Bài giảng đại số tuyến tính chương 5 (không gian euclide) lê xuân đại

Không gian Euclide Độ dài véctơ chuẩn của véctơĐịnh nghĩa Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là... Sự trực giao Cơ sở trực giaoi =1 λixi >=

KHÔNG GIAN EUCLIDE

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP HCM — 2011

Cho R−kgv E Khi đó E được gọi là không gianEuclide (thực) nếu

< ·, · >: E × E → R

hướng của 2 véctơ

2 < x + y , z >=< x, z > + < y , z >,

∀x, y , z ∈ E

i =1

xiyivới x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn)

Ví dụ

đoạn [a, b] là không gian Euclide nếu đã cho tích

vô hướng

(f , g ) 7−→< f , g >=

bRa

f (x)g (x)dx

Chứng minh.

< f , g >=

bRa

f (x)g (x)dx =

bRa

g (x)f (x)dx =

< f + g , h >=

bRa(f (x) + g (x))h(x)dx =

g (x)h(x)dx =

< f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b]

< αf , g >=

bRa(αf (x))g (x)dx =α

< f , f >=

bRa

Tính tích vô hướng của

Tích vô hướng của p(x ) và q(x ) là

< p, q >=

0p(x)q(x)dx =

Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ)

Định nghĩa

Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta

gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là

Độ dài của véctơ u là ||u|| = √

< u, u >

< u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11

Không gian Euclide Ví dụ

Ví dụ

< p, q >=

1R0

1R0

3

Ví dụ

< p, q >=

1R0

1R0

Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ

Định nghĩa

Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2

d (u, v ) Vậy d (u, v ) = ||u − v ||

Định nghĩa

Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2

d (u, v ) Vậy d (u, v ) = ||u − v ||

Ví dụ

Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là

Ví dụ

< p, q >=

1R0

f (x) = x + 1, g (x) = 2x + m Tìm m để khoảng

Ta có d (f , g ) = √

< f − g , f − g > trong đó

< f − g , f − g >=

1R0

Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ

Nếu | < x , y > | = ||x ||.||y || thì ∆0 = 0 khi đó

tuyến tính

Nếu x, y ∈ E , E là không gian Euclide thì

|||x|| − ||y ||| 6 ||x + y|| 6 ||x|| + ||y||

Không gian Euclide Ví dụ

Không gian Euclide Ví dụ

Ví dụ

< p, q >=

1R0

Ví dụ

< p, q >=

1R0

< f , g >=

1Z

0

f (x)g (x)dx =

1Z

1Z

0

r31

||g || = √< g , g > =

vuuut

1Z

0

=

r493

√310

√310217

i =1

xiyi

M ⊂ E nếu nó trực giao với mọi véctơ của M.

Kí hiệu x ⊥ M

3

Ví dụ

< p, q >=

1R

Ví dụ

< x, y >= x1y1 + x2y2 + x3y3với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), và

M =< (1, 1, 1), (2, 1, 3) >, u = (1, −1, m) Tìm

m để u ⊥ M

Định nghĩa

⇔ chúng trực giao với nhau từng đôi một

nhau

M ⊥ N ⇔< x, y >= 0, ∀x ∈ M, ∀y ∈ N

Chú ý Véctơ 0 trực giao với mọi véctơ Ngược lại,

< (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, m) >=

1.2 + 1.1 + 1.1 + 1.m = 4 + m = 0 ⇒ m = −4

< (1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, m) >=

Sự trực giao Cơ sở trực giao

i =1

λixi >=

M độc lập tuyến tính

i =1

λixi >=

Sự trực giao Ví dụ

Ví dụ

chính tắc, cho 3 véctơ trực giao x = (0, 1, 1, 1),

y = (3, −2, 1, 1), z = (3, 3, −4, 1) Hãy bổ sung

u = (a, b, c, d ) 6= 0 thêm vào phải trực giao với 3véctơ x, y , z

Ví dụ

chính tắc, cho 3 véctơ trực giao x = (0, 1, 1, 1),

y = (3, −2, 1, 1), z = (3, 3, −4, 1) Hãy bổ sung

u = (a, b, c, d ) 6= 0 thêm vào phải trực giao với 3véctơ x, y , z

Hệ thuần nhất này gồm 3 phương trình và 4 ẩn sốnên có vô số nghiệm Chọn d = 2 ta được

a = −1, b = −1, c = −1 Vậy véctơ thêm vào là(−1, −1, −1, 2)

Để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giao của

Ví dụ

< u, v >=

1R0u(x).v (x)dx, cho 3 véctơ

Để 3 véctơ trên tạo thành 1 cơ sở trực giao của

Cho không gian Euclide E và {x1, x2, , xn} làmột hệ gồm n véctơ độc lập tuyến tính của E Khi

Theo cách xây dựng trên, yk là THTT của

những véctơ còn lại Từ đó suy ra

Sự trực giao Ví dụ

Ví dụ

Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt để

xây dựng hệ trực giao từ hệ véctơ

(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)

Hệ véctơ (1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) ĐLTT Ápdụng tích vô hướng chính tắc, theo công thức trực



+ (0, 0, 1)

,



2,

12



là hệtrực giao

−1u(x).v (x)dx Trực giao hóa hệ

Ví dụ

< u, v >=

1R

−1u(x).v (x)dx Trực giao hóa hệ

Sự trực giao Ví dụ

Hệ quả

Trong không gian Euclide tồn tại cơ sở trực giao

Từ đó suy ra tồn tại cơ sở trực chuẩn

Giả sử không gian Euclide n chiều có cơ sở

Gram-Schmidt, ta thu được 1 hệ trực giao

Để có cơ sở trực chuẩn, ta có thể lấy

Hệ quả

Trong không gian Euclide tồn tại cơ sở trực giao

Từ đó suy ra tồn tại cơ sở trực chuẩn

Giả sử không gian Euclide n chiều có cơ sở

Gram-Schmidt, ta thu được 1 hệ trực giao

Để có cơ sở trực chuẩn, ta có thể lấy

Định lý

và F là không gian véctơ con của E Khi đó

sở của F

Trong không gian Euclide E cho không gian con F

và 1 véctơ v tùy ý

Véctơ v có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

hình chiếu vuông góc của v xuống F Kí hiệu

Khoảng cách từ v đến không gian F là

Sự trực giao Ví dụ

Ví dụ

gian con F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > và véctơ

Ví dụ

gian con F =< (1, 1, 1), (0, 1, 1) > và véctơ



THANK YOU FOR ATTENTION