Bài giảng đại số tuyến tính chương 4 ths nguyễn phương

Chương 4: DẠNG TOÀN PHƯƠNG Th.S NGUYỄN PHƯƠNG Khoa Giáo dục Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 28 tháng 10 năm 2013 1 Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng Chéo hóa ma trận Chéo hóa trực giao Định nghĩa chéo hóa Các bước chéo hóa ma trận vuông Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp Lagrange Phương pháp Jacobi Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa Định nghĩa - Cho ma trận A ∈ Mn (R) Số thực λ gọi trị riêng A tồn vector x ∈ Rn A[x] = λ[x] - Vector x thỏa A[x] = λ[x] gọi vector riêng ma trận A ứng với trị riêng λ Ví dụ 1:Với A = A[x] = −2 , x = (2; 1), ta −2 1 = =3 = 3[x] Vậy x = (2; 1) vector riêng A ứng với trị riêng λ = Tính chất Nếu A có vectơ riêng x ứng với trị riêng λ kx, k riêng ứng với trị riêng λ vectơ Nếu A có trị riêng λ λm trị riêng Am Nếu A có trị riêng λ |A| λ−m trị riêng A−m Giá trị riêng - vectơ riêng Các định nghĩa Định nghĩa Cho ma trận vuông A = (aij ) cấp n, ma trận đơn vị cấp n: I - Ma trận đặc trưng A   a11 − λ  a 21  A − λI =    an1 a12 a22 − λ an2 a1n a2n ann − λ         - Đa thức đặc trưng A định thức ma trận đặc trưng (là đa thức λ), det(A − λI) - Phương trình đặc trưng ma trận A det(A − λI) = Ví dụ 2: Cho A = , ta có đa thức đặc trưng det(A − λI) = 1−λ 4−λ = λ2 − 5λ − Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng - Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A − λI) = Các nghiệm tìm giá trị riêng cần tìm - Bước 2: Giả sử λ0 giá trị riêng Giải hệ phương trình tuyến tính (A − λ0 I)X = Nghiệm không tầm thường phương trình vectơ riêng cần tìm −2 Tìm giá trị riêng vector riêng A 1 Giải Phương trình đặc trưng Ví dụ 3: Cho A = det(A − λI) = ⇔ 4−λ −2 1−λ = ⇔ λ2 − 5λ + = Suy λ1 = λ2 = hai trị riêng A + Ứng với λ1 = 2: + Ứng với λ2 = 3: Giá trị riêng - vectơ riêng    Ví dụ 4: Cho A =   Giải Phương trình đặc    Tìm giá trị riêng vector riêng A  0 trưng: −λ 1−λ −λ ⇒ λ1 = −1, λ2 = hai + Với λ1 = −1, ta có:    A − λ1 I =   ⇒ x = α(1; 0; −1) (α Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng = ⇔ (1 − λ)(λ2 − 1) = trị riêng A 1        −→    0 1 0     ⇒  0) vetor riêng A x1 + x3 x2 =0 =0 Giá trị riêng - vectơ riêng Cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng + Với λ2 = 1, ta có:   −1  A − λ2 I =  0  −1     −1    0    ⇒ x1 − x3 =  −→     0 ⇒ x = (α; β; α) vetor riêng A Không gian riêng Giả sử λ giá trị riêng ma trận A Gọi tập hợp vector riêng ứng với λ vector không E(λ) E(λ) gọi không gian riêng ứng với λ Ví dụ 4: E(−1) = (1; 0; −1) ; dimE(−1) = E(1) = (1; 0; 1), (0; 1; 0) ; dimE(1) = Chéo hóa ma trận Chéo hóa trực giao Định nghĩa chéo hóa Định nghĩa - Hai ma trận vuông cấp A B gọi đồng dạng tồn ma trận khả nghịch P thỏa B = P−1 AP - Ma trận vuông cấp n gọi chéo hóa A đồng dạng với ma trận đường chéo D, tức là, tồn ma trận P khả nghịch cho P−1 AP = D Khi đó, ta nói ma trận P làm chéo hóa ma trận A Ví dụ: Hai ma trận A = 1 −1 B = −1 0 đồng dạng có khả nghịch thỏa B = P−1 AP    0    Ví dụ: Ma trận A =   chéo hóa được, có ma trận   1      0   0      P =   thỏa P−1 AP =       0 −1 ma trận P = Chéo hóa ma trận Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông Các bước chéo hóa ma trận vuông - Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:det(A − λI) = để tìm trị riêng thực A + Trường hợp A có trị riêng phức ta kết luận A không chéo hóa + Trường hợp A có n trị riêng thực A chéo hóa được, ta làm tiếp bước + Trường hợp A có k trị riêng thực λi (i = 1, , k) với λi nghiệm bội ni phương trình đặc trưng i) dim E(λi ) = ni , ∀i, ta kết luận A chéo hóa được, ta làm tiếp bước ii) tồn dim E(λi ) < ni , ta kết luận A không chéo hóa - Bước 2: Tìm sở không gian riêng E(λi ) - Bước 3: Lập ma trận P có cột vector sở E(λi ) Khi đó, P−1 AP = D với D ma trận chéo có phần tử đường chéo λi (mỗi λi xuất liên tiếp ni lần) Chéo hóa ma trận Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông    −1   −1  Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau R: A =     1−λ −1 −1 − λ = (3 − λ)(1 + λ2 ) Giải det(A − λI) = 3−λ Phương trình det(A − λI) = không đủ nghiệm thực nên A không chéo hóa R −3 Ví dụ: Chéo hóa ma trận sau R: A = −2 Giải Phương trình đặc trưng det(A − λI) = ⇔ (λ + 3)(λ − 1) + = ⇔ (λ + 1)2 = ⇔ λ = −1 (bội 2) (A − λI)X = ⇔ −2 −2 2 x1 x2 = 0 ⇔ ⇒ dim E(−1) = < ⇒ A không chéo hóa −2x1 + 2x2 = ⇔ x1 = x2 −2x1 + 2x2 = Chéo hóa ma trận Chéo hóa trực giao Các bước chéo hóa ma trận vuông + Với λ = (nghiệm bội 2), ta có:    A − λI =  −6  −6 −6 −6 −1 3      2 −1      →  0  ⇒ 2x1 + 2x2 − x3 =    0 ⇒ x = α(1; 0; 2) + β(0; 1; 2) ⇒ dim E(2) =      0   1     −3  −1 Vậy A chéo hóa P AP =   với P =       0 −3 2 13 Chéo hóa ma trận Chéo hóa trực giao Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Định nghĩa Ma trận thực A vuống cấp n gọi trực giao AT A = I, tức A−1 = AT    − √1 √     Ví dụ:   ma trận trực giao  √   √ 2 Định lý Nếu A ma trận đối xứng vector riêng thuộc không gian riêng khác trực giao Định nghĩa Nếu tồn ma trận trực giao P cho P−1 AP ma trận chéo A ma trận chéo hóa trực giao P ma trận làm chéo hóa trực giao A 14 Chéo hóa ma trận Chéo hóa trực giao Chéo hóa trực giao ma trận đối xứng Các bước chéo hóa ma trận đối xứng - Bước Bước Bước Bước 1:Tìm trị riêng 2: Tìm vector sở không gian 3: Chuẩn hóa vector sở 4: Lập ma trận chéo hóa trực giao A   2  Ví dụ: Chéo hóa ma trận đối xứng A =  2  2 15 riêng      Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Dạng toàn phương Định nghĩa - Dạng toàn phương n biến x1 , x2 , , xn (hay dạng toàn phương Kn ) hàm Q từ Kn đến K cho biểu thức n n Q(x) = aij xi xj với aij = aji i=1 j=1    a11 a12 a1n    a  21 a22 a2n   - Nếu ta đặt A = aij =   ∈ Mn (K) n×n    an1 an2 ann X = (x1 , x2 , , xn )thì dạng toàn phương viết dạng ma trận Q(X) = [x]T A[x] A gọi ma trận dạng toàn phương, A ma trận đối xứng 16 Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Dạng toàn phương Ví dụ: Tìm dạng toàn phương q(x), biết ma trận q A = −1 −1 Giải Ta có q(x) = [x]T A[x] = (x1 x2 ) −1 −1 x1 x2 = x21 + 2x22 − 2x1 x2 Ví dụ: Tìm ma trận dạng toàn phương q : R3 → R sau q(x) = 2x21 + 3x22 − x23 − 4x1 x2 + 6x2 x3 Giải −2 3 −1    A =  −2  17      Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Dạng toàn phương Định nghĩa Trong Rn , dạng toàn phương n aii x2i Q(X) = a11 x21 + a22 x22 + · · · + an x2n = i=1 gọi dạng toàn phương tắc hay gọi tắt dạng tắc Ma trận dạng tắc A = diag a11 a22 ann Ví dụ: Trong R2 , cho dạng tắc có ma trận A = 0 −2 Khi đó, biểu thức q q(x) = [x]T A[x] = (x1 x2 ) 18 −2 x1 x2 = x21 − 2x22 Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Đưa dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp Lagrange: - Phương pháp Lagrange nhóm trực biến xi dạng tổng bình phương Sau đó, ta dựa vào tổng bình phương để đổi biến Trường hợp 1: (Q(x) có hệ số aii 0) • Bước 1: Giả sử a11 0, ta tách tất số hạng chứa x1 Q(x) thêm bớt để có dạng Q(x) = a11 (x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn )2 + Q1 (x2 ; ; xn ) Đổi biến y1 = x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn , yi = xi (i = 2, , n) , tức x1 = y1 − α12 x2 − · · · − α1n xn , xi = yi (i = 2, , n) Khi đó, Q(x) trở thành Q(x) = a11 (y1 )2 + Q1 (y2 ; ; yn ) • Bước 2: Tiếp tục làm bước cho Q1 (y2 ; ; yn ) Sau vài bước dạng toàn phương Q(x) có dạng tắc Trường hợp 2: (Q(x) có tất hệ số aii = 0) Giả sử a12 0, ta thực đổi biến: x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , xi = yi (i = 2, , n) Khi đó, dạng toàn phương Q(x) = 2a12 y12 − 2a12 y22 + · · · có hệ số y12 Ta thực theo trường hợp 19 Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Đưa dạng toàn phương dạng tắc Ví dụ: Đưa dạng toàn phương dạng tắc: Q(x) = −x22 + 4x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 Bước Biến đổi Q(x) = −(x21 − 2x1 x2 + x22 ) + x21 + 4x23 + 4x1 x3 = −(x1 − x2 )2 + x21 + 4x23 + 4x1 x3     y1 = x1 x1 = y1       y = x −x x2 = y1 −y2 Đổi biến  ⇔  2      y3 =  x3 = x3 y3 Khi đó, Q(x) = −y22 + y12 + 4y32 + 4y1 y3 với Q1 (y) = y12 + 4y32 + 4y1 y3 2 Bước Biến 4y1 y3 = (y1 + 2y3 )2  đổi Q1 (y) = y1 + 4y3 +    z1 = y1 +2y3 y1 = z1 −2z3       z = y y = z Đổi biến  ⇔  2 2      z3 =  y3 = y3 z3   −2z3  x1 = z1   Vậy Q(x) = z21 − z22 với   x2 = z1 −z2 −2z3   x3 = z3 20 Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Đưa dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp Jacobi: - Phương pháp Jacobi áp dụng cho dạng toàn phương có ma trận A thỏa điều kiện a11 a12 0, , Dn = det(A) D1 = a11 0, D2 = a21 a22 Khi đó, biến đổi theo công thức   x1 = y1 +b21 y2     y2   x2 =        x = n +b31 y3 +b32 y3 +··· +··· +bn1 yn +bn2 yn yn D với bij = (−1)i+j Di−1,j (j < i); Di−1,j định thức tạo thành từ i − dòng i−1 đầu i − cột đầu (sau bỏ cột thứ j)của ma trận A Khi đó, ma trận    b21 bn1   b  n2    đổi biến P =       0 D2 D3 Dn dạng tắc : Q = D1 y12 + y + y + ··· + y D1 D2 Dn−1 n 21 Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Đưa dạng toàn phương dạng tắc Ví dụ: Đưa dạng toàn phương dạng tắc Q(x) = 2x21 + 3x1 x2 + 4x1 x3 + x22 + x23 Giải:    Ma trận Q: A =  32  2 Ta có: D1 = 2; D2 = 3 2 1      = − 14 ; D3 = det(A) = − 17 Ta tính: b21 − 32 D1,1 D2,1 = (−1)2+1 = = − ; b31 = (−1)3+1 = D1 D2 b32 D2,2 = (−1)3+2 = D2   x = y1 − 34 y2 + 8y3    x2 = y2 − 12y3 Vậy đổi biến     x3 = y3 − 14 2 − 41 = −12 ta Q = 2y12 − 81 y22 + 17y32 22 =8 Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý (Luật quán tính) Số hệ số dương hệ số âm dạng tắc đại lượng bất biến, không phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa dạng toàn phương dạng tắc Định nghĩa Dạng toàn phương Q(x) gọi là: - Xác định dương Q(x) > 0, ∀x ∈ Rn x - Xác định âm Q(x) < 0, ∀x ∈ Rn x - Không xác định dấu nhận giá trị âm giá trị dương Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Dạng toàn phương Q(x) Rn xác định dương tất n hệ số dạng tắc dương Hệ Dạng toàn phương Q(x) Rn xác định âm tất n hệ số dạng tắc âm Định lý Dạng toàn phương Q(x) Rn xác định dương ma trận có tất giá trị riêng dương Hệ - Q(x) xác định âm ma trận có tất giá trị âm - Q(x) không xác định dấu ma trận giá trị riêng dương giá trị riêng âm 24 Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Định lý Sylvester Định lý (Định lý Sylvester) - Dạng toàn phương Q(x) xác định dương tất định thức ma trận dương, tức D1 > 0, D2 > 0, , Dn > - Dạng toàn phương Q(x) xác định âm định thức cấp chẵn dương, cấp lẻ âm, tức (−1)k Dk > 0, ∀k Ví dụ: Xét tính xác định dấu dạng toàn phương R3 : Q(x) = −2x21 − 4x22 − 3x23 + 4x1 x2   −2  Giải Ma trận Q A =   Ta có định thức chính: D1 = −2 < 0, D2 = Vậy Q xác định âm −4 0 −3 −2 2 −4      = > 0, D3 = |A| = −12 < Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Định lý Sylvester Ví dụ: Xét tính xác định dấu dạng toàn phương R3 : Q(x) = 7x21 + 2x22 − x23 + 6x1 x3    Giải Ma trận Q A =   Ta có định thức chính: D1 = > 0, D2 = 0 0 −1      = 14 > 0, D3 = |A| = −32 < Vậy Q không xác định dấu 26 Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Định lý Sylvester Ví dụ: Xét tính xác định dấu dạng toàn phương R3 : Q(x) = x21 + 4x22 + mx23 − 2x1 x2 + 8x1 x3 + 4x2 x3    Giải Ma trận Q A =  −1  Dạng toàn phương xác định dương xác định dương D1 = > 0, D2 = −1 −1  −1    m tất định thức = > 0, D3 = |A| = 3(m − 28) > ⇔ m > 28 27 [...]... = y1 − 34 y2 + 8y3    1 x2 = y2 − 12y3 Vậy đổi biến     x3 = y3 3 2 − 14 2 0 1 2 0 − 41 = −12 ta được Q = 2y12 − 81 y22 + 17y32 22 =8 Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý (Luật quán tính) Số hệ số dương và hệ số âm trong dạng chính tắc là những đại lượng bất biến, không phụ thuộc vào phép biến đổi tuyến tính không suy biến đưa dạng toàn phương. .. tắc: Q(x) = −x22 + 4x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 Bước 1 Biến đổi Q(x) = −(x21 − 2x1 x2 + x22 ) + x21 + 4x23 + 4x1 x3 = −(x1 − x2 )2 + x21 + 4x23 + 4x1 x3     y1 = x1 x1 = y1       y = x −x x2 = y1 −y2 Đổi biến  ⇔  2 1 2      y3 =  x3 = x3 y3 Khi đó, Q(x) = −y22 + y12 + 4y32 + 4y1 y3 với Q1 (y) = y12 + 4y32 + 4y1 y3 2 2 Bước 2 Biến 4y1 y3 = (y1 + 2y3 )2  đổi Q1 (y) = y1 + 4y3 +    z1 =... = −32 < 0 Vậy Q không xác định dấu 26 Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Định lý Sylvester Ví dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3 : Q(x) = x21 + 4x22 + mx23 − 2x1 x2 + 8x1 x3 + 4x2 x3   1  Giải Ma trận của Q là A =  −1  4 Dạng toàn phương xác định dương chính xác định dương D1 = 1 > 0, D2 = 1 −1 −1 4  −1 4  4 2   2 m khi và chỉ khi tất cả các định thức... x2 ) 18 0 −2 x1 x2 = x21 − 2x22 Dạng toàn phương Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange: - Phương pháp Lagrange nhóm trực tiếp lần lượt theo từng biến xi dưới dạng tổng bình phương Sau đó, ta dựa vào các tổng bình phương để đổi biến Trường hợp 1: (Q(x) có hệ số aii 0) • Bước 1: Giả sử a11 0, ta tách tất cả các số hạng chứa x1 trong Q(x) và thêm hoặc bớt... Dn−1 n 21 Dạng toàn phương Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Ví dụ: Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Q(x) = 2x21 + 3x1 x2 + 4x1 x3 + x22 + x23 Giải:   2  Ma trận của Q: A =  32  2 2 Ta có: D1 = 2; D2 = 3 2 3 2 2 0 1 1 0 3 2 1      = − 14 ; D3 = det(A) = − 17 4 Ta tính: b21 3 2 − 32 D1,1 D2,1 3 = (−1)2+1 = = − ; b31 = (−1)3+1 = D1 2 4 D2 2 b32 D2,2 =... = Vậy Q xác định âm 2 0 4 0 0 −3 −2 2 2 4      = 4 > 0, D3 = |A| = −12 < 0 Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Định lý Sylvester Ví dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3 : Q(x) = 7x21 + 2x22 − x23 + 6x1 x3   7  Giải Ma trận của Q là A =  0  3 Ta có các định thức con chính: D1 = 7 > 0, D2 = 7 0 0 3 2 0 0 −1 0 2      = 14 > 0, D3 = |A| = −32 < 0... toàn phương Q(x) sẽ có dạng chính tắc Trường hợp 2: (Q(x) có tất cả các hệ số aii = 0) Giả sử a12 0, ta thực hiện đổi biến: x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , xi = yi (i = 2, , n) Khi đó, dạng toàn phương Q(x) = 2a12 y12 − 2a12 y22 + · · · có hệ số của y12 Ta thực hiện theo trường hợp 1 19 0 Dạng toàn phương Đưa DTP về dạng chính tắc Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Ví dụ: Đưa dạng toàn phương. .. Sylvester) - Dạng toàn phương Q(x) xác định dương khi và chỉ khi tất cả các định thức con chính của ma trận của nó đều dương, tức là D1 > 0, D2 > 0, , Dn > 0 - Dạng toàn phương Q(x) xác định âm khi và chỉ khi các định thức con chính cấp chẵn dương, cấp lẻ âm, tức là (−1)k Dk > 0, ∀k Ví dụ: Xét tính xác định dấu của dạng toàn phương trong R3 : Q(x) = −2x21 − 4x22 − 3x23 + 4x1 x2   −2  Giải Ma... A[x] A được gọi là ma trận của dạng toàn phương, A là một ma trận đối xứng 16 Dạng toàn phương Đưa DTP về dạng chính tắc Dạng toàn phương Ví dụ: Tìm dạng toàn phương q(x), biết ma trận của q là A = 1 −1 −1 2 Giải Ta có q(x) = [x]T A[x] = (x1 x2 ) −1 2 1 −1 x1 x2 = x21 + 2x22 − 2x1 x2 Ví dụ: Tìm ma trận của dạng toàn phương q : R3 → R sau q(x) = 2x21 + 3x22 − x23 − 4x1 x2 + 6x2 x3 Giải −2 0 3 3 3 −1 ... toàn phương Q(x) được gọi là: - Xác định dương nếu Q(x) > 0, ∀x ∈ Rn và x 0 - Xác định âm nếu Q(x) < 0, ∀x ∈ Rn và x 0 - Không xác định dấu nếu nó nhận cả giá trị âm và giá trị dương Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Dạng toàn phương Q(x) của Rn xác định dương khi và chỉ khi tất cả n hệ số trong dạng chính tắc của nó đều dương Hệ quả Dạng toàn phương ... − 14 2 − 41 = −12 ta Q = 2y12 − 81 y22 + 17y32 22 =8 Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác định dấu Định lý (Luật quán tính) Số hệ số dương hệ số âm dạng tắc đại. .. xứng Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương dạng tắc Phương pháp Lagrange Phương pháp Jacobi Dạng toàn phương xác định dấu Định lý Sylvester Dạng toàn phương xác... · · · có hệ số y12 Ta thực theo trường hợp 19 Dạng toàn phương Đưa DTP dạng tắc Đưa dạng toàn phương dạng tắc Ví dụ: Đưa dạng toàn phương dạng tắc: Q(x) = −x22 + 4x23 + 2x1 x2 + 4x1 x3 Bước