Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian vector

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Không gian vector có nội dung trình bày về các định nghĩa không gian vector, tổ hợp tuyến tính, cơ sở và số chiều của không gian vector, không gian vector con, tọa độ và ma trận chuyển cơ sở,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Nguyễn Anh Thi Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh 2014 Chương KHÔNG GIAN VECTOR Định nghóa Cho V tập hợp khác ∅ Ta nói V không gian vector R V i) tồn phép toán "cộng vector", tức ánh xạ V×V → V (u, v) → u + v ii) tồn phép "nhân vô hướng với vector", tức ánh xạ R×V → V (α, u) → αu thỏa tính chất sau: với u, v, w ∈ V α, β ∈ R Định nghóa u + v = v + u; (u + v) + w = u + (v + w); ∃0 ∈ V, u + = + u = u; ∃(−u) ∈ V, (−u) + u = u + (−u) = 0; (αβ)u = α(βu); (α + β)u = αu + βu; α(u + v) = αu + αv; 1.u = u Khi ta gọi : phần tử u ∈ V vector số α ∈ R vô hướng vector vector không vector (−u) vector đối u Ví dụ Xét V = Rn = {u = (x1 , x2 , , xn )|xi ∈ R, i ∈ 1, n} với phép cộng vector phép nhân vô hướng xác định bởi: u + v = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ), αu = (αx1 , αx2 , , αxn ) với u = (x1 , x2 , , xn ), v = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , α ∈ R Khi Rn không gian vector R với vector không = (0, 0, , 0) vector đối vector u laø −u = (−x1 , −x2 , , −xn ) Ví dụ Tập hợp Mm×n (R) với phép cộng ma trận nhân ma trận với số thực thông thường không gian vector R Trong đó, Vector không ma trận không Vector đối A ma trận −A Ví dụ Tập hợp R[x] = {p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 |n ∈ N, ∈ R, i ∈ 1, n} gồm đa thức theo x với hệ số R không gian vector R với phép cộng vector phép cộng đa thức thông thường phép nhân vô hướng với vector phép nhân thông thường số với đa thức Ví dụ Cho V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |2x1 + 3x2 + x3 = 0} Khi V không gian vector R Ví dụ Cho W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1} Khi W không không gian vector, u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W nhöng u + v = (3, 5, 3) = W Mệnh đề Cho V không gian vector R Khi với u ∈ V α ∈ R, ta có i) αu = ⇔ (α = hay u = 0); ii) (−1)u = −u 2.1 Tổ hợp tuyến tính 2.2 Độc lập phụ thuộc tuyến tính Hệ cho tương đương với hệ x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 0; x2 − 10x3 + 17x4 = Choïn x3 = α, x4 = β, ta tính x1 = −17α + 29β; x2 = 10α − 17β Hệ (1) có vô số nghiệm với hai ẩn tự (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−17α + 29β, 10α − 17β, α, β) với α, β ∈ R tùy ý CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đặt W = {(−17α + 29β, 10α − 17β, α, β)|α, β ∈ R} = {(−17α, 10α, α, 0) + (29β, −17β, 0, β)|α, β ∈ R} = {α(−17, 10, 1, 0) + β(29, −17, 0, 1)|α, β ∈ R} = (−17, 10, 1, 0); (29, −17, 0, 1) Đặt u1 = (−17, 10, 1, 0); u2 = (29, −17, 0, 1) Ta gọi u1 , u2 nghiệm hệ (1) Ta có W = u1 , u2 u1 , u2 độc lập tuyến tính Suy {u1 , u2 } sở W dim W = Ta gọi W không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý Cho ma trận A = (aij )m×n loại m × n với hệ số R  a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   am1 am2 amn  SA tập tất nghiệm (x1 , x2 , , xn ) cuûa hệ phương trình tuyến tính AX = 0, nghóa tập tất nghiệm hệ   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0;   a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0;    am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = Khi SA không gian R Ta gọi SA không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính AX = CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Để tìm số chiều sở không gian nghiệm SA hệ phương trình tuyến tính AX = 0, ta tiến hành bước sau: Bước 1: Giải hệ AX = tìm nghiệm tổng quát Bước 2: Tìm nghiệm hệ AX = sau: Giả sử nghiệm hệ AX = có s ẩn tự xk1 , xk2 , , xks Với i ∈ 1, s, choïn xki = 1; xkj = 0; ∀j = i, ta nghiệm uki Khi {uk1 , uk2 , , uks } nghiệm Bước 3: Không gian nghiệm SA có dim SA = s nhận hệ nghiệm {uk1 , uk2 , , uks } làm sở CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tọa độ ma trận chuyển sở 5.1 Tọa độ 5.2 Ma trận chuyển sở CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.1 Tọa độ Định lyù Cho B = {u1 , u2 , , un } sở không gian vector V R Khi với u ∈ V phương trình α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un = u luoân luoân có mộ  t nghiệ  m α10  α0    0 Goïi (α1 , α2 , , αn ) nghiệm (1) Ta đặt [u]B =     αn0 gọi tọa độ củ a u sở B Như vậy, α10  α0    [u]B =   ⇔ u = α10 u1 + α20 u2 + · · · + αn0 un   CuuDuongThanCong.com αn0 https://fb.com/tailieudientucntt Hệ Giả sử B = {u1 , u2 , , uk } sở W ≤ Rn u1 = (u11 , u21 , , un1 ); u2 = (u12 , u22 , , un2 ); uk = (u1k , u2k , , unk ) Khi với u =(b1 , b , , bn ) ∈ W, ta coù b1  b2    [u]B = X ⇔ UX =   ,   bn   u11 u12 u1k  u21 u22 u2k   U=   ma trận có cách dựng un1 un2 unk u1 , u2 , , uk thành cột CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Nhận xét Đối với sở tắc B0 = {e1 , e2 , , en } không gian Rn , với u = (b1 , b2 , , bn ) ∈ Rn , ta coù   b1  b2    [u]B0 =     CuuDuongThanCong.com bn https://fb.com/tailieudientucntt Đối với sở tắc B0 = {E11 , , E1n , , Em1 , , Emn } không gian Mm×n (R) ma trận loại m × n hệ số R A = (aij )m×n ta có   a11        a1n      [A]B0 =      am1        amn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Đối với sở taéc B0 = {1, x, , xn } không gian Rn [x] đa thức theo x bậc không n, với p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ∈ Rn [x],   a0  a1    [p(x)]B0 =     CuuDuongThanCong.com an https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Trong không gian R3 , cho vector u1 = (1, 2, 1); u2 = (1, 3, 1); u3 = (2, 5, 3) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 b) Tìm tọa độ vector u = (a, b, c) ∈ R3 sở B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 5.2 Ma trận chuyển sở Định lý Cho V không gian vector có dim V = n hai sở B1 = (u1 , u2 ,  , un ); B2 = (v1 , v2 , , ) Với j ∈ 1, n, đặt p1j  p2j    [vj ]B1 =   , j ∈ 1, n vaø P laø ma trận vuông cấp n có   pnj cột [v1 ]B1 , [v2 ]B1 , , [vn ]B1 , nghóa   p11 p12 p1n  p21 p22 p2n   P=   Khi P khả nghịch ma trận pn1 pn2 pnn thỏa ∀u ∈ V, [u]B1 = P[u]B2 P gọi ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 , ký hiệu (B1 → B2 ) Như vậy, ∀u ∈ V, [u]B1 = (B1 → B2 )[u]B2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Mệnh đề Cho V không gian vector hữu hạn chiều B1 , B2 , B3 ba cở sở V Khi i) (B2 → B1 ) = (B1 → B2 )−1 ; ii) (B1 → B3 ) = (B1 → B2 )(B2 → B3 ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ Cho B1 = (u1 , u2 , , un ); B2 = (v1 , v2 , , ) hai sở không gian Rn Gọi B0 = (e1 , e2 , , en ) sở tắc Rn Ta có i) (B0 → B1 ) ma trận có cách dựng caùc vector u1 , u2 , , un thành cột ii) (B1 → B0 ) = (B0 → B1 )−1 iii) (B1 → B2 ) = (B0 → B1 )−1 (B0 → B2 ) iv) Nếu qua số phép BĐSCTD ma trận (B0 → B1 ) biến thành ma trận đơn vị In qua phép biến đổi ma trận (B0 → B2 ) biến thành ma trận (B1 → B2 ), nghóa CuuDuongThanCong.com BĐSCTD ((B0 → B1 )|(B0 → B2 )) −−−−−→ (In |(B1 → B2 )) https://fb.com/tailieudientucntt Ví dụ Trong không gian R3 , cho vector u1 = (1, 2, 1); u2 = (1, 3, 1); u3 = (2, 5, 3) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang sở tắc B0 R3 c) Tìm tọa độ vector u = (1, 2, −3) theo sở B CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... độc lập tuyến tính 3 Cơ sở số chiều không gian vector 3.1 Tập sinh 3.2 Cơ sở số chiều 3.1 Tập sinh Định nghóa Cho V không gian vector S ⊂ V S gọi tập sinh V vector u V tổ hợp tuyến tính S Khi... Ta nói W không gian vector (gọi tắt không gian ) V, ký hiệu W ≤ V, W với phép cộng vector phép nhân vô hướng với vector hạn chế từ V, không gian vector R Ví dụ 1) W = {0} V không gian vector V... , u3 phụ thuộc tuyến tính Nhận xét Các vector u1 , u2 , , uk phụ thuộc tuyến tính tồn vector ui , cho ui biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính vector lại Mệnh đề Cho V không gian vector R S = {u1