Bài giảng đại số tuyến tính chương 5 (không gian euclide) lê xuân đại

KHÔNG GIAN EUCLIDE TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Định nghĩa Cho R−kgv E Khi E gọi không gian Euclide (thực) < ·, · >: E × E → R (x, y ) −→< x, y > − gọi tích vô hướng véctơ Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn tiên đề < x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E < x + y , z >=< x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ E < αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R < x, x >> 0, x = < x, x >= ⇔ x = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ R−kgv Rn không gian Euclide cho tích vô hướng < ·, · >: Rn × Rn → R n (x, y ) −→< x, y >= xi yi i=1 với x = (x1, x2, , xn ), y = (y1, y2, , yn ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C[a,b] hàm số liên tục đoạn [a, b] không gian Euclide cho tích vô hướng < ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R b (f , g ) −→< f , g >= f (x)g (x)dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Chứng minh b < f , g >= b f (x)g (x)dx = a < g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b] g (x)f (x)dx = a b < f + g , h >= (f (x) + g (x))h(x)dx = a b b f (x)h(x)dx + a g (x)h(x)dx = a < f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ b < αf , g >= (αf (x))g (x)dx = a b α f (x)g (x)dx = α < f , g >, a ∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R b < f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) = a b < f , f >= (f (x))2dx = ⇔ f (x) ≡ a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho quy tắc ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 Tìm m để < x, y > tích vô hướng < x, y >= x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2 = y1x1 + y1x2 + y2x1 + my2x2 =< y , x >, ∀x, y ∈ R2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ < x + y , z >= (x1 + y1)z1 + (x1 + y1)z2 + (x2 + y2)z1 + m(x2 + y2)z2 = (x1z1 + x1z2 + x2z1 + mx2z2) + (y1z1 + y1z2 + y2z1 + my2z2) = < x, z > + < y , z >, ∀x, y , z ∈ R2 < αx, y >= (αx1)y1 + (αx1)y2 + (αx2)y1 + m(αx2)y2 = α(x1y1 + x1y2 + x2y1 + mx2y2) = α < x, y >, ∀x, y ∈ R2, ∀α ∈ R < x, x >= x12 + x1x2 + x2x1 + mx22 = (x1 + x2)2 + (m − 1)x22 > 0, (x = 0) ⇒ m > < x, x >= ⇔ (x1 + x2)2 + (m − 1)x22 = ⇔ x1 = x2 = hay x = m = Vậy m > TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng < p, q >= p(x)q(x)dx, ∀p(x) = a1x + b1x + c1, q(x) = a2x + b2x + c2 Tính tích vô hướng p(x) = x − 4x + 5, q(x) = x + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Ví dụ Không gian Euclide Tích vô hướng p(x) q(x) < p, q >= p(x)q(x)dx = (x − 4x + 5)(x + 1)dx = = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE 19 TP HCM — 2011 10 / 56 Sự trực giao Ví dụ < x3, y1 > < x3, y2 y1 − < y1, y1 > < y2, y2 1 − , , = − (1, 1, 1) − 3 3 1 = 0, − , 2 1 Vậy hệ (1, 1, 1), − , , , 3 trực giao y3 = − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE > y2 + x3 > + (0, 0, 1) 1 0, − , 2 hệ TP HCM — 2011 46 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) với tích vô hướng < u, v >= u(x).v (x)dx Trực giao hóa hệ −1 véctơ M = {1, x, x 2} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 47 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian P2(x) với tích vô hướng < u, v >= u(x).v (x)dx Trực giao hóa hệ −1 véctơ M = {1, x, x 2} Hệ véctơ M ĐLTT Theo công thức trực giao hóa, ta có v1 = u1 = 1 xdx < u2, v1 > v1 + u2 = − −1 v2 = − + x = x < v1, v1 > 1.dx −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 47 / 56 Sự trực giao Ví dụ < u3, v1 > < u3, v2 > v1 − v2 + u3 < v1, v1 > < v2, v2 > 1 2 −1 x dx −1 x xdx − x +x = x − =− −1 1.dx −1 x dx Vậy hệ M = {1, x, x − } hệ trực giao v3 = − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 48 / 56 Sự trực giao Ví dụ Hệ Trong không gian Euclide tồn sở trực giao Từ suy tồn sở trực chuẩn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 49 / 56 Sự trực giao Ví dụ Hệ Trong không gian Euclide tồn sở trực giao Từ suy tồn sở trực chuẩn Giả sử không gian Euclide n chiều có sở x1, x2, , xn Theo trình trực giao hóa Gram-Schmidt, ta thu hệ trực giao Để có sở trực chuẩn, ta lấy y1 y2 yn e1 = , e2 = , , en = ||y1|| ||y2|| ||yn || TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 49 / 56 Sự trực giao Bù trực giao Định lý Cho không gian Euclide E , dim(E ) = n, n ∈ N∗ F không gian véctơ E Khi Với ∀x ∈ E , x ⊥ F ⇔ x trực giao với sở F Tập F ⊥ gồm véctơ E trực giao với F không gian véctơ E Tập F ⊥ gọi bù trực giao F dim(F ) + dim(F ⊥) = n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 50 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian R3 cho không gian W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0} Tìm sở số chiều W ⊥ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 51 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong không gian R3 cho không gian W = {(x1, x2, x3) : x1 + x2 + x3 = 0} Tìm sở số chiều W ⊥ Bước Cơ sở W (−1, 1, 0), (−1, 0, 1) Bước x = (x1, x2, x3) ∈ W ⊥ nên x ⊥ (−1, 1, 0) x ⊥ (−1, 0, 1) Do ta có −x1 + x2 = ⇒ x1 = x3, x2 = x3 ⇒ −x1 + x3 = (x1, x2, x3) = x3(1, 1, 1) Vậy dim(W ⊥) = sở (1, 1, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 51 / 56 Sự trực giao Hình chiếu vuông góc, khoảng cách Trong không gian Euclide E cho không gian F véctơ v tùy ý Véctơ v biểu diễn dạng v = f + g , f ∈ F , g ∈ F ⊥ Véctơ f gọi hình chiếu vuông góc v xuống F Kí hiệu f = prF v Khoảng cách từ v đến không gian F d (v , F ) = ||g || = ||v − prF v || TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 52 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R3 với tích vô hướng tắc, cho không gian F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > véctơ x = (1, 1, 2) Tìm hình chiếu vuông góc prF x x xuống F khoảng cách từ x đến F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 53 / 56 Sự trực giao Ví dụ Ví dụ Trong R3 với tích vô hướng tắc, cho không gian F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > véctơ x = (1, 1, 2) Tìm hình chiếu vuông góc prF x x xuống F khoảng cách từ x đến F Bước Cơ sở F f1 = (1, 1, 1), f2 = (0, 1, 1) Bước x = f + g = λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , g ∈ F ⊥ Bước < x, f1 > =< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (1, 1, 1) > = λ1(3) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (1, 1, 1) >= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 53 / 56 Sự trực giao Ví dụ < x, f2 > =< λ1(1, 1, 1) + λ2(0, 1, 1) + g , (0, 1, 1) > = λ1(2) + λ2.2 =< (1, 1, 2), (0, 1, 1) >= Từ suy λ1 = 1, λ2 = Vậy hình chiếu vuông góc prF x x xuống F 3 f = 1.(1, 1, 1) + (0, 1, 1) = 1, , 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 54 / 56 Sự trực giao Ví dụ Khoảng cách từ x đến F d (x, F ) = ||g || = 3 ||x − prF x|| = ||(1, 1, 2) − 1, , || = 2 1 1 || = 0.0 + + = || 0, − , 2 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 55 / 56 Sự trực giao Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 56 / 56 [...]... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 11 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Độ dài của véctơ u là ||u|| = √ < u, u > < u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11 √ ⇒ ||u|| = 11 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 12 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng 1 p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và < p, q >= 0 f (x) = x + 2 Tìm ||f (x)|| TS Lê Xuân Đại. .. thì m2 − m + 31 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 3 1 3 ⇔ m = 13 ∨ m = 32 KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 17 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Định lý (Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski) Trong không gian Euclide E , ta có | < x, y > | ||x||.||y ||, ∀x, y ∈ E Dấu = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 18 / 56 Không gian Euclide Góc giữa... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ||x||2.||y ||2 ||x||.||y || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 19 / 56 Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ Nếu | < x, y > | = ||x||.||y || thì ∆ = 0 khi đó ||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||2 = (λ − λ0)2 Do đó nếu λ = λ0 thì < x − λ0y , x − λ0y >= 0 hay x − λ0y = 0 ⇔ x = λ0y ⇒ x, y phụ thuộc tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 20 / 56 Không gian. .. là không gian Euclide thì |||x|| − ||y ||| TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ||x + y || KHÔNG GIAN EUCLIDE ||x|| + ||y || TP HCM — 2011 21 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong R2 cho tích vô hướng < x, y >= x1y1 + 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1), v = (1, 0) Tìm góc θ giữa 2 véctơ u, v TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 22 / 56 Không gian Euclide... Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 15 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng 1 p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và < p, q >= 0 f (x) = x + 1, g (x) = 2x + m Tìm m để khoảng cách giữa f (x), g (x) bằng 31 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 16 / 56 Không gian Euclide Ta có d (f , g ) = √ Ví dụ ||f ||.||g || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 24 / 56 Ví dụ Không gian Euclide 1 < f , g >= 1 (x 2 +x)(2x +3)dx f (x)g (x)dx = 0 0 = 11 3 1 ||f || = (x 2 + x)2dx = < f,f > = 0 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 31 30 KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 25 / 56 Không gian Euclide ||g || = √ Ví dụ 1 (2x + 3)2dx < g, g > = 0... 217 217 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 26 / 56 Không gian Unita Định nghĩa Định nghĩa C−kgv được gọi là không gian Unita Định nghĩa Cho x, y ∈ Cn , với x = (x1, x2, , xn ), y = (y1, y2, , yn ) Khi đó n ϕ(x, y ) =< x, y >= xi yi i=1 được gọi là tích vô hướng của 2 véctơ x, y trong không gian Unita TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 27 / 56 Sự trực... 5. 0.0 =1 3 3 Vậy cos θ = √ ⇒ θ = arccos √ 10 10 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 23 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô hướng 1 p(x)q(x)dx, ∀p, q ∈ P2(x) và < p, q >= 2 0 f (x) = x + x, g (x) = 2x + 3 Tìm góc θ giữa 2 véctơ f , g TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 24 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong P2(x) cho tích vô... 2x1y2 + 2x2y1 + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 1), v = (1, 0) Tìm góc θ giữa 2 véctơ u, v Ta có cos θ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) < u, v > ||u||.||v || KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 22 / 56 Không gian Euclide Ví dụ < u, v >= 1.1 + 2.1.0 + 2.1.1 + 5. 1.0 = 3 √ √ ||u|| = < u, u > = 1.1 + 2.1.1 + 2.1.1 + 5. 1.1 √ = 10 √ √ ||v || = < v , v > = 1.1 + 2.1.0 + 2.0.1 + 5. 0.0 =1 3 3 Vậy... + 5x2y2 với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, −1), v = (0, 2) Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 14 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là √ d (u, v ) = ||u − v || = < u − v , u − v > Ta có u − v = (1, −3) ⇒< u − v , u − v >= = 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5( −3)(−3) = 58 √ √ Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58 ... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 34 / 56 Sự trực giao Cơ sở trực giao Định lý Hệ véctơ trực giao không chứa véctơ độc lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN. .. = 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5( −3)(−3) = 58 √ √ Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 15 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Trong... (y1, y2, , yn ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP HCM — 2011 / 56 Không gian Euclide Ví dụ Ví dụ Không gian véctơ C[a,b] hàm số liên tục đoạn [a, b] không gian Euclide cho tích