Bài giảng đại số tuyến tính chương 4 lê xuân đại

CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng TP HCM — 2011 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 Số véctơ sở nhau= n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 Số véctơ sở nhau= n ∀ tập có số véctơ lớn n PTTT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) tập ĐLTT số véctơ CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 n / 33 Số véctơ sở nhau= n ∀ tập có số véctơ lớn n PTTT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) tập ĐLTT số véctơ CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 n / 33 Số véctơ sở nhau= n ∀ tập có số véctơ lớn n PTTT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) tập ĐLTT số véctơ CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 n / 33 Số véctơ sở nhau= n ∀ tập có số véctơ lớn n PTTT tập ĐLTT số véctơ n ∀ tập có số véctơ nhỏ n không tập sinh E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 Số véctơ sở nhau= n ∀ tập có số véctơ lớn n PTTT ∀ tập có số véctơ nhỏ n không tập sinh E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) tập ĐLTT số véctơ n tập tập sinh E số véctơ n CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 Số véctơ sở nhau= n ∀ tập có số véctơ lớn n PTTT ∀ tập có số véctơ nhỏ n không tập sinh E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) tập ĐLTT số véctơ n tập tập sinh E số véctơ n CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính sở E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính sở E tập gồm n véctơ sinh E sở E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 Tổng giao không gian Cơ sở số chiều tổng không gian Định lý Giả sử E K -kgv hữu hạn chiều, F G không gian véctơ E Khi dim(F + G ) = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 19 / 33 Tổng giao không gian Cơ sở số chiều tổng không gian Giả sử dim(F ) = r , dim(G ) = s, H = F ∩ G dim(H) = t Giả sử B = {x1, x2, , xt } sở H H ⊂ F nên bổ sung thêm r − t véctơ để sở B = {x1, x2, , xt , yt+1, , yr } F Tương tự, H ⊂ G nên bổ sung s − t véctơ để sở B = {x1, x2, , xt , zt+1, , zs } G Xét C = {x1, x2, , xt , yt+1, , yr , zt+1, , zs } Ta chứng minh C sở F + G TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 20 / 33 Tổng giao không gian Cơ sở số chiều tổng không gian Chứng minh C tập sinh F + G Thật vây, ∀u ∈ F + G ∃y ∈ F , z ∈ G cho u = y + z = t r t λi xi + i=1 t λi yi + i=t+1 γi xi + i=1 γi zi = i=t+1 r (λi + γi )xi + i=1 s s λi yi + i=t+1 γi zi i=t+1 Vậy C tập sinh F + G TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 21 / 33 Tổng giao không gian Cơ sở số chiều tổng không gian Chứng minh C độc lập tuyến tính Từ α1x1 + α2x2 + + αt xt + βt+1yt+1 + + βr yr + γt+1zt+1 + + γs zs = ⇒ α1x1 + α2x2 + + αt xt + βt+1yt+1 + + βr yr = v (1) = −(γt+1zt+1 + + γs zs ) = v (2) Rõ ràng v ∈ F v ∈ G nên v ∈ H = F ∩ G ⇒ v = µ1x1 + µ2x2 + + µt xt (3) Từ (1) (3) suy (α1 − µ1)x1 + + (αt − µt )xt + βt+1yt+1 + + βr yr = ⇒ βt+1 = = βr = (do B ĐLTT) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 22 / 33 Tổng giao không gian Cơ sở số chiều tổng không gian Từ (2) suy α1x1 +α2x2 + .+αt xt +γt+1zt+1 + .+γs zs = ⇒ α1 = = αt = γt+1 = = γs = Vậy C sở F + G dim(F + G ) = r + s − t = dim(F ) + dim(G ) − dim(F ∩ G ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 23 / 33 Tổng giao không gian Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho véctơ u1 = (1, 2, 1, 1), u2 = (3, 6, 5, 7), u3 = (4, 8, 6, 8), u4 = (8, 16, 12, 16) v1 = (1, 3, 3, 3), v2 = (2, 5, 5, 6), v3 = (3, 8, 8, 9), v4 = (6, 16, 16, 18) Đặt U =< u1, u2, u3, u4 > V =< v1, v2, v3, v4 > Tìm sở chiều không gian U + V U ∩ V TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 24 / 33 Tổng giao không gian Tìm  sở  2  1 Ví dụ U     16  0 → 12  0 16   0  4 Vậy dim(U) = sở U {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 25 / 33 Tổng giao không gian Ví dụ Tìm  sở V      16  0  →  16  0 18 −1 0 −1 0   −2    Vậy dim(V ) = sở V {(1, 0, 0, 0), (3, −1, 0, 0)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 26 / 33 Tổng giao không gian Ví dụ Không gian U + V không gian sinh véctơ {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0), (3, −1, 0, 0)} Tìm sở U + V   3    0 −1  A=  ⇒ r (A) = 0  0 Vậy dim(U + V ) = sở U + V {(1, 0, 0, 0), (3, 0, 2, 0), (3, −1, 0, 0)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 27 / 33 Tổng giao không gian Ví dụ Tìm sở số chiều U ∩ V u ∈ U ∩ V ⇔ u = α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0) ⇔u= u = α3(1, 0, 0, 0) + α4(3, −1, 0, 0) α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0), α1(1, 0, 0, 0) + α 2(3, 0, 2, 0) = α3(1, 0, 0, 0) + α4(3, −1, 0, 0) ⇔  u = α1(1, 0, 0, 0) + α2(3, 0, 2, 0)    α1 + 3α2 = α3 + 3α4 α2 =     α4 = ⇒ u = α1(1, 0, 0, 0) Vậy dim(U ∩ V ) = sở U ∩ V (1, 0, 0, 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 28 / 33 Tổng giao không gian Ví dụ Ví dụ Trong R−kgv R4 cho U = {(x1, x2, x3, x4)\x1 + x2 − 2x3 = ∧ x1 − x2 − 2x4 = 0} V = {(x1, x2, x3, x4)\x1 = x2 = x3} Tìm sở chiều không gian U + V U ∩ V TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 29 / 33 Tổng giao không gian Ví dụ Tìm sở U 1 −2 −1 −2 → 1 −2 0 −2 −2 Vậy dim(U) = sở U {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1)} Tìm sở V Với ∀v ∈ V ⇒ v = α(1, 1, 1, 0) + β(0, 0, 0, 1) Vậy dim(V ) = sở V {(1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 30 / 33 Tổng giao không gian Ví dụ Không gian U + V không gian sinh véctơ {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)} Tìm sở U + V     1 1      −1   −2  A= →  ⇒ r (A) = 1 0 0 0 1 0 Vậy dim(U + V ) = sở U + V {(1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (0, 0, 0, 1)} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 31 / 33 Tổng giao không gian Ví dụ Tìm  sở số chiều U ∩ V x ∈ U ∩ V ⇔  x1 + x2 − 2x3 = x1 = x2 = x3 = α x1 − x2 − 2x4 = ⇔ x4 =  x1 = x2 = x3 ⇒ x = α(1, 1, 1, 0) Vậy dim(U ∩ V ) = sở U ∩ V (1, 1, 1, 0) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 32 / 33 Tổng giao không gian Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 33 / 33 [...]... gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 33 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của E 1 tập gồm n véctơ sinh ra E đều là cơ sở của E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 33 1 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở của... Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 13 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh C ∪ D độc lập tuyến tính Thật vậy, từ p q λi fi + i=1 i=p+1 p ⇒ q λi fi = − i=1 p ⇒ λi hi = 0 λi hi ∈ F ∩ H = {0} j=p+1 q λi fi = 0 và i=1 λi hi = 0 i=p+1 ⇒ λ1 = = λp = λp+1 = = λq = 0 (do C , D độc lập tuyến tính) Vậy C ∪ D ĐLTT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG... F + G TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 11 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Chứng minh F ∩ G = {0} Cho x ∈ F ∩ G thì x ∈ F và x ∈ G Khi đó p n ∃(λ1, λ2, , λn ) ∈ K : x = λi fi và i=1 n x= j=p+1 λj eij p ⇒ n λi fi − i=1 λj eij = 0 j=p+1 ⇒ λ1 = λ2 = = λn = 0 (do B độc lập tuyến tính) ⇒ x = 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN... bù trong E 1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 9 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Định lý Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, dim(E ) = n, F là một không gian véctơ con của E , dim(F ) = p(p n) Khi đó F có ít nhất một phần bù trong E Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ... , dim(F ) = p(p n) Khi đó F có ít nhất một phần bù trong E Mọi phần bù của F trong E đều có số chiều là n − p 1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 9 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con 1 F có ít nhất một phần bù trong E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 10 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian... véctơ con của E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 5 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Giả sử E là một K -kgv, F1, F2 là 2 không gian véctơ con của E Ta nói rằng, F1, F2 có tổng trực tiếp khi và chỉ khi F1 F2 = {0} Khi đó ta ký hiệu F1 ⊕ F2 là tổng trực tiếp của F1, F2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ... {0} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 6 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định lý Để 2 không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E có tổng trực tiếp thì điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của F1 + F2 được phân tích một cách duy nhất thành tổng của một phần tử của F1 và một phần tử của F2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG... dim(F ) + dim(G ) = p = dim(F ⊕ G ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 16 / 33 Tổng và giao không gian con Phần bù của không gian con Hệ quả Giả sử E là một K -kgv hữu hạn chiều, F1, F2, , Fm là những không gian véctơ con của E có tổng trực tiếp Khi đó m dim(F1 ⊕ F2 ⊕ ⊕ Fm ) = dim(Fi ) i=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 17 /... {0} TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 8 / 33 Tổng và giao không gian con Tổng trực tiếp của 2 không gian véctơ con Định nghĩa Hai không gian véctơ con F1, F2 của K -kgv E được gọi là bù nhau trong E ⇔ F1 + F2 = E ⇔ F1 ⊕ F2 = E F1 F2 = {0} Ví dụ K = R, E = R2, các không gian véctơ con F1 = R × {0}, F2 = {0} × R có F1 F2 = {0} và F1 ⊕ F2 = R × R = R2 = E TS Lê Xuân Đại. .. TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 3 / 33 Tổng và giao không gian con Giao của các không gian con Định nghĩa Giả sử E là một K -kgv; (Fi )i∈I là một họ các không gian véctơ con của E , thế thì F = Fi = {x ∈ E \x ∈ Fi , ∀i} được gọi là giao i∈I của các không gian con Fi Định lý Giao của các không gian con Fi Fi là một i∈I không gian véctơ con của E TS Lê Xuân Đại (BK .. .Số véctơ sở nhau= n TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 Số véctơ sở nhau= n ∀ tập có số véctơ lớn n PTTT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) tập ĐLTT số véctơ CHƯƠNG... sở E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 tập gồm n véctơ độc lập tuyến tính sở E tập gồm n véctơ sinh E sở E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN... sinh E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ TP HCM — 2011 / 33 Số véctơ sở nhau= n ∀ tập có số véctơ lớn n PTTT ∀ tập có số véctơ nhỏ n không tập sinh E TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM)