Bài giảng đại số tuyến tính chương 5 lê xuân đại

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho tập hợp tùy ý X , Y = ∅ Ánh xạ f tập X , Y quy tắc cho với x ∈ X tồn y ∈ Y cho y = f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Khái niệm tổng quát Ánh xạ Định nghĩa Cho tập hợp tùy ý X , Y = ∅ Ánh xạ f tập X , Y quy tắc cho với x ∈ X tồn y ∈ Y cho y = f (x) Định nghĩa Ánh xạ f gọi đơn ánh từ x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2) Ánh xạ f gọi toàn ánh ∀y ∈ Y , ∃x ∈ X : y = f (x) Ánh xạ f gọi song ánh f đơn ánh toàn ánh TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Khái niệm tổng quát Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho E F K -kgv Một ánh xạ f : E → F gọi tuyến tính (hay đồng cấu) f (x + y ) = f (x) + f (y ), ∀x, y ∈ E f (λx) = λf (x), ∀λ ∈ K , ∀x ∈ E Ta ký hiệu tập hợp ánh xạ tuyến tính từ E vào F L(E , F ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R3 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) ánh xạ tuyến tính ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2, f(x+y) = (3(x1 + y1) − (x2 + y2), x1 + y1, (x1 + y1) + (x2 + y2)) = (3x1 − x2, x1, x1 + x2) + (3y1 − y2, y1, y1 + y2) = f(x)+f(y) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x12 − x2, x2) không ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ ∀λ ∈ K , ∀x ∈ R2, f (λx) = (3λx1 − λx2, λx1, λx1 + λx2) = λ(3x1 − x2, x1, x1 + x2) = λf (x) Ví dụ Ánh xạ f : R2 → R2 cho ∀x = (x1, x2), f (x) = (2x12 − x2, x2) không ánh xạ tuyến tính Thật vậy, f (λx) = (2(λx1)2 − λx2, λx2) = (2λ2x12 − λx2, λx2) = λ(2x12 − x2, x2), λ = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Định nghĩa Cho E K -kgv Một ánh xạ f : E → E gọi tự đồng cấu E f ánh xạ tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ví dụ f (e1) = a11e1 + a21e2 f (e2) = a12e1 + a22e2     a11.1 + a21.0 = a11 =       a11.0 + a21.1 = a21 = ⇔ ⇔ a12.1 + a22.0 = −2 a12 = −2        a + a = −1  a = −1 12 22 22 Vậy ma trận ánh xạ tuyến tính f sở tắc −2 A = MatE (f ) = −1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 46 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận ánh xạ tuyến tính f sở −1 E = {(1, 1), (−1, 1)} A = Tìm f (−1, 5) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 47 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận ánh xạ tuyến tính f sở −1 E = {(1, 1), (−1, 1)} A = Tìm f (−1, 5) Ta có x = (−1, 5) = α(1, 1) + β(−1, 1) ⇒ α = 2, β = ⇒ [x]E = (2, 3)T TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 47 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ví dụ Từ ta có [f (−1, 5)]E = A.[x]E = −1 −1 = Vậy f (−1, 5) = −1(1, 1) + 6(−1, 1) = (−7, 5) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 48 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác Xét trường hợp f : E → E , f ∈ L(E ) với E K -kgv Giả sử B = {e1, e2, , en }, B = {e1, e2, , en } sở E A = MatB (f ), A = MatB (f ) Giả sử S = Pass(B, B ) ma trận chuyển sở từ B sang B   s11 s1j s1n       S =  si1 sij sin      sn1 snj snn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 49 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác n tức ei = ski ek , i = 1, 2, , n k=1 Giả sử X = [x]B = (x1, x2, , xn )T - tọa độ véctơ x sở B X = [x]B = (x1, x2, , xn )T - tọa độ véctơ x sở B Y = [y ]B = (y1, y2, , yn )T - tọa độ véctơ y sở B Y = [y ]B = (y1, y2, , yn )T - tọa độ véctơ y sở B TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 50 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác Khi ta có X = SX , Y = SY , Y = AX = ASX , Y = A X ⇒ Y = SY = SA X ⇒ ASX = SA X với X tùy ý nên AS = SA Do S ma trận chuyển sở nên S không suy biến, từ suy A = S −1AS Định nghĩa Hai ma trận A A gọi ma trận đồng dạng A = S −1AS TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 51 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : E → E A ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B A ma trận ánh xạ tuyến tính sở B Khi A, A đồng dạng với TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 52 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận ánh xạ tuyến tính f sở −3 E = {(1, 0), (1, 1)} A = Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở F = {(0, 1), (2, 1)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 53 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2, biết ma trận ánh xạ tuyến tính f sở −3 E = {(1, 0), (1, 1)} A = Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở F = {(0, 1), (2, 1)} Áp dụng công thức, ta có ma trận ánh xạ tuyến tính f sở F A = S −1AS S ma trận chuyển từ sở E vào F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 53 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Ma trận ánh xạ tuyến tính sở khác Tìm S (0, 1) = s11(1, 0) + s21(1, 1) ⇒ (2, 1) = s21(1, 0) + s22(1, 1) s11 = −1; s21 = s21 = 1; s22 = −1 − 12 −1 Vậy S = ⇒S = 1 Từ A = S −1 AS = 1 −2 2 −3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −1 1 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH = 2 − 12 TP HCM — 2011 54 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Định lý hạng ma trận ánh xạ tuyến tính Định lý Cho K -kgv E F , f : E → F ánh xạ tuyến tính Giả sử A ∈ Mm×n (K ) ma trận f cặp sở B ⊂ E C ⊂ F tức A = MatBC (f ) Khi ta có rank(f ) = rank(A) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 55 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Định lý hạng ma trận ánh xạ tuyến tính Định lý Cho K -kgv E F , f : E → F ánh xạ tuyến tính Giả sử A ∈ Mm×n (K ) ma trận f cặp sở B ⊂ E C ⊂ F tức A = MatBC (f ) Khi ta có rank(f ) = rank(A) Chứng minh Giả sử B = {e1, e2, , en } sở E , C = {f1, f2, , fm } sở F A = MatBC (f ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 55 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Định lý hạng ma trận ánh xạ tuyến tính Vì Im(f ) =< f (B) >=< f (e1), f (e2), , f (en ) > ⇒ rank(f ) = dim(Im(f )) = = rank([f (e1)]F , [f (e2)]F , , [f (en )]F ) = rank(A∗1, A∗2, , A∗n ) = rank(A) Vậy rank(f ) = dim(Im(f )) = rank(A) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 56 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Định lý hạng ma trận ánh xạ tuyến tính THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 57 / 57 [...]... TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 16 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, , xn } là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E Khi đó Nếu M phụ thuộc tuyến tính thì f (M) phụ thuộc tuyến tính Nếu f (M) độc lập tuyến tính thì M độc lập tuyến tính 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP... TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 13 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E Khi đó f (< M >) =< f (M) >, M = {x1, x2, , xn } ⊂ E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 14 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính. .. i=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 19 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv hữu hạn chiều E và F , ∀f ∈ L(E , F ) Khi đó nếu f là song ánh thì với mọi cơ sở B của E ta có f (B) cũng là cơ sở của F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 20 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính. .. n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) i=1 λi f (xi ) ∈< f (M) > λi xi ) = i=1 λi xi Khi đó y = i=1 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 14 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính 2 Chứng minh < f (M) >⊂ f (< M >) Với mọi y ∈< f (M) >⇒ ∃λ1, λ2, , λn ∈ K : n y= n λi xi ) ∈ f (< M >) λi f (xi ) = f ( i=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) i=1 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 15 / 57 Khái... sở của F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 20 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi f (1, 0, 0) = (1, 1, 1), f (−1, 1, 0) = (−2, −1, 0), f (0, −1, 1) = (2, 1, 3) Xác định f (x1, x2, x3) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 21 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3... tuyến tính thì M độc lập tuyến tính Giả sử M PTTT thì f (M) PTTT trái với giả thiết f (M) ĐLTT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 18 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Định lý Cho 2 K -kgv E và F , ∀f ∈ L(E , F ), M = {x1, x2, , xn } là một họ véctơ gồm hữu hạn phần tử của E Nếu f là đơn ánh và M độc lập tuyến tính thì f (M) độc lập tuyến tính. .. dim(Ker (f )) = 2 a 3 2 b 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 10 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : R4 → R3 xác định bởi f (x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, x2 + x3, x1 + x3 + 2x4) Tìm Ker (f ), cơ sở và số chiều của nó Tìm Im(f ), cơ sở và số chiều của nó 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 11 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví... véctơ con của F Ker (f ) là không gian véctơ con của E 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 7 / 57 Khái niệm tổng quát Hạt nhân và ảnh Định nghĩa Ta gọi dim(Im(f )) là hạng của ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) và dim(Ker (f )) là số khuyết của f TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 8 / 57 Khái niệm tổng quát Ví dụ Ví dụ Cho f : P2(x) → R xác... quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 16 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất của ánh xạ tuyến tính Hệ quả Nếu f ∈ L(E , F ) là toàn ánh và nếu M sinh ra E thì f (M) sinh ra F Thật vậy, do f là toàn ánh nên F = f (E ) = f (< M >) =< f (M) > TS Lê Xuân Đại (BK... 2 Tìm Ker (f ) Tìm dim(Ker (f )) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 9 / 57 Khái niệm tổng quát 1 Ví dụ p(x) = ax 2 + bx + c ∈ P2(x) 1 ⇒ f (p(x)) = (ax 2 + bx + c)dx 0 = + + c = 0 ⇒ c = − 3a − b2 Vậy Ker (f ) = {ax 2 + bx + (− 3a − b2 ) : ∀a, b ∈ R} a 3 b 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 10 / 57 Khái niệm tổng quát 1 Ví dụ p(x) = ... thuộc tuyến tính f (M) phụ thuộc tuyến tính Nếu f (M) độc lập tuyến tính M độc lập tuyến tính TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 17 / 57 Khái niệm tổng quát Tính. .. TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) i=1 CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 15 / 57 Khái niệm tổng quát Tính chất ánh xạ tuyến tính Hệ Nếu f ∈ L(E , F ) toàn ánh M sinh E f (M) sinh F TS Lê Xuân Đại. .. xạ tuyến tính f ∈ L(E , F ) thỏa f (ei ) = vi , i = 1, 2, , n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TP HCM — 2011 27 / 57 Ma trận ánh xạ tuyến tính Xác định ánh xạ tuyến tính