Bài giảng đại số tuyến tính chương 4 ths nguyễn phương

1 Giá trị riêng - vectơ riêngCác định nghĩa Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng 2 Chéo hóa ma trận.. Chéo hóa trực giao Định nghĩa chéo hóa Các bước chéo hóa ma trận vuông Chéo hóa trực

Chương 4:

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản

Trường Đại học Ngân hàng TPHCM

Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com

Email: nguyenphuong0122@gmail.com

Yahoo: nguyenphuong1504

Ngày 28 tháng 10 năm 2013

1 Giá trị riêng - vectơ riêng

Các định nghĩa

Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng

2 Chéo hóa ma trận Chéo hóa trực giao

Định nghĩa chéo hóa

Các bước chéo hóa ma trận vuông

Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng

3 Dạng toàn phương Đưa DTP về dạng chính tắcDạng toàn phương

Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắcPhương pháp Lagrange

Phương pháp Jacobi

4 Dạng toàn phương xác định dấu Định lý SylvesterDạng toàn phương xác định dấu

Định lý Sylvester

A[x] = 4 −2

1 1

! 21

!

= 63

!

= 3 21

det(A −λI) =

1 −λ 2

3 4 −λ

=λ2− 5λ − 2

Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng

- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A −λI) = 0

Các nghiệm tìm được là các giá trị riêng cần tìm

- Bước 2: Giả sửλ0là giá trị riêng Giải hệ phương trình tuyến tính thuầnnhất (A −λ0I)X = 0

Nghiệm không tầm thường của phương trình này là vectơ riêng cần tìm

Ví dụ 3: Cho A = 4 −2

1 1

! Tìm giá trị riêng và vector riêng của A.Giải Phương trình đặc trưng là

det(A −λI) = 0 ⇔

4 −λ −2

1 1 −λ

= 0 ⇔λ2− 5λ + 6 = 0

Suy raλ1= 2 vàλ2= 3 là hai trị riêng của A

+ Ứng vớiλ1= 2:

−λ 0 1

0 1 −λ 0

1 0 −λ

x1+ x3 = 0

x2 = 0

⇒ x =α(1; 0; −1) (α , 0) là vetor riêng của A

⇒ x = (α; β; α) là vetor riêng của A.

Không gian riêng

Giả sửλ là giá trị riêng của ma trận A Gọi tập hợp các vector riêng ứng với

λ và vector không là E(λ) E(λ) được gọi là không gian riêng ứng với λ

Ví dụ 4: E(−1) =

E(1) = , (0; 1; 0) ; dimE(1) = 2

ma trận P = 0 1

1 3

!khả nghịch thỏa B = P−1AP

Các bước chéo hóa ma trận vuông

- Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A −λI) = 0 để tìm trị riêng thựccủa A

+ Trường hợp A có trị riêng phức thì ta kết luận A không chéo hóa được.+ Trường hợp A có n trị riêng thực thì A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2.+ Trường hợp A có k trị riêng thựcλi(i = 1, , k) với λi là nghiệm bội ni củaphương trình đặc trưng

i) dim E(λi) = ni, ∀i, ta kết luận A chéo hóa được, ta làm tiếp bước 2.ii) tồn tại dim E(λi)< ni, ta kết luận A không chéo hóa được

- Bước 2: Tìm cơ sở của các không gian riêng E(λi)

- Bước 3: Lập ma trận P có các cột là các vector cơ sở của E(λi)

Khi đó, P−1AP = D với D là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéochính lần lượt làλi (mỗiλi xuất hiện liên tiếp ni lần)

Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A =

1 −λ −1 0

2 −1 −λ 0

1 2 3 −λ

= (3 −λ)(1 + λ2)Phương trình det(A −λI) = 0 không đủ 3 nghiệm thực nên A không chéo hóađược trên R

Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau trên R: A = −3−2 21

!

Giải Phương trình đặc trưng

det(A −λI) = 0 ⇔ (λ + 3)(λ − 1) + 4 = 0 ⇔ (λ + 1)2= 0 ⇔λ = −1 (bội 2)

!

⇔(

−2x1+ 2x2= 0

−2x1+ 2x2= 0 ⇔ x1= x2

⇒ dim E(−1) = 1< 2 ⇒ A không chéo hóa được

Ví dụ: Chéo hóa ma trận A = 1 0

6 −1

!.Giải Phương trình đặc trưng

= 0 ⇔ (λ − 1)(λ − 2)2= 0 ⇔

"

λ = 1

λ = 2+ Vớiλ = 1 (nghiệm đơn), ta có:

x2 − x3= 0

⇒ x =α(1; −3; −3) ⇒ dim E(1) = 1

+ Vớiλ = 1 (nghiệm bội 2), ta có:

2

1

√2

Các bước chéo hóa ma trận đối xứng

- Bước 1:Tìm các trị riêng

- Bước 2: Tìm các vector cơ sở của các không gian riêng

- Bước 3: Chuẩn hóa các vector cơ sở này

- Bước 4: Lập ma trận chéo hóa trực giao của A

Ví dụ: Chéo hóa ma trận đối xứng A =

Định nghĩa

- Dạng toàn phương của n biến x1, x2, , xn(hay là dạng toàn phương trong

Kn) là hàm Q từ Knđến K cho bởi biểu thức

Ví dụ: Tìm dạng toàn phương q(x), biết ma trận của q là A = 1 −1

−1 2

!.Giải Ta có

Ví dụ: Trong R2, cho dạng chính tắc có ma trận A = 1 0

0 −2

!.Khi đó, biểu thức của q là

Phương pháp Lagrange: - Phương pháp Lagrange nhóm trực tiếp lần lượt theotừng biến xi dưới dạng tổng bình phương Sau đó, ta dựa vào các tổng bìnhphương để đổi biến.

Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc:

Q(x) = −x22+ 4x23+ 2x1x2+ 4x1x3Bước 1 Biến đổi

a11 a12

a21 a22

, 0, , Dn= det(A) , 0

Khi đó, biến đổi theo công thức

với bij= (−1)i+j D i−1,j

D i−1(j< i); Di−1 ,j là định thức được tạo thành từ i − 1 dòng

đầu và i − 1 cột đầu (sau khi đã bỏ cột thứ j)của ma trận A Khi đó, ma trận

Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Q(x) = 2x21+ 3x1x2+ 4x1x3+ x22+ x23Giải:

2 32

3

3

1 0

... data-page="23">

Định lý (Luật quán tính)

Số hệ số dương hệ số âm dạng tắc đại lượng bất biến,khơng phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến đưa dạng tồnphương dạng tắc

−2

1

! Tìm giá trị riêng vector riêng A.Giải Phương trình đặc trưng

det(A −λI) = ⇔

4. .. class="page_container" data-page="19">

Phương pháp Lagrange: - Phương pháp Lagrange nhóm trực tiếp theotừng biến xi dạng tổng bình phương Sau đó, ta dựa vào tổng bìnhphương để đổi biến.