Bài giảng đại số tuyến tính chương 4 (không gian véctơ) lê xuân đại

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ conVới mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính của những véctơ của B thì tập B ∪ {x } độc lập... Cơ

TS Lê Xuân ĐạiTrường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Định nghĩa

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ

Định lý

Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Tọa độ của véctơ

Định lý

Với mọi ∀x ∈ E , B là một cơ sở của E thì

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ

Tìm tọa độ của véctơ x = (6, 5, 4) trong cơ sở B

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ

Trong R−kgv P2(x ) cho cơ sở

= (s11x10 + s12x20 + + s1nxn0)e1 + (s21x10 + s22x20 + + s2nxn0)e2+ + (sn1x10 + sn2x20 + + snnxn0)en

=

n

X

Vậy ma trận chuyển cơ sở S từ cơ sở B sang B0 là

Tọa độ của véctơ, chuyển cơ sở Ví dụ

2 Tìm tọa độ của p(x) trong 2 cơ sở B, B0.

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Hệ quả

Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không

Do F ⊂ E nên mọi tập con độc lập tuyến tính

Hệ quả

Cho E là một K -kgv, dim(E ) = n, F là không

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính

của những véctơ của B thì tập B ∪ {x } độc lập

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tính

của những véctơ của B thì tập B ∪ {x } độc lập

tuyến tính Thật vậy, giả sử

Với mọi x ∈ F , nếu x không là tổ hợp tuyến tínhcủa những véctơ của B thì tập B ∪ {x } độc lậptuyến tính Thật vậy, giả sử

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

 a + b + c = 0

b = 0

Trong R−kgv P2(x ) cho không gian con

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

sinh của F

dim(F ) = 1

Vậy p(x ) = c(−x2 + 1) Do đó {−x2 + 1} là tậpsinh của F

dim(F ) = 1

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Ví dụ

Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W

Để tìm cơ sở của W ta giải phương trình

là (−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) Ta sẽ chứng minh(−1, 1, 0) và (−1, 0, 1) là cơ sở của W

Ví dụ

Tìm một cơ sở và số chiều của không gian con W

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Định lý

Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm

đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành

tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng

n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn

Định lý

Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất gồm

đó các nghiệm của hệ phương trình này tạo thành

Định lý

Không gian véctơ nghiệm của hệ phương trình

tuyến tính thuần nhất tổng quát có số chiều bằng

n − r trong đó r = rank(A) và n là số ẩn

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

Cơ sở và số chiều của không gian véctơ con Ví dụ

−2β β







 + β

−2 1

−2β β







 + β

−2 1

Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa

Định nghĩa

tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và

đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N

Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là sốvéctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó

Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0

Hạng của một hệ véctơ Định nghĩa

Định nghĩa

tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và

đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N

Định nghĩa

Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là số

véctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó

Nếu M = {0} thì coi hạng của M bằng 0

Cho tập M = {x1, x2, , xp} ⊂ E là một

tập con độc lập tuyến tính tối đại của M nếu và

đều là tổ hợp tuyến tính của các véctơ của N

Định nghĩa

Hạng của một hệ véctơ của một K -kgv E là sốvéctơ độc lập tuyến tính tối đại của nó

Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Định lý

hạng r và W =< M > là không gian véctơ con

sinh bởi M Khi đó dim(W ) = r

lập tuyến tính tối đại của M

Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Định lý

hạng r và W =< M > là không gian véctơ con

sinh bởi M Khi đó dim(W ) = r

Chứng minh

lập tuyến tính tối đại của M

Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

Định lý

hạng r và W =< M > là không gian véctơ con

sinh bởi M Khi đó dim(W ) = r

Chứng minh

lập tuyến tính tối đại của M

lập tuyến tính tối đại của M.

Hạng của một hệ véctơ Cơ sở và số chiều của bao tuyến tính

⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính của các

véctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính của các

⇒ mọi véctơ của W là tổ hợp tuyến tính của cácvéctơ của M thì cũng là tổ hợp tuyến tính của các

⇒ dim(W ) = r = rank(M)

sinh bởi m véctơ x1, x2, , xm

E Tìm [x1]B, [x2]B, , [xm]B

A = ([x1]B, [x2]B, , [xm]B)

r (A) và cơ sở của M, số chiều của M bằng

độc lập tuyến tính và là cơ sở của không gian con

Định lý

véctơ cột tương ứng của A thì

THANK YOU FOR ATTENTION