 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x} độc lập tuyến. .. −2 4 9 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 16 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ 2 Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B Tọa độ của p(x) trong cơ sở B là λ1, λ2, λ3 thỏa p(x) = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3 2 2 2 ⇔λ 1(2x + x) + λ2(x + 3) + λ3.1 = 8x − 4x + 6 = 8  2λ1 + λ2 ⇔ λ = 4  1 3λ2 + λ3 = 6 ⇔ λ1 = 4, λ2 = 16, λ3 = 42 ⇒ [p(x)]B = ( 4, 16, 42 )T TS Lê Xuân Đại. .. tuyến tính Thật vậy, giả sử λ1x1 + λ2x2 + + λk xk + λk+1xk+1 = 0 Nếu λk+1 = 0 thì x là tổ hợp tuyến tính của x1, x2, , xk (trái với giả thiết) Nếu λk+1 = 0 thì λ1x1 + λ2x2 + + λk xk = 0 ⇒ λ1 = λ2 = = λk = 0 (vì x1, x2, , xk độc lập tuyến tính) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 19 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian. .. là không gian véctơ con của E thì dim(F ) n Chứng minh Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính của F đều có số phần tử n Gọi B = {x1, x2, , xk }(k n) là 1 tập con độc lập tuyến tính của F có số phần tử lớn nhất Để chứng minh B là cơ sở của F ta chỉ cần chứng minh B là tập sinh của F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 18 / 37 Cơ sở và số chiều của không gian véctơ... 12 3s22 + s32 = −2 ⇔ s12 = 1, s22 = −2, s32 = 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 14 / 37 Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ e3 = s13e1 + s23e2 + s33e3 2 2 ⇔ s 13 (2x + x) + s23 (x + 3) + s33 1 = x + 3 = 0  2s12 + s22 ⇔ s = 1  12 3s22 + s32 = 3 ⇔ s13 = 1, s23 = −2, s33 = 9 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 15 / 37 Tọa độ của véctơ, ... lập tuyến tính tối đại M N độc lập tuyến tính véctơ M tổ hợp tuyến tính véctơ N Định nghĩa Hạng hệ véctơ K -kgv E số véctơ độc lập tuyến tính tối đại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN. .. lập tuyến tính) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 19 / 37 Cơ sở số chiều không gian véctơ Cơ sở số chiều không gian véctơ Vậy, B ∪ {x} ⊂ F độc lập tuyến tính số. .. độc lập tuyến tính tối đại M N độc lập tuyến tính véctơ M tổ hợp tuyến tính véctơ N Định nghĩa Hạng hệ véctơ K -kgv E số véctơ độc lập tuyến tính tối đại Nếu M = {0} coi hạng M TS Lê Xuân Đại (BK